Задачи механики разрушения для сред с зависящими от вида напряженного состояния свойствами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Белякова Татьяна Александровна

УДК 539.3: 678.046.2

ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ ДЛЯ СРЕД С ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ВИДА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ СВОЙСТВАМИ

01. 02. 04 — Механика деформируемого твердого

тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Е. В. Ломакин

Москва 1 999 г.

СОДЕРЖАНИЕ:

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................2

1. Методы построения определяющих соотношений для поврежденных сред с учетом зависимости деформационных свойств от вида напряженного состояния..........................................................................................................3

2. Физическая природа чувствительности деформационных характеристик материала к изменению вида напряженного состояния.........................................................................................................23

3. Основные уравнения плоской задачи..............................................26

4. Инвариантный интеграл Черепанова-Райса...................................27

ГЛАВА 1. Определяющие соотношения и экспериментальные диаграммы деформирования поврежденной дилатирующей среды................................33

1.1 Экспериментальные данные и диаграммы деформирования.......33

1.2 Параметры вида напряженного состояния...................................40

1.3 Определяющие соотношения упруго-пластического деформирования изотропного материала с зависимостью свойств от вида напряженного состояния.................................................................................42

1.4 Определяющие соотношения упругого деформирования изотропного материала с зависимостью "¿войств от вида напряженного состояния.................................................л ..............................................47

1.5 Определение функций вида напряженного состояния для конкретного материала. Экспериментальные диаграммы и их аппроксимации.................................................................................................50

ГЛАВА 2. Асимптотическое решение для трещины нормального разрыва в материале с изменяющимися свойствами в условиях плоского напряженного состояния..........................................................................................................54

2.1 Трещина нормального разрыва в упругой среде с зависимостью деформационных свойств от вида напряженного состояния........................55

2.2 Трещина нормального разрыва в упруго-пластической среде с зависимостью свойств от вида напряженного состояния...............................69

ГЛАВА 3. Асимптотические решения задач плоской деформации для трещин в упругой среде с зависящими от вида напряженного состояния свойствами........................................................................................................86

3.1 Трещина нормального разрыва в условиях плоской деформации.......................................................................................................87

1) Постановка задачи и обоснование методов решения......................87

2) Формулировка граничных условий и определение мультипликативных постоянных в решении...................................................92

3) Анализ полученных численных решений..........................................98

3.2 Трещина в поле сдвига при плоской деформации........................103

1) Постановка задачи и формулировка краевых условий...................103

2) Анализ полученных численных решений........................................112

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА...

121 124

ВВЕДЕНИЕ

В классической теории упругости модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V полностью описывают упругое поведение тела. Однако существует широкий класс материалов, которые, часто не обладая заметной анизотропией, проявляют существенное различие механических свойств в зависимости от вида напряженного состояния. К таким средам в большинстве своем относятся грунты и горные породы, композиционные материалы различного типа, огнеупоры, чугун, бетон, конструкционные графиты и многие другие. Общим свойством данных материалов является наличие разнообразных дефектов структуры (пор, микротрещин, включений и т.п.), существенным образом усложняющих механизм деформирования.

Различными авторами было показано [9,10,28,34,42,44,46,47], что совпадение кривых течения для различных видов напряженного состояния наблюдается преимущественно при исследовании чистых металлов. Для многих сплавов, композитов, горных пород расхождение кривых течения, рассчитанное по результатам опытов на растяжение, сжатие и кручение оказывалось довольно значительным. Экспериментальные данные показывают, что при исследовании деформационных свойств таких материалов гипотеза единой кривой, используемая в деформационной теории пластичности, неприменима.

Подобным образом часто не подтверждаются экспериментами предположения о сжимаемости по упругому закону или несжимаемости материала. Деформирование поврежденных сред может сопровождаться необратимой объемной деформацией — дилатансией. Ее механизм, наиболее ярко проявляющийся при деформировании сыпучих сред, по-видимому, впервые был отмечен

Рейнольдсом [69]. В различных работах отмечалось [5,6,19,28,46], что величина объемной деформации включает в себя составляющую, вызванную касательными напряжениями, т. е. в поврежденном материале процессы объемного и сдвигового деформирования взаимосвязаны.

В связи с этим приобретает значение изучение ряда вопросов механики разрушения поврежденных сред, для которых классические предположения теории упругости и пластичности не могут быть использованы. В том числе представляется важным исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности трещин, где учет зависимости свойств материала от вида напряженного состояния становится особенно необходимым.

1. Методы построения определяющих соотношений для поврежденных сред с учетом зависимости деформационных свойств от вида напряженного состояния

Разработкой теоретических основ деформирования материалов, поведение которых не может быть описано классическими теориями, занимались различные авторы.

Первоначально в экспериментальных исследованиях для некоторых материалов наблюдалось расхождение диаграмм деформирования, в основном, только при одноосном растяжении и сжатии, поскольку эти типы испытаний являются наиболее распространенными. Достаточно долго несовпадение средних экспериментальных значений модуля упругости при растяжении

Е+ и модуля упругости при сжатии Е~не принималось во

внимание, и расчетный модуль упругости устанавливался либо Е +,

либо Е ~ в зависимости от преимущественного типа

эксплуатационной нагрузки. Позже это явление, получившее название разномодульности, отмечалось для различных материалов в работах [1-6,34-37,50,53,61-63]. Некоторыми авторами были предложены определяющие соотношения, основанные на различии деформационных характеристик материала только для двух видов испытаний. Это направление известно как разномодульная теория упругости.

Согласно модели, предложенной в [1-3,5] упругие свойства в окрестности точки изотропной среды меняются в зависимости от знаков главных напряжений. Постоянными материала, описывающими деформационные свойства, являются модуль

упругости при одноосном растяжении в любом направлении Е +, модуль упругости при одноосном сжатии Е ~, коэффициент Пуассона V характеризующий поперечное сужение при

растяжении и коэффициент Пуассона у ~, характеризующий

поперечное расширение при сжатии. В каждой точке или области тела, где главные напряжения сг ^ имеют одинаковые знаки (сг ^ > 0 ,

[ =1, 2, 3 или ег ^ < 0 , ¡=1, 2, 3) система упругих постоянных сводится к системе упругих постоянных классической теории упругости (Е +, V + или Е ~, V ~ соответственно). Предполагается, что рассматриваемый материал при любом напряженном состоянии претерпевает только малые упругие деформации и подчиняется общим закономерностям сплошной упругой среды. Следовательно, многие основные уравнения и соотношения классической теории упругости остаются неизменными: уравнения

равновесия, уравнения совместности деформаций и другие. Расхождения возникают только в связи между статикой и геометрией задачи — в определяющих соотношениях между напряжениями и деформациями. В зависимости от комбинации знаков главных напряжений используются соотношения упругости различных типов, которые могут существенным образом изменить картину определения напряженного состояния рассматриваемого объекта. Обобщенный закон упругости для изотропного разномодульного материала в главных осях напряжений а , /? ,у

принимает вид

еа = ли ^а + ЬпОр +ав ' £ау = 0>

£Р = *-п Яа + Ьп^р + а23 <*г ' £0г = 0' ^

ег = лп<та + ачг<т0 <*г ' £сф = ®-

Постоянные а - в зависимости от знаков главных напряжений

определяются соотношениями

1) Если сга , (Ту > 0, то а и = а 22 = а 1/е + ,

а - V + / Е + при 1 * к .

2) Если <та , <7р , оу < 0, то а.п = а, п = а. п=\/е~,

3) Если сга> 0 , сгр < 0 , агу > 0 , то ап = а33 =

а22 = 1/Е~' а12=а32 = -1/~/Е~' а21==а31 = а13=а23 = -1/+/Е+ '

4) Если <та > 0 , (Тр < 0 , сгу< О

, то а 22 - а зз -

1/Е",

ап = + , а21 = а31 = -1/+/Е + , а 12 = а 32 = а 13 = а 23 = - V /Е ит. д.

Для симметрии матрицы податливостей необходимо выполнение условия

что существенно сужает рассматриваемый класс материалов. При рассмотрении конкретных задач с использованием данной модели среды могут также возникать проблемы определения границ областей с разными типами напряженного состояния.

Обобщенный закон упругости (1) можно записать в декартовой системе координат, относительно которой положение главных направлений будет определяться девятью направляющими косинусами. Полученные определяющие соотношения существенно отличаются от закона Гука классической теории упругости. Входящие в них произведения направляющих косинусов и главных напряжений [5] представляют собой нелинейные функции характеристик напряженного состояния рассматриваемой точки, т. е. функции компонентов тензора напряжений.

Объемная деформация разномодульного тела существенным образом зависит от знаков главных напряжений. Объемная деформация равна нулю только в случае, когда одновременно

выполняются условия Е+ = Е", у+ - у~ = \ 12 . В случае чистого сдвига (та=-стр=т , ег^ =0 величина объемной деформации

составляет

что отражает в рамках данной модели факт изменения объема разномодульного тела под действием касательных напряжений. В случае произвольного напряженного состояния объемная

деформация тела будет иметь составляющую, вызванную касательными напряжениями.

Для разномодульного тела, которое описывается определяющими соотношениями (1), (2) доказано существование потенциала напряжений U [5], <т » = ¿?U j дs у. Несмотря на

нелинейность определяющих соотношений (1), для потенциала U справедлива теорема Клапейрона, вариационные уравнения Лагранжа и Кастильяно [5]. Единственность решения краевой задачи для разномодульного тела доказывается в [5,48,49].

В [4,73] на основе аналогичного подхода получены соотношения между напряжениями и деформациями в случае ортотропного разномодульного тепа. Для существования потенциала необходимо, чтобы матрица податливостей была симметричной. Это условие в главных осях материала приводит к соотношениям

v 12 = 12 21 _ ^21 ^ eJ" EJ Е2

Для того, чтобы симметрия выполнялась в любой системе координат, необходимо выполнение условий

111111

EÍ" Ei Е i Е Е+ Е

(4)

1 с2 с2 В соотношениях (4) Е+ и Е- — модули при растяжении и сжатии под углом 45° к главным направлениям материала.

Данная модель обобщена также на случай анизотропного материала [4]. В [11] предполагается существование потенциала, зависящего от знаков главных напряжений и содержащего не 3 а 5

независимых констант материала: Е + , Е~, V V ~ и модуль сдвига при чистом сдвиге в.

В рассмотренных моделях значение каждой из податливостей определялось знаком только одного напряжения, при котором стоит сомножителем данная податливость. Чтобы избежать ограничений (3), (4), налагаемых на характеристики упругости в результате этого допущения, в [61-63] предложена модель материала с матрицей взвешенных податливостей, в которой введены весовые коэффициенты, зависящие от абсолютных величин двух главных напряжений. Для изотропного разномодульного тела в условиях плоского напряженного состояния зависимость деформаций от напряжений в главных осях тензора напряжений а , J3 записывается в виде

£а = ли <та + г-\г<т0 '

£ а а + я 21er р •

Постоянные а - в зависимости от знаков главных напряжений

определяются соотношениями

1) Если сга, стр > 0 , то аи = а 22 = l/E + , а - v + /e + при

.

2) Если <та, <?р< 0 , то au = a22=l/E~ , а^= -v~/Е~ при

3) Если <та > 0, о-р < 0, то an=l/E + , а22 = 1 /Е~, a12=a21 = -ka v+/E + -k^ v~ ¡Е~.

4) Если сга < 0, стр > 0, то an=l/e~, a22 = l/e + , а12 = а21 = -ка v~ ¡E'-kp v + /e + ,

где весовые коэффициенты k а и к р определяются выражениями

+

<*а +

В результате введения весовых коэффициентов матрица податливостей получается симметричной в любой системе координат без наложения дополнительных условий на упругие постоянные. Податливости зависят не только от знаков главных напряжений, но и от их величин и меняются при изменении напряжений непрерывно от значений, когда все напряжения растягивающие, до значений, когда все напряжения сжимающие. В [63] отмечается, что эту зависимость можно сделать гладкой за счет выбора другой весовой функции, отличной от (5). Окончательный вид этой функции может быть определен после постановки специальных экспериментов. Аналогично построены соотношения теории упругости для модели ортотропного материала. Модель материала с матрицей взвешенных податливостей можно рассматривать как модификацию модели [1-5,48,49], в которой предпринята попытка учесть влияние на значение податливости не одного, а двух главных напряжений.

В работах Walsh [74-76] при исследовании деформирования горных пород предложена модель упругой изотропной среды со случайно ориентированными микротрещинами. При этом видимая анизотропия материала объясняется наличием в среде трещин и особенностями их ориентации. С учетом пористости материала выводятся соотношения для эффективных упругих модулей поврежденной среды. Отмечено, что при полном закрытии узких трещин эффективные упругие модули достигают соответствующих значений для неповрежденного материала и остаются практически постоянными при увеличении давления. Это наблюдается в

экспериментах над горными породами, пористость которых обусловлена в большой мере трещинами.

Подобный подход к описанию деформирования поврежденных сред использован в работах Салганика [45], Budiansky and O'Connel [55]. В работе [45] отмечено, что при упорядоченном расположении дефектов среда проявляет анизотропные свойства. Механические характеристики материала сильно зависят от концентрации трещин. В направлении, ортогональном направлению разреза, становится существенным различие характеристик упругости при растяжении и сжатии. В условиях сжатия происходит закрытие определенного числа микротрещин, и значение упругих модулей стремится к их величинам для сплошного материала. При растяжении трещины раскрываются, ослабляя сопротивление среды растягивающей нагрузке.

В работе [6] также отмечается, что основная особенность деформирования поврежденных материалов состоит в том, что они по-разному сопротивляются растяжению и сжатию. При построении определяющих соотношений для поврежденных сред предполагается, что значения упругих постоянных в окрестности точки материала зависят от знаков действующих в ней нормальных и касательных напряжений. При этом поврежденный материал заменяется сплошной средой, эквивалентной поврежденной в энергетическом смысле. Трещины, содержащиеся в материале представляются эллиптическими, случайно распределенными по размеру и ориентации. Берега трещин взаимодействуют по закону сухого трения. Податливости эффективной сплошной среды, моделирующей поврежденный материал, определяются как сумма податливостей сплошного материала и податливостей, обуславливающих изменение плотности энергии деформирования,

вызванное трещиноватостью материала. Показано, что при различных видах напряженного состояния эффективная сплошная среда может вести себя как изотропная, ортотропная и, в общем случае, анизотропная. Для решения конкретных краевых задач в модели [6] предлагается использовать метод последовательных приближений. В качестве первого приближения можно принять решение задачи в сплошном материале, второе приближение определяется системой знаков и значений напряжений, полученных на первом шаге и т. д. Метод последовательных приближений был предложен также для решения задач разномодульной теории упругости в [11]

В рассмотренных моделях изотропный разномодульный материал представлял собой, по сути дела, ортотропный материал, который ведет себя как изотропный в том случае, когда все главные напряжения одного знака [23,63]. Аналогично для разномодульного ортотропного материала можно найти эквивалентный анизотропный материал.

Рассмотренные выше модели основываются на различии диаграмм деформирования только для двух типов напряженного состояния. Одна�