Задачи изгиба поперечно-поляризованных пьезокерамических пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ -АРМЕНИИ

ЕРЕВАНСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 539.3:534.1

МКРТЧЯН ЛИМТ РСМЕНОВНА

ЗАДАЧИ ИЗШБА ПОПЕРЕЧНО-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ПЪЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ПЛАСТИН

»

(01.02.04 - механика деформируемого твердого тела)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН - 1532.

\

\

Работа выполнена в Институте Механики АН Армении

Научные руководители - доктор технических наук,

академик ЛИ Лрм.ССР, профессор А'шрцгаян С.А.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, доцент

Ш1УБЕКЯН Л1.В.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор САРКИСЯН С.О.

кандидат физико-математических наук, доцент САРКИСЯН. C.B.

t

Ведущая организация - Армянский государственный технический

университет (ЕрПИ)

в

Защита состоится 1992 г. в час.,

ауд. Я^^на заседании Специализированного Совета К 055.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ереванском государственном университете по адресу: 375049, г. Ереван - 49, ул. МраЕЯна I.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан " " 1992 г*

Ученый секретарь Специализированного Совета, .

п ) лД /!

кандидат физико-математических наук Ш у

ДШШ.ВШ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы интенсивно развиваются новые разделы механики сплошных сред, обусловленные специфическими особенноетями физических свойств деформируемых тел. Одним из таких разделов является изучение взаимодействия электрических и механических полей при пьезоэлектрическом эффекте. Пъезокрис-таллы нашли широкое применение при- создании различных систем современной техники, в частности:.электрических фильтров, стабилизаторов частот в радиотехнических устройствах, измерительных при-.бэров .и.т.д. .

Открытые в сороковых годах пъезокерамические материалы, быстро заменили кристаллы во многих технических устройствах. Это связано с дешевизной и относительной провтотой изготовления пъе-зокерамических элементов. Появилась возможность создавать пъезокерамические элементы практически любой формы с поляризацией в произвольном направлении.

Практически важной задачей статики и динамики керамических сред есть развитие прикладных теорий деформирования тонкостенных пъеэоэлементов, и в первую очередь пъезокерамических пластин и оболочек. При построении этих приближенных прикладных теорий имеющиеся точные решения трехмерных задач элекгроупругости могут быть использованы как эталоны для проверки приближенных решений. При этом выясняется, что точные аналитические решения по трехмерной теории удается получить только для простейших краевых задач. Несмотря на большое количество габот, посвященных иъезоке-рэмическим тонкостенным элементам, к настоящему времени остается потребность в построении последовательных теорий с сценкой их погрешностей, в разработке приближенных методов решения динагя-

чсских задач.

Цель работа, ¿-нссертационная работа посвящена задачам изгиба поперечно-поляризованных пъезо^'ерамических пластин и численному сравнению различных приближенных моделей с точным решением. В работе исследованы следующие вопросы: приведены точные решения задач электроупругого изгиба прямоугольной и круглой толстых плит, решения задач изгиба прямоугольных тонких пластин и пластин-полос по уточненной теории Амбарцумяна С.А. и по классической теории тонких пластин, когда на электричес-пола гипотезы не налагаются, или налагается соответствующая гипотеза на потенциал поля. Приводится численное сравнение глаксвизльного прогиба и агаксимального значения потенциала электрического поля с точным решением.

Научная новизна. Приведено точное решение задачи изгиба толстой пъезокерамической прямоугольной плиты, удовлетворяющей граничным условиям Нпвье и находящейся в электрическом поле. Показывается, что пъезоэбхрект уменьшает прогиб плиты.

Решены задачи изгиба тонких пъезокерамических пластик по уточненной и классической теориям Доказано, что при увеличении относительной толщины пластинки разница между решениями по от игл теориям увеличивается.

Рассмотрена задача изгиба таршгрко-опертой тонкой пластинки полосы по уточненной и классической теориям. Приводится численное сравнение полученных результатов с точным рецением. Показаны пределы применимости приближенных теорий.

Приведено точное решение задачи изгиба толстой круглой нъезокерамической плиты по методу А.И, Лурье. ¡Три отсутствии пъезээйфекга получены уравнения задачи изгиба гпопспсрсально-

изотропной плиты.

Практическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе могут найти применение при решении новых теоретических проблем изгиба пъезокерамических пластин, при решении прикладных задач радиоэлектротехники, дефектоскопии, электроакустики, адаптивной оптики и.т.д. Решение задач изгиба пъезоке-'ракических пластин представляет значительный интерес такке в связи с широким применением подобных элементов в качестве электромеханических преобразователей.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах Института механики АН Лг/лини (1988-1991 г.г.), на 1У Всесоюзном симпозиуме "Теоретические вопросы магнитоупругости" (1989 г.), на УШ конференции молодых ученых Института механики (1991 г.), на ХУ1 конференции молодых ученых Института механики АН УССР ( Киев, 1990 г.), на семинарах кафедра 1ЛС0 ВГУ (1991 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в пяти статьях.

Структура и_£бьйотх£. Диссертационная работа состоит уз введения, грех глав, заключения и списка литературы, пзлоненнгу на 120 страницах машинописного текста. Робота содержит 4 рисунка, 7 таблиц и список литературы из 123 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы, анализ состояния прс-Злемы и изложено краткое содержание работы.

В первой главе приводится общая постановка задачи линейной теории электроупругости для пьезоэлектрических сред.

В первых двух параграфах приводятся основные уравнения и материальные соотношения .линейной теории ялектроупругости, а также уравнения для пъезокерзмической среда. Полная система уравнений, описывающая упругие и электромагнитные процессы в пъе-зокристалле в отсутствии электрических зарядов и токов, состоит из уравнений движения, уравнений, связывающих деформации с перемещениями, уравнения электростатики и материальных соотношений

Поляризованная керамика имеет симметрию ооГЛ , коэффи-центы связи имеют такой ке вид, как коэффшенгы кристаллов

условий, используемых в теории электроупругости.

Вторая глава посвящена задачам изгиба пъезокерампческих прямоугольных пластин Я пластин-полос. Здесь также приводятся . численные сравнения решений,' получениях на основе приближенных моделей с точными решениями.

В первом параграфе приводится точное решение задачи изгиба толстой плиты толщины Ь , поперечной нагрузкой и«?;енсивности

(I)

класса бгШТ) . В связи с этим материальные соотношения для керамических элементов значительно упрощаются.

В третьем параграфе, приведены основные группы граничных

Р^ (эС,^ ) и . приложенных соответственно к лицевым

плоскостям 2 = 0 и Е = Ь плиты. Плита находится в электрическом поле, так что на лицевой плоскости .2 = 0 потенциал поля равен а на плоскости 2= Ь - . На

боковых гранях плиты О .

Имеем следующие граничные условия (условия Навве)

и>2~из-°> ^1=0, 'У~0 при ос=0,а (2) и^и^О, <0^0, ^=0 . при. ^ =

где а и Ъ размеры плиты.

На внешнюю механическую нагрузку и потенциал поля налагаются лишь такие ограничения, которые позволили бы представить их в виде двойных тригонометрических рядов Фурье. *

Для неизвестных перемещений и'потенциал^ электрического поля 'принимается ^ ,

. В случае, когда на противоположных гранях плиты заданы условия Навье, а на двух других - условия скользящего контакта, Задача решается также для пластинки-полосы,

В качестве примера рассматривается задача изгиба пластины-полосы, изготовленной из окиси цинка

(¿пО

). Вычисляется максимальный прогиб, когда

а) пластинка изгибается 'только под действием электрического

поля ( Р = 0 )

б) пластинка изгибается только под действием механической нагрузки ( \р-= 0 3 этогл слТчае показывается, что пъезоэофект

уменьшает прогиб плиты.

Во втором параграфе рассматривается задача'изгиба шарцирно-

опертой тонкой пъезэкерамической пластинки поперечной механической нагрузкой, которая находится в электрическом поле, так что

на лицевой плоскости 2 =Ь /2. потенциал поля равен

а на плоскости - равен нулю. На боковой поверхности

пластинки заданы условия

^=0, Мх=0, ч>=0 при ос=0,а

0, М,,=0, ч>=0 при ^ = 0, ь (4)

При,решении задачи применяется классическая теория тонких пластин. На электрическое поле гипотезы не налагаются. Принимается только, что потенциал поля внутри пластинки можно представить в " виде У>= где

искомые функции.

Уравнения решаются для пластинки-полосы.

Задаче решается также при наложении гипотезы нв потенциал поля, а также по уточненной теории Амбарцумяна С.А. с гипотезой (6) на потенциал поля. Д1ля пъезокерамики

Сс/5

(сульфид кадмия)

приводится численное сравнение максимального прогиба и максимального значения потенциала поля данной задачи с результатами А) точного решения, В) решения этой задачи на базе уточненной теории с предположением, что поперечная деформация, обусловленная электрическим полем не может быть пренебрежена, и с соответствующей гипотезой для потенциала поля, Г) решения этой задачи на базе классической теории с гипотезой (6) для потенциала поля (см. таблицы 1,2).

На основе численных сравнений показана область применимости .гипотез Кирхгофа для пъезокерамической пластинки-полосы. Показано также, что при принятии гипотезы относительно потенциала поля,

Таблицы 1,2

и5шох 1Л

V Р I ГС11 <1 к. а 0.05 0,10 0.333 0..05 о.ю 0.333

й о, ? 10 -з 6.21-10 -4 7.95-10 -5 2.50-10 10.44 6.21 32.38

я к зло, 0 1.06-10 4.70 -10 1.67-10 4.90-10 4.35-Ю 4.14'10

Е 0, 7 10 -з 5.58-10 6.94-10 1.62-10 3.03 4.35 23.80

Р з-ю, 0 1.02-10 3.42-10 1.37-10 5.04-Ю 5.67-Ю3 5.03-10

Я о, га7 5.56-10 6.92-10 1.24-10 2.09 1.04 2.90

р . А з-ю, 0 1.01-10 -5 3.01-10 0.63-10 5.09-Ю3 ' 6.02-10 5.52-10

г 0, ю7 5,59-£о 7.30-10 -У 1.77*10 2.97 2.44 19.37

1 3 -10* 0 1.05-10 -5 3.84-10 2.54-10 5.08-д/ 5.84-10 5.43-10

более близкие результаты к точному решению дает уточненная теория, чем классическая.

В третьем параграфе рассматривается задача изгиба поперечной нагрузкой тонкой прямоугольной пластинки, "пходяшейся в электрической поле. Пластинка жестко заделана по двум смежным сторонам и шарнирно-оперта по двум другим. Нормальная компонента вектора электрической индукции на боковой поверхности пластинки равна нулю. Задача решается на базе уточгенной теории пластин, толь-\ _ ко вместо предположения бзд — О принимается

¿s>=di3E3 ■ (5)

так, как показано в работах Амбэрцумяна С.А. и Белубекяна М.В. Т.е. поперечная деформация,обусловленная электрическим полем не может быть пренебрекена.

Потенциал электрического поля принимается в следующей струк-

Ъ^тщ+^ш+Чг*^ се,

где ф^ и искомые функции, характеризующие электроста-

тический потенциал, в -f (h^ ~ AZZ )

Механические граничные условия берутся из уточненной теории. Полученные уравнения решаются для пластинки-полосы. Задача решена также на базе классической теории тонких пластин с гипотез: зой (6) для потенциала поля. В частном случае задача решается также для случая, когда внешняя механическая нагрузка не действует, а потенциал электрического поля на лицевой плоскости пластинки-полосы равен V> (0CyLJ.) — COS

В габлицб 3 приведены значения и места максимального прогиба для пластин-полос, изготовленных из пъезокерамик ЦТС-19 и ТШ-З, при относительных толщинах 0.2, 0.1, 0.05. Численные результаты показывают, что значение максимального прогиба существенно различ-

Таблица 3

■лаге риал Ь , 1 М Но уточненной теории По классической теории

при ОС у м \Wmax -к ^лох 10 м при ОСК гл

чЛ-'у ОС к

ЦГС-19 0.01, 0.05 3.182 0.031 1.035 • 2.069 0.029 0.699

0.01, 0.10 11.060 0.066 1.666 7,069 0.052 1.359

0.01, 0.20 . 23.019 0.139 2.006 19.999 0.101 1.970

ТБК-3 0.01, 0.05 1.962 0.029 0.662 1.238 0.028 0.442

0.01, 0.10 8.775 0.066 1.331 5.454 0.051 1.075

0.01, 0.20 26.010 0.133 1.949 18.899 0.099 1.893

но по решениям уточненной и классической теорий. При увеличении относительной толщины эта разница увеличивается.'Учет "поперечных" явлений в данном случае приводят к увеличению максимального прогиба.

В четвертом параграфе рассматривается задача изгиба тонкой прямоугольной пластинки механической нагрузкой интенсивности

приложенной соответственно к лицевым ПЛОСКОСТЯМ 2 = Ь/2 И . Пластинка шарнирно-оперта

по всем.четырем сторонам и находится в электрическом поле, так что на лицевой плоскости Z~h/Z пластинки потенциал поля равен V^ÍOCjLj), а на другой равен нулю.

На боковой поверхности пластинки также поте нциал поля равен нулю. -Задача решается на базе уточненной теории пластин, с применением гипотезы (6) относительно потенциала электрического поля. Граничные условия следующие

В частном случае задача решена также для случая, когда на. . пластинку механическая нагрузка не действует, а потенциал электрического поля на плоскости Z-h/¿ пластинки равен

sin Р О

В таблице 4 приведены численные расчеты для максимального прогиба срединной плоскости пластинки, изготовленной из пъезоке-рэппш ЦТС-4 при различных h г! , где

Таблица 4

h /ь 1/3 1/5 I/IO 1/20 1/30 1/40 I/IOO

!Г Мг 1.I2I С. 41? 0.123 0.C4S C.CSó 0.031 0.026

2.W9 ч. >¿o8 27.158 63.744 95.401 TIO.338 132.722

Третья глава посвящена точному решению задачи электроупругого изгиба круглой пъ'езокерамической плиты произвольной радиально-симметричной нагрузкой, при условии отсутствия на лицевых плоскостях плиты электростатического потенциала. Радиальные перемещения отсутствуют на всей боковой поверхности плиты.

В первом параграфе приводится постановка задачи и строятся 'однородные решения по методу А.И. Дурье.

Напряжения, перемещения и компоненты электрической индукции выражаются через функцию напряжений и электростатический потенциал, которые представляются в виде

где ф и

искомые функции, 30 - Функция Бесселя с индексом нуль, а .¿Г -произвольный параметр.

Накладывая условия отсутствия на лицевых плоскостях плиты касательных напряжений и электростатического потенциала, получаем решения

V? = ¿ШрЯЦФШН К,

п (9)

п

где

симметричные, а ф* , антисимметричные

решения.

Для нахождения однородных решений налагается дополнительное граничное условие (отсутствие на лзшевых плоскостях плиты нормальных напряжений). После такого ограничения параметр »<5" нельзя считать произвольным. Соответствующие общие однородные решения типа (9) .имеют'вид

Кроме этих решений существуют также полиномиальные однородные- решения.

Во втором параграфе задача рассматривается с учетом приложения нагрузки. Строятся общие решения. Сначала задача решается для случая, когда на лицевой плоскости плиты =+ & приложена нагрузка с постоянной интенсивностью ^ по кольцу с относительным радиусом С .

>

На боковой поверхности плиты заданы следующие граничные условия. =

Ии=0 прц-бс^е, пр^=0(11)

Если С) являются решениями э: ой задачи, то в

общем случае, когда на лшевых плоскостях плиты приложены нагрузки Я+(р) и (р) , то решения получаются интегрированием по параметру С :

у>(р, ^)= 5 Мр, \,С) (£(С)+у>(р,- ЬС Же )]с1 С , . 0 (12)

Для примера рассматривается задача изгиба плиты следующей нагрузкой, приложенной по кольцу с относительным радиусом С :

В третьем параграфе рассматривается предельный случай. При пренебрежении пьезоэлектрического эффекта из уравнений первых двух параграфов получены уравнения задачи изгиба трансверсально-азотроггной ал:ты.

В заключении сформулированы основные результаты проведенных в диссертации исследований:

1. Приведено точное решение задачи элекгроупругого изгиба толстой пъезокерамической плиты, удовлетворяющей граничным условиям Навье и находящейся в электрическом поле. На основе численных результатов показано, что пъезоэффект уменьшает прогиб плиты,

2. Приведены решения задачи изгиба шарнирно-опертой ттъезо-керамической пластинки-полосы, которая находится в электрическом поле. Задача решается

' а) по классической теории пластин, на электрическое полз гипотезы не налагаются

б) по классической теории пластин с соответствующей гипотезой на потенциал поля

в) по угрчненной теории пластин с соответствующей гипотезой на потенциал воля.

На основе численных сравнений с точным решением установлено, что (таблицы 1,2)

1). Гипотезы Кирхгофа в случае а) дают относительно хорошие результаты при Ь/а ^ 0.05".

2) При принятий гипотезы относительно потенциала электрического поля, более близкие результаты к точному решению дает решение данной задачи по уточненной теории, чем по классической (случай в)). Более близкие результаты получаются и относительно максимального прогиба, и. относительно максимального значения потенциала поля.

3) Если задача решается по классической теории ггластин, то более близкие результаты к.точному решению дает случай, когда на электрическое поле гипотезы не налзгэытся (случай б)).

4) Когда задан только потенциал электрического поля на ли-

цевых плоскостях пласгинки-полосы, при всех толщинах самые близкие результаты к точному решению относительно максимального значения потенциала поля дает случай б), когда задача решается по классической теории пластин, а на электрическое поле гипотезы не налагаются.

3. При решении задач изгиба тонких пластин показано, что

значение максимального прогиба существенно различно по решениям

>

уточненной и классической теорий. Это объясняется тем, что при принятии классической теории теряется много важных членов, учитывающих "поперечные" явления.

4. Приведено точное решение задачи электроупругого изгиба круглой плиты произвольной осесиммегричной нз: рузкой. При пренебрежении пъезоэффекта получены уравнения задачи изгиба трансвер-сально-изотропной плиты.

Основные результаты работы изложены в статьях:

1. -кртчян JI.P. Поперечный изгиб толстой пластины-полосы, изготовленной из пьезоэлектрического материала. - В сб.: Теорет. вопросы магнитоупругости. 1У- й Всесоюз. симпозиум. Ереван: изд-во ЕГУ, ISS9, с. 138-143.

2. .'.'кргчян Л.Г. Об одном случае изгиба гонкой пъезэкерамическоД плвстпики-полосы. - Изв. АН Армении, Механика, 1991, т.44, М.

о. Мкр'.чян Л.Р. Задача изгиба поперечно-поляризованной пъезокера-:.-.;ческо2 пластннки-полосы. - .".¡г- те риалы ЛИ -конф. мол. ученых Л»:—го мехйнпки А! Армении. Ереван: изд-вэ ЕГУ, 1991 •'«. ..'кртчл-: Л.?. О задэче изгиба прямоугольной пъезо.терампческой п.-..5сг:' 'кн. - Тгуд« лУ1 кокфоренп:::' молодых ученых Лн-та меха-

АН :>Х?, Нгез; It. I '-.ггтчж Л.Г. -.■углгй кегоксрзулчезкой плаиг осеск.г.ет-