Задачи механики твердого тела с сухим трением тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Розенблат Григорий Маркович

Задачи механики твёрдого тела с сухим трением

01.02.01 — Теоретическая механика АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

003474667

Москва 2009

003474667

Работа выполнена в Московском автомобильно-дорожном институте (Государственном техническом университете).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, академик РАН Журавлев Виктор Филиппович; доктор физико-математических наук, профессор Иванов Александр Павлович; доктор технических наук, профессор Андронов Вячеслав Васильевич.

Ведущая организация: Институт механики МГУ им. М. В. Ломоносова.

Защита диссертации состоится «24» сентября 2009 г. в 15.00 час. на заседании диссертационного совета Д002.240.01 при Институте проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук по адресу: 119526, г. Москва, проспект Вернадского, д. 101, корп. 1. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук.

Автореферат разослан «24» августа 2009 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Д002.240.01 при ИПМех РАН к.ф.-м.н. Сысоева Е. Я.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию и решению задач о равновесии и движении твёрдого тела, контактирующего с шероховатой плоскостью по законам сухого (кулонова) трения.

а) Задачи о равновесии твёрдого тела при таких условиях возникают при проектировании робототехнических устройств, которые в процессе своего движения опираются о шероховатую плоскость.

Кроме того, разработка методов исследования задач о равновесии твёрдого тела при наличии сухого трения предоставляется важной частью при решении более сложной задачи о равновесии системы (связанных) твёрдых тел в условиях опирания с сухим трением. Наконец, строгое и полное решение таких задач представляется важным и актуальным в настоящее время при преподавании курсов теоретической механики в вузах (а также в школах, при прохождении соответствующих разделов физики).

б) Задачи о движении твёрдого тела в условиях контакта с опорной поверхностью по законам сухого трения являются актуальными при исследовании динамики движения автомобиля или простейших роботизированных тележек. Качественное и аналитическое решение таких задач может являться необходимым подспорьем при расследовании до-

рожно-транспортных происшествий органами Государственной инспекции по безопасности дорожного движения (ГИБДД).

Цель работы. Основываясь на классических моделях сухого трения, восходящих к Г. Амонтону и Ш. Кулону, и не выходя за рамки механики абсолютно твёрдого тела, дать аналитические формулы, выражающие необходимые и достаточные условия равновесия твёрдого тела, опирающегося на шероховатую плоскость. При исследовании динамики движения твёрдого тела по плоскости с сухим трением в диссертации преследуются три цели.

Первая — при изучении движения плоских твёрдых тел решается задача точного интегрирования уравнений движения (в частных случаях) и задача качественного исследования характера движения (в общем случае).

Вторая — при изучении движения твёрдого тела по гладкой или абсолютно шероховатой плоскостям определить области начальных условий, соответствующие его безотрывным движениям (в частных интегрируемых случаях).

Третья — при исследовании переходов движения тела от чистого качения к качению со скольжением (и наоборот) дать условия и сценарий, свободные от парадоксальных ситуаций (типа «парадоксов Пенлсве»).

Методика исследования. В диссертации при решении задач о равновесии твёрдого тела при наличии сухого трения используются две методики исследования. Первая — это метод предельного равновесия («начало» движения), который восходит к Н.Н.Шиллеру, Н.Е.Жу-

ковскому, Желле, Раусу, а затем был развит в работах Ф.Л.Черно-усько, П.Е.Товстика, И.И.Аргатова, Н.Н.Дмитриева, А.П.Иванова и др.

Вторая — это метод сил трения покоя, истоки которого были заложены в трактате Желле «The theory of friction». В диссертации этот метод активно используется при решении задачи о равновесии твёрдого тела на плоскости с сухим анизотропным трением. В конечном итоге этот метод приводит к решению задачи выпуклого квадратичного программирования.

Методика исследования задач о движении твёрдого тела по шероховатой плоскости является достаточно традиционной и заключается в явном исследовании и интегрировании (если это возможно) соответствующих дифференциальных уравнений движения тела. Кроме того, (если это возможно аналитически) производится явное вычисление сил реакций (нормальной и тангенциальной), что является завершающим и важным этапом решения исходной задачи о движении твёрдого тела.

В качестве моделей опорной плоскости используются следующие:

1) Модель абсолютно гладкой плоскости (Аппель, Пуассон, Курно и т.д., подробную библиографию см. в книге А. П. Маркеев «Динамика твёрдого тела, соприкасающегося с твёрдой поверхностью», М., Наука, Физматлит, 1992, 335 е.).

2) Модель абсолютно шероховатой плоскости, т.е. неголономная модель (скорость точки контакта равна нулю). Эта модель восходит к Эйлеру, Кориолису, Раусу, а затем развивалась в работах С. А. Чаплыгина, Воронца, В. В. Козлова, А. В. Борисова, И. С. Мамаева и т. д. (по-

дробную библиографию см. в уже упомянутой книге А. П. Маркеева, а также в книге А.В.Борисов, И.С.Мамаев «Динамика твёрдого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос». — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 576 е.).

3) Модель неабсолютно шероховатой плоскости, т. е. модель с сухим трением (коэффициент трения конечен). Эта модель восходит к Г. Амонтону и Ш. Кулону, а впоследствии получила своё развитие в работах П.Контенсу, Т.Эрисмана, В.Ф.Журавлева, А. А.Кириенкова и т. д. Важным пунктом этой модели является выбор закона распределения нормальных давлений по области контакта. В диссертации рассмотрены два типа распределений: равномерный и по закону Л. А. Галина, полученному из решения статической контактной задачи теории упругости. Выбор других законов обсуждался и развивался в работах В.Ф.Журавлева, В.А.Самсонова, А.П.Иванова, А.А.Кириенкова, И. И. Аргатова и др.

Научная новизна. В диссертации с использованием указанных выше методов исследованы и решены в аналитическом виде некоторые классические задачи механики твёрдого тела с сухим трением.

Основными элементами новизны в диссертации являются следующие:

— аналитически решена задача о нахождении необходимых и достаточных условий равновесия твёрдого тела, опирающегося на плоскость с анизотропным сухим трением в статически определимом случае (одна, две или три точки опоры);

— аналитически решена задача о нахождении условий равновесия

в том случае, когда область контакта представляет собой стержень (т. е. очень узкий прямоугольник), эти условия достаточно просты аналитически, что позволяет решать задачи о нахождении минимальных сил и моментов, способных нарушить равновесие такого тела;

— исследована задача о горизонтальном движении стержня с двумя площадками, контактирующими с шероховатой плоскостью в условиях модели сухого трения Контенсу - Журавлева, в некоторых случаях удаётся получить решение такой задачи в квадратурах;

— исследованы качественные особенности движения произвольного плоского твёрдого тела по шероховатой плоскости, в частности, показано, что максимальный путь, который может пройти такое тело до полной остановки в классе движений с фиксированной начальной кинетической энергией, реализуется на чисто поступательном его движении, а вращение и движение центра масс заканчиваются одновременно в момент остановки тела;

— исследовано движение круглого плоского твёрдого тела при равномерном распределении нормальных давлений по шероховатой плоскости, получены «неулучшаемые» (в классе движений с фиксированной начальной кинетической энергией) оценки времени остановки тела (сверху и снизу);

— исследовано движение круглого плоского твёрдого тела при неравномерном, но радиально-симметричном законе распределения нормального давления (закон Л. А. Галина) по шероховатой плоскости, где удаётся уравнения движения проинтегрировать в элементарных функциях;

— исследовано движение плоского твёрдого тела, представляющего собой стержень (узкий прямоугольник) при равномерном законе нормальных давлений по шероховатой плоскости, где показано, что все движения тела (для всех начальных условий, отличных от поступательных) стремятся к чисто вращательному вокруг центра стержня, если отношение его полудлины к центральному радиусу инерции меньше у/2;

— исследована задача о безотрывном плоском движении твёрдого тела (пластинки, контура) по шероховатой прямой по действием произвольной системы сил (задача Е.А.Болотова), где дана полная классификация переходов движений со скольжением в движения чистого качения (и наоборот) при безотрывном движении тела, получены простые достаточные условия безотрывного движения тела, которые затем применяются для классических задач о движении неоднородного круглого диска, тонкого стержня и эллиптического диска по шероховатой прямой в вертикальной плоскости в поле силы тяжести; основным принципом, используемым при решении таких задач, является корректный выбор начальных условий, при которых движение тела является безотрывным в моменты времени, непосредственно предшествующие начальному;

— исследована задача о безотрывном движении волчка (геометрически и динамически симметричного твёрдого тела) по гладкой плоскости в поле силы тяжести, где удаётся выписать аналитические условия и параметры тела, обеспечивающие его безотрывное движение;

— исследована задача о безотрывном движении волчка по абсо-

лютно шероховатой плоскости в поле силы тяжести (неголономная постановка), где также (в некоторых случаях) удаётся вычислить в явном виде силу нормальной реакции, а затем установить условия безотрывного движения волчка;

— исследованы две классические задачи неголономной механики: 1) движение без проскальзывания колёсной пары по наклонной плоскости; 2) движение плоской колёсной модели экипажа типа скейтборда; получены условия безотрывного движения колёсной пары, показано, что при нарушении этих условия происходит отрыв одного из колёс, и возникает парадоксальная ситуация, что указывает на ограниченную область применимости неголономной модели.

Практическое значение диссертации. Полученные в работе решения конкретных задач механики твёрдого тела могут быть использованы при создании робототехнических шагающих устройств, которые в процессе своего перемещения опираются на шероховатую поверхность. При этом равновесие или необходимое движение такого устройства должны обеспечиваться соответствующими силами сухого трения.

Результаты, полученные при решении задачи о движении стержня, контактирующего с шероховатой плоскостью двумя укреплёнными на нём площадками, могут быть использованы при восстановлении обстоятельств дорожно-транспортных происшествий органами Государственной инспекции по безопасности дорожного движения (ГИБДД). При этом предполагается, что автомобиль (транспортное средство) моделируется стержнем с двумя опорными площадками (плоские пары), и движение его является неуправляемым, т. е. происходит только под

действием сил трения. Результаты, полученные при исследовании безотрывных движений колёсных экипажей, могут быть использованы при проектировании роботизированных тележек.

Кроме того, практически все результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при преподавании курсов теоретической механики студентам ВУЗов, а также в школах с физики-матема-тическим уклоном.

Достоверность полученных результатов основана как на применении классических методов исследований, хорошо зарекомендовавших себя в течение всего развития аналитической механики, так и применении новых методов, математически и логически обоснованных в тексте диссертации.

Апробация работы. Основные научные положения и результаты диссертации докладывались автором на научно-методических конференциях МАДИ (ГТУ) в период 2004-2009 гг. Кроме того, результаты работы были доложены на следующих научных семинарах:

1. «Теория управления и динамики систем» под руководством академика РАН Ф. Л. Черноусько (январь 2006 г.; ноябрь 2007 г.; ИПМех им. А.Ю.Ишлинского РАН).

2. «Механика систем» им. А.Ю.Ишлинского под руководством академиков РАН Д. М. Климова, В. Ф. Журавлева (январь 2006 г.; февраль 2008 г.; ИПМех им. А. Ю. Ишлинского РАН).

3. «Прикладная механики и управление» им. А. Ю. Ишлинского под руководством профессоров В. В. Александрова, Н. А. Парусникова,

Ю. Г. Мартыненко, Ю. В. Болотина (февраль 2007 г, Институт механики МГУ им. М.В.Ломоносова).

4. «Аналитическая механика и устойчивость движения» им. В. В. Румянцева под руководством член-корреспондента РАН В.В.Белецкого, проф. А. В. Карапетяна (октябрь 2006 г., мех.-мат. факультет МГУ им. М. В. Ломоносова).

5. «Научно-практические задачи развития автомобильно-дорожного комплекса в России». Председатель: вице-президент РАН академик РАН В.В.Козлов, сопредседатели: академики РАН К.В.Фролов, А.С.Бугаёв, член-корреспондент РАН В. М. Приходько (декабрь 2006 г., декабрь 2007 г. МАДИ (ГТУ)).

6. Общемосковский научно-методический семинар по теоретической механике под руководством профессора В.В.Лапшина (февраль 2004 г., МГТУ им. Н.Э.Баумана).

Некоторые результаты настоящей работы докладывались автором на Всероссийском совещании-семинаре заведующих кафедрами теоретической механики вузов России в июле 2004 г. (г. Пермь, Пермский госуниверситет), а также на заседаниях Научно-методического совета по теоретической механике при Минобрнауки РФ (председатель, академик МАН ВШ, профессор Ю. Г. Мартыненко).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 261 стр. Рисунки включены в текст, список литературы занимает 9 стр. и содержит 75 источников.

Содержание работы

Во введении описывается структура работы и краткое содержание глав, приводится список научных семинаров, на которых были доложены основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена задачам о статическом равновесии твёрдого тела, контактирующего с шероховатой плоскостью. Характер взаимодействия с опорной плоскостью может быть двух видов:

а) непрерывный (пятно контакта, например, узкий прямоугольник или отрезок);

б) дискретный или точечный контакт (тело опирается о плоскость двумя, тремя или более своими точками).

Предполагается, что реакция шероховатой плоскости осуществляется по законом сухого (кулонова) трения с известным коэффициентом трения к (коэффициент трения покоя и скольжения предполагаем равными). Пусть к телу приложена произвольная плоская система сил, характеризуемая главным вектором ^ = (Гх, Ру, 0) и главным моментом МО = (о, 0, Мог) относительно произвольной точки О опорной плоскости в системе координат Охуг (Оху — опорная плоскость, Ог — нормаль к ней). Требуется определить необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять Р, Мо и коэффициент трения к, чтобы тело сохраняло состояние покоя. При этом для непрерывного контакта мы считаем нормальное давление в области контакта известным и равномерно распределённым, а для дискретного контакта нормальные реакции в точках контакта мы считаем известными и положительными (статически определимых случаях одной, двух

или трех точек контакта эти нормальные реакции определяются компонентами ^ и Мох, Моу для соответствующей пространственной системы сил, а также геометрическими характеристиками расположения точек контакта).

§§1.1 и 1.2 первой главы содержат формализованную постановку задачи о равновесии тела для этих двух видов контакта (непрерывного и дискретного). По сути, это и есть метод предельного равновесия, восходящий к Желле, Н. Шиллеру и Н. Е. Жуковскому.

В § 1.3 первой главы рассматривается задача о равновесии на шероховатой плоскости в том случае, когда область контакта «? представляет собой тонкий однородный стержень АВ (см. рис. 1).

¿V

м

в

Рис. 1. Область контакта — тонкий стержень: АВ — стержень, Р = (Рх, Ру) — главный вектор, М — главный момент относительно центра масс О стержня приложенной системы сил

Систему координат Оху выберем так, чтобы О совпадало с центром масс стержня, и Рх ^ 0, Ру ^ 0. Пусть I — полудлина стержня

(АО = О В = I), р — нормальное давление на единицу длины стержня, к — коэффициент трения. Будем предполагать выполненным условие:

Г = + Р* < ^р = 21кр, (1.1)

которое обеспечивает отсутствие возможного поступательного движения стержня при приложении как угодно малого момента М. Введём безразмерные величины:

/ -£*_ f = Е1. т =

Jx — т? ' Jy р > о/ •

1тр -Гтр • м тр

Условие (1.1) принимает вид:

/2 = /2 + /2< 1- (1-2)

Справедлива

Теорема 1.1. Пусть (1.2) выполнено. Тогда для равновесия стержня необходимо и достаточно выполнения неравенства:

\т\ <\[(1~ /> - ,

где г — корень уравнения

который всегда существует и является единственным.

Если, например, /х = О, ф 0 (главный вектор перпендикулярен стержню), то условие равновесия приобретает совсем простой вид:

Н < —

т.е. область равновесия в плоскости переменных {fy, то} ограничена двумя параболами.

Используя результат теоремы 1.1 можно решать оптимизационные задачи, например, в какой точке стержня и в каком направлении следует приложить силу Fi, чтобы сдвинуть стержень и обеспечить минимум модуля |Fi|? Сформулируем ответ: силу F\ следует прилагать в точке А (или В) перпендикулярно АВ, при этом её модуль равен F1 = = kmg(V2 — 1), где m — масса стержня. Отметим, что рассматриваемая задача исследовалась численным способом при помощи принципа максимума Л. С. Понтрягина в работе А. С. Смышляева, Ф. JI. Черноусько (ПММ, т. 66, вып. 2. - 2002. - С. 177-182).

В § 1.4 первой главы рассматривается задача об условиях равновесия в случае дискретного опирания тела на две точки (А и В). Начало координат выберем в центре отрезка АВ, а оси х и у направим так, чтобы Fx ^ 0, Fy ^ 0. Ясно, что это не нарушает общности. Пусть I — полудлина отрезка АВ {АО = О В = I), Na, Nb — нормальные давления в точках А и В, к — коэффициент трения, M — главный момент приложенной системы сил относительно точки О. Будем предполагать выполненным условие

F = yjF£ + F£ < FTp = k(NA + NB), (1.3)

которое обеспечивает отсутствие возможного начального поступательного движения АВ при приложении как угодно малого момента М.

Вводим безразмерные величины:

21 *

NA

1 1-/,' ^ !+/,•

<Т = Ц2- Дь

= (V + Ь\/0~-/2)(/2-^2)) при и < /, В(а) = |пип{(1-/1, + «т), (! + /„-«г)}.

Справедлива

Теорема 1.2. Пусть (1.4) выполнено. Тогда для равновесия АВ необходимо и достаточно:

1) при ¡у < /2, |<т| < £ь -А(-а) <т< А{а),

2) при /у < /2, < ст < -В(-а) < т < А(а),

3) при /у ^ /2, о- ^ -В(-<г) < т < В{а),

4) при /„ > Р,<т£ -В(-<т) < ттг < А{а),

5) при Д > /2, а <£ [Сь -В(-о-) < ттг < В(<т).

Используя результаты теоремы 1.2 можно решать различные оптимизационные задачи, например, как выбрать распределение нормальных нагрузок и Л"в, чтобы обеспечить наибольшую сопротивляемость АВ к поворотам или сдвигам?

Условие (1.3) имеет вид:

/2 = /х2 + /,2<1-

(1.4)

В § 1.5 первой главы рассматривается задача об условиях равновесия в случае дискретного опирания тела на три точки (Л, В и С). Этот случай также является статически определимым, поэтому будем считать известными нормальные реакции Агд, Nb, Nc в точках, соответственно, А, В и С. Начало координат О выберем в середине стороны АВ, ось х — вдоль АВ, а ось у — перпендикулярно АВ, причём так, чтобы Fx ^ 0, Fy ^ 0 (без ограничения общности). Для треугольника ABC обозначим АВ = с, ВС = а, АС = Ь, а углы — соответствующими буквами вершин: Л, В, С. Полагаем выполненными условие:

F = yjF* + F* < FTP = k{NA + NB + Nc) = kN, (1.5)

которое обеспечивает отсутствие возможного начального поступательного движения ABC при приложении сколь угодно малого момента М. Вводим безразмерные величины:

f _ г _ FV _ М

jx - р , Jy - р , т - р

X тп -L ТП Т1

• тр ■*■ тр тр

NA NB NC

ДГ' ^

Условие (1.5) имеет вид:

Mi = -дГ, № = -jj-, = Ml + /i2 + M3 = l-

/= ^/х+/„2<1. (1-6)

Справедливы утверждения.

Теорема 1.3. Пусть / = 0 и из чисел Ц2, Мз "нельзя составить треугольник. Пусть, к примеру, //з = тах{^х, Ц2, /¿з}- Тогда для равновесия необходимо и достаточно, чтобы

\т\ < \{ац2 + Ъц\).

Теорема 1.4. Пусть / = 0 и из чисел Ц2, Мз можно составить треугольник. Тогда, если углы треугольника ABC удовлетворяют неравенствам:

eos cosB>á^tlÁ, cosO^i^l,

2р2Мз 2/X1/Í3

(1.7)

то необходимое и достаточное условие равновесия следующее:

\т\ < то,

а если хотя бы одно из неравенств (1.7) нарушено, то необходимое и достаточное условие равновесия такое:

где

\т\ < mi,

mi — min ^ + |/íi, щ + М2 + |мз

то = |

^H/l^p + ^j +У$ + (хр- § ) +Ур+

+Мз у{хр- хс)2 + (ур - Ус)2

{жс, ус} — координаты точки С в системе Оху, хр, ур даются формулами, зависящими от параметров ц\, ^2, Цз> хс, Ус> с и которые приведены в тексте диссертации.

В общем случае / ф О (ненулевой главный вектор приложенной системы сил) необходимые и достаточные условия равновесия также представляются в аналитическом виде, однако в силу громоздкости

здесь не приводятся (см. текст диссертации или книгу автора «Динамическая система с сухим трением». — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006, стр. 80-83).

В § 1.6 первой главы излагается решение задачи об условиях статического равновесия твёрдого тела, опирающегося на шероховатую плоскость с анизотропным сухим трением одной, двумя или тремя своими точками. Модель анизотропного сухого трения обобщает известную изотропную модель Амонтона-Кулона. Методика исследования здесь использует понятия анизотропной силы трения покоя, что существенно облегчает получение аналитических условий равновесия; полученные результаты представлены достаточно простыми формулами и обобщают аналогичные результаты из §§ 1.4, 1.5 для изотропного сухого трения.

Пусть Охуг — неподвижная система координат. Рассмотрим твёрдое тело, опирающееся на плоскость Оху своими точками А\, ..., Ап. Обозначим радиус-вектор точки А к через г к = (яь у к, 0)т. Здесь и всюду далее к = 1, 2, ..., п.

Пусть к телу приложена произвольная система активных сил, имеющая главный вектор ^ = (Ь'х, Ру, Г2)т, и главный момент относительно точки О: Мо = {Мх, Му, Мг)т. Требуется определить условия на величины Р, Мо, координаты точек А^ и характеристики анизотропного трения в точках А/с, при которых существуют такие реакции N к. = (0, 0, Аг/;)т (нормальные реакции), Рк = (Ркх, Рку, 0)т (касательные реакции, т.е. анизотропные силы трения покоя), что удовле-

творяются условия статического равновесия тела

^ + + = М = ^[?кх(]7к + Гк)]= 0. (1.8)

к

Кроме того, должны выполняться условия неотрицательности ^ 0 и соответствующие неравенства для анизотропных сил трения покоя Ffc. Опишем модель анизотропного сухого трения. Пусть точка контакта Ак приобрела скорость ук в плоскости Оху, направленную под углом в к оси Ох. Тогда анизотропная сила трения скольжения определяется формулой

-р _ ЯкФрУк ( .

где Ф0 — \\fij II — (2 х 2)-матрица тензора трения, предполагаемая положительно определённой, т. е. выполнены необходимые условия:

/п > 0, /22 >0, А = /ц/22 - /12/21 > 0.

При классическом законе изотропного сухого трения (закон Кулона) имеем Фо = /Е, где / — коэффициент трения, Е — единичная матрица.

Сила трения покоя Рк, направленная под углом а положительной оси Ох, по модулю не превосходит модуля возможной силы трения движения, которая также направлена под углом а к оси Ох. Учитывая (1.9), мы получим следующие неравенства для анизотропной силы трения покоя:

(/Л - /22*Ы2 + (/21^х - /п^,)2 < $ = Д2^2,

(1.10)

А = /11 /22 - /12/21 > 0. Таким образом, поставленная задача формулируется так. Определить условия, налагаемые на величины Гх, Ру, рх, Мх, Му, Мг, (хк, у к) и /у

(г, ] = 1, 2), при которых существуют такие реакции N к = (О, О, Г к = (-Р/сх, Ь\у, 0)т, что удовлетворяются уравнения равновесия (1.8) и выполнены неравенства (1.10) и Л^ ^ 0, т.е. силы реакции плоскости являются допустимыми.

1) Пусть п = 1 (одна точка опоры). Тогда справедливо утверждение.

Утверждение 1. Для статического равновесия тела, опирающегося одной точкой на плоскость с анизотропным сухим трением, характеризуемым матрицей Фо = \\fijW, необходимо и достаточно соблюдение условий:

MAl = 0, Fz< 0, (fl2Fy - /22Fx)2 + (f21Fx - fnFy)2 ^ A2Fl

где Max — главный момент активных сил относительно точки опоры А\, F — (Fx, Fy, FZ)T — главный вектор активных сил.

2) Пусть п — 2 (две точки опоры). Пусть Ai совпадает с началом координат, а точка /Ь имеет координаты х^ = acosa, y<¿ = asina, где а — длина отрезка А1А2, а — угол, образуемый вектором А^А2 с положительной осью Ох. Тогда Мх и Му связаны соотношением

означающим отсутствие условий, обеспечивающих вращение тела вокруг оси А1А2. А нормальные реакции в точках А{ и А^ даются формулами:

Мх eos a + Му sin a = 0,

(1.11)

N, = —Fz -

> 0, N2 =

Му

>0

(1.12)

a cosa

acosa

Пусть фо — угол, образуемый вектором Fxy = (Fx, Fy, 0)т с вектором AiA%. Вводим обозначения:

в{Ф) = /22 cos ip - /12 sin ip, h(ip) = fn sin <p - /21 eos y;,

o-2(v) = fl2(v) + Л2(у>), 7 = " + A = /11/22-/12/21,

^ = 5(«)5(7) + М«Ж7), F3 = F% + Fj, m = (1.13)

Справедливо утверждение.

Утверждение 2. Для статического равновесия твёрдого тела, опирающегося двумя точками на шероховатую плоскость с анизотропным сухим трением, описываемым матрицей Фо> необходимо и достаточно соблюдения условия (1.11), неравенств (1.12), а также неравенств

где Ai, А2, т, Fq\, F02 определены вышеприведёнными формулами

Утверждение 3 касается явного решения неравенств (1.14) и здесь не приводится (см. текст диссертации или статью автора в журнале ПММ, вып. 2, 2009 г.).

3) Пусть п = 3 (три точки опоры). Пусть начало координат О совпадает с точкой А\, (х2, 2/2) — координаты точки (хз, уз) —

Foi = Fo sin F02 = -^p, Fq0 = Fo2i + F022, Ak = Nka(a), k = 1, 2; a^j) = /125(7) ~ fiiHl)-

(1.14)

(1.13).

координаты точки Аз в системе Оху. Обозначим:

аз = /пУ] ~ ¡21%}, Ъ, = -/12у, + /22^, 3 = 2, 3, А =/22^х -/Л Яг = /21^-/11^, & = Д-^ь & = 1,2,3, А = /ц/22 - /12/21 > 0. Здесь мы полагаем нормальные реакции Л^ известными положительными величинами, которые получены из уравнений равновесия и зависят лишь от внешних заданных сил, их моментов и геометрии конструкции.

Нетрудно показать, что задача об условиях возможности статического равновесия сводится к следующей оптимизационной задаче выпуклого программирования:

найти экстремумы функции:

Ф = М2 ■ Д = и2а2 + у2Ь2 + + избз

при ограничениях:

(«2 + и3 + Р1)2 + (у2 + У3+ Р2)2 <

Решение такой задачи подробно описано в тексте диссертации (см. также статью автора в ПММ, вып. 2, 2009 г.) и сводится к поиску экстремума элементарной функции от одной переменной, которая приведена в тексте диссертации. Особенно простые аналитические формулы получаются для случая Рх = Ру = 0 (см. текст диссертации).

Вторая глава посвящена динамическим задачам о движении плоских тел, опирающихся на шероховатую горизонтальную плоскость

при наличии сил сухого трения. Характер опирания тела на плоскость может быть либо непрерывным (пятно контакта), либо дискретным (опирание на очень малые площадки).

В §2.1 второй главы исследуется задача о движении по горизонтальной плоскости невесомого стержня с двумя свободно укреплёнными весомыми площадками на концах под действием сил сухого трения. Пусть это — стержень АВ длины 21, а массы площадок А и В, соответственно, т\ ишг. Форма площадок — окружности радиуса е.

Предполагаем, что площадки укреплены на стержне при помощи идеальных цилиндрических шарниров, не создающих реактивных моментов от стержня и, следовательно, не могут заставить площадки поворачиваться. Следовательно, применима одномерная (классическая) модель сухого трения: сила трения /,-, приложенная к площадке ггц (г = 1, 2), направлена против вектора её поступательной скорости г^ и пропорциональна её весу, если площадка движется, и против вектора суммы остальных внешних сил, если площадка покоится:

Si

к^тПтОи^ _ , „

~ ,_, , ЩфО,

Ы

- шш {кгпцд, 1^1} • щ = 0, Тг Ф 0, (2Л)

\р%\

0, ы = 0, Fi= 0,

где кг — коэффициент трения сил для площадки гщ, г^ — её поступательная скорость, Ь\ — равнодействующая внешних сил (в данном случае сила реакции стержня в момент остановки, т.е. при Щ = 0, г = = 1, 2). Нетрудно выписать уравнения движения такой системы. Пусть

V - скорость центра масс с этого тела, 7 — угол, составляемый вектором V с отрезком АВ, ы — ь>1, где ш — угловая скорость стержня АВ. Далее рассматривается случай равных масс т\ = т-2 — т и равных коэффициентов трения к\ = /сг = к. Тогда справедливы утверждения.

Утверждение 1. 1) Пусть начальные условия таковы, что и(0) = «1(0), 7(0) ф Тогда у{Ь) = для всех £ вплоть до остановки, и имеет место следующий первый интеграл:

sin 1 + j^j -j = Ci= const, 0 < 7 < 5/i\/2cos * — С2 = const, I ^ 7 < 7г,

(2.2)

где ц — кд/2.

2) Значение 7 = является особым, так как при этом происходит остановка одной из площадок. В соответствии с моделью одномерного трения (2.1) в этой точке следует проверять неравенство

2и2

кд>-1к- (2.3)

Если это неравенство (2.3) выполнено, то процесс движения заканчивается вращением стержня АВ вокруг остановившейся точки. Если же (2.3) не выполнено, то процесс движения продолжается в соответствие с формулами (2.2), но в конце концов заканчивается вращением вокруг одной из точек А или В.

Более подробно эти ситуации обсуждаются в работе А. Ю. Ишлин-ского, Б.Н.Соколова, Ф.Л.Черноусько (Изв. АН СССР, МТТ, №4, 1981, с. 17-28), где рассматриваемая задача исследовалась численно.

Утверждение 2. Пусть г)(0) ф ^(0), тогда у{Ь)/у\{Ь) 1 в процессе движения, а решения стремятся к интегрируемым, рассмотренным в утверждении 1.

В § 2.2 второй главы исследуется задача, аналогичная задаче из § 2.1, в предположении, что площадки контакта жёстко закреплены на стержне. Этот вид закрепления приводит к необходимости применения модели двумерного сухого трения, разработанной В. Ф. Журавлевым и учитывающей зависимость силы трения, приложенной к площадке, не только от скорости её центра, но также и от угловой скорости стержня (так как площадка контакта жёстко связана со стержнем). Исследование движения здесь аналогично исследованиям из § 2.1. Показано, что при достаточно малых размерах площадок контакта решения рассматриваемой системы стремятся к соответствующим решениям из § 2.1. Качественным (и главным) отличием движения рассматриваемой системы от движения системы из § 2.1 является то, что в процессе движения никогда не происходит чистого вращения вокруг остановившейся площадки. Таким образом, площадки движутся всё время и останавливаются лишь в конце, в момент остановки тела.

В § 2.3 второй главы исследуется движение плоского тела, опирающегося произвольной непрерывной областью на горизонтальную плоскость при наличии сухого трения. Нормальное давление считается равномерно распределённым по области контакта.

Здесь получены следующие результаты.

1) Приведены основные способы аналитических вычислений сил трения и моментов сил трения, действующих на область контакта. Это

— способ, использующий прямоугольные координаты и способ А. И. Лурье, использующий полярные координаты, связанные с мгновенным центром скоростей.

2) Получены оценки (сверху и снизу) для времени полной остановки тела при произвольных начальных условиях.

3) Рассмотрены вопросы о существовании чисто поступательных и чисто вращательных движений тела. Показано, что при совпадении центра нормальных давлений, действующих на область контакта, с проекцией центра масс тела на горизонтальную плоскость, процесс движения заканчивается лишь при одновременном обращении в нуль угловой скорости тела и скорости центра её масс.

4) Рассмотрена задача об определении максимального пути, проходимого проекцией масс тела вплоть до полной остановки в классе движений с фиксированной начальной кинетической энергией. Показано, что максимальный путь реализуется на чисто поступательном движении тела (если, конечно, оно осуществимо!). Подчеркнём, что при поступательном движении сила трения (замедляющая движение центра масс) является максимальной, однако и начальная скорость центра масс также является максимальной среди всех движений, имеющих фиксированную кинетическую энергию.

В § 2.4 второй главы задача из § 2.3 рассмотрена в том частном случае, когда область контакта является кругом. Здесь показано, что проекция центра на область контакта движется прямолинейно и задача исследования движения упрощается. Получены следующие результаты:

1) В зависимости от параметров задачи (масса тела, радиус площадки контакта, момент инерции тела относительно вертикали, проходящей через центр масс) все движения тела (независимо от начальных условий) стремятся либо к чисто поступательному движению, либо к чисто вращательному движению вокруг центра масс, либо к смешанному движению, представляющему собой качение без проскальзывания диска фиксированного радиуса по прямой, параллельной траектории центра масс, причём центр этого диска совпадает с центром площадки контакта, а радиус определяется параметрами тела.

2) Получены неулучшаемые (в классе движений с фиксированной начальной кинетической энергией) оценки времени остановки тела (сверху и снизу). Эти оценки связаны с результатами предыдущего пункта и достигаются на поступательных, вращательных или смешанных движениях, описанных в предыдущем пункте.

В § 2.5 второй главы результаты из § 2.4 распространяются для случая, когда область контакта является тонким кольцом. Полученные здесь результаты полностью аналогичны соответствующим из §2.4.

В §2.6 второй главы задача из §2.3 рассматривается в том частном случае, когда область контакта есть узкий прямоугольник (стержень). Здесь получены следующие результаты.

1) В определённой области изменения параметров системы (отношение полудлины стержня к радиусу инерции тела относительно вертикальной оси, проходящей через центр стержня, меньше \/2) все движения тела (независимо от начальных условий) стремятся к чисто вращательному вокруг центра стержня.

2) При движении тела его центр масс отклоняется в сторону, противоположную его вращению.

В § 2.7 второй главы обсуждается задача о движении однородного тяжёлого шара по горизонтальной шероховатой плоскости с проскальзыванием. Областью контакта шара с плоскостью является круг малого радиуса, а давление равномерно распределено. Дано качественное описание движения шара вплоть до прекращения проскальзывания. Производится сравнение с классическим аналогом этой задачи, когда область контакта вырождается в точку, в которой при скольжении действует классический одномерный закон Кулона (в отличие от двумерной модели Контенсу-Журавлева, применимой для круглой области контакта).

В § 2.8 второй главы решена задача точного интегрирования уравнений движения круглого диска по шероховатой горизонтальной плоскости. Здесь принят неравномерный, но радиалыю-симметрич-ный закон распределения нормального давления по области диска (закон Л.А.Галина). Уравнения движения диска представлены в элементарных функциях, определяется пройденный диском путь и время вплоть до остановки.

Глава 3 посвящена некоторым классическим задачам о движении твёрдого тела по шероховатой плоскости. Контакт тела с плоскостью предполагается точечным, а характер взаимодействия является кулоновым (сухое трение) с коэффициентом трения, принимающим значения от нуля (абсолютно гладкая плоскость) до бесконечности (абсолютно шероховатая плоскость, т.е. неголономная связь). Бесконеч-

ный коэффициент трения принимается условно для реализации него-лономной связи. Связь в точке контакта является односторонней, что существенно усложняет задачу исследования движений тела.

В § 3.1 третьей главы рассматривается задача о безотрывном плоском движении твёрдого тела (пластинки) по шероховатой прямой (с произвольным коэффициентом трения) под действием произвольной плоской системы сил (задача Е.А.Болотова). Связь в точке контакта предполагается односторонней. Дана полная классификация переходов движений со скольжениями в движения чистого качения и наоборот при безотрывном движении тела. Эта классификация свободна от парадоксальных ситуаций, так как рассматриваются только корректные начальные условия, при которых движение является безотрывным в моменты времени, непосредственно предшествующие начальному. Отметим, что при «некорректных» начальных условиях реализуется «заход» системы на связь, и движение пластинки должно описываться с привлечением дополнительных гипотез и предположений, использующих элементы теории удара с трением. Такая задача рассматривалась в работах А. П. Иванова. В диссертации получены достаточные условия безотрывного движения тела в течение всего времени его движения, которые затем применяются для задач о движении неоднородного круглого диска, тонкого стержня и эллиптического диска по шероховатой горизонтальной прямой в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

В § 3.2 третьей главы рассмотрена задача о безотрывном движении волчка (геометрически и динамически симметричного твёрдо-

го тела) по гладкой плоскости в поле силы тяжести. Контакт тела с плоскостью предполагается точечным, а трение отсутствует. Получены простые формулы для силы нормальной реакции опорной плоскости в виде полинома второго порядка от косинуса угла нутации. Затем выписаны аналитические условия, которым должны удовлетворять начальные данные и параметры тела, обеспечивающие его безотрывное движение.

В § 3.3 третьей главы рассматривается задача о безотрывном движении волчка по абсолютно шероховатой плоскости (бесконечный коэффициент трения) в поле силы тяжести. В предположении непроскальзывания точки контакта тела с плоскостью мы получаем, таким образом, неголономную одностороннюю связь. В некоторых случаях здесь также удаётся вычислить в явном виде силу нормальной реакции плоскости, как полином третьего порядка от косинуса угла нутации. Затем уже выписываются условия безотрывного движения волчка, т. е. положительности нормальной реакции.

Отметим, что в случае обращения нормальной реакции в нуль, рассматривается задача о возможности отрыва тела от опорной плоскости. Показано, что здесь могут возникать (в некоторых случаях) парадоксальные ситуации (типа парадоксов Пэнлеве), свидетельствующие о том, что до момента обнуления нормальной реакции должно начаться проскальзывание (при конечном коэффициенте трения), т.е. неголо-номная постановка задачи имеет ограниченную область применимости.

Отметим, что аналогичные трудности были указаны ещё Контенсу при исследовании движения гироскопа Флериэ.

В § 3.4 третьей главы рассмотрены две классические задачи неголономной механики для колёсных экипажей: 1) движение без проскальзывания колёсной пары по наклонной плоскости, и 2) движение плоской колёсной модели экипажа типа скейтборда. При составлении уравнений движения используются основные теоремы динамики и кинематические соотношения, характеризующие неголономные связи. Неголономная связь в этих задачах заключается в том, что отсутствует боковое (нормальное и плоскости колеса) проскальзывание колеса. Такая методика позволяет наряду с определением движения системы, получать также и выражения для сил реакций, реализующих такое движение и связи (нормальные и касательные силы реакции, т. е. силы трения покоя).

Для движения колёсной пары под действием силы тяжести по наклонной плоскости получены уравнения траектории её центра масс, а также условия безотрывного движения. Если последние нарушаются, то происходит отрыв одного из колёс. Показано, что в этом случае возникает парадоксальная ситуация, и это указывает на ограниченную область применимости неголономной модели. Таким образом, в этих случаях необходимо учитывать конечность коэффициента трения и рассматривать процесс движения колёсной пары с возможностью бокового проскальзывания колёс.

В заключение этого параграфа рассмотрена задача о неуправляемом движении плоского колёсного экипажа (скейтборда), решение которой представлено в квадратурах.

Основные научные результаты и выводы

В диссертации получено решение крупной научно-технической проблемы о равновесии и движении твёрдого тела при наличии сухого трения. Новые научные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Статически определимые задачи о равновесии твёрдого тела, опирающегося своими точками на шероховатую плоскость, допускают простые аналитические решения. Кроме того, показано, что использование понятия силы трения покоя позволяет существенно сократить процесс получения решения задачи о равновесии (в отличие от обычно применяемого метода предельного равновесия).

2. Уравнения движения плоских тел по шероховатой плоскости в некоторых случаях допускают точное интегрирование, что позволяет дать также качественный анализ и неинтегрируемых случаев. Доказано, что при произвольном движении (отличном от чисто вращательного вокруг центра масс или чисто поступательного) любого плоского контура по шероховатой плоскости вращения и скорость центра масс обращаются в нуль одновременно в момент остановки тела. Кроме того, показано, что максимальный путь (в классе движений с фиксированной начальной кинетической энергией) реализуется на чисто поступательном движении. Более конкретные выводы о движении можно сделать в тех случаях, когда контур представляет собой круг, кольцо или узкий прямоугольник (стержень). В частности, результаты для кругового контура позволяют качественно описать движение тяжёлого однородного шара по шероховатой плоскости на этапе перехода качения со скольжением к чистому качению в случае, когда площадка

контакта является кругом малого радиуса (неточечный контакт). Если же контур представляет собой стержень, то показано, что при его движении происходит отклонение траектории его центра масс в сторону, противоположную вращению.

3. Движение твёрдого тела по плоскости должно изучаться совместно с исследованием знака нормальной реакции и силы трения (покоя или скольжения) в точке контакта, в которой реализуется односторонняя связь. Кроме того, должны изучаться возможности отрыва тела от опорной плоскости в таких ситуациях.

В задаче о безотрывном плоском движении твёрдого тела (пластинки) по шероховатой прямой (задача Е. А. Болотова) можно дать полную классификацию переходов различных типов движений друг в друга, свободную от парадоксальных ситуаций. При этом используется понятие корректных начальных условий, которые являются (по определению) результатом некоторого исходного безотрывного движения (из ближайшего прошлого).

Получены достаточные условия безотрывного движения такого тела, которые затем эффективно применяются для исследования безотрывных движений в таких широко известных задачах, как задачи о неоднородном круглом диске, тонком стержне и эллиптическом диске.

4. В задаче о движении тяжёлого волчка по гладкой или абсолютно шероховатой плоскости удаётся вычислить аналитически силу нормальной реакции плоскости и исследовать её знак для широкого класса начальных условий и параметров волчка. Показано, что факт обнуления нормальной реакции является неотъемлемым свойством та-

ких задач и это необходимо учитывать, в частности, при исследовании устойчивости стационарных движений волчка.

В задаче о движении волчка по гладкой плоскости факт обнуления нормальной реакции приводит к отрывам от опоры и появлению характерного «дребезга». В задаче о движении волчка по абсолютно шероховатой плоскости обнуление нормальной реакции в некоторых случаях приводит к парадоксальной ситуации, что свидетельствует об ограниченной области применимости такой неголономной задачи.

5. Показано, что в задачах с неголономными моделями безотрывных движений колёсных пар и колёсных экипажей также могут возникать парадоксальные ситуации в случае обнуления нормальных реакций опорной шероховатой плоскости.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Розенблат Г. М. Об интегрировании уравнений движения диска по шероховатой плоскости. — Изв. РАН, МТТ, № 4, 2007, с. 65-71.

[2] Розенблат Г. М. Равновесие твёрдого тела на плоскости с анизотропным сухим трением. — ПММ, т. 73, вып. 2, 2009, с. 204-218.

[3] Розенблат Г. М. О безотрывных движениях твёрдого тела по плоскости. Доклады РАН, 2007, т. 415, № 5. — С. 622-624.

[4] Розенблат Г. М. О движении плоского твёрдого тела по шероховатой прямой. // Нелинейная динамика, 2006, т. 2, № 3, с. 293-306.

[5] Розенблат Г. М. Метод определения параметров безотрывного движения волчка по гладкой плоскости. // Нелинейная динамика, 2008, т. 4, № 1, с. 87-98.

[6] Розенблат Г. М. О вибрационной стабилизации волчка Лагранжа. ПММ, т. 48, №3, 1984. — С. 113-118.

[7] Розенблат Г. М. К динамике неголономных моделей колёсных экипажей // Вестник Удмуртского университета. Серия: математика, механика, компьютерные науки, 2008, вып. 3, с. 90-108.

[8] Розенблат Г.М. О движении тела, опирающегося двумя площадками на плоскость при наличии сил сухого трения. Сборник научно-методических статей. Теоретическая механики. — М.: Изд-во Московского университета, 2004, вып. 25. — С. 157-164.

[9] Розенблат Г. М. Об одной задаче динамики твёрдого тела при наличии сил сухого трения. Сборник научно-методических статей. Теоретическая механика, вып. 26 / Под ред. академика МАН ВШ Ю. Г. Мартыненко. — М.: Изд-во Московского университета, 2006. - С. 113-120.

[10] Розенблат Г. М. Механика в задачах и решениях. — М.: Едиториал УРСС, 2004. - 160 с.

[11] Розенблат Г.М. Динамические системы с сухим трением. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. — 204 с.

[12] Козлова 3.П., Паншина A.B., Розенблат Г.М. Теоретическая механика в решениях задач из сборника И. В. Мещерского. Динамика

материальной точки // Под ред. Г. М.Розенблата. — М.: КомКни-га, 2006. - 312 с.

Козлова 3. П., Паншина А. В., Розенблат Г. М. Теоретическая механика в решениях задача из сборника И. В. Мещерского. Динамика материальной системы. // Под ред. Г. М. Розенблата. — М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - 432 с.

Подписано в печать 05.05.09. Формат 60 х 84У16. Печать офсетная. Усл.печ. л. 2,33. Уч. изд. л. 2,14. Бумага офсетная №1. Тираж 100 экз. Заказ №20. AHO «Институт компьютерных исследований» 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500-295.