Задачи для вырождающихся эволюционных систем, содержащих вторую производную по времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г, п

I о

го и и

? а

М1Н1СТЕРСТВО ОСВ1ТИ УКРА1НИ Льв1вський держаомий утверситет 3 Он 1м. Ь. Франка

На правах рукопису

ЛАВРЕШОК СергШ Павлович

ЗАДАЧ1 ЛЛЯ ЕВ О Л ЮШЙНИХ СИСТЕМ 3 ВИРОДЖЕННЯМ, ЯКЕ МГСТЯТЬ ДРУГУ ПОХ1ДНУ ЗА ЧАСОМ

01.01.02 — Диференц!альш р'тшшня

Автореферат дисертащГ на здобуття наукового ступеня доктора ф1эико-математичлих наук .

Льв1а 1005

Дисертащя е рукоиис.

Робота виконаыа у Льв'шському державцому ушверситет! tu. 1в. Франка.

Оф'иойк-! опонентн:

- доктор фшгко-магематичних наук, прс<[)€-; ор ¡иаслшеи С.Л.

- доктор ф!эико-математтичних наук, профосор Кисло» M.F3.

- доктор ([изико-математтичних наук, професор Шишков A.G.

Провщиа установа - 1иститут математики HAH УкраТни, м. Кшв.

Залист дисертаци вшбудеться " 2.1 " ¿^¿^^/^Л, 1995 р. о IS~< && годиш на засщанш спец)ал1зованоТ вчено1 ради Д 04.04.01 при Льв1вському державному университет! ш. I. Франка за адрссою: 29000Ш,м. Льшв,вул. Ушверситетська 1, ауд. 377.

3 дасертавдею можна ознакомитесь в бШлютец] Льв1вського державного ушверситету (м. Льв1в, вул. Драгомаловаа, 5).

Автореферат розклаво "

UJJC/r7C>nXL

^¿L1995

Вчеиий сскретар саещапЬоваао ради

Микитгок Я.В.

Загальна характеристика роботи

Актуальность теми. Як н'гдомо, лнпйн<! р'пшяяпя другого порядку з частшшими пох!ДШШИ може бути в облает! визначешщ, або íí частит, ппербол1чшш, елштичним чи параГхипчним в залежносп иш иизпаченосп пениоТ квадратично! форми. У шлому ряд] мате-матичлих моделей реалышх фкшчиих процеав pinimmw па певпих поверхпях змниоють тип. До пих наложить ртггшшя вигляду

¥>(0"и + - ФИ) A« = Л®, О. (1)

яке при tp(t) - t, c(i) = const, ф(1) = a2,J(x,t) = 0 e вЬцомим р1вшшням Вй лера- П уагона-Л арбу.

Впсрше задачу Komi з початковими дашши на прякяй t — 0 для piBHHiniH (1) у випадку

<p(t) = 1, c(í) = 0, /(ж, t) = 0, ф{1) = tm (т >0), х£ R1

разв'язав Ларбу ще у XIX cTonÍTTi. Одпак систематично вивчегаш piauiix задач для рпшяиь з вироджешшм типу почалося у двадцятих роках нашого стол!ття у роботах Ф. TpÍKOM¡. Задачу Komi для piaimx часткових винад^в р^вшшпя (1) {'p{t) = 1) дослщжували С. Гелерстадт, Ф.1. Фрапкль, I.C. Верезш, A.B. Вщадзе, М. Протер, Г. Хельв1г, Р. Kohtí i багато пгашх автор1в. Було виявлепо, що у випадку ф(t) — tm (m > 0), <р(0) > 0 задача Komi для pinimmui (1) з початковими умовами па ггаерплощиш t = 0 поставлена коректно, лкщо m < 2.

У вииадку т > 2 для коректпост! niel эадач1 noTpiöni додатков! умови на коефпоенти при молодших пох)дньх i праву частину рш-НЯП1ОТ. KpiM того, якщо 1 < т < 2, то задача Komi ттакож може виявитися некоректною. У цьому випадку С.А. Терсеноп задавав видозмшеш початков! умови. У роботах М.Л. Краснова, А.Б. Нер-сесяна, В.А. Врюхапова, 1.6. йгорова ¡ шших авторш вивч&лнея MÍniaHi задач! для р!вшпшя вигляду (1) при <¿>(0) > 0, ф(0) = 0.

Систематичие вивчешш задач1 Komi i ыппаних задач для ршшш-пя вигляду (1) у випадку, коли V'(O) = 0, ф(г) > Фо > 0 розпочалося

у п'ятдесятих роках XX стсшття i продовжуеться до наших' дшв ; роботах Ф.Т. Варановського, Ö.H. Врагова, В.Л. Бубнова., 1.С бгорова, H.A. Ларюна, С.А. Терсенова, С.Н. Глазатова, A.C. Ка лашшшэна, A.B. Дерябшац Г1.Ю, Собалевського i С.М. Семенова У. Лейтона та шших авто pi и. Зауваяашо, що i и даиому випадку коли tfi(t) = tm, (m > 1),то класичш початков» умови можуть не бут! коректшши для ршшшня (1). Лля коректнос-п нимагасться ииконан пя додрткових умов на иоеф1щенти при молодших иох1Дних i правд частину f(x,t).

Найб1льга повно задача Komi i м'нпаш задач] для ршшшня вигля ду (1) вивчеш у випадку m < 2, с(£) > со > 0 (або m > 2, с(1) > О

inf ■... = 0). Значно меяше так) задач] вивчеш, коли т > 2, c(i) > ( СКЧ

i практично не вивчен> у випадку с(<) < 0, або c(t) — Ö(<p (<))• Кр)к того, практично пе досл1джет задач] для р1вняшш вигляду (1) у ви падку, коли <p(t) обертаеться в пуль в кшцевий момепт часу, Певни! inrepec мають i нелШйш р^вшшпя з вироджеюшм.

У тридцятих роках нашого стол'птя A.M. Тихонов вперше роз глянув задачу без початкових умов, назваву шш задачою Фур'е для р1вняння теплоцров!дност1. Ця задача характерна тим, що нр* 1 -оо задаеться лише пение обиежепня па зросталня розв'язку ГОзнше задач] Фур'е для парабол1чаих i деяких шпшх еводюцШнш систем були досящжевт у роботах 1васищена С.Д., Олйшик О.А та пшгих авторов. Одним i3 напрямюв розвитку теори задач без початкових умов е вивченля Ix для гшербол'шних систем. Зауважи мо, що задача Фур'е у цилшдричш$ облает! замшою часовоТ змншо! зводиться до мал ала! задач] для еволювдйно! системи, яка сильнс вироджуеться на гшерплощиш задания початкових даних.

В1домо, що нелшШш р1вняння з другою похшюю за часом е до-статпьо важкими для вивчення. 1снуе батата математичних моделей реалыгих процеав, ям мастять TaKi р1вщпшя. Сгоди належить i pie-няшш типу поперечних коливань стержня. Б даний час таю р1впяши з иел1шйщстк> у другШ оох1дл1И за просторовою зм!нною е недостат-ньо нивченими. Тому, на ваш погляд, вивчення таких задача с акту-алышм для завершения побудови загальиоГ теорЛ л)шйних р!внянь г частигашми пох]дними, яю вироджуються на гшерплощиш заданна початкових даних. Тому залропоноваш дослдокетЫ е актуальними

для reopiï piniiHiib 3 частишпши похшгимн i, зокрема, для завершения иобудоии загалыюТ reopiï trîirifîî* ржняш. i систем з частияиими iioxi/utiiMH, jikï пироджуються на площин! t = const.

Мета роботи полягас л побуло ni класш корсктност! MÎmainix задач та задач! Фур'е для еволюшйних систем з другою пох!дною за часом, частииа pimnim, яку!х (або nci р1вняння) пироджуються па деякш пперплощшн t = const в залсжност) вщ коефниент!в i право) частини сйстеми.

Наукопа нонизна роботи поллгас:

у знаходженш ефектинних способна иобудони просторов корект-Hocii мнпаних задач для лшшних i слабо,нелннйпих еволющйпих систем з другою нохишою за часом, яю пироджуються ryi rinep-плопипп залгшпл початкоиих дапих, за коефноеитами i правою ча-стиною снстеми;

у Dcraiioujieinii иоведшки розв'лзюв мннаних задач для слабо пе-лннйних еволюшйних систем з другою чох1д1юю за часом, частица ржнянь якоУ (або nci р)вняння) яироджуеться в кшцевий момент часу;

- у побудош iipocTopiB KopeKTitocTÎ задач) Фур'е для слабо иелЫЙ-1шх еволюшйних систем з другою похшиою за часом;

- у пстаноплснш умов ¡снування локального розп'язку Minianoï задач! для одного нелнийного р1пняння типу поперечш1Х коливань стержня.

Метода дослщжень. У робот) використовуються метод регуль-piuaniï вироджених систем, метод Гальорюпа, метод компактпост! та метод штрафу, lli мстоди дозволяють на ocuobï апрюрпих ощаок гальорю'нських наближень побудувати послщовност) функцШ, збЬкш до розв'язюв поставлепих задач. Для отримання апрюрних ошнок суттеву роль пдограють певш диференшальш uepiBirocTÎ.

Наукова та практична цшвдсть роботп. Робота мае теоретич-ний характер i ïï результата сформульовахп у вигляот теорем. ' Ро- -зроблеш мстоли даготь можлитмсть ефективно пстановлювати класи коректлост) задач для енолющйних систем з другою пох)дпою за часом, як) нироджуюгься на гшерплощиш t — const, за коефвдентами i правого част)шою систем. Отримаш результата та використаш метода досл!джеппя можуть бути застосовага до подальшого вивченпя

-с

еволюшйних систем з. вироджепням, для розвитку загально") теори р1внянь з частинними гюхишими. Результати дисертаци та1шж мо-жуть бути використаш при досл!да<сшп деяких задач мехашки.

Апробация роботи. Результати роботи допов1дались па таких конференциях i сешнарах:

- nxopimniii сшльний семшар Мос.конського математичного тон ар и-ства i семшар jMeiii 1.Г. Петровського (Москва, 1985-1991$ роки);

- Республталс.ьк! конференцн ¡з ltojriniiiimx задач математичноТ фь зики (JltBin, 1985 р.; Донецьк, 1987, 1991, 199.1; Чсршвги, 1989);

- 9 та Радяпсько- Чехословацька парада 1з застосувань функцю-налышх методов i мстод)в Teopi'i фуикшй до задач математичпо! ф!зшш (Донецьк, 19S6);

- сем¡нар з диференщалышх рпшянь Мачематичного шетитуту ¡м. Стеклова (кер1вник В.И. Михайлов, Москва, 1993);

- семшар 1нституту математики HAH УкраТни (кершник M.JI. Гор-бачук, КиТв, 1993);

- семшар 1нституту прикладноГ математики i мехашки HAH УкраТни (кер1впик I.B. Скршшик, Донецьк, 1992);

- семшар з дифереыщальцих ршнянь Чершвецького университету (кер1виик С.Д, 1васишен, 4epHii»ui, 1994);

- Льв!вський мкький сем'шар э диферешйальних ршнянь (кер'нзники Б.Й. Птаппшк i В.Я. Скоробагатько, JIlihd, 1985-1994);

- семшар кафедри диферeiiuiалышх ршшшь Львшс.ького ушверси-тету (Льв1в, 1985-1994);

- вшздне зас1дашш В!дц1лешш математики HAH УкраУни та секщ? математики Захздного наукового центру HAH Укрв'ши (Луцьк, 24 - 25 травня 1995 р.).

Публшаци. Основш результати дисертаци опублжоват в роботах автора [1] - [15].

Структура та об'ем роботи. Дисертацш складасться з\ встуцу, шести глав та списку цитовано! л1тератури, що нараховуе 199 най-менувань. Повний об'ем роботи - 288 сторшок, набраних i надруко-ваних в редакт-opi ТЕХ.

Зм1ст робота

У BCTyni обгрунтовуеться актуалыпсть теми, дано короткий ог-ляд результатов, що мають безпосередне подношения до темкроботи, викладено зшст дисертацп.

Глава 1 "Узагальпепий розв'язок мгааноТ задач! для еволющйж» систем» з вироджеггаям" складаеться з трьох параграфов.

У §1.1 формулюетьсл наступпа задача. Розглядаеться система

(Ф(х,t) ш, + С(х,t) w)t + Ли + G(x, t) z = F(x,t), (2)

де Au= ^ (-l)H ]Г Ba(x,t)Daw,

|e|=|^|<m |or|<m

в обмежетй облает! Qt = fi x (0,T), fi С R", <90 С С"1'1 з крайовимн

dvi

= 0, i = 0,..'. ,ro-l (3)

ST

i початковими

и)(г,0)=0, lim i) ui<(», i) = 0 (4)

i-»0

умовами. Тут ш = (u,v) '= (ut,..., uj, v,+i,...,uM), F = (fi,...,fNy,®,C,Aa/3(\a\ ^ Щ < m),BH(\н\ < m), G- квадратп! матршц розьнру N x N, причому

■>M = (*t'> I).

де Фх - матрдащ розшру / х а Е - одишгчна ыатрнця розшру (N -I) х (N - i); G{x,t) = diag{pi(x,t),... ,0л(а:,1)}; z - векгор-стовпчин з координатами Zi — |ujp~atij, i = 1,..., I, зу = \vj\p~avj, j = 1+ 1,.. .,ЛГ;

и - эовшшця нормаль до Ят. Припускаеться, то т > 1; /у,(ж, <) = О, а €ШЯ С = {1,...,Л^>\£Ша;р, = р > 2, ¿6 ЯЛ,;

Л — 2, } 6 ЯЯ3; магрици Ф задовольняе умопу

(ф0) : Ф,(«,О = ф;(М); ч>Ш\\

причому ¥>(0 € С(0,Т) П *>(0) = 0;^/(<) >0, ¿6 (0,74;

- монотонна функцш па (0,'/'].

о

Вводиться прост1р Я"'1 (От) »к замыкания за нормою

дг И=»»

множили нссюпчеппо диферешвйовпих функцШ в (}т, р'шних пулю п окон! м»и 5Г. Крш того, введено простори

' . N

К* = П И?\Ят) * П Н ¡=1 , 1=/+1 n

Хо = П

»=1

Озиачешш. Функщя

*(».«) € ПХоПЛоа((0,Г);(Ят(П))м)ПС(|0,Г);(Ь1'(П))м)

иазиваеться узагальненим розв'язком задач! (2)-(2), якщо воыа задо-волыше рЬшсть

I |-(Ф(®,«)ю| + О(*10и'1Л)+ £ (Аа0(.¿ЦР'», 1Гф)+

Ят 1

От

для дсмнлыкп функцн ф е V™'1, г/>{Т) = О I умову «>(х,0) = 0.

У §1.2 розглядаетьсл випадок слабого пироджешш системи. Спетому (2) названо слабо иироджгного, якщо монотонно спадав па (0,7]. Мшюсно магриць С, Л„р зроблепо наступи! прилущення:

(*,) : € К', Щх,1) € От (*и(,() < Ы*М*)К1',

VI €Л~(0,Г),»»,(0>0€ [О.Г|;

(4>,): у£ек',у(х,ОбОг (0..£,О>МОИ'Ж1а,

(Со) : е к'7, У(х,<) € (?Т (С(х,0(,() > сь(«)|*|\

Уе>() со€/у°°(е,Т);

(А"): ( £ Оа1»)<1х>

П, |»|=|Д|<т

>ат I £ ¿х - а« I И2 От > О,

г б [О,У],V«; € (//т(Л) Д П, = От п {Г =«}; /М®,«) = ¿„„(я, 0, ,«) = 0. (*. 0 € От, М = Щ < т.

Покладено •

МО = ¡Г ||Ва(лг,г)||2,4€[0,Г];

д' 1<Н<"»

Ы^А^вирГ»"0 ^ ||Лп,(х,г)|1Л,«е10,Т},ро€10.1)!

^ 1<Н<»" ' '

6,(4, А,) = нир11д"(х'т)112т"д^ е (о ,т],л € [0.1)1

а. <р'{г>

И9 = ¡пГ яир [0Д1 [о,<]

Г . ч 2со(т-)1

Сформульопапо 1 доведено теорему.

Теорема 1. Нехай система (2) слабо вироджена, виконуються умови (Ф0), (Фл), (С0), (А0) ¡, кр}м того,

Ф1,Аа/г,Аа/>(,<7е > о Фи,С е £°°((?.,т);

2т

Р- 2 <--—, якщо п > 2т \ р> 2, якщо п < 2т. Тод] задача (2)-(4)

п- 2т ~

не може мати б!льше одного узагальненого розв'язку.

Кр)м того, вид] л ело клас систем (2), для яких едишсть розв'язку

збер1гаеться 1 у випадку ьъ < 1. Наведено приклад, який шюструе

точшсть цього результату; тобто, якщо ц> > 1, то задача (2) - (4)

може мати бшше одного розв'язку.

Для формулюваяня теореми )снування розв'язку задач) введено

яаступш число 1 функци:

со,,(0 = 8ир||С,(г,0||2;

де и>0(г) - незростаюча функщя на (0,Г], Уе > 0 € 2/°°(£,Г);

Хо = тах{0;мв}.

Теорема 2. Нехай система (2) слабо вироджена, виконуються умови (Фо), (Ф1), (Ф2), (С»), (4,) I, крш ТОГО, )<?,<?« €

£™(<?г); Уе > о Фи, С, С/ е Ь°°(С}с>т); к е • = 0,1,2;

«(*.«) > ® > 0,» е яяь (*,<) е и < 0;

} <р'(г)щ0(1) „ г '

] < «>; ] < * >

о <?г

р — 1 < п/(п - 2т), якщо п > 2т 1 р > 2, якщо п < 2т. Тодц кнуе узагалънений розв'яэок »(а;, 1) задач) (2) - (4)»для нього справедлив! ощяки:

42^-ХО + А

^(¡Х < М-

п

/уЗ + Хо+6

|и(а?, 1)\2с1х < М-—I € [О, Г], М = сопв|.

у (I)

Кр!м того, доведено теорему ¡снунаши узагальненого розв'язку задач] (2) - (4) у випадку > 0.

Лля подальпшх дослщжень прнлускаетъся, що матриц! Ва 1 С ка-ють настушшй вигляд:

де С1, В*а -- квадрата! матриц! розм1ру I к <; С*, В* - квадрата! ма-триш розм!ру (М - I) х (И — I). Шдиосно матриц! С1 зроблено при-пущеппя:

(С,) : € К', У(*,0 6 От {С1{*,*)М) > С1(*Ж1',

С!(*> > 0,»€ (0,Т).

Доведено едишсть узагальненого розв'язку задач] (2) - (4) у випадку, коли

с1(!)>0, г € (0,2'], ¥>2 (<)¥>'(*)

Якпхо, крш того,---г— < 2, то гакож отриыано уыови кцувашя

узагальненого розв'язку задаш (2) - (4).

У 51.3 роэглядаеться сильно вироджена система, тобто система (2), для яко! строго монотонно эрос гае, Зроблено припушешш

(Фз): • «»р—т^у- = ¥>»(0; «»»СО €

[ÍV5ÍT) = Ü|

(*«): »HP"*^" ^vm(0; ЫОеНОЛ')

O. V'(T) i введено множшш ra функцШ":

mt3 = 9Rin{i,...,0; ши = an»n{í +1...../v>;

6,(í) = max/sup ———^Mí^-jsupll/i^a;, т)||г**' ;

mp\\BlM\\T'1 ieap|)д<(Ж)Т)||гДi £ [0,7'],

<J. Qt J

VW)

лкщо 9 < oo,

SUP W^ffi" ;м,р||Д4( )||Т,Л , e [0>T]> .

Q, V<fi'(r) Q, j

якщо Q1 = oo; Vi € (0.

h{t,Pi) = max|sup £ -;8uP £ " . i

вир £ ||ß^r)||V>;Sup ||B¿(*,t)||V»;\,

9> ISMS* lSH<m J

í e [0,TJ, Pa 6 [0,1);

m«,pj) = bup j] iibrtíx.rjhv^.íelo.ri, q' ><M<">

яшцо 8 < oo, i

uu ч / ^

b»(«,pa)« n«U an ' ; i-;8up ]Г a< J(r '-5

■»P D №(*,r)ll3ra»;8up ^ ||£»А,(х,г)||гг3^), í€[0,Tj,

q> lálelsm q> j<|a|5m 1

г

лктно 9 = оо; ле 9= = J P2 € (0,1);

0

r2(í)= max < sup———— sup—/--7-т

I Q, <Р(т) Q, VV(T)

Rupli2^ll;8up||c*(i,r)ll};

vV(T) / 9.

. _ / . . 2c,(r)\ 1/1 — inf sup I v>4{r J---- .

JIOIHVW'HO ТШ'рДЖОИНЯ.

Теоремп 3. Игхлй cu г темп (2) сильно «ироджена, виконують-ся умопи (^о), (<Ы, («М, (í-'i), Mo) i, kp¡m того, Ф1,Фи,Лар, Aa0i € 1'"°{QT)\ e </>(<) > PoíV3'(í), < € [0,Г}(

<^0 > 0; fa < ^o; }> - 2 < 2m/(n - 2rn), яюцо n > 2m, i p > 2, якщо »» < 2m; «o = 0, якпхо 3 = oq. Тод! задача (2) - (4) не иоже ыати 6|льшс одного узагалмкмшт розв'язку.

Аналогична теорема сдиност! доведена длл лш'|йно7 системя, тоб-то у нипадку, коли G(x, t) = 0. Суттевою уиопою aid теореми е ви-комаиня üepiBiiocTi 1/2 <1. Наведено приклад, який показуе, то у винадку у? > 1 задача (2) - (4) можс мати бшыпе одного розв'язку. KpiM того, яюцо виконусться уыова ip(t) > <p0iip'(i), то едшпеть ро-эн'язку мае michc i ири uj < 0.

Для формул ювання теореми 1снуваиня розв'язку задач! (2) - (4) у випадку сильного вироджепия систсми введено фуикцн:

I п гАч

вир(||ДЙ+,(«,0||» + И+20М)||2)}, i = 1,2. n J

Теорема 4. Пехай система (2) сильно вироджена, Wtj = 0, вико-иуються умопи (Ф0), {Фз), (Ф4), (Ci), (/lo) i, кр)М того, Фи, Ла0,

АаР1 € 1°°(дту, Ь„ 0), Ъъ{1,\рг), с, о2 € Ь°°{0,ту, <х, = 0, якщо Э = оо;

де 6Т(<) ~ монотонно спадае па (0,7'] ] така, що

тах

< € (0,Т], У£>0 Ьт(0 € Ь°°(е,Т), Рз Е (0,1),

1 0, як!

. . . -, якщо 1*2 > о,

*> = ^ « п 6 >

якщо < О,

Тод5 ¡снуе узагальнений розв'язок «»(ж, ¿) задач! (2) - (4), причому у випадку, коли Ы1 (<3/^(0) = 0, для нього справедлив! ощнкн:

п

]\фЛ)\г11х < АИ3Ш)"\ I € 10,21. пс

Аналопчш теореми ¡снування узагальненого розв'язку доведен) 1 у вкладку, коли:

2) у>(0>¥>0<у>'(0, «6(0, Г].

Крш того, доведейо теореми юнування та единост! узагальненого розв'язку задач! (2} - (4) у тому нипадку, коли

У глав! 2 "Задача з яидозмшепими початковкми умовами для еполюшйноУ системи" розглядаегься система (2) у випадку, коли С>^т.,1) = О, N = /, замкть умов (4) задаготься початков! умови

lim í ^«(а;,í) = 0, j!mt_^,(j;,t)«i(a:,0 = 0. (5)

Иринускаеться викоиатш паступпо! умови (Ф6) :

ч е nf, V(xft) € Qt № (», t)U) < pV(«)ICI', ^ > 0.

Сформульоваио i доведено таку теорему.

Теорема 5. Hexalî для коефшкнт1в системи (2) виковуютьсл умови (<Р0), ОМ, (05), (Ci ), (Ао) i, Kpiu того, Ф,, АаР, АаР, <= t®(Qr); Ve > 0 Фи, С € /.°°((?f,r);

Mí), 4M), ¿2(<)e¿ro(0,r);

Ve > 0 с, € L°°(e,T); <p(l) = 0(iw), w > 0; во = 0, якгцо 3 = оо; (ia, — 1)ш < 27, 7 > 0.

Тодз задача (2), (3), (5) не може мати б!лыпе одного узагальненого розв'язку.

Наведено приклад, який показуе, що у випадку (v? - l)w > ¿7 задача (2), (3), (5) може.мати б!льше одного розв'язку. Kpiu того, отримано умови единост1 розв'язку у пипадках, коли:

1) inf^=0; vWxpotv'it), (0,Т] * Р

te (о,г], vo>o, ре (0,1); 2)

3) inf^=0; c(t)>0, te (О,Г). MCl(i)

Для кожного з вказалих випадгав 1), 2), 3) отримаво умови кнувапня узагальненого розв'язку задач! (2), (3), (5). Зокрема, для випадку 1) теорема формулюеться наступним чипом. '

Теорема 0. Нсдай для коефщкнтш системи (2) виконуютъся умо-ои 1), (Ф0), (<Pj), (<М> (<?i)> Mo) ¡, «piw тога, Ф1у Фи, С\ Aaß, Aaßf € l°°(Qt); Ve >0 С} e ь°°((}*,т);

b4(trp),Ci € L°°(0,r), pe|0,l); Oo = 0;

(v'(t))' 6 ( 'n J '

Qr

де ¿€(0,1) може бути як зангодио малим, а

1 i г / i , . '-МО 4-у^ф)] V

v3 = — inf maxbup -v?a(r)----' „ \ ;0b

Vo[o,T) ll0,«l l VO'(T) tv'(T) J у

-о _ f якщо 7 < 0, 1 i, якто 7 > 0.

Тод icHyc узагальнениЙ розв'язок задачi (2), (3), (5).

Глава 3 "Розв'язок майже всюди MiaianoT задач! для лйпйноТ ево-люшйпо! системи з вироджешшм. Dapiaiiiftni нсцявностГ складае-ться з двох параграф1в. У §3.1 досл1джуеться ¡с.иуиашш розв'язку майже всюди системи

*

${x,t)wit + C{x,t)wt + Aw = f{x,t) (6).

3 крайовими умовами (3). Для формулюваняя основноТ теореми uier глави введено позначення:

bt{t) = щах |шах/вир У) ? 8UP Е Н^'^.ОИ')};

ЧМ) = тах{шах{виР £ ^Щш^'3^ Е И^'^ОН'г}};

I 1—1,2 ^ fj .^_ V V.*' П ) )

ил Г ^'ОММР. Di n, n« J

Г |С (®,т) С3(х,т) ...Л

с,(1) = щах< иир ' ' л| ; вир" ' '/" ; аир С*(а,т) 3 V;

I Q, v(T) Я, V (т) Q< J

Г . . 2<:,(т)1 ' . _ . . 2сх(т)\ f4 = inf нир\Ф\(т)--гт-г ; ^s = Ii" вир -tpilr)--rr-r •

lo.il [о,!] Г <P'{T)\ М|о,Н

Творвмп 7. НехаЙ сисн!ма (О) сильно вироджона, виконуються умови (Ф0), (Ф,), (Ф2), (Фц), (Сi), (Л0) ¡, KpiM того, Ф, 6 C(QT)\

Vf > О С', <f><, С< € L°*(Qcr); с4 6 Г); Ш €

max{C3(t,/j); b„(t,p)} < b10(t,p), *£(0,Г],

де Ve > 0 b\o(t,p) € L°°(c,T) i монотонно спадае на (О,Г], а р € [0,1); М, М<оо;ао=0;

+ Qr

де

Зг

+<73

У IFji^OJj'rf» < 00,

о

ГО, якщо ь<4<0, f 0, якщо vb < О,

сто — 's ol — <

l vz + 6, якщо щ > 0; l 1/4 + 6,

/О,

якщо fj > 0; якщо i/д > О, якшо i/g < 0;

6 > 0 - достатньо мале число. Тод1 ictiye розв'язок uaibw осюда u>(a,t) систем» (6) з крайовими умовами (3), який задовольня» початков! умови

ш(а:,0) = 0, lim v^Ö)tii(a,<) = 0t ü,(a?,0) = 0.

Досл)джеао умови ¡снуваиня розв'язку майже всюди у винадку виконання умови 3), а також, якщо I = Ы, умови ¡снувания розв'язку майже всюди задачз (6), (3) з пидозмгаеними початковими умовами типу (5).

У §3.2 отримано умови ¡снувания 1 сщшост! розв'язку иар1ашйноТ нер1вност1 з виродженням, аналопчш як в монографп: Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.- М.: Мир, 1972. - 608 с. (стор. 417).

Глаза 4 "Мотала задача для еволюшйно! системи, яка вироджуе-ться в юнцевий момент часу" складает! ся з трьох нараграф1в. У §4.1 розглядаеться система

де матриц! Ф, С, Аар, Ва та вектори ю, Г мають ту ж саму структуру, що 1 в глав1 1. Принускаеться, що

Через У/* позначено замикалня мпожшш вектор-фупкшй (С§°(0т)) 1 несюичено диференщйовних в 1 рдвних нулю в окол*1 множиш! Бт П Ог» за нормою

з крайовюш умовами (3) 1 початковими умовами и)(х,й) = хи°, шДя.О) = т и1,

(7)

(8)

Ф) = МГ-1У, (¡о>0, и>>0, (€[0 ,Т\.

j = 0,1; 7 > 0; p > 0; <7 = 0,1; * = 0,1.

§4.2 присвлчепий дослщжепню ¡спупання та едгагост1 узагальпе-пого розп'язку задач1 (7), (3), (9). Припускаеться, що для матршп С4 (ж, t) виконуеться умова

(С3): VteR"-1, 4x,t)eQT (С*Ы)М)>Ьт\\ Ve > 0 d1(t)€Loo(0,T-£).

Введено поэпачеияя:

М0 = шах{8ир £ ||Д;(г,г)||2(Г-т)3-4; .

U«.r J

6n(t) = maxiaup £ ||*£(®,т)||а<Г - т)а1; t€[0,T);

7i = М[6я(«) + *и(«)1;

ci(f) = Supf||C,'-3(x1r)||(r-r)siitY, i = 4,5, i € (0,Г); Q.,r\ /

giti = inf зир[аг;,(х,т)(Г - r)l, i € £Pli;

[о.3! Qi.T

i* = inf [eup(Vl(r)*fc - 2е,(т)(Г - r)1"") + C4(t) + C((t)];

= inf (вирС-га, (r)(T - r)) + C4(i) + ca(i)]; fo.TJ [<,T|

i/g(7) = min [7 inf gi{x, t) - gt,t\. . . l€!CTi Qt

Теорема 8. Нехай для коефвдентте системи (7) виконуються умо-ви (Ф0)у (Ф1 ), (Ci), (С2), (/4о) U KpiM того,

Ф,АаР,Аа1пеЯ»{От)1 д, е L°°(Qt), » € £ОТ,; gi(x, t) > я,о > 0, » S ОЛ, j Ve> 0 Фи, с,да 6 ¿~(<?г-г), i G 37tii «о = 0; < оо, i€9ni; '

n _

€ J]№"4«)nL"(n)); € (L2(n»N;

i=l

jciiye таке число 7, що:

fe(7) > 0; 7amrnin{7do - fe; 7 - ^r} > 27m7ij

j№{*,t)\4T ~ «Г"-" + |F»(x,t)|a(T - < 00.

Qr

Тодо задача (9), (3), (9) ма« уэагальяепий роэв'яэок w е ЯкЩО, KplM того,

2m

р 1-2 <--—, коли г» > 2m, 1 pj > 2, коли n < 2m, »GSölj,

n — 2 m

то задача (9), (3), (9) мае единий узагальнеаий розв'язок. Тут 7m - стала з нер^вност! Фр]др]*са

j £ {Dazfdx<lmj ]T(D°z)3d*, n n N=m

о*

справедливо! для eeix функщй z e Hm{(l).

У §4.3 отримано умови ¡снування единого розв'язку вар1ац!йноТ нер1вност! для системи вигляду (9) у jpccTopi V,1^.,.

У глав! 5 "Задача без початкових умов для одше! еволюшйно! системи" розглянуто систему (7) у винадку Ф{х,1) = Е в облает! QT = П х (-оо, Г), Т < оо.

У §5.1 розглядаеться винадок, коли fl - обмежена. Введено позна-чення:

<4(0 = ,»2* ■»р.||Лвд|(®,г)||;

6„(0 = sup 2 ||öo,(x,r)||2; 614(<) = 8up ]г ||вв<(а:,т)||2; Q' |a|S«n Qt |a|<»»

inf eup||C(®,r)|j; cT(t) = 8up\\Ct(x,T)\\-, (-00,T) g, q,

V = (Ят(П))М Л (L»(ft))w.

Доведена пастунна теорема.

Теорема 0. НехаЙ Aaß, Aaßt, BXl ÖK(1 С, Cu G € £°°(Qt), |a| = \ß\ < m, |*| < m; lim a,(<) = ü; lim 6is(i) = 0, lim cT(i) = 0;

t —»—oo t —»—oo t—со

dû e (7'"'1; p - 2 < -—-, якщо r» > 2m i p > 2, якщо n < 2m;

n — 2 m

«икону ютъея умони (Л0), (Со); ао = 0; Со > 0; 0i(a:,i) > Ф» > 0, » G ЯЯ*. To/ii якщо ЙП] ф 0, то задача (7), (3) rte ноже мати бтыне одного узагальненого розн'язку в клаа функпзй w(x,t) таких, що

w е £°°((-00, Г); V), u, € L°°((-oo, Г); (Ь»(П))"),

Днп^ f |яа«»(*.*)1а<*»-»о-

Î l„l — m

fi l«l=m

Якщо ж ГОЬ = 0, то задача (7), (3) ие може мати больше одного узаг гальнекого розц'язку в кдас! фушщШ ui(x,i) таких, що

w

до о

И) < г-;-•

¿(¡т + Cfi7TO

Kpiu того, шийлеио класи едипост! розв'язку у випадку со < 0. Нехай <j(î) деяка функгця, що задоволыша уиопи:

w(0ее1 ((-«>.Л); W(Î)>о, wr(i)<o, iei-oo.rj. (9)

Позначепо:

' . , и(г)аг(т)

. lois«»

w(r) max supди(х,т)

. с iesnu n

mf sup -TTTTi- = Ma-

(-oo.T) r6(-eo,fl МГ)1

Теорема 10. Нехай DaAaß, С, G £ Х°°(0т), И = \ß\ < m; 9ft € Cm,1\ виконуготьсл умови (Ло). (Co); oo = 0; icnye фушавя u}(t), яка элдовольняе умови (9) i така, що am > Mo + Mi Тли ffiOM) > М2>» € 97ti. •Ьшо

Со > 0 i У \F(x,t)\9u)dxdt < оо, <3т

або со = 0, inf |w'(i)| > 0 i

^ (-оо,т)1 4 "

/<

Яг

то icaye розв'язок и>(г, ¿) задач]' (7), (3) такий, що w € L°°((-oo, Т)\ V), ш, € £«((-oo,r);(I1(ft))w).

У вкладку л1шйыост1 системи (7)" отримано уточнеш умови icny-ваняя узагальнеиого розв'язку щсТ задач!. Наведено приклад, який показуе, що у випадку

(

lnT)J И*»<)1,Д! >0

задача (7), (3) може не мати розв'язку в влас! единость Аналог! чт результат отримаш у §5.2, коли О = К". У §5.3 отр5шаво умови !снувааня узагальнеиого розв'язку задач! (7)> 13) у випадку нецил!ндричноТ облает! яка розширюеться при зросташй I.

У г дат О "Мшаьа задача для р1вшшнп тицу кадивання пластинки" в облает! ()т = П х (О, У) розглядаеться м;шана задача

£ Da(aQß(x,t)Dßu)+ £ ba(xJ)Dau~

~ ЕЫа.ОК.ГХ)^ + с(я,*)и, = /(а,*),

1=1 «

5г

= 0, £ ап/){х,1)0^4

Н=|/>|=з

= О,

и(г,0) = и0{х), и,(1,0) = «1(ж).

(10)

(П) (1?)

Осноншил результатом шеТ глаии е наступна теорема.

Теорема 11. Пехай Оааа(> € С7(<?т), [«[ = |/?| = 2; аариаа^и ((«[ =

Ш = 2), Ьа, Ьаи < 2, ди ди, дш, д^ (( = 1.....„), с, с, € £°°(<?г); /,

/( е ¿8(0т); «о 6 М*(П), «о = о на щ е #5(П), и, = 0 на 8П;

аар =

а°р(х11)т1с,т)р> Оо ао>0,

М=3

3;3 +

б — п

п -2

, якщо п = 3,4,5, 1 р > 3, якщо п = 1,2. Тод1 !снуе

узагальнений розв'язок «(«,«) задач] (10) - (12), де

Т < + ь>С(и0,ии/)^, ь>>ь>о>0.

Осиопш результата дисертапн онублжоваш п пастушок роботах:

1. Лаврепюк С.П. Смешанная задача для вырождающегося уравнения типа колебания пластины//Дифференциальные уравненкя.-1989.-25, N 8.-С. 1375-1383.

2. Лавренюк С.П. О существовании обобщенных решений задачи Коти для вырождающегося уравнения типа колебания пластины// Современный анализ и его приложения. Киев.-1989.- С. 9399.

3. Лавренюк С.П. Задача Коши для сильно вырождающегося уравнения типа колебания пластины// Нелинейные граничные задачи. Киев-1989 - N 1.-С. 64-67.

4. Лавренюк С.П. ЗмЫада задача для майже л1ШЙного гшербол^ч-ного piüawirfm з вироджеяням// Bichhk Льв1в. ун-ту. Сер. мехмат.-1990- вин. 34.- С. 34-36.

5. Лаврешок С.П. Про задачу без початкових умов для р1вняння типу коливашш пластинки//ЛоловЫ АН УРСР. Сер. А-1990.-N 6,- С. 26-28.

6. Лавренюк С.П. Задача для одного эволюционного уравнения в нолуограничешзом по времени цилиндре//Украинский математический журнал.-1990.-42, N 11- С. 1481-1486.

7. Лавренюк С.П. Про одну змкнапу задачу для ршняшш тнпу ко-ливаппя пластиики//Доповш АН УРСР. Сер. A.-1991.-N 7 - С. 23-25.

8. Лавренюк С.П. Зм^шаыа задача для р1вшшпя тицу коливання пластинки, що сильно вироджусться //BicrniK Льв1в. ун-ту. Сер. мех-мат.-1991.-вии. 36 - С. 3-5.

9. Лавренюк С.П. Задача Коти для вырождающегося уравнения типа колебания пластшш// Математические методы и физики-мехаиические поля.- 1990 - N 32. - С. 79-81.

10. Лаврешок С.П. Смешанная задача для уравнения типа колебания пластины, вырождающегося в конечный ыоионт времени// Дифференциальные уравненил.-1091.- 27, N 12,- С. 2000-2106.

11. Лавренюк С.П. ЗМ1Ш&Н& задана для одше? слабо пироджепоТ сгг-стеми// Допов1Д1 АН Украпш. М&тем., природозн., техн. науки.-

1S93- N 5. - С. 18-20.

12. Лавренюк С.П. Змшана задача з пидозмшепимм початковими умовами для одшеТ еволюшйно! системи, яка вироджуеться у по-чатковий момент часу // ДоповЫ АН Украши. Матем., приро-дозн., техн. науки.-1993.- N 6. - С. 12-16.

13. Лаврешок С.П. Задача без начальных условий для одной эволюционной системы. Услсзкя едипственности// Нелинейные граничные задачи. - 1993. - N 5. - С. 53-58.

14. Лаврешок С.П. Смешанная задача для сильно вырождающейся оволюцшлшой системы// Дифференциальные уравнения,- 1994. -

30, N8.-С. 1405-1411.

15. Лавренюк С.П. Задача без початкових умов для одша еволюшй-во! системиз другою шлпдною запасом // Доповш HAH Украши. Матем., природозн., техн. науки -1995 - N 7. - С. 8-11.

Лавренюк С.II. Задачи для вырождающихся эволюционных систем, содержащих вторую производную по времени.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физика-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уран-пения. Львовский государственный университет им. Ив. Франко. Львов, 1995.

Защищается 15 научных работ, которые содержат теоретические исследования по теории эволюционных систем, вырождающихся на плоскости задания начальных данных, а также в конечный момент времени. Найдены эффектисные условия установления классов корректности смешанных задач, которые определяются коэффициентами и правыми частями линейных и слабо нелинейных систем. Получены условия корректности задачи Фурье для слабо нелинейных эволюционных систем, а также условия существования нелинейного уравнения тина поперечных колебаний стержня.

Lavrenjuk S.P. The problems for degenerated evolution systems with second order time derivative.

Doctor of Science Thesis (Physica and Mathematics), specialization -differential equations. Lviv State University, Lviv, 1995. 15 scientific papers containing theoretical studies on the theory of evolution systems degenerated on the plane of initial data and also in the final moment of time are defended. Effective criterion? of classes the well-posed mixed problems were found, .which are defined by coefficients and right parts of linear and halflinear systems. Conditions of well-posed Fourier problem for halflinear evolution systems and also conditions of the solution existence of the nonlinear equation of beam transversal oscilationa type were obtained.

Ключов! слова:

узагальнеоий розв'язок, шшапа задача, вироджена еволюшйна система, задача Фур'е, Bapiauiitai BepiBoocri.