Задачи демпфирования динамических систем, связанные с использованием дробных производных

Колесников, Максим Анатольевич

Задачи демпфирования динамических систем, связанные с использованием дробных производных тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Колесников, Максим Анатольевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

1998 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Задачи демпфирования динамических систем, связанные с использованием дробных производных»

Автореферат диссертации на тему "Задачи демпфирования динамических систем, связанные с использованием дробных производных"

ЛШ"

1 4 ДЕН 1998

На правах рукописи

КОЛЕСНИКОВ МАКСИМ АНАТОЛЬЕВИЧ

ЗАДАЧИ ДЕМПФИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, СВЯЗАННЫЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж-1998

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Воронежской государственной архитектурно-строительной академии

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Россихин Ю.А.

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

профессор Шитикова М.В.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор, член-корреспондент РАЕН Каплунов Ю.Д.

сертационного совета К.063.48.13. при Воронежском государственном университете по адресу: г. Воронеж Университетская площадь, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

доктор технических наук, профессор Вервейко Н.Д.

Ведущая организация - Воронежский государственный

технический университет

Защита состоится

на заседании дис-

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

Ковалев А.В.

Общая характеристика работы

В настоящей диссертационной работе изучаются демпфирующие свойства различных механических систем, поведение которых описывается уравнениями, содержащими несколько независимых параметров дробности (порядков дробных производных). При исследовании линейных динамических процессов, протекающих в таких системах, используется метод преобразования Лапласа, причем в отличии от традиционных численных подходов, решение удается получить в аналитическом виде. Для анализа нелинейных динамических процессов используются методы возмущений в сочетании с разложением дробной производной по малому параметру.

Фундаментальный вклад' в решение задач демпфирования" динамических систем внесли: Работнов Ю.Н., Шермергор Т.Д., Мешков С.И., Рос-сихин Ю.А., Дарпнский Б.М., Постников B.C., Bland D.R., Bagley R.L., Torvik P.J., Caputo M., Mainardi F. и другие отечественные и зарубежные ученые. Применение вязкоупругих моделей, содержащих дробные производные и другие дробные операторы, в задачах демпфирования динамических систем рассматривалось в работах РоссихинаЮ.А., Шитиковой М.В., Bagley R.L., Torvik P.J.

Актуальность темы. В настоящее время возобновился интерес к дробному исчислению и его приложениям к механике сплошных сред. Это связано с тем, что дробным операторам соответствуют не дискретные значения времен релаксации (ползучести)," а непрерывный спектр этих значений. Спектр времен релаксации (ползучести) в большей степени отвечает современным демпфирующим устройствам," в качестве которых используются многослойные обшивки, подложки, прокладки и т.д. Многослойные обшивки используются в различных летательных аппаратах для устранения' вредных вибраций корпусов, подложки применяются при строительстве сейсмостойких сооружений, прокладки выступают в качестве гасите-, лей вредных колебаний различных механизмов. Наличие дополнительного параметра в определяющих уравнениях (параметра дробности) позволяет управлять колебательным процессом в системе, переводя колебательный режим в апериодический и наоборот. Введение нескольких независимых параметров дробности дает возможность более гибко управлять колебательными процессами в системах. Новейшие теоретические и экспериментальные исследования твердых полимеров на основе модели адаптивных связей показывают, что вязкоупругие среды могут трактоваться как нестационарные сети длинных цепочек, связанных друг с другом упругими связями, при этом вязкость материала описывается непрерывным процессом нарушения старых связей и образования новых связей вследствие микро-броуновского движения. Известно, что броуновское движение можно описать уравнениями, которые содержат дробные производные по

времени, поэтому реологические уравнения, описывающие релаксационно-ретардационные процессы, протекающие в твердых полимерах, содержат дробные производные по времени от напряжений и деформаций.

Данная работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №97-01-00651 и №98-К-96001).

Основными целями диссертационной работы являются:

1) Изучение демпфирующих свойств механических систем с одной, двумя и более степенями свободы, вязкоупругие свойства которых описываются реологическими моделями, содержащими дробные производные различных порядков.

2) Анализ линейных колебаний стержней и балок, демпфирующие свойства которых описываются различными реологическими моделями, содержащими два и более независимых параметра дробности.

3) Исследование зависимостей характеристик колебательного процесса от времени релаксации (ретардации), что эквивалентно исследованию их зависимостей от температуры. ^

4) Изучение влияния двух независимых параметров дробности на процесс перекачки энергии, происходящий при нелинейных колебаниях вязко-упругих систем с двумя степенями свободы.

Научная новизна. В процессе проведения исследований были получены аналитические решения и дан их численный анализ для следующих 'задач:

1) О свободных колебаниях наследственно-упругого осциллятора на основе обобщенных моделей Максвелла и стандартного линейного тела, содержащих два независимых параметра дробности, а также на базе моделей, содержащих более двух независимых параметров дробности.

2) О свободных колебаниях двухмассовой наследственно-упругой системы на ^основе обобщенных моделей Максвелла и Фойгта, а также на основе их сочетаний.

3) Об изгибных колебаниях вязкоупругой балки, лежащей на вязко-упругом основании, о продольных колебаниях вязкоупругого стержня, об . ударе вязкоупругого стержня о жесткую преграду на основе обобщенных моделей А^аксвелла и стандартного линейного тела, содержащих два независимых параметра дробности. .

4)0 нелинейных колебаниях механической системы, обладающей двумя степенями свободы, при этом исследовано влияние параметров дробности на тип перекачки энергии: двусторонний энергообмен (периодическое движение), односторонний энергообмен (апериодическое движение) и отсутствие энергообмена (стационарные колебания).

Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе численные резуль-

таты согласуются с общими физическими представлениями. При стремлении параметров дробности к единице полученные решения переходят в известные решения для производных целых порядков. Правильность работы комплекса программ проверена решением тестовых задач.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при расчете современных демпфирующих устройств, представляющих собой многослойные обшивки, подложки и прокладки для вибрирующих частей различных механизмов, а также при расчетах зданий и сооружений на сейсмостойкость. Результаты, полученные при исследовании нелинейных колебаний систем, обладающих двумя степенями свободы, могут быть использованы при расчете висячих' комбинированных систем, находящихся в условиях внутреннего резонанса.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

- Распространение метода решения динамических задач вязкоупруго-сти, предложенного Россихиным Ю.А., на реологические модели, содержащие два и более независимых параметров дробности.

- Управление колебательным процессом в вязко-упругих материалах при помощи варьирования значений параметров дробности.

- Управление процессом перекачки энергии, происходящим при нелинейных колебаниях вязкоупругих систем с двумя степенями свободы путем варьирования значений параметров дробности.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежской государственной архитектурно-строительной академии в 1995-1997 годах, на городском семинаре по механике твердого тела в 1998 году в г. Воронеж, на XV международной конференции "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых тел" в 1996 году в г. Санкт- Петербург, на международной школе по механике "Scaling in Laws and Fractality Continuum Mechanics" (A Survey of Methods Based on Renormalization Group and Fractional Calculus) в 1996 году в г. Удине, Италия, на 5-й международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в 1998 году в г. Дубна, на IV международной конференции "Математика. Образование. Экономика" в 1998 году в г. Чебоксары, на Воронежской школе "Современные проблемы механики и прикладной математики" в 1998 году, на IV международной конференции "Numerical methods and its applications" в 1998 году в г. София, Болгария, на конференции "Математическое моделирование систем. Методы,' приложения и средства" в 1998 году в г. Воронеж. '

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 10 публикациях. 1

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 137 страницах машинописного текста, содержит 57 рисунков, список использованных источников из 101 наименования.

(

Краткое-изложение диссертации

В первой главе дан краткий исторический обзор возникновения и развития дробного исчисления и описаны модели, содержащие дробные производные двух и более различных порядков дробности. К таким моделям прежде всего относятся: обобщенная модель Максвелла

? <г + т°'Оаа = Е^Б^е, X1)

обобщенная модель стандартного линейного тела

а + ^1У17 = Е0(е + т^е), (2)

а также модель более общего вида

п т

а + £ т= Е0(е + £ т^'ГР'е), (3)

. •'=! ' >=1 где т„ и г£ - времена ползучести и релаксации соответственно, Ец и Еж - релаксированное и нерелаксированное значения модуля упругости, Оа -

дробная производная, которая определяется следующим образом:

(0<^1)' (4)

Кроме того, в первой главе описаны аналитические и численные методы решения задач демпфирования динамических систем. Показано, что метод преобразования Лапласа может с успехом применяться при исследовании свободных затухающих колебаний как дискретных, так и континуальных линейных систем. Последующий переход в пространство оригиналов приводит к необходимости решения характеристических уравнений с дробными степенями. Существуют два подхода к исследованию корней подобных характеристических уравнений и, следовательно, к решению задач на колебания.

. На примере характеристического уравнения

р2 + т^1р-г+ш1 = 0 (5)

с коэффициентами — Е00т~1, ш'ц — ЕоггГ1, которое соответствует колебаниям механического осциллятора массы т, сконструированного на осно-. ве обобщенной модели Фойгта (рис. 1)

ог = £Ь(е+г^е), . (6)

проанализируем достоинства и недостатки этих двух подходов.

Первый подход заключается в

^-АДЛД^ -3ZI-

fS(t) том, что показатель степени 7 пред_ ставля'ется в виде 7 = 1/п, где I и п

- целые числа, поме чего делается заО (_) _ мена переменной р1?" = 2. Тогда ха-

рис ^ 1 рактеристическое уравнение (5) при-

нимает вид

+ = (7)

Полагая 1 = 1, п = 2,3,100, что соответствует значениям 7 = 0.5,1/3,0.01, приходим к алгебраическим уравнениям 4-ой, 6-ой и 200-й степени соответственно. Иначе говоря, уменьшение параметра 7 ведет к увеличению степени характеристического уравнения. Поэтому авторы, пользующиеся данным методом, вынуждены ограничиваться значением 7, равным 0.5.

Другой подход, который использовался в данной диссертации, состоит в том, что характеристическое уравнение не рационализируется, а решается с дробными степенями. Для нахождения корней характеристического уравнения полагают р = reразделяют вещественную и мнимую части й вводят новые переменные х\ = г2 и = ^(гг^)7. Тогда для каждого фиксированного значения 7г/2 ^ ф < тт при заданных 7 и l>q получают систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных Х\ и Г2

Xi COS 2ф + Х2 cos 1Ф + ~

xi sin 2-0 Ч- sin 'уг/' = 0, (8)

Определяя Хх и Х2, находят затем г = х^'ж та = ко-

торые вместе с выбранным значением ф однозначно определяют один корень характеристического уравнения. Заменяя ф на —ф, получают второй корень, комплексно сопряженный первому.- Этот метод позволяет решать характеристическое уравнение при любых значениях параметра 0 < 7 < 1, при этом число корней характеристического уравнения совпадает с числом степеней свободы данной механической системы.

Кроме метода интегрального преобразования Лапласа изложен метод многих временных масштабов применительно к вязкоупругим моделям с дробными производными. Особенность метода состоит в представлении дробной производной в виде дробной степени производной первого порядка с последующим разложением полученного таким образом оператора по малому параметру.

Вторая глава посвящена свободным затухающим колебаниям систем, обладающих одной степенью свободы.

Рассматриваются свободные затухающие колебания одномассовой системы, к которой в начальный момент времени прикладывается импульсное воздействие. Уравнение движения такой системы имеет вид

г+./ = гг(о, (9)

где х - перемещение, отсчитываемое от -положения равновесия, / - восстанавливающая сила, приходящаяся на единицу массы и определяемая одним из уравнений (1) - (3), Р - амплитуда импульса силы, приходящаяся на еднуицу массы, - дельта-функция, точки над символами означают производную по времени. Решениеч уравнения (9) находим методом преобразования Лапласа. Переходя от изображения х(р) к оригиналу х(1) по формуле преобразования

с+:оо

Ф) = ~ I ЦрУ1йр ' (10)

С— ¿00

и используя контур интегрирования, представленный на рис. 2, получим

оо

х(() = ^¡1 Иве-'*) - г(*е")] е-'Чв + ]Гге5 \х{рк)е^}, ' (11) о к .

где первое слагаемое получается за счет интегрирования функции х(р) по берегам разреза и представляет собой дрейф положения равновесия, а второе слагаемое определяется полюсами функции х(р), которые являются корнями характеристического уравнения, и описывает колебательные движения системы вокруг дрейфующего положения равновесия.

Типичная картина поведения корней характеристического уравнения р = ае ± ¿1) показана на рис. 3 и соответствует механическому осциллятору на базе модели (2) при /3 = 0.9 и различных а, значения которых указаны цифрами у кривых.

Из рис. 3 видно, что для р > а поведение корней характеристического уравнения для данной модели похоже на поведение корней характеристического уравнения для обобщенной модели Фойгта, что соответствует системам, не обладающим мгновенной упругостью. При а = /3 = 7 поведение корней характеристического уравнения в зависимости от те похоже на поведение корней характеристического уравнения для обобщенной модели Максвелла, что отвечает системам, обладающим мгновенной упругостью. При ¡3 < а, начиная с некоторого значения т*, корни характеристического

уравнения попадают в правую полуплоскость комплексной плоскости, что находится в противоречии со вторым началом термодинамики. Поэтому данный случай исключается из дальнейших исследований. Заметим, что здесь наблюдается аналогия в поведении механических осцилляторов на основе вязкоупругих моделей с целыми производными.

Рис. 2 Рис. 3

В- третьей главе рассматриваются свободные затухающие колебания механических систем с двумя степенями свободы, состоящих из двух тел с массами mj и т2 (рис. 4). На первом участке (между жесткой стенкой и первой массой) действует сила Fj, а на втором участке (между первой и второй массами) - сила F2; к телу с массой т2 в начальный момент времени приложен импульс силы. Уравнения движения такой системы имеют вид

тгх 1 4- Fx - F2 = О,

m2x2 + F2=j5{t), (12)

где xi,x2 - отклонения соответствующих масс от положения равновесия, 7 = const -амплитуда импульса силы.

т W) -вд т.

.и т\ т2

О о О о

. 1 участок 2 участок

Рис. 4

Решение системы уравнений (12) находится методом преобразования Лапласа. Переходя от изображения х\{р) и х2(р) к оригиналам х^) и х2{Ь) по формулам обращения (10) и .используя контур интегрирования, показанный на рис. 2, можно получить выражения для а"] (£) и х2^), аналогичные выражению (11).

Проанализированы поведение корней характеристических уравнений и зависимости от времени t для двухмассовых систем, базирующихся на обобщенных моделях Максвелла (1) при а = (5 = 7 и Фойг-та (6), для различных сочетаний этих моделей на двух участках системы: а) "Максвелл-(-Максвелл", б) "Фойгт+Фойгт", в) "Максвелл+Фойгт", г) "Фойгт+Максвелл". На рис. 5а-г показаны типичные зависимости безразмерных корней рк = характеристического уравнения от безразмерного среднего времени релаксации всей системы г, а также зависимости безразмерных перемещений 11,2 от безразмерного времени t для различных значений 71 (параметр дробности на первом участке) и 72 (параметр дробности на втором участке). '

Как показали исследования, число собственных частот и собственных форм колебаний определяется числом степеней свободы системы и не,за-висит от параметров дробности. Перемещение каждой массы системы в зависимости от времени является суперпозицией двух видов перемещений: дрейфа положения равновесия и затухающих колебаний вокруг дрейфующего положения равновесия.

В четвертой главе исследуются нелинейные колебания системы, обладающей двумя степенями свободы (рис. 6). Колебания этой системы происходят в среде, вязкие свойства которой описываются при помощи дробных производных, при этом силы сопротивления, действующие на массы тх и тг, определяются как С}\ = (Ю^у, С>г = рЮ^ф, где у - перемещение массы Ш), 9 - угол отклонения маятника, I - длина маятника, /5 - коэффициент вязкости среды, сила сопротивления С)\ направлена вертикально, сила сопротивления С>ч направлена по касательной к траектории движения массы т2. Уравнения движения системы в безразмерном виде (с точностью до бесконечно малых второго порядка относительно перемещения у и угла отклонения маятника ф) имеют вид

у + ¡ЗОъу + ш%у - а<р2 - а<рф = 0,

£ + + = (13)

где ¿¿о и Г20 - собственные частоты линейных колебаний, о и Ь - коэффициенты, зависящие от параметров системы.

Исследуется случай внутреннего резонанса один-к-одному:. *■

ш0 = П0 + ¿V, (14)

где а - расстройка, е - малый параметр, имеющий величину одного .порядка с амплитудой. -

Решение уравнений (13) для малых амплитуд, медленно меняющихся с течением времени, может быть представлено в виде разложения -в ряд по

сВк

Рис. 5

различным временным масштабам:

у{1)=еУ1{Тй,Тх,Тъ... )+£2у2(Т0,Т1,Т2,... )+е3у3(Т0,ТиТ2,...)+...,

где Тп = ení (п = 0,1,2,...) - новые независимые переменные.

Используется стандартная процедура метода многих масштабов,' которая приводит к освобождению от вековых членов в асимптотических разложениях (15). Ограничиваясь членами порядка е3 в разложениях (15), можно получить следующую систему разрешающих уравнений, которая вместе с начальными условиями полностью описывает колебательный процесс, происходящий в нелинейной системе в случае внутреннего резонанса один-к-одному (14):

(а^) + «ха! - аЪш^а\а\ вт 6 — 0, (а^) + \ + б^о^а^т^ = 0,

где <21,а2 - амплитуды колебаний, 91,92 ~ фазы колебаний для первой и второй масс соответственно, 8 = 92 — 91.

Результаты численного решения системы уравнений (16) при а = 1.7913, а/Ъ — 5, 6, Р = 0.005, ио = П0 = 0.3583 представлены на рис. 7, где цифрами 1 и 2 обозначены амплитуды а\,а2 колебаний масс т.1 и Ш2 соответственно.

Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что в случае внутреннего резонанса вязкость, описываемая дробными производными, влияет на систему двумя способами: дестабилизирует систему, вызывая неустановившийся энергообмен, и стабилизирует систему, способствуя затуханию энергообмена.

)=0, (16)

=1 (1/27Г-У!), = 'зт^/гп^);

100

Рис. 6

Рис. 7

Пятая глава посвящена исследованию колебаний систем," обладающих бесконечным числом степеней свободы на примерах: а) продольных колебаний вязкоупругого стержня длиной Ь, один конец которого закреплен, а к другому внезапно прикладывается напряжение, сохраняющее свое значение с течением времени, б) -изгибных колебаний вязкоупругой бал-""ки длиной Ь, лежащей на вязкоупругом основании, всем точкам которой в начальный момент времени сообщается постоянная скорость, в) удара вязкоупругого стержня.длиной I, движущегося со скоростью Ц) вдоль своей оси навстречу жесткрй преграде.

Все перечисленное задачи решаются одним и тем же методом интегрального преобразования Лапласа в сочетании с разложением решения по собственным функциям задачи. При переходе от йзображений к оригиналам по формуле (10) используется контур интегрирования, -показанный на рис. 2. В результате этой процедуры в первой задаче получено выражение для напряжения в стержне как функции от координат и времени

а(х, ¿) = а(х, 1)аГф + а(х, ¿)кме5 =

1Шдрейф +ШК0М\ (17) во второй задаче получено выражение- для перемещений балки

оо п—1

(18)

в третьей задаче определено контактное напряжение <г(0,*) = +ст(0,гГле5 = -с^р^^ + Нп{Ь)кмеб],

1 П = 1

(19)

где п - порядковый номер собственной функции.

Численный анализ полученных решений представлен на рис. 8-10 соответственно. При расчетах учитывались десять членов в каждом из рядов (17)-(19).

На рис. 8 приведена зависимость безразмерной величины а от безразмерного времени £ при х = Ь/2 и а = 0.5, в = 0.5,0.7,0.9. В качестве реологического уравнения использовалось уравнение (2).

Зависимость безразмерного перемещения V от безразмерного времени £ для х = Ь/2 представлена на рис. 9. Поведение балки и основания описывалось реологическим уравнением (2) с одним параметром дробности, но для балки а = /3 = 7ь а для основания а = ¡3 =.72.

= ЕИ)"

(2 п- 1)тг

сое

(2 п — 1)пх

2 Ь

Рис. 8 Рис. 9

На рис. 10а показана зависимость безразмерного контактного напряжения сг(0, £) от безразмерного времени Ь при т — 1 и £ = 1/9. На рис..106 представлена зависимость времени контакта от температуры. В качестве реологического уравнения использовалось уравнение (2). Значение параметра ¡3 бралось равным 0.9, значения параметра а показаны цифрами у кривых.

Из анализа полученных решений для континуальных систем следует, что характер зависимости каждой гармоники от времени для таких систем аналогичен характеру зависимости перемещения механического осциллятора от времени (см. формулу (11)).

Основные результаты и выводы диссертационной работы 1. Среди всех рассмотренных моделей с двумя и более параметрами дробности обобщенная модель стандартного линейного тела с двумя параметрами дробности является наиболее предпочтительной, поскольку, несмотря на свою простоту, она способна описать особенности поведения как дискретных, так и континуальных механических систем. При этом данная модель в зависимости от значений параметров дробности, стоящих слева и справа в реологическом уравнении, может описывать не только поведение материалов, обладающих мгновенной упругостью (а = /3), но и материалов, не обладающих мгновенной упругостью (а < /3), т.е. вести себя как

модель Максвелла или как модель Фойгта. Здесь прослеживается аналогия в поведении вязкоупругих моделей с целыми и дробными степенями. Так, если рассматривать вязкоупругие модели с целыми производными, в реологических уравнениях которых слева стоит сумма производных по времени от напряжений, а справа - сумма производных от деформаций, то прн равенстве порядков старших производных, стоящих слева и справа, эти модели обладают мгновенной упругостью, а при неравенстве, когда порядок старшей производной, стоящей справа, на единицу больше порядка старшей производной, стоящей слева, этим моделям неприсуща мгновенная упругость. Однако обобщенная модель стандартного линейного тела с двумя независимыми параметрами дробности может описывать и промежуточные состояния различных материалов при их переходах из жидкого состояния в твердое, и наоборот, в результате некоторых физических процессов, происходящих в них.

2. Анализ динамического поведения линейных механических систем, базирующихся на обобщенной модели стандартного линейного тела с двумя параметрами дробности, показал, что при описании колебательных процессов, происходящих в таких системах, корни характеристических уравнений с изменением времени релаксации (ретардации) ведут себя либо как корни характеристического уравнения для модели Максвелла (/3 = а), либо как корни характеристического уравнения для модели Фойгта (¡3 > а). Прн описании процессов, связанных с распространением возмущений, эта модель дает как конечную скорость распространения возмущений (¡3 — а), • так и бесконечную ((3 > а).

3. Влияние параметров дробности на характер поведения нелинейных механических систем с двумя степенями свободы при свободных колебаниях этих систем в случае внутреннего резонанса один-к-одному изучается впервые. Показано, что в отличие от обычной вязкости вязкость, которая описывается дробными производными, может оказывать дестабилизирующее действие на колебательный процесс, т.е. приводить к хаотическим колебаниям.

Публикации по теме диссертации

1. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование вязкоупругих моделей с несколькими параметрами дробности в задачах о колебаниях механических систем с одной степенью свободы. - 1997. - 33 г. - Деп. в ВИНИТИ 12.03.97 N 726 - В97.

2. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование вязкоупругих моделей с двумя параметрами дробности в задачах о колебаниях механических систем с двумя степенями свободы. - 1997. -27 с. -Деп. в ВИНИТИ 19.11.97 N 3383 - В97.

3. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование

обобщенной модели линейного стандартного тела с двумя параметрами дробности для описания удара вязкоупругого стержня о жесткую преграду. - 1998. - И с. - Деп. в ВИНИТИ 19.06.98, N 1885 - В98.

4. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование дробных производных для описания свободных затухающих колебаний систем с двумя степенями свободы// Тез. докладов 5-й межд. конф. "Математика. Компьютер. Образование". - Дубна, 1998. - С.173.

5. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Влияние двух параметров дробности на затухающие колебания систем с двумя степенями свободы// Тез. докладов 6-й межд. конф. "Математика. Образование. Экономика". - Чебоксары, 1998. - С.100-101.

6. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование дробных производных для описания изгибных колебаний вязкоупругой балки, лежащей на вязкоупругом основании// Тез. докл. Воронежской школы "Современные проблемы механики и прикладной математики". - Воронеж, 1998. - С.238.

7. Колесников М.А. Свободные затухающие колебания наследственно-упругих осцилляторов с двумя параметрами дробности//Материалы 50-и юбилейной научно-технической конференции. ВГАСА. - Воронеж, 1997. -С.2-5.

8. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование дробных производных для описания свободных затухающих колебаний систем, обладающих двумя степенями свободы // Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций. Вып. 4.-Воронеж, 1998. - С.142-160.

9. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Колесников М.А. Использование дробных производных для описания продольных колебаний стержня конечной длины // Тез. доклада конф. "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства". - Воронеж, 1998. - С.57.

10. Rossikhin Yu.A., Kolesnikov М.А., Shitikova M.V. Modelling of the colliding process between a viscoelastic bar and a rigid barrier// Proc. 4th Int. Conf. on Numerical Methods and Applications. - Sofia, Bulgaria, 1998. -P.121-122.

Лицензия JIP №020450 от 04.03.97 г., ПЛД №37-49 от 03.11.9? г. Подписано в печать 03.11.98 г. Формат 60 х 84. 1/16. Уч. -изд.л. 1,0. Бумага для множительных аппаратов. Тираж 100 экз. Заказ №222.

Отпечатано на ротапринте Воронежской государственной

архитектурно-строительной академии

394006, Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84, ВГАСА.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Колесников, Максим Анатольевич, Воронеж

Воронежская государственная архитектурно-строительная академия

На правах рукописи

КОЛЕСНИКОВ МАКСИМ АНАТОЛЬЕВИЧ

ЗАДАЧИ ДЕМПФИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, СВЯЗАННЫЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Россихин

Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор М.В. Шитикова

Воронеж-1998

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ..............................................................4

1. НАСЛЕДСТВЕННАЯ МЕХАНИКА, ОСНОВАННАЯ НА ДРОБНОМ ИСЧИСЛЕНИИ (ОБЗОР) 10

1.1. История возникновения дробного исчисления.............10

1.2. Модели вязкоупругих сред, содержащие параметры дробности 12

1.3. Гармоническое деформирование............................15

1.4. Методы решения динамических задач, связанных с использованием вязкоупругих моделей с дробными производными . 21

1.4.1. Аналитические методы....................................21

1.4.2. Численные методы....................................24

1.5. Динамические задачи с использованием дробного исчисления 26

2. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 31

2.1. Постановка задачи ................................................31

2.2. Механический осциллятор на базе обобщенной модели стандартного линейного тела..........................................32

2.3. Механический осциллятор на базе обобщенной модели Максвелла ..................................................................38

2.4. Механический осциллятор на базе вязкоупругих моделей, содержащих несколько параметров дробности....................44

2.5. Выводы по второй главе..........................................54

3. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 56

3.1. Постановка задачи ................................................56

3.2. Двухмассовая система на базе обобщенной модели Фойгта . 58

3.3. Двухмассовая система на базе обобщенной модели Максвелла 63

3.4. Двухмассовая система на базе смешанных моделей...... 70

3.5. Выводы по третьей главе..................... 80

4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 81

4.1. Постановка задачи ................................................81

4.2. Метод решения...............................................83

4.3. Резонанс один-к-одному ..........................................85

4.4. Резонанс два-к-одному............................................90

4.5. Выводы по четвертой главе ...................100

5. КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 101

5.1. Изгибные колебания вязкоупругой балки, лежащей на вязко-упругом основании ........................101

5.2. Продольные колебания вязкоупругого стержня........106

5.3. Удар вязкоупругого стержня о жесткую преграду......116

5.4. Выводы по пятой главе......................123

ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................124

ВВЕДЕНИЕ

Фундаментальный вклад в решение задач демпфирования динамических систем внесли: Работнов Ю.Н., Шермергор Т.Д., Мешков С.И., Рос-сихин Ю.А., Даринский Б.М., Постников B.C., Bland D.R., Bagley R.L., Torvik P.J., Caputo M., Mainardi F. и другие отечественные и зарубежные ученые. Применение вязкоупругих моделей, содержащих дробные производные и другие дробные операторы, в задачах демпфирования динамических систем рассматривалось в работах Россихина Ю.А., Россихина Ю.А. и Шитиковой М.В., Bagley R.L. и Torvik P.J.

тра в определяющих уравнениях (параметра дробности) позволяет управлять колебательным процессом в системе, переводя колебательный режим в апериодический и наоборот. Введение нескольких независимых параметров дробности дает возможность более гибко управлять колебательными процессами в системах. Кроме того, последние исследования по механике твердых полимеров показали, что те внутренние процессы, которые происходят в таких материалах, относятся к типу микро-броуновского движения и описываются уравнениями, содержащими дробные производные по времени.

Основными целями диссертационной работы являются:

2) Анализ линейных колебаний стержней и балок, демпфирующие свойства которых описываются различными реологическими моделями, содержащими два независимых параметра дробности.

3) Исследование зависимостей характеристик колебательного процесса от времени релаксации (ретардации), что эквивалентно исследованию их зависимостей от температуры.

4) Изучение влияния нескольких независимых параметров дробности на процесс перекачки энергии, происходящий при нелинейных колебаниях вязкоупругих систем с двумя степенями свободы.

Научная новизна. В процессе проведения исследований были получены аналитические решения и проанализировано поведение корней характеристических уравнений в комплексной плоскости для следующих задач:

базе четырех моделей, содержащих несколько независимых параметров дробности.

2) О свободных колебаниях двухмассовой наследственно-упругой системы на основе обобщенных моделей Максвелла и Фойгта, а также на основе их сочетаний.

3) Об изгибных колебаниях вязкоупругой балки, лежащей на вязкоупру-гом основании; о продольных колебаниях вязкоупругого стержня; об ударе вязкоупругого стержня о жесткую преграду на основе обобщенных моделей Максвелла и стандартного линейного тела, содержащих два независимых параметра дробности.

4) На примере нелинейных колебаний механической системы, обладающей двумя степенями свободы, исследовано влияние параметров дробности на тип перекачки энергии: двусторонний энергообмен (периодическое движение), односторонний энергообмен (апериодическое движение) и отсутствие энергообмена (стационарные колебания).

Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе численные результаты согласуются с общими физическими представлениями. При стремлении параметров дробности к единице полученные решения переходят в известные решения для производных целых порядков. Правильность работы комплекса программ проверена решением тестовых задач.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при расчете современных демпфирующих устройств, представляющих из себя многослойные обшивки, подложки и прокладки для вибрирующих частей различных механизмов, а также при расчетах зданий и сооружений на сейсмостойкость. Результаты, полученные при исследовании нелинейных колебаний систем, обладающих

двумя степенями свободы, могут быть использованы при расчете висячих комбинированных систем, находящихся в условиях внутреннего резонанса.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежской государственной архитектурно-строительной академии в 1995-1997 годах; на городском семинаре по механике твердого тела в 1998 году в г. Воронеже; на XV Международной конференции "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых тел" в 1996 году в Санкт- Петербурге; на международной школе по механике - "Scaling in Laws and Frac-tality Continuum Mechanics" (A Survey of Methods Based on Renormalization Group and Fractional Calculus) в 1996 в Удине, Италия; на 5-й международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в 1998 году в г.Дубна; на IV международной конференции "Математика. Образование. Экономика" в 1998 году в г. Чебоксары; на Воронежской школе "Современные проблемы механики и прикладной математики" в 1998; на IV международной конференции "Numerical methods and applications" в 1998 году в Софии, Болгария; на конференции "Математическое моделирование систем" в 1998 году в г.Воронеж.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 10 публикациях.

Краткое изложение диссертации

В первой главе дан краткий исторический обзор возникновения и развития дробного исчисления, описаны модели, используемые в диссертации, рассмотрено поведение наследственно-упругой среды при гармоническом деформировании. Кроме того, в первой главе описаны аналитические и численные методы решения задач демпфирования динамических систем.

Вторая глава посвящена свободным затухающим колебаниям систем, обладающих одной степенью свободы. На примере гармонического осциллятора показано поведение таких систем при приложении к ним в начальный момент времени импульсной нагрузки. В качестве реологических моделей используются обобщенные модели Максвелла и стандартного линейного тела, содержащие два независимых параметра дробности, и четыре модели, содержащие несколько независимых параметров дробности. Для каждого из шести случаев проанализированы зависимости корней характеристического уравнения от времени релаксации в комплексной плоскости, а также получены аналитические решения.

В третьей главе рассматриваются линейные системы, обладающие двумя степенями свободы. Изучается влияние двух независимых параметров дробности на поведение двухмассового осциллятора, подвергнутого в начальный момент времени импульсному воздействию. В качестве реологических моделей, описывающих вязкоупругие свойства различных участков системы, берутся обобщенные модели Максвелла и Фойгта с двумя независимыми параметрами дробности и рассматриваются все возможные сочетания этих моделей.

В четвертой главе на примере нелинейных колебаний системы, обладающей двумя степенями свободы, исследуется процесс перехода энергии

из одного вида в другой (так называемая перекачка энергии). Для случаев

11 11 11 11 внутреннего резонанса один-к-одному и два-к-одному анализируются

три возможных типа такой перекачки, зависящие как от вязкости, так и от соотношения параметров дробности.

Пятая глава посвящена исследованию колебаний в системах, обладающих бесконечным числом степеней свободы. В этой главе решаются следующие задачи: об изгибных колебаниях вязкоупругой балки, лежащей на вязкоупругом основании, о продольных колебаниях вязкоупругого стержня, об ударе вязкоупругого стержня о жесткую преграду. В качестве реологических моделей, описывающих вязкоупругие свойства материалов, используются обобщенные модели Максвелла и стандартного линейного тела с двумя независимыми параметрами дробности.

1. НАСЛЕДСТВЕННАЯ МЕХАНИКА, ОСНОВАННАЯ НА ДРОБНОМ ИСЧИСЛЕНИИ (ОБЗОР)

1.1. История возникновения дробного исчисления

Историю дробного исчисления следует вести с работ Н. Абеля, Ж. Лиу-вилля и Б. Римана.

В работах Н. Абеля [33, 34] рассматривается задача о нахождении в вертикальной плоскости 5, т такой кривой, по которой материальная точка под действием силы тяжести, начав движение без начальной скорости в точке с ординатой ж, достигнет оси От за заданное время Т = Ф(ж), где функция Ф(ж) задана заранее. Если положить угол наклона касательной к искомой кривой к оси От равным и, то

^ = -у/2д(х - фтш,

где £ - время.

Интегрирование этого равенства в пределах от 0 до ж и введение обозначений

1 <р(з),

smw

приводит к интегральному уравнению (уравнение Абеля)

Г-p^ds = f(x) (1.1)

J о л/х - S

относительно неизвестной функции (p(s), нахождение которой дает возможность составить уравнение искомой кривой, которая называется таутохроной

7(0) + Г f^L dT

(р(х) = - , -

7!" I V'^ Уо Vх ~ т

Помимо уравнения (1.1), Абель рассматривает более общее уравнение

Г <р(8

ds = fix), а < х < b, (1.2)

0 (х - s)a J w' - - v 1

а > О, 0 < а < 1 - заданные постоянные, f(x) - известная функция, <р(х) - искомая функция. Выражение (х — s)~a называется ядром Абеля, а уравнение (1.2) принадлежит к классу уравнений Вольтерра 1го рода. Если /(ж) - непрерывно дифференцируемая функция, то уравнение (1.2) имеет

единственное непрерывное решение, представимое формулой

, , sin сот d fx f(t)dt _

сp(x =--— / 17 w —. 1.3

YK J -к dx Ja (x -t)l-a v y

В 1832-1837 гг. появляется серия работ Ж. Лиувилля [66]- [73], сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного интегродифференцирования. Она еще не достигла той формы, которую ей придало дальнейшее развитие другими исследователями, но в ней уже высказаны и далеко продвинуты важные идеи. Исходное определение Ж. Лиувилля, предложенное им в работе [66], основано на формуле дифференцирования показательной функции и относится к функциям /(ж), пред-

оо

ставимым в виде ряда f(x) = ^ с^еакХ, где и - const. Для них, по

к=О

определению Ж. Лиувилля,

оо

Dpfx = YsC*aleakX (L4)

k=0

при любом комплексном р. Ограничение этого определения, очевидно, связано со сходимостью ряда. Исходя из определения (1.4), Ж. Лиувилль получает в работе [66] формулу дифференцирования степенной функции. Более

того, в этой же работе Ж. Лиувилль выводит формулу

1 Г°°

D~pf(x) = / <р(х + t)tp-xdt, -оо < ж < оо, Шу> 0, (1.5)

,-1)рГ J о

называемую теперь (без множителя (—1)р) лиувиллевской формой дробного интегрирования. В работе [66] содержится также большое число приложений к задачам геометрии, физики, механики и др.

В дальнейших работах Ж. Лиувилля [67] - [73] дается развитие и применение введенных понятий. Среди полученных там результатов особо следует отметить содержащуюся в работе [67] идею определения дробной производной через предел разностного отношения Дд///гр, где Aphf - разность

дробного порядка. В другой работе [72] он рассматривает замену переменной в дробных интегралах и производных.

Работа Римана [82], выполненная им в 1847 г. в студенческие годы, была опубликована в 1876 - спустя 10 лет после его смерти. Б. Риман пришел к конструкции дробного интегрирования

служащей с тех пор наряду с конструкцией (1.5) Ж. Лиувилля одной из основных форм дробного интегрирования.

Среди современных работ, посвященных дробному интегродифферен-цированию, можно отметить работы Oldham [80], McBride [76], Ross [83], Miller [77], Kiryakova [58]. Математические аспекты дробного исчисления нашли отражение в монографии Самко и др. [26]. В этой работе авторам удалось собрать вместе и систематизировать как классические, так и современные работы, касающиеся дробного интегродифференцирования, вплоть до 1986 г. Эта книга носит энциклопедический характер и содержит большое количество разнообразных форм дробного интегрирования и дифференцирования.

1.2. Модели вязкоупругих сред, содержащие параметры дробности

Простейшей моделью, которая хотя бы качественно описывает процессы ползучести и релаксации, происходящие в реальных материалах под воздействием нагрузки, является модель стандартного линейного тела, показанная на рис. 1.1. Обозначим жесткость первой и второй пружин через Ei и Е2 соответственно, а вязкость демпфера через 3rj. Удлинение первой пружины под воздействием силы <т