Задача уклонения от точной поимки в нелинейных дифференциальных играх тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

о ~ •^

^ Национальная академия паук Украины

Институт кибернетики имени В. М. Глушкова

На правах рукописи

ГУБАРЕВ Евгений Вячеславович

ЗАДАЧА УКЛОНЕНИЯ ОТ ТОЧНОЙ ПОИМКИ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ

01.01.09 — математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев 1994

Диссертацией есть рукопись..

Работа выполнена в Институте кибернетики имени В. М. Глу-шкова HAH Украины.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

ЧИК.РИЙ Аркадий Алексеевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор ЛАРИН Владимир Борисович,

кандидат физико-математических наук, НЕНАХОВ Эдуард Иванович.

Ведущая организация: Киевский Национальный Университет

имени Тараса Шевчен"о.

к22и тЧ г. в

Защита состоится часов на заседании специализированного ученого совета Д 016.45.01 при Институте кибернетики имени В. М. Глушко-ва НАН Украины по адресу:

252650 Киев ГСП 22, проспект Академика Глушкова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-техническом архиве института.

Автореферат разослан «£3» &-г.

Ученый секретарь специализированного совета

СИНЯВСКИЙ В. Ф.

-г _

Актуальность tomj. Во второй гюлопшда двадцатого века одажл S3 интэнснвно развивающихся разделов мптодтшчН стаад тэор;«я управляешь процзссов. В рвмяах этой тэории датчан ряд фувдз?еонтохыйас результатов, к которым следупт относ г.! пршг&о максимума Л.С.Поатрягина, принцип дииамачоского пгрогрзччгл;х>кшти Р.Болпмагга, правило экстремального працалаваянл H.H.Kpaceucxoi^ и нокотораз другие результата.

С 1960 года иабладпотся большой прогресс в рсаватин такого ваетога иапрэвдэ1шя в творщ» упривляогшх процессов, ¡сак теория ДйЙьрэнцяапьнш: ssrp. Теории д»1ферйнцнвлы'ых игр игучзчт утгроалявмцэ . объэкты, которые огшсивавтся Л'-ШяIю гидеа и,та\<л урашэкижа и находятся'з условиях конфлюто по отноеошвз друг к другу. Налнчкэ коз&ликта значительно усложняет зядг.чу уарзалвтп а кжст» с там долэат оо богаче в пивно во;>\юш>х ЕрИК>е8н2й.

.. : Кзиболое очоеядш прадогампш т&орна к то ¡сим областям, как ущкишит схшта фиэячоскинн системами с нвизьесшт возну^юцжя! сшняш .'(ноприкар, -автоматическая посадка самолета ops сальном катра), военное. дало (например. ароссадовяняв самолета •/ управляемой •'р.чк&той), пострсенчэ тоношшстх а соцааяыагс .шдалей. В •дплыюашбм практическое эначенвэ этой теорпл •-.-; будот возрастать, поскольку контакт,таа модели, еэмшэюю, Соло о адекватны -'природе .слоили роальшг янх.енйй. ■ Узо вдет разработка нового поколения управлять устройств, п основа кобрах лзявг. iia .классические праядапн рогзузровакия, о достпгшшл теорий конфлжтао-уяравляэшх процессов.

Развитие теорий 'конфликтно-упрквляешх процессов свяо&мо г. ■т&явмя тигт /учены*. Среда ввтороз далекого зарубе жья вразгдэ пен го следуо? откатать Р.АЗзокса, Л.Борковица. Дг.Бпргу, У.«иш«икга* А.Фрздмока. В СОТ развита» этого направления онха тесно связано а изяапгзма Н.Н.Крясовского и Л.С.Поитрятш. В Украине . лздируЕкио позкцги в дчююй облоота припад>'жзт Б.Н.Швякчйаму; й - Д.Л.Чикрал. Вальвой, вклад в развита» теории келб^шг асшшьш:. процессов сделали' Е.Ф.Ияц&нко, 4.Ё.Кур50ИСкиа, Ю.С.Осипоз, А.Й.Субботш, Ф.Л.Чергокько. ?.8.Гаа<<ртлвдз&, П.В.Гусятилкоэ, А.З.Кршвшсккй, к.А.Яагякт, (|.С,НжшльскйЗ, Л.Д.Г&троспп, А.Г.Чанцсг-.

В развитой теории дкф1»ре!гциалькых. вгр моото якдадять ди«

исчовш/х направления. Целы» первого 'т . на* . является построений аеяооя&е oöu-üx коцвл&й, изучат» структуры игр, • исследование » адросов суцоствовгогая дыш игры, оптимальных стротэгий и т.д. /Гуясь нообходамо ицд&лить работы.-. Л.поркоЕкцэ,. который, •. сиошшсвг.ь аа ыарлацаонном 'иичйслении*- '-исследовал' в&обходамыз условия, кокорам доджм удойлзтиорять оптимздышэ в смислэ ьибранно"о критерия трзвктирая, и показал, ' что • онгт .иря щ^дооложшшис о регулярности удрвдэтворякгг. яэкотороэду обобщению прзаципа максимума. Сущост&уот целый.'ряд работ ' (¿.-Фридман, У.^дачлиш* и Др. >• косвяавнннх исслдеодвиш- сбщж. ' свойств' ди^орегсмздьной их-рм, рассматриваемо« кок предал послйдоьоткл^ности многоястошх мвнорйнтшх и . ммврча.тных игр,' .'шпроксййсфуяцкх исАодауи игру- Изучению структура дд^фербицкзлкшк шр яоевяцоин такжз раготи Б.К.Иионичного.

Гдздуе* отметать достмгпт : в . атом ншравлэгиа с!«.г)длоЕской сколы шт&матикпп, яозлляадяешй.. Н.Н.Ирасовским (Л.М.Субботил, Ю.О.Осшоз, А.Т'.Ч^ггдс-ч, А.Б.КуркенскиХ к др. ), Кмз бклл идодожэна строг-яя Зорматмзацы» 'поашрюнаоа дл-р^рмшачллноЗ юрв, првдаэхшю. иравйло ахстрамашюто докоазнн фуцд&ментодыагс*-теор&гм об альтернативе, суть которых заключается в том, что при рпумним обгвдинэнип в г^чры частик, сдюшашшх и контгрстратагий. удается разделить йгрсрс* лр'длропстпо на дао ившрвеэкеацдеся и доаолавгадав друг друга области, для каждой' . из . которых разрешима либо задача убогшгся, либо задача щюсхьдоивн'ла.

Другой дштза исспэдовений .съотаьтстцуот постановка бодав чостякх игровыэ; »ядач и иахоздэ.*иэ конструктивных методов построения ctpjt&raa (зачастую делают. от оптимальности). '.Такой-подход вполне оправдан большой сложностью задач и необходимости», выхода кй kohkpdthue прикладные пробл&мн.

В рамках зтего направления возникли тая нэсыяа&мыэ задача укогиюядо от Бс?ртчл с терминальным'. множеством из всех начальных полозганай. líiü-ipKuo такая' гэстеновкз била .. предложена Л.С.Гю: .трясинам. Длшго дяссортЕааоячая робо-а' 'иосвафян изучения име1шо .'ТОГО классе Ui-p.

О иочкта то?юаа псот«к,вки данной -влачи, вн., предложив ц<ш»0 ряд M'fo.-ji, ikw:j:.<ivj'jm тс..яу;г-зть достаточен* уеаовия л строить «трато'лт.: уЛиг.-жп. Здесь. сюдуот упомянуть 'мотод

маневра обхода Поитрш-ова-Кядоике, »угод' шгячри-и-гтх подгфостршхств, катода уСыътн по капраг-еягл» и гюрбмкнннх. напраишпи! А.Л.Чакрия. е «осдздеэо врвмя интсясшно« рмштда» получали рекуссивнио 'мзтодн обход«. К ни» слодузт отвоет* манйвр Ф.Л.Чериоусько .и»я fipócwi-o двпгоиия с рокуряиоА по числу яраоледоадтадгай' и маневр ВЛдамояскогс с рокурси&А ио яроявьст ам от '•двизгеияя.-'- О из помоьчьп удалось получать ноиболое обаиз на еэгодняиший дань достаточнее.уиловая убогачяя. з данной дитсвртдкжнай ряботэ б<ш> проведано каяйствэшюе рзавлтио тзория. рокурсарных .ленэг.ров, а таите с их Пймоаью рассмотрит: ' •новые .классы•кгр. '

Ц: ль работы. Основной целью работы является получовис» общэго взда достаточных условий разреагиюстя ряда классо!» яелш&ных • •' дзф£врезшашшх • игр убэгепия с применением рекурсавздах шавяров обхода. Ставится. задача- по'лроэ^ля .• шксйшакно '-/коиструктиааих.- процедур пат роения •стратеги» ук,-окенал, чтс позволит использовать ах iijíi числанноч МОДОЛЯругОИИЖ.

- Столика исцхедоааеий-.' fi ^яссэр'.ации ' широко ясгюльзутячзя достазхшя творит. onmvaobuoró уяроыд&чия, теории диффоренцизльвах игр, випу^ого анализа, теории ниогдаиачных отображений.

•Нагжая новизна. ^.Сфоцэд.-ировеис!'определенно «-стрвтег;гд по разбивниш убэгавдаго, которая «шляется удобным инструментом 'дам описания дойствиЭ игрока ори построении рекурсивных маневров обхода. Основной упор сделан яа'конструктивность стратегии, чт^ открввает возмокн^сть кспользов&ть иэ при числэняом моделировании я отлипает от других сущестаужих определений. 2. Найдены достаточные у словит, разрешимости нелинейной дифферэзддалыгоа задачи убэгелил. Подучонг оцэнкз снизу ухкшэч/я от терммши'ьно-го мнохоства. Условий 'сфэрмулвроязш в одянообрззЕоа форма для обычного и дои так называемого тонкого с дучавв. Для ■■построений стратегии-убегания игроку достаточно еаать .лиш лоло-жзкиэ сястямя и то но коотояию, з даль в некоторые наиарод огфэделэшше móms:jtu зрекэни. 3. Аналогячянй результат получен для.игр с группой прзиладоозтедев. Дни установления возможности уклонения от точной тоиж-ш достаточно установить Г'фвилуцэства убагаице. о над 'каждым преследователем в отдельности пра у от вии

- н - ■

еовподзимя екг.тромалыщк упрсвлэний убегающего по отношекиа' ко всом проадодояаталям. 4. рекурсивный маневр попользован дая р Ег>аия некоторшг классов игр убегания, таких как нээвтошэмныв с огршичяваадями множествами,' 'явно. зависящими от врамэни>*. я игры, в которых преимущество убегаицвго выявляется лиаь в проетпадаых не»которого более .высокого порядка. |

?еос&тцдг>скап и практическая ценность работы. Подученные Й лассортвцнм результата могут бить использованы дал дальнейшего творетач&ского исследования даФХ®Р«шдедышх' • игр. Получении» констру1став;шэ законы управления, которые обеспочншдат решений задачи. укзонеяяя от терминального шохества, '; могут'..'Сы*6 реапн'эоавны на ЭШ.

. Апробации работы. Основные результат диссертаций доклэдшаишоь иш семинарах отдела оит52мазацш , упрааляшяа щюцессов Института кибернетики АН Укрепы (1091-1994 гг.), но сежшЕро по проблем "Каберньтшсо" (1993 г.), на сыжозиуш "Вопросы оптимизации шчаслаияй" (1593 г.).

Публикации. ОсяоЕше результата диссертации опубликованы в рсботах П~ ;}".

Структура и объем работа. Дассе^ацаа состоит аз ввода кия, гр-'Х глав и ецаека литэрэтуры. Объем составляет 105 стренац шздютсагсюго текста. Библиография содэрззгт 102 вашаковаакя. В дассартьцш шоотся 6 рнсунков.

СОДЕР&ЩШ ДИССЕРТАЦИИ

В глшя 1 наследуется нелинейная даффврввдааяъиая игра убагашя от одного преследователя, когда убегающий располагает полной >ш4г)рмацнэй о фазовом состоянии система и па шяэат ж^рматии о текуча управлениях противника. В осаоьэ доказательства тчоремы об уб&гашш лваят рекурсивный иаиввр обхода, суть которого заклвчается и последовательном разгоне проекция ураэитории систош на ортогональное к гор!т:илмюыу маоЕвству подпространство по производным, начиная с некоторой производной высокого порядка и заканчивая нулевой. Для удобного формального описания действий убегн^иго вводотсн опрадал&шэ

с-стратегии по разбиению, В Котором уЧТОНВ СПвЦИфИКа ^¿курсаяншс ианэвров.

В первом параграф!' делается формальная постановка ясдвшй, даются опродэлепия стратегии и другив необхсишз опрудвлкгая.

Дшжэпяэ обгрктэ в окускдовоу. пространстве к" опиг.ь'в5отся кэлжявйним ;^1»ренчигльным урзЕяениом

z=f<z,u. v5 , (i.i)

Здесь fCa.u.vi - непрерывная по совокупности горсмэнних '''ввктор-фуняуря; и к v - управляэтде параметры' ярцслвг^ватйгя и убегающего соответственно, которые прйкадлвжат компактным множествам' « ж*" и w с т". ■

Терминальное шояэствэ in - даодфострааство в к*',a ora ортогогальиоо дополнение а. ниээт размерность, рч мэньшуо 2.

Предполагаем, что правая часть систем» удовлетворяет условна 'роста

'■JfCz.uJvíJ < «(H-J-/.9) Д.?.}

ДЛЯ ЛЮбЫА " « ]l,v е V , ГДЭ а - пололитйл'ънои КОНСТВНТЬ. ЗДЭСЬ И

дагзе.под j| |) понимается эвклидова норма воктопа.

■ Некоторый • дополаиталыша 'требова* зя к n'z.u.v) будут ввадэнц далоэ.

Допустимыми уц!з»лэякями игроков считаются измеримые но •функции со значениям:: в «и н v ■'соотввтотвэияо. Рассматривается задача с полной информацией, что подразумэБэот зняняз обоимя игроками в каждый момент времени состояния объекта ct

Необходимые опрододенил. Будем называть ь-р-зз&иением .omp+эка Сд;Ы множество точекi„9*t. • ■ • • тгто», что i; >ít.

•. -i«Ó¿. . . ,v-t . ( • a. b, v « И.

Обозначим символом Д. МНОЯЗСТВО ? i«0.'. . . .f. Пусть

на £а;!>3 ОПрЭД0."ЭЯа функция 2 С.vi . Символом -гл.з будвм . обозначать вектор (=с? 5.....гс:; > ).

Определение 1,1. Будем говорить, что задана s--стратегия по ралби»чи» второго игрока,' если 'в каждой точке г <з к'4 задана тройка (¿Cz) .¿Czi .V^); х'дз

Í.<25: R"« К', йСх5.С .

^д •• система 'измэрямнх ixo г функций

.V.CaíÁ, );т>: !Rn!,<i*"x i*' -т. 1=0. ... з5-1>.

Будем говорить, что убегашдай действует согласна

•»(".-х"(>гии по разбиению, вСЛЙ ОН ОСУЩВСТЬЛЛЭТ ТЗКуГ

асс чодоватэльность действий. Пусть в некоторый нокк>зтле система :

оказалась в точке г0« и. На интервале вромень гьо.ъо-ч ъ УбЭГаОцИЙ ВЫОираВТ уирввлениэ - = О -

» е э. в ларе с некоторш^ произвольным допустимым

управлением преследователя оно дает • рэтэшгэ система (1.1) на и л. +.' э с начальным условием гсь э» г . г ~ полоаюндя системы

О о I ... • ■ О О* 1

(1.1) в момент времени Убегающая выполняет смену

управления, выбирая его равным ^сгсд^тэ - у?Сао..24;о на • Саисаннуа последовательность действий убегающий поаториет у£= раз на отрезке времени ^.г^+гСг^).Далее убегэициЗ»' до астру ет согласно тройке (¿.д.уд), которая опредэляятся положением системы в момент

Отметм, что в рамках наложенных на систему ограничений такое опрэделвниа вполне корректно в том смысле, что, во-первых, душ любого гае е" и любого допустиыогоупровлония преследователя • рваэкив системы (1.1) в смысле Каратеодори с начальным условием гсс£>:>=2о,соотвйтствуюдве опиевнной выше процедуре, существует на (хотя , вообще говоря* не единственно) и является абсолютно непрерывной функцией: ш-вторш, дкбоэ из этих решений ограничено, т.е. на этом интервале оно ш покидает некоторой ограниченной области, что позволяет повторять описанную процедуру бесконечное число р^з.

Заметим также, что если на г дополнительно наложить условие Лишала, то решение будет определяться однозначно как не г со,ъо"к?13« чак и всаду на . Однако ми этого но

делаем, продоолаг-я, что в своем реальном движении система каждый раз реализует одау конкретную траектории из мкожоства возмохшшс, а выбор очередной порции управления убегающего определяете.! точкой пространства к" , в которую система попадет в конце этой траектории.

Итак, мы убодались,что в каздой точке г0« к" введенная нами

ВШе ¿-стратегия по разбиению в Паре С ЛЮбЫМ ДОПУСТИМЫМ

управлением прэследователя и< о определяет непустое множество 2и« Сг0:> абсолютно непрерывных ограниченных решений системы

(1.1) на с1о.го^С2оЭ1;

-г -

Z., Cz 5 » u Z (z ) > 'Л ° <u> U'V °

здесь <u> обозначает множество всех допустим:« ynpaaisjntít

прэсдадоватэлп на отрэзка tto.to*/-C3o5 3;

*■ lnf inf dlstCztO.IMj ,

С» Э icti ;t ♦«<* » (1.3)

w. o o.oo 1 '

A

где x - эд0мэ.гг множества z с*

л °

Если к точу so величина выбирается таким образом, чт j Ии t. « <о . » «„ ♦ <Cz. 5. 1^1.3.. . . .где г =гС1> ,гС1 )-z .

» I 1.-4 1-1 * 1 i с« о

\ * mJ

то существует роазепав, продолжимое на песь подубэсиояэчяий интервал времен*.

Онрвдалвниа 1.2. Если в определении 1.1 убегеэдкй на

каждой интервале времени tt,t ** 1 .....vczj-i.

выбирает достоянное управление vcv> » v^i&^y, то кн считаем, ЧТО задана кусочно-постоянная «-стратегия по р<хэ6иеяи*>.

Определение 1.3. Будзм говорить, что для дяМьренциальной игри (1.1) разресшса бальная.¿аЭача уйегъния. еслн СуЕвСТВуеТ с-с прапггия по рахбиенихг убЭГЕПЦОГО, Т8КЭЯ, ЧТО При ЛПбОМ

допустимом управлении первого игрока соответствугцие траектории ас t>. 2t« o>»3[o нродсиштаы на полубесконечный интервал времени и на пересекает тершнальнов множество и при te rt^.où для лабых

вач&пьних позиция я Jê m.

. Утверждение 1.1 Глобальная задача убегания разрешимп. 6сли

суцвствует "о р^лби»ни» убегаш^го, такая, что

ешголнэны следувдго условия:

1) фунхцля такова, что для лвбого компакта я с к"

стаэстзует е > О, такое, что lnf >Cz5 >r ;

■ ■ - aéX

Л) для лобого компакта v? с ж™ существует . функция •|,*сг5гсо.'ой co¡*ccs, монотонно наубаващая по г, такая,что для лвбого г е. «. z « И. »jCzî > rj*CdistCz.CO:>. ГД8 чСгЗ определяется по формула (1.3);

3) для /.ибо го компакта х с о?" существует фупкцан

1'*Сг>:СО;+®5 . СО; *аО , МОНОТОННО ПСГОЗрЗСТЗИДЗЯ ПО г. Т£КЭЧ, ЧТО ДЛЯ любого I е Я, г s í . wCz> £ stCc.31>Э .

.;■ - ? -

Во втором параграфе Формулируйте» условия и теорема об у.>; оаанан. '

Пусть гаи а^- в ; а ими о ертогон, льиш однгмйрныо пс.ттрсстра-тства из ги, где п. - ертогонздьноа долелиониэ к и, а т^ и «а- .* оператора ортогонального прое/лттроваяия ип ^ в аг .и »и соотейтст-

ВОННО.

Предположи, что шено образовать твкио шслэдоезтэлыюсти

ФУНКЦИЙ ' ои\г,и,\0: вЛл/у»'. -» ¡К!. К'Д.... - С

помоста рекуррентного соотновония

«у л , и. Л " V 1""(!,и. »>/С2,и.У> . . ."'.'

- « »

е>'° ¿ 2, Ц.^О « II, £ .

) >

где / *>сг,о.-матрице ыорвых прохзводтс: функция"рег.ч.хэ по з.

Пусть существует ''взтура.тьнаь 1 чс^л 'к' м. к , такие, что маоетства. • 1 «¿у... и ^са.ш.уэ;-

состоят из 0дкнст1№нпых точек ^í,.^'cгj , причем •*>',>с.5Э нвпрерьгрян

по г на к", фусщии и также нопрерьазпн по совокупности порьмэцкых.

Одроделю отображение гсв;и,у>; ог%*л<* к*. положив

ы - двухмерное подпространство, натянутое на и 3)2, и

V- = < Р * |!р||-1 >.

Пусть фунющя кс2.и.у>, такгя,чте длллгб->го комгикта * с о?" суд8ст1-у0т а <*, тькоэ.что л»*5ых. '• 4« <и,:' v е.v , а^.а^в'ж

Условие 2.' Существует шлрьршшон функция Кг";.:«" .к-1, . ТЗК8Я, что имеет моего неравенство

пчг> мах т., Ср,Г<.2,ч,.уЭ+1С255 . > О

| v т-^/ . 4 -".о

для всох ^ ? а».

Утверждение 2.1 Для 'огисекиэй 'выиэ' да'фрэ&даадь'ной- игра моззю построить ^-стреткко по разбиению, удевлетворяюадю условиям утвэрждокия 1.1.

Утаерадэзия 1.1, 2.1 позволяет: нам сфзрму.тдхвЕТЬ основной результат в вид» едедувдей теореш.

~Ú -

Теорема 3.1. Для того, чтобы в описяншй выше лиффератсиаль--ной игра была разрешима глобальная задачя-.-убеглпия в ¡viseen .'кусочао-иостояшшк «.—сяратесио по рс&би*ни», достаточно, чтобы выполнялось условие 2.1.

Замечание 2.1 Отмэтим, что на число ki и никаких дополнительных условий не , накдадавяетсл, и результат ггрэдегегютэтея в единообразной ферме и для груоого ( ь t» ¡¡j, а для так называемого тонкого ( к > кг) случаев.

Замечание 2.2 Существенной чертой данного • peuyjivwa является полный отказ от знания убагаздлм управлен^л прчелздоватвля. Для синтеза управления убо.-анил второму играну достаточно знать лииь текущее положение системы, а, болэа того, на постоянно, а только в наперед определенные моммггн врэмеья.

Н третьем н четвертом паряграфах щюводатся докпзательстю сформулирозанной выше теоремы.

So второй главе мы переходам к язученнэ диКтерэнцлг^льшх кгр убегания с группой преследователей. Основной результат в виде тэоремы об убегании доказывается с почки^ыо ком"штлросанного применения дяух вадов рэкурсивннх маневров обхода. Суть такого • применения'- звклвча&тся в том, что вначале каздому

дзэследователи приписывается олроделэнный порядковый номер, после чего- строится ¿-стратегия r.o paj6u<?Huv убегаНЦОТО, герянтируадая на некотором интервале времени определоннуо сценку расстояния мохду убегандо« и первым преследоттелем, и характеризуемая некоторым шагом разбиения. При этом используется маневр обхода, описанный в главе 1, и заключзл^кйся в последовательном рвзгояе проокции траектории а ортого;м.лнго& подпространство по производным, начиная с высшей и заканчивая нулевой. Шслэ этого осуществляется переход ко второму преследователи и полученная на пор"ом шаге стратегия достраивается таким образом, чтобы гарантировать „'клононио от второго преследователя вдоль хаздой из возькжшх трректорпЗ уклонеиля от первого. При атом в: игре против второго игрока существенно используется оценка расстояния и шаг разбивнии, полученные в игре против первого. Схема разгона по проинводеум в игре против второго преследователя в целом сохраняется» одагко для разгона С8М5Й высокой пргязводпой (базовой для процесса индукции) мы используем схему маневра убегшвш от миогт»х

прэсдодоватзлой вдаль нонинзльиоа траектории для простых дулжзлий на плоскости, который был плярвыоЦродлозэн Ф.Л.Чвсноусько я развит в расютах В.г«1Ж>вскота. Д;и того, чтобы ХчЯюлы-овааи& зтого маневра бг/ло обоснованным, необходимо предао-.похить, что зчотрзкел>..лш ~управления .убмгапдагб' ( то есть тэ, на которых рзелмзуатся ьго нрйамуцэстЕо) яьляотся общгми по отяо-оания ко веем преследователям. Следит отштить, что введенная нами е-стрпхезия пз НШ2Я9ТС Я удобкым СрвДСТВСМ для

оиисения действия убйгйыцаго и и этом случке.

После окончания.' шютроеяхя маневра, уклонглшя от второго цротявниха ш г.огучавм оценку уд&гайия у«в о* дауг нрасЛ'ДовЕтелеЯ (первого я второго) и шэг раэбиопия по вгемеаи, необходимый мл роэлизецгл мяиозра Ч по мере увеличввия числа■ ирг.слодс ате.тай изг умоньяаетгя, но -»стштся аоаохатехышм ). Описанная лро;;эдурэ повторпотся столько раз, сколько 1фооледойате.шй участвует » згрг. Иа>уг энаяя на последнем ват»

*--с.~.р<ьь*:ия р>6и<?:?и*> ЙЕЛЯОТСН ОКОЯЧНТЬЛЬНОа, 8 ОЦЗКК»! уКВОНб-

вия оу последнего протавгоиш /ерактериауэт уклонение от всех. ПориГда-* к фс-ркальному излпхе-<жл аедачн.

Дзззт.нлз осл».е:<та в евклидово» пространство к отсыпается нелннеДдом дафферсичиамышм уравне зием • '

= « ГСг.и.у;. (5.1}

Здось - непрерывная по совокупности лорек-лшых

вектор -функцал; ч а * - у1фавлящме параметры петшого я второго ипгао/; соотвэтамгию (здесь под парным игроком погашается, вообще , гнупзк игроков ), которь^ принадлежат компактным

множествам ■■= к,л и'. v. с е:". :

Уорманнльчов ынотество и имовт сл.жнув структуру и гфадстеымат'собой объедалониз ¡^еиан/х многообразна . .и^ нз

Г1 г»

к вида = ;но -> , где 'и - лк»вПно? по.шфгстрзнст^о из к , г вектор проддапнгг ■ оргиговазьяоцу деа&ляенга» ^ к .и. При атом од счятазм^ что каждое а. , ■ имоит размерность. ив

к гывуэ 2. Правая часть ..СГ--1-) удовлитворяат »«¡ов:« реете. •

Доуустилмми уфзвлбяи'ача ' игроков . считаются- измзричзю по л. фуцкции со зкачзяиямк в 1» и У соота*>тетао1Шо. Тассачтрапается задаче с полеой - нз&\<р\1а?даоЯ.

В такой постановка, да2ф*ропцинш<сй агрз . (Ь.1) схватывает

. - Il -

случай, xor«a в качестве первого игрскп рассматривается несколько управляемых объектов, которые дэйотнуэт прел*» одного убегавшего.

Введем обозначений distxz.oo » min csiau (5.2)

Определение S.l. Будвгл гоиорлть, что разрешима гло»л.чьнпг.

задача i 5<?.?ohu7 от многих прес.к&3с>за.ткл&й П ПССТОНОВК6 (Г>.1), если существует £-чтрат«яия по разбиечи» уб&ГЗВДЭГО, ТсЖЛП, ЧТО при лвбом допустимом управлении прэслодоаатолей соответствующая траектория act?,àct- ¿«z ирсдолхимз на лолубпскояэчина жггерзял

времени н dist-CïCtî.îtj >'tc tt для лабых позшугё и.

Утверзденке 5.1. Глобп-ньная -»аВочс убегания от многих / р&слеРюет+л&й разрешима, вСЛЯ CJTcieCTnyRT £ — по

развисни» убегащего, такая, что внг.оляеки с-лдуюи^ь услепил: . I.); функция , такова,. -сто для- любого • комаакте и с Rr' существует > о, такое, что im c^i

гзе'Л

2) Для любого компакта > с существует фу*жция ï)*troi:со;ч-опэ » со;+го», монотонно иоуиивапдая по г, такая,что для

ШбОГО z а К, z в Й, пСзО £ T)^tdiat.f ».«"JÎ, ГДЭ»>Сг:> ОПрОДвЛЯВТСЯ

по формуле (Г.3) при подстйновко (5.2);

3) для любого кошакта я с isn существует футщзя 1®сг5:с0;>а0^0;+со>/монотонно невозрастаэдая по г , такая, что

ДЛЯ любого г п Я. г s й , S t*CdisiCz .¡Ю> .

Формулировка основного результата. Пусть о* и,!»*-- вза: чяо

ортогональшэ омномертта подпространства из s.^, j f i.......

; соответствущир им орти в f". Здесь в. - ортогональное

дополнение к и jP а п* и я*- операторы ортогонального проектирования из к" в оИ и ш* соответственно.

Образуем яоодадоватольности'функций z.u.vj•.Kr'x<uxy->wV m»i .a, j»i,..- i=c.i.. с- аошдыо рекуррентных соотноиэдщй

m ^ „ m ti~i>. ... .. . . л

i я »

p. Сг.и, rt » n st - m = 1.2. j 1.....!->.

где Vjfiт.u.vi-матрица первых произподяцх функции »>c-.u.v3 по z.

Пусть сущэствуют натуральный числа у*, я j » такие, что множества u. t-о.. .. .к *-1 и %>"'<«..

i =0.. . . состоят из единственны* точек "V^tio, причем

j J- • *

непрерывны по * на к". Функции '^V'z.u.v) и

f'I' j'cz.u.vï та :ссэ непрерывк Образуем векторы fcz.i елодущим образом. Положим

'p^i'cz.u,vï такта непрерывны по совокупности переменных. Образуем вэкторн F<z.u.v>i к" х «и х w ■» к*. j=i.....v

[ t , 2 . С»'. Vk;'Cz.u.v;0 . Ce*. WCz'v'v:>:) Г .

J ' > ) i ......

v- - < p с к2. ¡¡p[j-i >, so- единичный шар в к" с центром в нуле.

Пусть функции f.c2-,u,v> таковы,что для лзобого компакта Я с к" OyeiQCTBVDT А <«>, таков,ЧТО ДЛЯ любых и 41, V с V, «

¡¡F.Cîj.U .vl-FjC^.u .V 5|| < Aj^-zj. J=1.....v.

Условие 5.1. Для каждого j=i.....>-' для всех z -s iHj имеет место норав.нство

niir. max ml n Cp,F .Cz,u,v)5 > O,

r<ii> V6Ï VJ<£<U 1

Пусть l i некоторое действительное число. Определим слодущие многозначные отображения:.

V^Cs, рЭ » ^ veV; ml/* Ср.F .Cz, и, v5> > глах E>in Cp.F С z. u,

J I ueV ' vdJ ueV 1 . i

2 Rn, p e Ф, J » 1. . .i>, '

V^CzS » U Vrcz.pi. 1 '

Пусть 6Cz5: tRn-» CO.-»cri) - HBXOTOpSft Непрерывная ФУНКЦИЯ. Для каждого z « и онрвде^лм множество номеров

JCnj = | . . <z*<5Cz3-So> D1. j.

Очитаом, что номера в -Кгэ расположены в порядке возрастания, а

|хгэ| означает количество номеров в jcz5. jcz:> <i.....i1j(xl/-

Условие 5.2. Существуют число Lia и непрерывная функция ¿cz> > с. такие, что для всех z е о-п: р -= ф выполнено

V^Cz.p^ ft £ fj V^ cz5 J * О . 1 < k < |JCzD |—1.

k k<mS.j<z>i m '

Утветэдениа 5.2. Для описанной ггле дифференциальной игра можно построить «-стратегию по разбиению, удозлетворящуя условиям 1-3 утверждения 5.1.

Утвйра^-ния 5.1,5.2 позволяют нам сформулировать осиовпой результат в ¡виде, следующей теоремы.

Теорема 5.1. Для того, чтобы л описанной выше

дш^ргщтальшй игра била разрешима глобальная задача убегания 07 шогижпрзследоЕа'годоЭ в классе кусочпо-поотоякшх г-стрия«~ий оо разбиения, достаточно, чтобы выполнялись условия 5.1. и 5.2. В шестом параграфе излагается доказательство этой тесрош. В зрзтьэй глава рассвдтриваются некоторые классы пгр убзгашш, рэнйоюк с пошщъю рекурсивного маневра обхода.

В содыйза параграфе сформированы условия разрояжлостп глобальной задача убегания, когда срашониэ ресурсов упраагл-ки игроков в пропзводкыз от проекции > до нэкэторого порядка не два? убзгапг^ц^ достаточного для укяоиа'мя от терминального ии-гшетиз пр&щущаства. Это преимущество выявляется лишь в некоторой производной болаа высокого порядка. Эти условия уклонения Ждалось. хюлучить цутеанрииоивния рекурсивного маневра обхода к £с«шдао;жяу 1№ссу садач.

ворг-эдьная постепенна задачи здесь совпадает с постановкой

"я ГЛВБО 1.

Формулировка осповного разультгта. Пусть существуют натура-

ДЬЕНО ЧПСДЗ * 12Яп 5 к~2, ДВуХМЭрНОв ПОДПрОСТрЭНСТШ И с й.

(п-опаратор ортогонального проектирования .из к" в ы) и иепрэршз -наэ по совокупности порокзшига функции

ди,Сг}: Кп И. 1 » О.. V. . . ЬН,Со.УЭ : V и V. . И, 1 - »♦!,... . '

¿"са.и.уу С?'1 * V .4 У ■» и . ■гаю®}, что для ЛЕСОЙ траектории систегя! (7.1) гя .г. .и, соожэтствущоЕ проиаволыщм начальному полозапйга н

управлениям исо, %<о преследователя и убегащэго справедливо оладушка представление:

к • сл-г. э1 я .1 ,11 » г а'^ся *—гА- *

и.» о о 0 (!

. к-а ■ «-П ■

* Е X —¡- Ьг*'Чи«т>.у,г,э«*г (7.2)

1 —к, ° »

- Полоним V » | р « ы, §р>Ц - 1 ;и:я любого р в у- считаем, что

РА в V есть вектор, получаем); :'з р поворотом по часовой стрелке, такой, что ср , р > » о аа прэдполагйе-гл, что для

лабого компакта к с к" существует \<<*>,тихое, что для льбнх

u f V a 'i. г .с « К 12

Цр'1>С2 .u.v5VklCz?.u.v>|j i.Aj^-zJ.

Образуем МНОГОЗЯаЧНМЗ 0Т0бриа»ПИЯ V.Cp>: v' « г . i -m+Л .. . . .v-1. с полюдью рекуррентного соотношения

v : V V С pi), min (p,h Cu,V

""К

Поедаолзгаем. что для любого i=m«t.....ь-i, любого p«v< vc&ra.

d'"

Введем оОозначеаия. PC*e,te,o - —- | £ 'g'•<•*„:>—п*-*- :l и

"'( у ct-t 53 1

0' « f p tr у. : №a:< min С p, t»"V u, \0 '.) - 0|.

L »ev J ;

Считаем. что v * о (если p. = о, то. нетрудно видеть, выполняются услозяя теоремы об убегании/из главы 1). /■'

Уоловч9-.7Л ■ Для .любого Ух о: в tu существует р <з > , такой, что длл всех t > с с о, рс 2 .t > о..

О 1> о

Условие 7.2. Многозначное отображение непрерывно на /

множестве у (в метрике Хаусдорфа) и для всех z с ¡м : '

( ь >

mln max min Ср,»> Cz,u,v55>0. psv/ 1i>i>

Условно 7.3. Для любого p e г для всех v e vk_tfP' имеет

МЭСТО Cp ,h'"c(ü.v>5 » о для всех 1 = m+1.. . . ,k-l.

Теорема 7.1. Для того, чтобы в описанной выше дифференциальной игрэ была разрешима глобальная задача убегания a .классе

КуССЧЗО-ПОСТОЯПНЫХ £-спрате?ий по разбиению, ДОСЧЭТОЧКО, ЧТОбЫ

чыполнялись условия 7.1--7.3.

Доказательство аналогично доказательотзу тсюремы в главе 1 и основано на продстэглешш (7.2).

В ■восьмом параграфе изучается возможность примэпэния рекурсивного маневра обхода к играм убэганид, ь которых правая честь . соответствующего дийоршциалыюго ур.)внения и ограничивающие'множества обоих игроков явно зависят-от Ерзмеви. Перейдем к постановке задачи и.формулировке результата.

Дв~тапиэ объекта в евклидовом пространстве к" описывается

нестационарным нелинейным дифференциальным уравнением

z=fCt. = .u, v5 . (8Л)

Здесь rct.z.u.vj - -непрерывная по совокупности nepav.r.renix вектор-Фуикция ; и и v - управляйте параметры преследователя и убэгаэдего соответственно, коториэ в каждый момент времени принадлежит множествам vco с к"' a kd с к". <yct> и есть непрерывные и метрике Хаусдор1а многезначши отображения, принадлежащие яри всех t > с некоторым компактам i' с ¡к'" и у с -тг* Терминальное множество и - подпространство в <г",а ого ортогональное дополнении п. имеет ргзморнооть, не мен.мауг) 2. Пряная часть системы удовлетворяет условие роста (8.Я). Необходимые определения. Сиредел&гяя 8.11-8.3 являются естественным обобщенном ссответству^гдих определенна из главы ... на нестационарный случай.

Опряделе;ше 8.4. .Многозначное отобраягенкэ ох о, t > о, сбладаат пвойством монотонного невозрастания, если для любга t ^ ut , t > > о, выполняется вклшаниа met 5 s oxt з.

X ' 2 i 2 3

Определение 8.5. Многозначное' отображение vct>, t > о, обладает свойством монотонного неубива1шя, осла для люби« t и t , i > t> о, "выполняется вклмчо:шо Kt ) s vet у.

2 2 1 t Z

Формулировка услоьий и тоороми об уклонаша. Пусть w и w -взаимно ортогональные одномерные подпространства из п. где il-ортогональное дополнение к и, а «) и п2- операторы ортогонального проектирования из к" в Mt и si2 ссотватствепно.

Предположим, что мо:кно образовать такие последовательности функций ^"'ct.z.u.vi: (O.IXÙ х Kn ч V х У * К*, J=1.2. 1-0.1,... о пс-мощь«!'рекуррентного соотношения

>'"ct.^.u.v3 = V *>'l""et.2.u. v3rct.z,u,v> + /""(t.z.u.v),

J г j àl j

1 - 1 . Й.....

f '"'C t. z. u, v3 = rr z. J=l,2 .

где v joe t, г. u, v> - матрица первых производных t, z. u, >-e no z.

Пусть существуют натуральше числа k и k , текла, что

Множества r.>|uCt.z,KCL5 .1 =0.....k -1 II ^"ct.z.mc О .fv OS,

1=0.....k -i. состоят из вданственяих точек y><l><t,.zJ, причем

i>u>ct.z3 непрерывны '. по ' г и t на к", функции ?>^"ct,z,u. v:> .и Vjl2,ct,z,u. v5 та.чжа непрерывны по совокупности церемонных.

Определим отображение fc t. z, и. v5 : с о. «5 хрг Vv*» or. доловив

FÎt.z.u.vï»C*/kl,Ct.z.u.Y5 « p^M><t;,a:.u;v3>T. . ■

ы-двухшрноа подпространство, натянутое аа •w1.»weï. w ^peBt*, ¡p|-i>.

Пусть ФУНКЦИЯ FCt.z.u.vi Т0К01Щ, ЧТО ДЛЯ XùtâOTO кокпакто Я с СО.осдхй?" сущиствует «О, уакоэ, что для ЛВбУЗ и е <U, v а У9'

CL.и >, CU.Z Э в Я ' t а

Условно 0.1 Существует непрерывная Функция 1С:г.о-к"х[0,аЭк-.Ег TGicuíí, что для всех г в m. t >- о шзвг место неравенства

гл1 n m»x ml г> С p.FCL, í v> . > О. рсу veVii» ue¿*<t>

Условно 8.2ft. Иаогозначнов отобрютниэ veo кзляотсп ктжо1'ояно нэубнвахяда, о многозначное отобршятоэ «л о -^цотоняо навозраставдш.

Условно 8.2Б. Многозначное отобраетнаэ veo яшшэтсп монотонно наубызевдкм, а фуикдая FCt.z.u.vs такова, что дт двбого ксмнакта » с (о.«о к к" суп^ствузт «о.теко!», что для

ЛИбКХ ut> иг о t), V «s Ct,z> е SÄ

gFCt.^^.vi-FCt.^.Ug.vSg S AJU4-«J.

Теог^ц» 8.1. Для того, чтобы в оннсйнзоЕ вше д^форэяцазль-îioil ягро была разрбшши глобальная задача убогагсгя в классе кусочпа-ностояшшх «-emparne-em'i по разбиения, ДОС?аТО-ЛК-„ ЧТОб'.З наполнялось условна 8.1 Ц ОДНО ЕЗ yCXOEIiP. 8.Z& к 8.Р.Б.

Осшагао результаты диссертации, опублюсовдшаш в следyœmx работав: ' ■ ■ '

1.Губарев Ё.В. Достаточны© условия .рвзр&шаноста взлгаюйаой д;г]ф!1рйнц)аал»0оа ведзчи убэг&зия // Теория оптйальшх раийгшЗ.-• Киев:®*-? кабараетика ш.В.Ц.Гдушшва ДН Укрншш, 1992.-0.34-39.

г.Чикраа A.A.,' Губеров Е.В. . Достаточная у еловая разрешимости глобальгой задачи убэганая для цельшзШшк диффррйнцаалышх игр. - Киев, 1532,- 3>3 о,-С Up«пр./ ДН Украины. Кя-т кибернетики же. В.И.Глуикова; 92-22).

З.Губйров К. В. Убогвяиз от грушш прзеладоватвле!-; // •• Автлматака. - 1ЭЭ2. -й 5. -0. 6S-70.

4Л'уберэа Е.В. Условия убегания шепи порядков // Теория . и тчясштальта щю&ввш оотимгзрцян. - Киев: йя-т каборавгаки им. В.М.Гдуикова АН . Украина,. 1933.. -С- 60-63..