Задачи об экстремальном разбиении и смежные вопросы геометрической теории функций

Кириллова, Дина Александровна

Задачи об экстремальном разбиении и смежные вопросы геометрической теории функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Кириллова, Дина Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Биробиджан МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Задачи об экстремальном разбиении и смежные вопросы геометрической теории функций»

Автореферат диссертации на тему "Задачи об экстремальном разбиении и смежные вопросы геометрической теории функций"

На правах рукописи

Кириллова Дина Александровна

Задачи об экстремальном разбиении и смежные вопросы геометрической теории функций

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 НОЯ 2010

Биробиджан - 2010

004613612

Работа выполнена на кафедре высшей математики и методики обучения математике ГОУ ВПО "Дальневосточная государственная социально-гуманитарная академия"

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

профессор Дубинин В.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Шлык В.А.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Бахтин АЛ

Ведущая организация: Кубанский государственный

Защита состоится 9 декабря 2010 года в 10.00 на заседании диссертационного совета ДМ 212.056.11 при Дальневосточном государственном университете по адресу: г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27, к. 343.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.

университет

Автореферат разослан

октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических н профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время задачи об экстремальном разбиении занимают значительное место в геометрической теории функций и имеют богатую историю. Впервые экстремальные разбиения рассматривались при получении оценок произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей. Эта тематика восходит к знаменитой статье М.А. Лаврентьева 1934 года и впоследствии была развита в работах П.П. Куфарева, Г.М. Голузина, 3. Нехари, Ю.Е. Аленицына, H.A. Лебедева, Дж. Дженкинса, Г.В. Кузьминой, И.П. Митюка и других математиков. Современные задачи об экстремальном разбиении включают в себя различные типы модулей и приведенных модулей непересекающихся областей. Значительные результаты в решении такого рода задач установлены в работах Г.В. Кузьминой, П. Дюрена и М. Шиф-фера, А.К. Бахтина, С.И. Федорова, Е.Г. Емельянова, А.Ю. Солынина, А.Ю. Васильева и многих других. Основными методами при решении этих задач являлись: вариационный метод, метод экстремальных метрик и метод площадей. В последние десятилетия ряд задач об экстремальном разбиении был решен В.Н. Дубининым и его учениками Е.Г. Прилепки-ной, Л.В. Ковалевым, Е.В. Костюченко и Н.В. Эйрих с помощью свойств емкостей обобщенных конденсаторов и симметризации. Развитие методов симметризации в задачах геометрической теории функций связано с именами В.К. Хеймана, Дж. Дженкинса, И.П. Митюка, П.М. Тамразова, М. Маркуса, Д. Ахаронова, А. Бернстайна, В.А. Шлыка, В.Н. Дубинина, А.Ю. Солынина и других авторов.

Вместе с тем, многие задачи об экстремальном разбиении, в особенности со свободными полюсами, остаются нерешенными. В частности, неизвестно насколько в традиционных задачах о неналегающих областях внутренние радиусы можно заменить на радиусы Робена; как выглядят экстремальные разбиения, если на экстремум исследовать функционалы, зависящие от последующих коэффициентов в разложении функции Грина (функции Робена); каковы экстремальные разбиения в случае свободных полюсов на отрезке, на луче и других подмножествах комплексной сферы; каковы экстремальные разбиения для мебиусовых инвариантов, связанных с неналегающими областями.

Хорошо известно, что к задачам об экстремальном разбиении сводятся многие другие вопросы геометрической теории функций. Таким образом, от решения этих задач во многом зависит прогресс в исследовании смеж-

ных проблем: оценок коэффициентов, доказательств теорем покрытия и теорем искажения для однолистных и многолистных функций, получение метрических свойств подмножеств комплексной сферы и так далее.

Цель работы.

1. Развить технику емкостей конденсаторов и симметризации в решении задач об экстремальном разбиении.

2. Дать новые приложения экстремальных разбиений в традиционных разделах геометрической теории функций комплексного переменного.

Методы исследования. В работе используются общие методы теории функций и математического анализа, метод вариаций, а также специальные методы теории потенциала: симметризация, диссимметриза-ция и разделяющее преобразование конденсаторов.

Научная новизна.

1. Исследован новый класс задач об экстремальных разбиениях, включающих понятие радиуса Робена взамен внутреннего радиуса области.

2. Введены и изучены новые инварианты относительно мебиусовых преобразований комплексной сферы. В частности, найдены точные верхние границы для таких инвариантов в случае задачи, ассоциированной с четырьмя неналегающими областями.

3. Доказаны новые теоремы для семейств мероморфных функций без общих значений, включающие производные Шварца этих функций.

4. Получены новые многоточечные теоремы искажения и оценки коэффициентов в известных классах однолистных функций, а также неравенства для алгебраических полиномов.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в Казанском, Кубанском, Новосибирском, Дальневосточном государственных университетах, а также в ПОМИ РАН, ИМ СО РАН и ИПМ ДВО РАН при решении экстремальных задач теории функций.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научные работы и 6 тезисов докладов. Две работы выполнены в соавторстве, где В.Н. Дубинину принадлежит постановка задач и общее руководство.

Апробация результатов. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Дальневосточных математических школах -семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010), на Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике (Владивосток, 2009), на семинарах по геометрической теории функций ИПМ ДВО РАН и ДВГУ (руководители профессор В.Н. Дубинин и профессор H.H. Фролов).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета М^Х. Общий объем диссертации 135 страниц. Библиография содержит 114 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Содержание работы

Перейдем к детальной характеристике диссертационной работы, сохраняя при этом нумерацию разделов, формул и утверждений, принятую в тексте.

Во введении проводится обзор литературы и описывается состояние проблемы на сегодняшний день. Излагается актуальность темы, формулируется цель работы, описываются основные результаты исследования.

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. В параграфе 1.1. дается определение обобщенного конденсатора и формулируются необходимые свойства емкости конденсатора: монотонность, принцип симметрии, принципы композиции. Параграф 1.2. содержит асимптотические формулы для емкостей конденсаторов, в одной из которых участвуют, так называемые, радиусы Робена. Пусть область D С С ограничена конечным числом аналитических жордановых кривых, Г - непустое замкнутое подмножество 3D, состоящее из конечного числа невырожденных жордановых дуг, и пусть а - конечная точка области D. Функция Робена др(х,а, Г) определяется как вещественная непрерывная функция на D \ {а} (D означает компактификацию D посредством простых концов Каратеодори, граница dD - совокупность простых концов), непрерывно дифференцируемая на D \ (Г U {а}), гармоническая в D \ {а} и удовлетворяющая следующим условиям:

5ö(z,a, Г) = 0 при л £ Г, —gD{z,a,T)=Q при zedD\T,

go{z, а, Г) + log \z — a| - гармоническая функция в окрестности точки а (д/дп означает дифференцирование вдоль нормали к 8D). В случае, когда D - произвольная конечносвязная. область комплексной сферыС без изолированных граничных точек, а Г - непустое замкнутое граничное подмножество 3D, состоящее из конечного числа невырожденных связных компонент, функция Робена определяется с помощью конформного отображения.

Радиусом Робена области D относительно точки а и множества Г назовем величину

r(D, Г, а) = exp lim (sd(z, а, Г) + log\z - a|).

z—ю.

Если множество Г = 8D, то функция Робена равна функции Грина, а радиус Робена r(D, Г, а) совпадает с внутренним радиусом r(D, a).

В параграфе 1.3. даны краткие сведения из теории квадратичных дифференциалов на комплексной сфере.

Во второй главе изучаются задачи об экстремальном разбиении в классических и новых постановках. В параграфе 2.1. показано применение простейших вариаций для получения условий, которым необходимо должны удовлетворять экстремальные наборы областей и точек в некоторых задачах о неналегающих областях. В частности, рассмотрена следующая экстремальная задача для радиусов Робена "со свободными полюсами":

J]V(At,rb afc)(l - Ы2) sup, (2.1.16)

к=1

где верхняя грань ищется по всевозможным точкам ак, областям Dk и множествам Г^, удовлетворяющим условиям: а,к € Dk С U = {z : \z\ < 1}, (5Д0 П U С Гк С dDk, Dk П Di = 0, к ф I, к, I = 1,... ,п, п > 2.

Теорема 2.4. Если верхняя грань в (2.1.16) достигается для точек

a£,|a£|<l,fc = 1,... ,п, то необходимо выполняется равенство =

*=1

Параграф 2.2. посвящен изучению задач об экстремальном разбиении с фиксированными полюсами. Например, получен аналог известного неравенства П.П. Куфарева, где внутренние радиусы заменены на радиусы Робена r{Dk,Tk,ak), к = 1,2.

Теорема 2.5. Для любых областей Dk, множеств Г* и точек ак, удовлетворяющих условиям

Di П D2 = 0, akeDk С U, {dDk) П {/ С Г* С 8Dk, k = 1,2,

справедливо неравенство

r(Du Гь ax)r(D2, Г2, a2) < |a2 - <ц|2 [l - |(a2 - ai)/(l - оГоа)!2].-1,

где равенство для любых фиксированных точек ai и а2 круга U достигается в том случае, если общая граница областей D\ и Дг совпадает с Г1 = Гг и является неевклидовой прямой, ортогональной отрезку неевклидовой прямой, соединяющему точки ai и а2, и делящей этот отрезок попалам.

Обозначим через K(t), 0 < t < 1, круговое кольцо t < \z\ < 1, и пусть функция Т конформно и однолистно отображает кольцо K(t) на кольцо Тейхмюллера - плоскость с разрезами по некоторому отрезку [Т(1), —1], Т( 1) < —1, и по неотрицательной части вещественной оси.

Теорема 2.6. Для любых областей Dмножеств Гд; и точек ак, удовлетворяющих условиям

Di П D2 = 0, ak€Dk С K{t), (dDk) П K{t) С Тк С dDk, к = 1,2,

справедливо неравенство

гт.гь-мъгм

Равенство в (2.2.19) достигается в случае, когда ai <0, a2 > 0, a общая граница областей D\ и Z32 совпадает с

Г, = Г2 = {z G : |Г(*) - T(ai)| = |T(z) - Г(а2)|}.

В параграфе 2.3. исследуются задачи об экстремальном разбиении в тех случаях, когда полюса ассоциированных с ними квадратичных дифференциалов обладают некоторой степенью свободы. В качестве основных результатов этого параграфа приведем следующие теоремы.

Теорема 2.8. Пусть точки ак, к = 1,... ,п, п ^ 2, принадлежат окружности \z\ = р, 0 < i < р < 1; области Dак £ Dk С K(t); к = 1,... ,п, односвязные и попарно непересекающиеся; и пусть замкнутые множества Г*, Г* С <9Дь, к — 1,..., п, такие, что для каждого к множество (dDk) \ Гк либо пусто, либо представляет собой дугу окружности \z\ = 1, к = 1,... ,п. Тогда справедливо неравенство

ГИад,«*) < Пг(вдх) = (iM^)",

где а*к = рехр(2тк/п), D*k = {z е K(t) : | argz - 2жк/п\ < 7г/п}, Т*к = {z Е dDk : |z| ^ 1}, к = 1,... ,п, а функция Тп определяется как функция Т, но с заменой параметра t на tn.

Теорема 2.12. Пусть точки k = l,...,n, (n Jí 3) таковы, что ai = —On = 1, — 1 < aic < 1, k = 2, ...,n — 1; области Dk, o-k £ D¡c С С, k = 1,... ,n, попарно не пересекаются. Тогда справедливо неравенство

Равенство достигается для областей Dk, на которые плоскость С разбивается кривыми z = cos ™2п-2 + *s*n "гп-г^М' * е °°> +°°]> ' I = 1,..., п — 1, и точек а* = cos ^rj^, fc = 1,..., п.

Обозначим регулярную часть функции Грина области D через ho{z, Q = go(z, С) + log - Тогда для точек а е D logr(D,a) = ho{a.,a). Рассмотрим симметрическую разность

Я(Д С) = hD(z, z) + Лв(С, С) - 2hD(z, С),

а также предел

K(D,a,ip) :=™lim H(D,a - pei,fi,a + ре^)/р\ <р € R.

47Г р—>0

Теорема 2.13. Для любых точек ак, к = 1,... ,п, принадлежащих интервалу (—1,1), любых попарно неналегающих односвязных областей Dk, ак 6 Dk С С\ {—1, 1}, к = 1,... ,п, справедливо неравенство:

¿(a-ai)^,^^)^ 2„Ч1).

Равенство достигается для областей Dk, на которые плоскость С разбивается кривыми z = cos + г sin t € [—oo,+oo], 1 = 1,..., n + 1, и точек ak = cos ■ ^ = 1> • • • >n-

М(В,А) = 1

2тгп2

log г (В, ak) + ^ ^ gB{ak, a¡)

k=i к=i ¡=i, 1фк

где г(В, а.к) означает внутренний радиус связной компоненты множества В, содержащей точку a¡¡, относительно этой точки, а дв{z, С) - функция Грина связной компоненты В, содержащей точку с полюсом в этой точке. Как обычно считаем дв{%, С) = 0 вне указанной компоненты. Рассмотрим следующие мебиусовы инварианты

/(В,А)=ехр{2™2Л/(3,Л)} Д k-a»|2/(1-n),

J(B,A) = ехр{2тгп2М(В, Л)}

где штрих у произведения означает, что если одна из точек а^ является оо, то под соответствующим сомножителем понимается единица. При п = 2 и п = 3 данные величины совпадают. В случае, когда множество В является объединением попарно непересекающихся областей ак € Dk, к — 1,..., п, инвариант

1(В,А) = 1п = (П r(Dk,ak)) Ц \ак - аг|2/(1"п)

/ Ык<Кп

изучался многими авторами. Инвариант J{B,A), п ^ 4, отличается от I(B, Á) на произведение степеней модулей ангармонических отношений точек из совокупности А и ранее не встречался.

Условимся говорить, что открытое множество В отделяет точку ак € А от точки а/ G А, если указанные точки принадлежат различным связным компонентам множества В. Следующая теорема дополняет результат Г.В. Кузьминой об оценке инварианта 1ц.

Теорема 2.16. Пусть А = - совокупность различных точек

комплексной сферы С, и пусть множество В отделяет точки a i, аг от точек аз и а4. Тогда

1(В,А) < |(а1,аз,а4,а2)|8/3|(аз>а4,а1,а2)|4/3, (2.4.35)

где (•, •, •, •) - ангармоническое отношение четырех точек. Равенство в (2.4.35) достигается в случае, когда множество В ограничено кривыми, заданными уравнением

|(г - ai)(¿ - а2)| = \{z - аз)(2 - а4)|-

~ п '

J3 |а* -

Л=1

<Wi = аь 71 ^ 2,

Следствие 2.2. Пусть точки совокупности А = расположе-

ны на единичной окружности \z\ = 1 в положительном направлении обхода в порядке возрастания индекса, и пусть множество В отделяет точки ai, аз от точек а,2 и а4. Тогда справедливы неравенства

1(В, А) < 4-4/3, J{B,A)^ 1/4.

Равенство в каждом случае достигается при аk = ехр(г(в+ттк/2)), к = 1,..., 4, и В = {z 6 С \ {0} : arg zA ф 40 + 7г}, где 9 - произвольная вещественная постоянная. Ввиду неравенства Шура

П к-а,|2/Ч44/з.

Поэтому первое неравенство следствия 2.2. является усилением теоремы Г.П. Бахтиной.

В случае, когда множество В является объединением попарно непересекающихся областей Dk, ак 6 Dk> к = 1,... ,4, оценка следствия 2.2. для инварианта J4 верна для любых различных точек плоскости С, а именно справедлива теорема.

Теорема 2.19. Пусть односвязные области Dk С С, к = 1,..., 4, такие, что Dkf]Di = 0 для всех к ф I, к,1 = 1, ...,4; точки ак € Dk, к = 1,... ,4. Тогда справедливо неравенство

4 ■ Г4' И'1

Y[r{Dk,ak) J]|at-at+i| <1/4.

к=1 U=1

Равенство достигается только в том случае, когда, с точностью до дробно-линейного преобразования, ak = exp(i7rfc/2) и Dk = {z ] | argz — 7r(fc — l)/2] < тг/4}, fc = l,...,4.

Теорема 2.17. Пусть А = {ai}|=1 - совокупность различных точек сферы С, и пусть множество В является объединением попарно неналегающих областей Dk,ak £ Dk, k = 1,..., 5, таких, что области Di и 1)5 расположены по разные стороны от прямой или окружности, проходящей через точки ai,a,2 и Тогда

1(В, А) = 411/3 • З-3/4 ■ 5~25/6.

Равенство имеет место в том случае, когда А = {1, е-2"1/3, 0, е2,г'/3, оо}, а областями Dk, k = 1,... ,5, служат круговые области квадратичного

дифференциала

Q(z)dz2 = -Z\+7/^dz2.

- l)2

Каждая другая экстремальная конфигурация теоремы2.П. получается из указанной при дробно-линейном автоморфизме С.

Оценка сверху инварианта /5 была получена Г.В. Кузьминой и В.Н. Дубининым при дополнительном предположении, что совокупность точек {afc}jt=1 симметрична относительно некоторой окружности или прямой.

Теорема 2.18. Пусть точки совокупности А — {а*}®=1 расположены на окружности \z\ = 1 в положительном направлении обхода в порядке возрастания индекса, и пусть множество В отделяет точку ak от точки a/t+i, k = 1,..., 6 (<27 = ai). Тогда справедливо неравенство

J(£,ÄK (2/3)6.

Равенство достигается в случае, когда А = {ехр(г(# + 7гА;/3))}®=1 и В = {z £ С \ {0} : arg л6 ф 6в + 7г}, где в - произвольная вещественная постоянная.

Третья глава посвящена некоторым приложениям экстремальных разбиений в геометрической теории функций комплексного переменного. В параграфе 2.1. доказываются новые теоремы для семейств {Д}£=1, мероморфных в круге \z\ < 1 функций Д, попарно не принимающих в этом круге общих значений. В частности, из теоремы 2.12. получаем

Следствие 3.2. Пусть функции Д, k = 1,... , n, (n ^ 3) мероморф-ны в круге U и попарно не принимают в нем одинаковых значений, причем /i(0) = -/„(0) = 1, -1 < Д(0) <1, k = 2,...,n- 1. Тогда справедливо неравенство

1Л(о)|1/4|/;(о)|1/4П-JfL < ± (-

n-l

iwi- (Л(0))2 " V2 \п-1,

С равенством в случае, когда функции Д, k = 1, ...,п, отображают круг JJ на области, ограничение кривыми {w = (£ + 1/0/2 : С2"~2 6 [—1,0]}, при этом Д(0) = cos ^^гр, k = 1,..., п.

Далее.будем обозначать через S}{z) = f"'{z)/f'{z) -3/2 {f\z)/J\z)f - производную Шварца функции / в точке z. Из теоремы 2.13. получаем-Следствие 3.3. Пусть функции Д, к = 1,...,п, конформно и однолистно отображают единичный круг JJZ на попарно неналегающие области Д С С,\ {— 1, 1}, к = 1,...,п, так, что Д(0) = а^ £

(-1, 1), к = 1,...,п. Тогда 1

к=1

(1-4)

_ 1 Sfk( 0)

1Л(0)|2 + б е(Гк(0)У

+ ■

^(2п2 + 1).

'k^J I u UjfeWr/ 4(1_afc).

Равенство достигается в случае, когда ak = cos , k = 1,..., п, и

области Dk ограничены кривыми {w = (С + 1/С)/2 : С2п 6 [0,1]}.

Теорема 3.1. Если функции fk, k = 1,... ,п, п ^ 1, мероморфны и однолистны в единичном круге U, попарно не принимают в этом круге общих значений, и точка z — 0 является точкой регулярности этих функций, то для любых комплексных постоянныхk = 1, ...,п, справедливо неравенство

¿-J ^ I

7*7;

Ы2

til Л(°)Г

^ 6 (/¿(0))' ^(Л(О)-ЖО))2

1фк

где в случае п = 1 вторая сумма под знаком модуля обращается в нуль.

Экстремальные разбиения "со свободными полюсами на окружности" приводят к следующему результату.

Теорема 3.3. Для любых мероморфных и однолистных в круге II функций }к, отображающих этот круг на попарно неналегающие области таким образом, что |Д(0)| = 1, к = 1,... ,п, справедливо неравенство

к=1

-¿(2|eiK)l4 + №t)l2) +

к—1

n(n2-l)(n2 + ll) 120

(3.1.9)

где дк = Д"1, ш* = /к{0), к = 1,... ,п. Равенство в (3.1.9) достигается для функций /£(г) = ехр(27гг(/с — 1)/п)[(1 + г)/(1 — г)]2/", к = 1,... ,п.

В параграфе 3.2. доказывается ряд новых теорем искажения для мероморфных и однолистных функций. В качестве примера приведем следующее утверждение.

Теорема 3.6. Пусть функция / мероморфна и однолистна в круге11. Предположим, что в точках= tg(7г/4 — 7г(2& — 1)/(4гг.)), к = 1,... ,п (п ^ 1), функция принимает значения, лежащие на интервале(—1, 1), и / ф ±1 в круге и. Тогда

№)1

. . ___ с ТТ I 1 + sin

тг(2fc - 1) 2 п

Равенство имеет место для функции /*(г) = 2г/(1 + г2).

В теории функций хорошо известен класс 9Я(Я) - совокупность функций и] = /(г), мероморфных и однолистных в кольце К = К(Я) = {г : 1 < |г| < Я}, Я < оо, для которых множество /(К) значений /(г) в К лежит в области > 1 и которые отображают окружность \г\ = 1 в окружность |ш| = 1. Каждая функция / класса Ш(Я) допускает аналитическое продолжение в кольцо 1/Я < |г| < Я по принципу симметрии Римана-Шварца. Будем обозначать это продолжение той же буквой /. Классу 9Я(Д) принадлежит функция Гретшаш = С(г) = 0(г\ Я), которая конформно и однолистно отображает кольцо К на внешность круга |ш| > 1 с разрезом по вещественной положительной полуоси от некоторой точки Р(Я) до оо так, что (3(Д; Я) = Р{Я)- Введем экстремальную гг-кратно симметричную функцию Гретша равенством

0(г\ п, Я) = (л/Т=1)

Функция й{г\п, Я) также принадлежит классу Т1(Я) и отображает кольцо К на область |ш| > 1 с разрезами по лучам а^ги" = 0, |шп| ^ Р(Я)-Следующее утверждение дополняет результат, полученный А.Ю. Со-лыниным.

Теорема 3.9. Для любой функции / класса Ш(Я) и любого вещественного числа в справедливы неравенства

п А**)

к=1

ПК*)

к=1

(С'С-!;/?4))4

¿=1

гк = ехр(г(в + тг{к - 1)/2)), к = 1,2,3,4, б

Пт)

к=1

¿=1

г* = ехр(г(в + 7Г(к — 1)/3)), к = 1,...,6. Равенство в первых двух неравенствах достигается для функции С(г;4, Я) при в = 7г/4, а в третьем - для С?(.г; 6, Я) при в = 7г/6.

В ряде случаев задачи об экстремальном разбиении приводят к оценкам некоторых комбинаций коэффициентов однолистных функций. Параграф 3.3. посвящен доказательству таких оценок. Следующий результат является новым.

оо

Теорема 3.11. Если функция /(г) = г + ^ акг~к мероморфна (с

к=о

полюсом е оо) и однолистна в |г| > 1, то справедливо неравенство

|а? + 2а3| < 1.

Равенство достигается в случае /(г) — г + г~1.

Ранее Г.М. Голузиным было установлено более сильное, чем в теореме 3.11., неравенство, справедливое только для функций / класса ^ таких, что множество Сш \ /({г : \г\ > 1}) звездообразно относительно начала координат.

В параграфе 3.4. теорема об экстремальном разбиении конденсаторов применяется к неравенствам для алгебраических полиномов. Хорошо известно, что для полиномов Р с нулями в круге \г\ < 1 справедливо неравенство

„ гР'(г) п . , ,

Ке"Ж > 2 • ^ = Ь

В дополнение к этому неравенству получаем следующее утверждение.

Теорема 3.13. Пусть Р - полином степени п с нулями, расположенными в круге |г| < 1. Тогда для любых точек гк, к = 1,2,3, единичной окружности |г| = 1, отличных от нулей полинома Р, справедливо неравенство

4=1 ч РЫ 2/ 6\/3

Р{гк) Р{гм)

где полагаем г4 — г\. Равенство достигается для полиномов Р(г) = а^г + ачг1 + ... + апгп, все ненулевые корни которых расположены на единичной окружности.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору В.Н. Дубинину за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Публикации по теме диссертации

1. Дубинин В.Н., Кириллова Д.А. К задачам об экстремальном разбиении // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2008. Т.357. С. 54-74.

2. Дубинин В.Н., Кириллова Д.А. Некоторые применения экстремальных разбиений в геометрической теории функций// Дальневост. мат.

. журн. 2010. Т. 10. №2. С. 130-152.

3. Кириллова Д.А. Об однолистных функциях без общих значений // Изв. вузов. Математика. 2010. №9. С. 86-89.

4. Кириллова Д.А. О максимуме' мебиусова инварианта в задаче с четырьмя неналегающими областями // Дальневост. мат. журн. 2010. Т.10. №1. С. 41-49.

5. Кириллова Д.А. Трехточечная теорема искажения для регулярных функций // Тез. докл. XXXI Дальневост. мат. шк.-семинара им. акад. Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука. 2006. С. 14-15.

6. Кириллова Д.А. Простейшие вариации конформных радиусов в задачах о неналегающих областях // Тез. докл. XXXII Дальневост. мат. шк.-семинара им. акад. Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука. 2007. С. 20-21.

7. Кириллова Д.А. О максимуме двух мебиусовых инвариантов // Тез. докл. XXXIII Дальневост. мат. шк.-семинара им. акад. Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука. 2008. С. 130-131.

8. Кириллова Д.А. Задачи об экстремальном разбиении со свободными полюсами на отрезке // Тез. докл. XXXIV Дальневост. мат. шк.-семинара им. акад. Е.В. Золотова. Хабаровск: Изд-во ТОГУ. 2009. С. 36-38.

9. Кириллова Д.А. К задачам об экстремальном разбиении и неравенства с участием производной Шварца // Материалы Дальневост. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике. Владивосток: Изд-во ДВГУ. 2009. С. 11-12.

10. Дубинин В.Н., Кириллова Д.А. Применение экстремальных разбиений для получения теорем искажения и оценок коэффициентов однолистных функций // Сб. докл. XXXV Дальневост. мат. шк.-семинара им. акад. Е.В. Золотова [Электронный ресурс]. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. 2010. С. 75-77. 1 опт. компакт-диск (CD-ROM).

Ч-/

Кириллова Дина Александровна

Задачи об экстремальном разбиении II смежные вопросы геометрической теории функций

Специальность 01.01.01-Вещественный, комплексный и функциональный анализ Автореферат

Лицензия № 020096 от 22.09.97 г. Тираж 100 экз. Усл.печл. 1,0 Заказ №33/2010

— Отпечатано в типографии

Дальневосточной государственной социально-гуманитарной академии по адресу: 679015, г. Биробиджан, ул. Широкая, 70а

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Кириллова, Дина Александровна

Введение

1. Емкости конденсаторов и квадратичные дифференциалы

1.1. Обобщенные конденсаторы.

1.2. Асимптотические формулы.

1.3. Квадратичные дифференциалы.

2. Экстремальные разбиения

2.1. Необходимые условия.

2.2. Фиксированные полюса.

2.3. Свободные полюса.

2.4. Мебиусовы инварианты.

2.5. Задача о четырех неналегающих областях.

Введение диссертация по математике, на тему "Задачи об экстремальном разбиении и смежные вопросы геометрической теории функций"

В настоящее время задачи об экстремальном разбиении занимают значительное место в геометрической теории функций и имеют богатую историю (см. монографии [17, 39], а также обзоры [32, 72, 73]). Впервые экстремальные разбиения рассматривались при получении оценок произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей. Эта тематика восходит к знаменитой статье М.А. Лаврентьева 1934 года [85] и впоследствии была развита в работах П.П. Куфарева [84], Г.М. Голузина [24, 25], 3. Нехари [107], Ю.Е. Аленицына [1], Н.А. Лебедева [86], Дж. Дженкинса [28], Г.В. Кузьминой [69]—[71], [74], И.П. Митюка [87, 88] и других математиков. Современные задачи об экстремальном разбиении включают в себя различные типы модулей и приведенных модулей непересекающихся областей. Значительные результаты в решении такого рода задач установлены в работах Г.В. Кузьминой [75]—[82], П. Дюрена и М. Шиффера [97, 100, 110], А.К. Бахтина и его учеников [5] - [15], [18, 19, 91], С.И. Федорова [92], Е.Г. Емельянова [49]-[54], А.Ю. Солынина [90], А.Ю. Васильева [114] и многих других. Основными методами при решении этих задач являлись: вариационный метод, метод экстремальных метрик и метод площадей. В последние десятилетия ряд задач об экстремальном разбиении был решен В.Н. Дубининым и его учениками Е.Г. Прилепкиной, Л.В. Ковалевым, Е.В. Костюченко и Н.В. Эйрих с помощью свойств емкостей обобщенных конденсаторов и симметризации [30]—[37], [43]—[45], [48], [63]-[65], [68]. Развитие методов симметризации в задачах геометрической теории функций связано с именами В.К. Хеймана, Дж. Дженкинса, И.П. Митюка, П.М. Тамразова, М. Маркуса, Д. Ахаронова, А. Бернстайна, В.А. Шлыка,

В.Н. Дубинина, А.Ю. Солынина и других авторов.

Вместе с тем, многие задачи об экстремальном разбиении, в особенности со свободными полюсами, остаются нерешенными. В частности, неизвестно насколько в традиционных задачах о неналегающих областях внутренние радиусы можно заменить на радиусы Робена (о емкости Робена, функции и радиусе Робена см. [29, 36, 37, 94, 96, 98, 99, 102, 113]); как выглядят экстремальные разбиения, если на экстремум исследовать функционалы, зависящие от последующих коэффициентов в разложении функции Грина (функции Робена); каковы экстремальные разбиения в случае свободных полюсов на отрезке, на луче и других подмножествах комплексной сферы; каковы экстремальные разбиения для мебиусовых инвариантов, связанных с неналегающими областями.

Хорошо известно, что к задачам об экстремальном разбиении сводятся многие другие вопросы геометрической теории функций (см. [25, 39], а также обзоры [32, 72, 73]). Таким образом, от решения этих задач во многом зависит прогресс в исследовании смежных проблем: оценок коэффициентов, доказательств теорем покрытия и теорем искажения для однолистных и многолистных функций, получение метрических свойств подмножеств комплексной сферы и так далее.

Цель диссертационной работы - развить технику емкостей конденсаторов и симметризации в решении задач об экстремальном разбиении и дать новые приложения экстремальных разбиений в традиционных разделах геометрической теории функций комплексного переменного.

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. В параграфе 1.1. дается определение обобщенного конденсатора и формулируются необходимые свойства емкости конденсатора: монотонность, принцип симметрии, принципы композиции. Параграф 1.2. содержит асимптотические формулы для емкостей конденсаторов, в одной из которых участвуют, так называемые, радиусы Робена. Пусть область D С С ограничена конечным числом аналитических жордановых кривых, Г - непустое замкнутое подмножество 3D, состоящее из конечного числа невырожденных жордановых дуг, и пусть а - конечная точка области D. Функция Робена а, Г) определяется как вещественная непрерывная функция на D \ {а} (D означает компактификацию D посредством простых концов Каратеодори, граница 3D - совокупность простых концов), непрерывно дифференцируемая на D \ (Г U {а}), гармоническая в D \ {а} и удовлетворяющая следующим условиям: gD(z,a,T)=0 при z £ Г,

9D(z,a, Г) = 0 при zedD\ Г, go{z, а, Г) 4- loglz — а\ - гармоническая функция в окрестности точки а (д/дп означает дифференцирование вдоль нормали к 3D). В случае, когда D - произвольная конечносвязная область комплексной сферы С без изолированных граничных точек, а Г - непустое замкнутое граничное подмножество сШ, состоящее из конечного числа невырожденных связных компонент, функция Робена определяется с помощью конформного отображения.

Радиусом Робена области D относительно точки а и множества Г назовем величину r(D, Г, а) = exp lim (go(.z, а, Г) + log \z — а\). z—*a

Если множество Г = 3D, то функция Робена равна функции Грина, а радиус Робена r(D, Г, а) совпадает с внутренним радиусом r(D, а).

В параграфе 1.3. даны краткие сведения из теории квадратичных дифференциалов на комплексной сфере.

Пг(Дь,Гк|аО(1 - \ак\2) -> вир, (2.1.16) к=1 где верхняя грань ищется по всевозможным точкам ак, областям Бк и множествам Г^, удовлетворяющим условиям: ак £ Ик С С/ = {г : \г\ < 1}, (<ЭД0 пи сГкс дВк, ВкП Д = 0, к ф I, к,1 = 1,.,п, п > 2. С применением дробно-линейной вариации вида

2 гр^ тч>(*) = ! = 2 + - е*> + г - °> г Е (0,1), у? € К, доказана

Теорема 2.4. Если верхняя грань в (2.1.16) достигается для точек п а*к, |а£| < 1, к = 1,. ,п, то необходимо выполняется равенство У2ак = ®к=1

Теорема 2.5. Для любых областей Д, мнооюеств и точек ак, удовлетворяющих условиям

ДПД = 0, акеИкси, (дБк)Г\и с^сая к = 1,2, справедливо неравенство r(Du Гь ai)r(£>2, Г2, а2) ^ |а2 - ах|2 [1 - |(а2 - ai)/(l - Ща2)|2], где равенство для любых фиксированных точек а\ и а2 круга U достигается в том случае, если общая граница областей D\ и D2 совпадает с Г*1 = Г2 и является неевклидовой прямой, ортогональной отрезку неевклидовой прямой, соединяющему точки а\ и а2, и делящей этот отрезок попалам.

Обозначим через K(t), 0 < t < 1, круговое кольцо t < \z\ < 1, и пусть функция Т конформно и однолистно отображает кольцо K(t) на кольцо Тейхмюллера - плоскость с разрезами по некоторому отрезку [Т(1),—1], Т( 1) < —1, и по неотрицательной части вещественной оси.

Теорема 2.6. Для любых областей Dk, множеств Гк и точек ак, удовлетворяющих условиям i П Д> = 0, akeDk с K(t), (dDk) П K(t) СГ^С dDkl k = 1,2, справедливо неравенство rin г „ып г л к |Г(Ы)-Г(-Ы)Г ,99im

Равенство в (2.2.19) достигается в случае, когда а\ <0, а2 > 0, а общая граница областей D\ и D2 совпадает с

Гг=Т2 = {ге K(t) : \T(z) - Т(аг)\ = \T{z) - Т(а2)\} .

Теорема 2.8. Пусть точки dk, к — l,.,n, п ^ 2, принадлежат окружности \z\ = р, 0 < t < р < 1; области Dk, G Dk С к =

1 односвязные и попарно непересекающиеся; и пусть замкнутые множества Гд, Г& С dDk, к = 1,. ,п, такие, что для каждого к множество (dDk) \ Tfc либо пусто, либо представляет собой дугу окружности \z\ = 1, к = 1,. ,п. Тогда справедливо неравенство

Цг(ок,ы < ПКВДХ) = (п^й')"' к—1 /с—X где а% = pexp(2irik/n), D*k — {z G K(t) : |arg£ — 2ттк/п\ < тг/п], Г*к = {z Е dD^ : \z\ ф 1}, к — 1,. , п, а функция Тп определяется как функция Т, но с заменой параметра t на tn.

Теорема 2.12. Пусть точки аk, k = l,.,n, (n ^ 3) таковы, что di — —ап = 1, —1 < Oft < 1, /г = 2,., п — 1; области Dk, öfc G -D^ С С, А; = 1,., п, попарно не пересекаются. Тогда справедливо неравенство

Равенство достигается для областей Dk, на которые плоскость С разбивается кривыми z = cos^Üf^ch(t) + г sin sh(t), t G [—oo,+oo], l = 1,., n — 1, и точек = cos ' А; = 1,., n.

Обозначим регулярную часть функции Грина области Z) через ho(z, С) = С) +log \z — С|. Тогда для точек a € D logr(Z), а) = hr>(a, а). Рассмотрим симметрическую разность

H(D, z, С) = Ы*. *) + MC, С) " 2hD(z, С), а также предел

K{D, а, (р):=~ lim H{D, а - pei<p, а + ре^)/р2, <р £ R. 47Г р->0

Теорема 2.13. Для любых точек а^, к = 1 , .,п, принадлежащих интервалу (—1,1), любых попарно неналегающих односвязных областей Dk, dk € Dk С С \ {—1, 1}, к = 1,. ,п, справедливо неравенство: ((1 - а\)К (D* ак, + > ^ + 1). fc—1

Равенство достигается для областей -D&, на которые плоскость С разбивается кривыми z = cos^—■ ch(¿) -f- i sin ^"^sh(t), t G [—oo, +oo], l = 1,., n + 1, и точек аь = cos , к = 1,., п.

В параграфах 2.4. и 2.5. изучаются величины, инвариантные относительно группы дробно-линейных автоморфизмов комплексной сферы. Пусть В - открытое множество комплексной сферы С, и пусть А — {afc}£=1 - совокупность различных точек множества В. В работах В.Н. Дубинина и его учеников были введены и изучены различные модификации приведенного модуля М(В,А, А, Ф) множества В относительно совокупности А и некоторых наборов параметров АиФ [32, 33, 43, 47]. Если дополнение множества В имеет положительную гармоническую меру, то справедлива формула:

М(Б, А) = М(В, А, {1,., 1}, {г,., г}) = п

27Ш2 ) + 2евЫ,01)}, к=1 к=1 1=1, { 1фк где г(В, ак) означает внутренний радиус связной компоненты множества В, содержащей точку а^, относительно этой точки, а дв{%, С) - функция Грина связной компоненты В, содержащей точку С, с полюсом в этой точке. Как обычно считаем = 0 вне указанной компоненты. 1

АВ,А) = ехр{2ттп2М(В,А)} ап+1 = аь п ^ 2 п '

П I ак - 0>к+1| где штрих у произведения означает, что если одна из точек аявляется оо, то под соответствующим сомножителем понимается единица. При п = 2 и п = 3 данные величины совпадают. В случае, когда множество В является объединением попарно непересекающихся областей И к, а,к £ к = 1,., п, инвариант изучался многими авторами (см. монографии [17, 39], обзоры [32, 72, 73], а также работы [20, 69, 92]). Инвариант п ^ 4, отличается от 1(В, А) на произведение степеней модулей ангармонических отношений точек из совокупности А и ранее не встречался.

Условимся говорить, что открытое множество В отделяет точку а^ Е А от точки щ £ А, если указанные точки принадлежат различным связным компонентам множества В. Следующая теорема дополняет результат Г.В. Кузьминой об оценке инварианта /4 [69] (см. также [73, с. 25]).

Теорема 2.16. Пусть А — {ад;}|=1 - совокупность различных точек комплексной сферы С, и пусть множество В отделяет точки а\, а2 от точек аз и а^. Тогда

1(В,А) = 1п= г(Дь,а*) П

1{В,А) < |(а1,аз,а4,а2)|8/3Каз,а4,а1,а2)|4/3, (2.4.35) где (•,•,•,•) - ангармоническое отношение четырех точек. Равенство в (2.4.35) достигается в случае, когда множество В ограничено кривыми, заданными уравнением г - а\){г - а2)\ = \(г - о3)(^ - а4)\.

Следствие 2.2. Пусть точки совокупности А = {ад;}|=1 расположены на единичной окружности \г\ = 1 в положительном направлении обхода в порядке возрастания индекса, и пусть множество В отделяет точки а1,аз от точек а2 и 04. Тогда справедливы неравенства

Б,А) < 4"4/3,

Равенство в каждом случае достигается при а& = ехр(г(# + 7гА;/2)), к = 1,. ,4, и В = {г £ С \ {0} : а^г4 ф 49 + 7г}; где в - произвольная вещественная постоянная. Ввиду неравенства Шура

П к-а,р/3<4</3.

Поэтому первое неравенство следствия 2.2. является усилением теоремы Г.П. Бахтиной (см. теорему 2.17 работы [32] в случае п — 4 и комментарии к ней).

В случае, когда множество В является объединением попарно непересекающихся областей Иь, а^ £ к = 1,. ,4, оценка следствия 2.2. для инварианта верна для любых различных точек плоскости С, а именно справедлива теорема.

Теорема 2.19. Пусть односвязные области С С, к = 1,.,4, такие, что Дь П Dl = 0 для всех к ф I, к, I = 1,., 4; точки аь £ к —

1,. ,4. Тогда справедливо неравенство 4 п г(Бк,ак) -77-< 1/4. п \ак ~ ак+1\ к=1

Равенство достигается только в том случае, когда, с точностью до дробно-линейного преобразования, ак — ехр(г7г/с/2) и Ик = {г | — п(к — 1)/2| < тг/4>, к = 1,.,4.

Теорема 2.17. Пусть А = совокупность различных точек сферы С, и пусть множество В является объединением попарно ненале-гающих областей Ик, ак Е Ок, к — 1,., 5, таких, что области и Д расположены по разные стороны от прямой или окружности, проходящей через точки а\,а2 и аз. Тогда

1(В, А) = ^ 411/3 • З-3/4 • 5-25/6.

Равенство имеет место в том случае, когда А = {1, е-27™/3, 0, е27П/3, оо}; а областями Ок,к — 1,., 5, служат круговые области квадратичного дифференциала

ЯШг2 = -\ч1г

Каждая другая экстремальная конфигурация теоремы 2.17. получается из указанной при дробно-линейном автоморфизме С.

До настоящего времени известны только две оценки сверху инварианта /5. Первая была получена Г.В. Кузьминой и В.Н. Дубининым при дополнительном предположении, что совокупность точек {а&}|=1 симметрична относительно некоторой окружности или прямой (см. [73, 39]). Другая оценка величины /5 сверху дана Г.В. Кузьминой для точек, расположенных на одной окружности [81].

Теорема 2.18. Пусть точки совокупности А = расположены на окружности \z\ = 1 в положительном направлении обхода в порядке возрастания индекса, и пусть множество В отделяет точку ак от точки ßfc+i, k = 1,., 6 (ü7 = ai). Тогда справедливо неравенство

Равенство достигается в случае, когда А = {ехр(г(# + 7Г&/3))}®=1 и В = {z Е С \ {0} : arg z6 ^ 69 + 7г}; где в - произвольная вещественная постоянная.

Третья глава посвящена некоторым приложениям экстремальных разбиений в геометрической теории функций комплексного переменного. В параграфе 2.1. доказываются новые теоремы для семейств {fk}k=n меР°~ морфных в круге \z\ < 1 функций fk, попарно не принимающих в этом круге общих значений. В частности, из теоремы 2.12. получаем

Следствие 3.2. Пусть функции fk, k = 1,. , те, (те ^ 3) мероморфны в круге U и попарно не принимают в нем одинаковых значений, причем Д(0) = —/п(0) = 1, —1 < jfife(O) <1, к — 2,.,те — 1. Тогда справедливо неравенство

С равенством в случае, когда функции fk, k = 1,., те, отображают круг U на области, ограничение кривыми {w = (С + 1/0/2 : Q2n~2 £ [—1,0]}, при этом fk(0) = cos , k = 1,., те.

Далее будем обозначать через Sf{z) = f"'{z)/f'{z) - 3/2 (f'{z)/f(z))2 - производную Шварца функции / в точке z.

Из теоремы 2.13. получаем

Следствие 3.3. Пусть функции Д, к — 1 ,.,п, конформно и однолистно отображают единичный круг 11г на попарно неналегающие области С Си, \ {—1, 1}, к = 1,., п, так, что 0) = Е (—1, 1), к = 1,., п. Тогда Е к=1

1 -Ие- ' лт2 6 (Гк(0))У 4(1 -а*)

71 — + 1).

Равенство достигается в случае, когда ак — соб ^^ ^, А; = 1, .,п; и области ограничены кривыми {ш = (£ + 1/С)/2 : С2" £ [0,1]}.

Теорема 3.1. функции /к, А; = 1, .,п, п ^ 1, мероморфны и однолистны в единичном круге II, попарно не принимают в этом круге общих значений, и точка г = 0 является точкой регулярности этих функций, то для любых комплексных постоянных к = 1,. ,п, справедливо неравенство п п

1кЦ л(О) V V

1фк п

Ы5 где е случае п = 1 вторая сумма под знаком модуля обращается в нуль.

Экстремальные разбиения "со свободными полюсами на окружности" приводят к следующему результату (ср. [48, теорема 8]).

Теорема 3.3. Для любых мероморфных и однолистных в круге и функций /к, отображающих этот круг на попарно неналегающие области таким образом, что |Д(0)| = 1 к = 1,. ,п, справедливо неравенство к=1

- ± (2КЫ14 + 1ЙЫ12) + та(Уг2"11)2(0п2 + 11), (3.1.9) к=1 где ^ = /¿Г1, Шк = 0),- /с = 1,. ,п. Равенство в (3.1.9) достигается для функций = ехр(2т(к - 1)/п)[(1 + ¿)/{1 — г)]2/п, к = 1,. ,п.

В параграфе 3.2. доказывается ряд новых теорем искажения для меро-морфных и однолистных функций. В качестве примера приведем следующее утверждение.

Теорема 3.6. Пусть функция / мероморфна и однолистна в круге и. Предполоэюим, что в точках гь = tg(•7г/4 — тг(2к — 1)/(4п)), к = 1,.,п (п ^ 1), функция принимает значения, лежащие на интервале (—1, 1), и / ±1 в круге и. Тогда

Равенство имеет место для функции /*(г) = 2^/(1 + г2).

В теории функций хорошо известен класс 9Я(Я) - совокупность функций т — /(-г), мероморфных и однолистных в кольце К = К (Я) — {г : 1 < \г\ < Я}, Я < оо, для которых множество /(К) значений /(г) в К лежит в области |ги| > 1 и которые отображают окружность \г\ = 1 в окружность |гу| = 1. Каждая функция / класса 9Л(Я) допускает аналитическое продолжение в кольцо 1/Я < \г\ < Я по принципу симметрии Римана-Шварца. Будем обозначать это продолжение той же буквой /. Классу 9Л(Я) принадлежит функция Гретша т = С (г) = С?(;г; Я), которая конформно и' однолистно отображает кольцо К на внешность круга |ги| > 1 с разрезом по вещественной положительной полуоси от некоторой точки Р(Я) до оо так, что Я) = Р(Я)-- Введем экстремальную п-кратно симметричную функцию Гретша равенством

Функция С(г\ п, К) также принадлежит классу ЯЯ(Л) и отображает кольцо К на область |ги| > 1 с разрезами по лучам = 0, \иип\ ^ Р{Щ

Следующее утверждение дополняет результат, полученный А.Ю. Солы-ниным [89, неравенство (4.12)].

Теорема 3.9. Для любой функции / класса ШТ(Л) и любого вещественного числа в справедливы неравенства к=1 4

1№) к=1 п I/Ы - Д^+ОГ1 < 4-1 Я4))4, к= 1

2* = ехр(^(0 + 7г(/с - 1)/2)), к = 1,2,3,4,

Г№ гк = ехр(г(# + 7г(А; — 1)/3)), к = 1,., 6. Равенство в первых двух неравенствах достигается для функции С(-г;;4, К) при в = 7г/4; а в третьем - для б, Я) тгри 9 = 7Т/6.

Теорема 3.11. Если функция /(г) = г + -Х) ак%~ мероморфна (с пок=о люсом в оо) и однолистна в \г\ > 1, то справедливо неравенство а\ + 2а3| ^ 1.

Равенство достигается в случае /(г) = г + г-1.

Ранее Г.М. Голузиным было установлено более сильное, чем в теореме 3.11., неравенство, справедливое только для функций / класса ^ таких, что множество С^ \ : \г\ > 1}) звездообразно относительно начала координат.

И"1' см., например, [95]). В дополнение к этому неравенству получаем следующее утверждение.

Теорема 3.13. Пусть Р - полином степени п с нулями, расположенными в круге \г\ ^ 1. Тогда для любых точек к = 1,2,3, единичной окружности \г\ = 1, отличных от нулей полинома Р, справедливо неравенство

Р{гк) Р(гк+1) где полагаем = Равенство достигается для полиномов Р(г) = а\х + а^ + . -\-апгп, все ненулевые корни которых расположены на единичной окружности.

Перечислим основные результаты диссертационной работы:

По теме диссертации опубликовано 4 научные работы [40], [41], [61], [62].

Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Дальневосточных математических школах - семинарах им. академика Е.В. Зо-лотова (Владивосток, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010), на Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике (Владивосток, 2009), на семинарах по геометрической теории функций ИПМ ДВО РАН и ДВГУ (руководители профессор В.Н. Дубинин и профессор H.H. Фролов). Опубликовано 6 тезисов докладов [42], [56]-[60].

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Кириллова, Дина Александровна, Биробиджан

1. Аленицын Ю.Е. Об однолистных функциях без общих значений в многосвязной области // Труды мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1968. Т. 94. С. 4-18.

2. Аленицын Ю.Е. О функциях без общих значений и внешней границе области значений функции // Мат. сборник. 1988. Т. 46. № 4. С. 373388.

3. Андреев В.А. Некоторые задачи о неналегающих областях // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17. №3. С. 483-498.

4. Андреев В.А. Экстремальные задачи для одного класса регулярных и ограниченных в круге функций // Докл. АН СССР. 1976. Т. 228. № 4. С. 769-771.

5. Бахтин А.К. О коэффициентах однолистных функций // Вопросы теории аппроксимации функций: Сб. науч. трудов. Киев: Наук, думка. 1980. С. 3-14.

6. Бахтин А.К. О произведении внутренних радиусов симметричных неналегающих областей // Укр. мат. журнал. 1997. Т. 49. №11. С. 14541464.

7. Бахтин А.К. Некоторые задачи в теории неналегающих областей // Укр. мат. журнал. 1999. Т. 51. №6. С. 723-731.

8. Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окружности // Доп. НАН Укра'ши, 2004. №8. С. 7-15.

9. Бахтин A.K. Кусочно-разделяющее преобразование и экстремальные задачи со свободными полюсами на лучах // Доп. HAH Укра'ши, 2004. №12. С. 7-13.

10. Бахтин А.К. Кусочно-разделяющее преобразование и экстремальные задачи со свободными полюсами // Докл. РАН. 2005. Т. 405. № 2. С. 151-153.

11. Бахтин А.К. Оценки некоторых функционалов для открытых множеств // Нелинейные уравнения. 2005. Т. 8. №2. С. 147-153.

12. Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на двух окружностях // Доп. HAH Укра'ши, 2005.т. с. 12-16.

13. Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окружности // Укр. мат. журнал. 2006. Т. 58. Ш. С. 867-886.

14. Бахтин А.К. Неравенства для внутренних радиусов взаимно не пересекающихся областей и открытых множеств // Труды мат. ин-та им.B.А. Стеклова. 2008. Т. 261. С. 37-46.

15. Бахтин А.К. Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств // Укр. мат. журнал. 2009. Т. 61. №5.C. 596-610.

16. Бахтин А.К., Бахтина Г.П. Экстремальные задачи о неналегающих областях и квадратичные дифференциалы // Доп. HAH Укра'ши, 2005. №8. С. 13-15.

17. Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-алгебраические структуры и геометрические методы в комплексном анализе. Khib: 1н-т математики НАН Укра'ши, 2008. Т. 73. 308 с.

18. Бахтин А.К., Вьюн В.Е. Применение разделяющего преобразования к оценкам внутренних радиусов открытых множеств // Укр. мат. журн. 2007. Т. 59. №10. С. 1314-1322.

19. Бахтин А.К., Таргонский A.JI. Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы // НелшШш коливання. 2005. Т. 8. №3. С. 298-303.

20. Бахтина Г.П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о нена легающих областях. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Киев, 1975. И с.

21. Бахтина Г.П. Метод граничных вариаций в задачах о неналегающих областях. Препринт. Киев: АН УССР. Ин-т математики, 1975. №2.

22. Бахтина Г.П. О конформных радиусах симметричных неналегающих областей // Современные вопросы вещественного и комплексного анализа. Киев: Ин-т математики АН УССР. 1984. С. 21-27.

23. Голузин Г.М. Некоторые оценки коэффициентов однолистных функций // Мат. сборник. 1938. Т. 3. С. 321-330.

24. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображении I, II, III, IV // Мат. сборник. 1946. Т. 19. №2. С. 203-236; 1947. Т. 21. №1. С. 83-117; 1947. Т. 21. №1. С. 119-132; 1951. Т. 29. №2. С. 455-468.

25. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного премен-ного. М.: Наука, 1966. 628 с.

26. Голузина Е.Г. Об одной теореме искажения в классе типично вещественных функций // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2008. Т. 357. С. 33-45.

27. Голузина Е.Г. К теоремам искажения для типично вещественных функций // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2009. Т. 371. С. 171-175.

28. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 268 с.

29. Диттмар Б., Солынин А.Ю. Искажение гиперболической емкости Робина при конформном отображении и экстремальные конфигурации // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2000. Т. 263. С. 49-69.

30. Дубинин В.Н. Метод симметризации в задачах о неналегающих областях // Мат. сборник. 1985. Т. 128. №1. С. 110-123.

31. Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1988. Т. 168. С. 4866.

32. Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49. Вып. 1. С. 3-76.

33. Дубинин В.Н. Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения // Зап. науч. семин. ПОМИ. 1997. Т. 237. С. 56-73.

34. Дубинин В.Н. Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. №5. С. 16-43.

35. Дубинин В.Н. К неравенству Шварца на границе для регулярных в круге функций // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2002. Т. 286. С. 74-84.

36. Дубинин В.Н. Обобщенные конденсаторы и асимптотика их емкостей при вырождении некоторых пластин // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2003. Т. 302. С. 38-51.

37. Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов, обобщения лемм Гретша и симметризация // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2006. Т. 337. С. 73-100.

38. Дубинин В.Н. О квадратичных формах, порожденных функциями Грина и Робена // Мат. сборник. 2009. Т. 200. №10. С. 25-38.

39. Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного. Владивосток: Даль-наука, 2009. 401 с.

40. Дубинин В.Н., Кириллова Д.А. К задачам об экстремальном разбиении // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2008. Т. 357. С. 54-74.

41. Дубинин В.Н., Кириллова Д.А. Некоторые применения экстремальных разбиений в геометрической теории функций // Дальневост. мат. журн. 2010. Т.10. №2. С. 130-152.

42. Дубинин В.Н., Ковалев JI.B. Приведенный модуль комплексной сферы // Зап. науч. семин. ПОМИ. 1998. Т. 254. С. 76-94.

43. Дубинин В.Н., Костюченко E.B. Экстремальные задачи теории функций, связанные с n-кратной симметрией // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2001. Т. 276. С. 83-111.

44. Дубинин В.Н., Прилепкина Е.Г. Об экстремальном разбиении пространственных областей // Зап. науч. семин. ПОМИ. 1998. Т. 254. С. 95-107.

45. Дубинин В.Н., Прилепкина Е.Г. Теоремы искажения для функций, ме-роморфных и однолистных в круговом кольце // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51. т. С. 285-302.Т. 51. №2. С. 285-302.

46. Дубинин В.Н., Эйрих Н.В. Обобщенный приведенный модуль // Даль-невост. мат. журн. 2002. Т. 3. №2. С. 150-164.

47. Дубинин В.Н., Эйрих Н.В. Некоторые применения обобщенных конденсаторов в теории аналитических функций // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2004. Т. 314. С. 52-75.

48. Емельянов Е.Г. Применения метода экстремальных метрик к задачам о неналегающих областях. Дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук. Л., 1985.

49. Емельянов Е.Г. К задачам об экстремальном разбиении // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1986. Т. 154. С. 76-89.

50. Емельянов Е.Г. О связи двух задач об экстремальном разбиении // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1987. Т. 160. С. 91-98.

51. Емельянов Е.Г. К задаче о максимуме произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2002. Т. 286. С. 103-114.

52. Емельянов Е.Г. О квадратичных дифференциалах в многосвязных областях, являющихся полными квадратами // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2006. Т. 337. С. 113-133.

53. Емельянов Е.Г. О квадратичных дифференциалах в многосвязных областях, являющихся полными квадратами II // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2007. Т. 350. С. 40-51.

54. Емельянов Е.Г., Кузьмина Г.В. Теоремы об экстремальном разбиении в семействах систем областей различных типов // Зап. науч. семин. ПОМИ. 1997. Т. 237. С. 74-104.

55. Кириллова Д.А. Трехточечная теорема искажения для регулярных функций // Тез. докл. XXXI Дальневосточной математической школы семинара имени академика Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука. 2006. С. 14-15.

56. Кириллова Д.А. Простейшие вариации конформных радиусов в задачах о неналегающих областях // Тез. докл. XXXII Дальневосточной математической школы семинара имени академика Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука. 2007. С. 20-21.

57. Кириллова Д.А. О максимуме двух мебиусовых инвариантов // Тез. докл. XXXIII Дальневосточной математической школы семинара имени академика Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука. 2008. С. 130-131.

58. Кириллова Д.А. Задачи об экстремальном разбиении со свободными полюсами на отрезке // Тез. докл. XXXIV Дальневосточной математической школы семинара имени академика Е.В. Золотова. Хабаровск: Изд-во ТОГУ. 2009. С. 36-38.

59. Кириллова Д.А. Об однолистных функциях без общих значений // Изв. вузов. Математика. 2010. №9. С. 86-89.

60. Кириллова Д.А. О максимуме мебиусова инварианта в задаче с четырьмя неналегающими областями // Дальневост. мат. журн. 2010. Т.10. №1. С. 41-49.

61. Ковалев JI.B. О трех непересекающихся областях // Дальневост. мат. журн. 2000. К°-1. С. 3-7.

62. Ковалев J1.B. О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей // Изв. вузов. Математика. 2000. №6. С. 80-81.

63. Ковалев JI.B. Монотонность обобщенного приведенного модуля // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2001. Т. 276. С. 219-236.

64. Колбина Л.И. Некоторые экстремальные задачи в конформном отображении // ДАН СССР. 1952. Т. 84. №5. С. 865-868.

65. Колбина Л.И. Конформное отображение единичного круга на ненале-гающие области // Вестник Ленинградского ун-та. 1955. Т. 5. С. 37-43.

66. Костюченко Е.В. Решение одной задачи об экстремальном разбиении // Дальневост. мат. журн. 2001. Т.2. №1. С. 3-15.

67. Кузьмина Г.В. К задаче о максимуме произведения конформных радиусов неналегающих областей // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1980. Т. 100. С. 131-145.

68. Кузьмина Г.В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы // Труды мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1980. Т. 139. 240 с.

69. Кузьмина Г.В. К вопросу об экстремальном разбиении римановой сферы // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1990. Т. 185. С. 72-95.

70. Кузьмина Г.В. Методы геометрической теории функций I // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9. № 3. С. 41-103.

71. Кузьмина Г.В. Методы геометрической теории функций II // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9. №5. С. 1-50.

72. Кузьмина Г.В. О связи различных задач об экстремальном разбиении // Зап. науч. семин. ПОМИ. 1998. Т. 254. С. 116-131.

73. Кузьмина Г.В. К задачам об экстремальном разбиении в семействах систем областей общего вида // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2000. Т. 263. С. 157-186.

74. Кузьмина Г.В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы II // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2002. Т. 286. С. 126-147.

75. Кузьмина Г.В. Метод экстремальной метрики в задачах о максимуме призведения степеней конформных радиусов неналегающих областейпри наличии свободных параметров // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2003. Т. 302. С. 52-67.

76. Кузьмина Г.В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы III // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2004. Т. 314. С. 124-141.

77. Кузьмина Г.В. Об одном экстремально-метрическом подходе к задачам об экстремальном разбиении // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2006. Т. 337. С. 191-211.

78. Кузьмина Г.В. О симметричных конфигурациях в задачах об экстремальном разбиении // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2007. Т. 350. С. 160172.

79. Кузьмина Г.В. О симметричных конфигурациях в задачах об экстремальном разбиении II // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2008. Т. 357. С. 158179.

80. Кузьмина Г.В. О симметричных конфигурациях в задачах об экстремальном разбиении III // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2009. Т. 371. С. 117136.

81. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 310 с.

82. Куфарев П.П. К вопросу о конформных отображениях дополнительных областей // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73. С. 881-884.

83. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Труды физ. мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1934. Т. 5. С. 159-245.

84. Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. 336 с.

85. Митюк И.П. Симметризационные методы и их применение в геометрической теории функций. Введение в симметризационные методы. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1980.

86. Митюк И.П. Оценки внутреннего радиуса (емкости) некоторой области (кондкнсатора) // Изв. Северо-Кавказского науч. центра высшю школы. 1983. т. С. 36-38.

87. Солынин А.Ю. Граничное искажение и экстремальные задачи в некот-рых классах однолистных функций // Зап. науч. семин. ПОМИ. 1993. Т. 204. С. 115-142.

88. Солынин А.Ю. Модули и экстремально-метрические проблемы // Алгебра и анализ. 1999. Т. И. №1. С. 3-86.

89. Таргонский А.Л. Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере // Докл. HAH Украины. 2008. №9. С. 31-36.

90. Федоров С.И. О максимуме одного конформного инварианта в задаче о неналегающих областях // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1981. Т. 112. С. 172-183.

91. Ahlfors L.V. Conformai invariants: topics in geometric function theory. New York: McGraw-Hill Book Co., 1973.

92. Bergman S., Schiffer M. Kernel functions and elliptic differential equations in mathematical physics. New York: Academic Press, 1953.

93. Borwein P., Erdelyi T. Polinomials and polinomial inequalities. New York: Springer-Verlag, 1995.

94. Dubinin V.N., Vuorinen M. Robin functions and distortion theorems for regular mappings. Prepeint. Finland: Departament of Mathematics and Statistics. Universiti of Htlsinki, 2007. 21 p.

95. Düren P. Univalent Functions. Haidelberg and New York: Springer-Verlag, 1983.

96. Düren P. Robin capacity // Computational methods and function theory (CMFT'97) N. Papamichael, St.Ruscheweyh and E.B.Saff (Eds.) World scientific Publishing Co. 1999. P. 177-190.

97. Düren P., PfaltzgrafF J. Robin capacity and extremal length //J. Math. Analysis Appl. 1993. V. 179. №1. P. 110-119.

98. Düren P., Schiffer M.M. Conformai mappings onto nonoverlapping regions // Complex analysis. Basel: Birkhauser Verlag. 1988. P. 27-39.

99. Düren P., Schiffer M.M. Robin functions and energy functionals of multiplay connected domains // Pacific J. Math. 1991. V. 148. P. 251273.

100. Düren P., Schiffer M.M. Robin functions and distortion of capacity under conformai mapping // Complex Variables. 1993. V. 21. P. 189-196.

101. Hayman W.K. Multivalent functions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994.

102. Jenkins J.A. On two-point distortion theorems for bounded univalent regular functions // Kodai. Math. J. 2001. V. 24. №3. P. 329-338.

103. Kim S., Minda D. Two-point distortion theorems for univalent functions // Pacific J. Math. 1994. V. 163. №1. P. 137-157.

104. Kraus D. and Roth O. Weighted distortion in conformal mapping in euclidean, hiperbolic and elliptic geometry // Ann. Acad. Sei. Fenn. Math. 2006. V. 31. P. 111-130.

105. Nehari Z. Some inequalities in the theory of functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. V. 75. №2. P. 256-286.

106. Pfluger A. Extremallängen und Kapazität // Comment. Math. Helv. 1955. V. 29. P. 120-131.

107. Pommerenke Ch. Univalent functions. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1975. 376 p.

108. Schiffer M. A method of variation within the family of simple functions // Proc. Lond. Math. Soc. 1938. V. 44. P. 432-449.

109. Schippers E. Distortion theorems for higher-order Schwarzian derivatives of univalent functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2000. V. 128. №11. P. 3241-3249.

110. Schippers E. Conformal invariants and higher-order Schwarz lemmas // J. Anal. Math. 2003. V. 90. P. 217-241.

111. Stiemer M. Representation formula for the Robin function // Complex Variables. 2003. V. 48. № 5. P. 417-427.

112. Vasil'ev A.Yu. Moduli of families of curves for conformal and quasiconformal mapping: Lecture Notes in Math. 1788. Berlin: Springer, 2002. 211 p.