Задачи оптимальной нелинейной фильтрации и интерполяция разрывных марковских процессов и их использование тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Київський університет імені Тараса Шевченка

РГ5 ОД

; ,'УиК

На правах рукопису

Сидоров Микола Володимир - Станіславович

Задачі оптимальної нелінійної фільтрації та інтерполяції розривних марковських процесів та їх застосування

Спеціальність 01.0^.0§ - теоретичні основи інформатики та кібернетики

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук

Київ - 1996

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано на кафедрі прикладної статистики Київського університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук, доцент Война Олександр Андрійович.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Кнопов Павло Соломонович,

кандидат фізико-математичних наук, доцент Лепеха Микола Павлович.

Провідна установа: Інститут математики НАН України

Захист відбудеться "12 " грудня 1996 року о 1400 н засіданні спеціалізованої ради Д 01.01.23 у Київськом університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

252127, м.Київ -127, пр. Акад. Глушкова, 2, корп б, ф-кібернетики, ауд. 40, (тел.266-12-58, факс 266-12-48, Е-ша vpsh@icchq.univ.kiev.ua).

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеї Київського університету імені Тараса Шевченка, Київ, вyJ Володимирська, 58.

Автореферат розіслано " П " листопада 1996 року.

Вчений секретар спеціалізованої ради, кандидат фізико-математичних наук

з

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми.

При побудові математичних моделей складних стохастичних систем широке застосування набули розривні процеси, зокрема стрибкоподібні марковські процеси, процеси відновлення, напівмарковські процеси і т.і. Так, у термінах цих процесів описується робота систем масового обслуговування, формулюються моделі надійності складних систем. Схожі моделі виникають у фізиці, біології, соціології, психології та ін.

Типовою для вказаних моделей є ситуація відсутності повної статистичної інформації, тобто безпосередньому спостереженню доступна лише частина характеристик досліджуваної системи, і за цими спостереженнями потрібно найкращим чином оцінити решту характеристик.

Задача фільтрації та інтерполяції випадкових процесів є однією із головних задач статистики випадкових процесів і налічує широку бібліографію. При цьому відповідним задачам для розривних процесів приділялось менше уваги, що є додатковим підтвердженням актуальності проведених у роботі досліджень. Серед перших робіт, що стосуються статистики частково спостережуваних розривних процесів слід відзначити дослідження Р.Л.Стратоновича, присвячені умовним марковським процесам.

Загальні питання оцінювання процесів з кусково неперервними траєкторіями розглядались далі у О.І.Яшина, Р.Ш.Ліпцера та А.М.Ширяева, Л.І.Гальчук, К.І.Острьома, М.Рудемо та ін. У Р.Ш.Ліпцера та А.М.Ширяєва отриманий головний вираз для апостеріорних ймовірностей характеристик деякого класу функцій від спостережуваного процесу за умови, що спостерігалась реалізація деякого стрибкоподібного випадкового процесу.

На жаль, ці загальні результати, хоч і визначають оптимальний спосіб обробки спостережень, але не можуть безпосередньо використовуватись у практиці моделюванні на ЕОМ. У О.І.Яшина звуження класу розглянутих процесів дозволило перетворити загальні вирази до алгоритмів обробки спостережуваних даних, що можна реалізувати на ЕОМ. Такі алгоритми, придатні до безпосереднього використання на ЕОМ, називатимемо конструктивними.

Дана робота присвячена дослідженню частково спостережуваних марковських процесів з дискретним та неперервним часом, зліченим та довільним простором станів, напівмарковських процесів та розробці конструктивних алгоритмів для задач оцінки станів частково спостережуваних марковських та напівмарковських процесів та систем і мереж масового обслуговування з неповною статистичною інформацією. А саме: розроблено конструктивні алгоритми для задач фільтрації та інтерполяції частково спостережуваного ланцюга Маркова зі зліченим та

довільним простором станів з неперервним та дискретним часом. Розглядаються напівмарковські процеси, як двокомпонентні марковські, у яких першою компонентою є вкладений марковський, а другою -випадкова величина, розподілена за законом, що співпадає з розподілом часу перебування вкладеного ланцюга у стані. Запропонована методика використання теоретичних результатів до аналізу конкретних стохастичних частково спостережуваних систем та мереж масового обслуговування. .

Мета роботи.

Мета роботи полягає у створенні конструктивних алгоритмів для задач оптимальної нелінійної фільтрації та інтерполяції частково спостережуваних марковських та напівмарковських процесів та їх застосувань у теорії масового обслуговування, а також у реалізації отриманих алгоритмів на практиці (у вигляді програми).

Загальна методика досліджень.

У роботі застосовувались методи теорії ймовірності1, теорії випадкових процесів2, теорії систем та мереж масового обслуговування3, методи апроксимації процесів, методи алгоритміки та програмування мовою ОеІрКі Рансаі.

Наукова новизна.

В процесі досліджень отримані такі результати:

• сформульовані та доведені загальні теореми задач оптимальної нелінійної фільтрації та інтерполяції для ланцюгів Маркова з довільним простором станів та дискретним і неперервним часом;

• доведення усіх сформульованих теорем є конструктивними;

• запропонована методика використання теоретичних результатів до задач статистичного аналізу частково спостережуваних систем та мереж масового обслуговування;

• на основі розробленої методики створено алгоритмічне і програмне забезпечення для оцінки стану та моделювання двокомпонентних ланцюгів Маркова, а також для моделювання та оцінки стану системи масового обслуговування та деяких супроводжуючих процесів.

боровков А.А. Теория вероятностей.- М.: Наука, 1987.* 431 с.

Гихмак И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика.- К.:

Выща школа, 1988 - 439 с.

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том 1./ том 2- М.: Мир, 1967.- 499 с.

752 с.

2 Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы.- М.: Иностр. литер., 1956.- 606 с.

Скороход А.В. Исследования по теории случайных процессов.-Изд-во Киевск. Унив., 1961.- 216 с.

3Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания.' М.: Высшая школа, 1982.- 256 с.

Уолрэнд Дж. Введение в теорию сетей массового обслуживания.- М.: Мир, 1993.- 336 с.

Теоретична та практична цінність.

Отримані результати для задач оптимальної нелінійної фільтрації та інтерполяції марковських процесів з довільним простором станів.

Всі результати отримані конструктивними методами, тобто придатними до безпосереднього використання у програмуванні задач на ЕОМ.

Представлені методи застосування теоретичних результатів до задач теорії масового обслуговування.

На основі задач фільтрації подано алгоритмічне забезпечення для задач оцінки параметрів частково спостережуваних процесів.

Запропоновані методи розв'язку задач можуть бути застосовані у комп"ютерній лінгвістиці, системах розпізнавання образів, системах відновлення втрачених даних та ін.

Апробація роботи.

Головні результати доповідались і обговорювались на Третій міжнародній конференції імені академіка М.Кравчука /м.Київ, 9-11 травня 1994р./Четвертій міжнародній конференції імені академіка М.Кравчука /м.Київ, 11-13 травня 1995р./, П"ятій міжнародній конференції імені академіка М.Кравчука /м.Київ, 16-18 травня 1996р./, на наукових семінарах кафедр факультету кібернетики, кафедри методології та методів соціологічних досліджень факультету соціології та психології Київського університету імені Тараса Шевченка. Також робота "Фільтрація та інтерполяція мережі масового обслуговування з неповною інформацією" відзначена Дипломом НАН України та премією НАН України для молодих учених 1996 року.

Робота виконана за часткової підтримки гранту РБІІ 061096 Міжнародної Соросівської програми підтримки освіти в галузі точних наук в Україні.

Публікації.

Основні результати проведених досліджень опубліковані у семи роботах, перелік яких наведено у кінці автореферату.

Структура та обсяг роботи.

Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, списку літератури з 81 джерела та додатку. Нумерація у межах кожного розділу є потрійною: перша цифра - номер розділу, друга - номер параграфу, третя - номер формули у параграфі.

Зміст роботи.

Перший розділ складається з трьох параграфів:

У §1.1 отримано конструктивні алгоритми для задач фільтрації і інтерполяції дискретного частково спостережуваного ланцюга Маркої зі зліченим простором станів.

Нехай гк = {хк, ук}, к=0,1,2,... - однорідний ланцюг Маркова дискретним часом та дискретним простором станів, матрице перехідних ймовірностей за один крок

Р = \\рІ^\\, і,} є Е, а, Ь єА,Е={ 1,2.}, А={ 1,2,...}

РІЇ = Р(Хк = У. У к = Ь/Хк-1 = *>Ук-1 = а} та вектором початкових ймовірностей

Яіа = ріг о = (і,а)}, і є Е, а є А.

Позначимо

Р’(т) = Р{хт = і/Зш}, і є Е

Р’(к, т) = Р{хт = г/Зй>, к > т, і єЕ,

де Зт = а{г/А,к = 0,т}, а - алгебра, породжена {ук,к = 0,т}.

Тоді мають місце теореми Теорема 1.1.1.

Для однорідного ланцюга Маркова гк, визначеного вище, дискретним часом та дискретним простором станів умовні ймовірнос Р{ (т) задовольняють рекурентному рівнянню

Р;*0п) = -^---;---------:--, І єЕ, ТП= 1,2,...

‘ ІІ4(т-1)р^:;

/є£&є£

з початковою умовою

р. (0) = —^— , і є £.

£ *7/50

;'є£

Теорема 1.1.2.

Якщо для процесу гк виконуються умови теореми 1.1.1, то умові ймовірності (к,тп) задовольняють рекурентному рівнянню

Р-(т)рІ

Р{ (к,т)= £Р- С^-т + 1)——т——у—,

. — \ П ^Ут*\

іеЕ 1 ’ ЦРг(™)рІ£

гєЕ

і єЕ, к > т, ш=1,2,...

з початковою умовою

Р-(к,к) = Р;а), і є£, *=1,2,... .

У §1.2 сформульовано і доведено ряд результатів які використовуються у параграфах далі.

У §1.3 результати §1.1 поширено на неперервний час. Потрібно відмітити, що схожі результати були отримані у О. І.Яшина та М.Рудемо, але метод доведення, наведений у даній роботі є іншим.

Нехай г(Ь)={х(0,у(1)}, £>0 - неперервний справа однорідний ланцюг Маркова з дискретною множиною станів и = Е х А.

Р/аь(ї) = Р{г(5> = (У, Ь)/г(0) = (і, а)), і, / є Е, а,Ь є А

- перехідна функція ланцюга г( О,

<7,- а = Р{х(0) = і, г/(0) = а), і, У є Е, а,Ь є А

- його початковий розподіл.

Припустимо, що для г(0 виконуються умови

1іт-Р; “(£) = А.,- Ла), і, ]' є Е, і ф ], а є А і->0£ га '

1іт-Р/Ь (О = цДг.д, і,Ь), а*Ь, ІФ у, і,/ є£, я,6 єЛ >0 і 1 “

Ііт -Р-1 *(£) = ц2(г, а,Ь), і єЕ, а,ЬєА, а* Ь і-*0 £ 1 “

Ііт 7(1 - (*0) = 8(І'У (X,- (а) + Ц! (і, а) + ц2(і.«))

(->0 £ 1 а К1'а>

і, У є Я, а,Ь є А

5(і,ь) Г1» * = а = Ь<

[О, інакше

- символ Кронекера і, а для будь-яких і, у є £, д,Ь є А

Х,(а)= = -А; ,(а), ц1(і,а)= £ £ці(і,я,у,Ь)

/єЯ ]’єЕЬєА

І*і /*і Ь*а

\і.2{г,а)=

Позначимо

(0 = Р{л:(0 = і/3[0іі]}, і єЕ, £ > 0

^(Г,0 = Р{*(£) = і/3[о,г]}> і є£, Г > £ > 0,

де = сг{ г/(5), £ < 5 < Г} - с - алгебра, породжена траєкторією

процесу у(0 на проміжку часу [£,Г].

Мають місце такі теореми

Теорема 1.3.1.

Якщо для процесу г(0 виконуються наведені вище умови, то умовні ймовірності Р{ (£) задовольняють систему диференційних рівнянь

(О =

Ирк^Ь*,-(у(0 )+'/>■ (О

кєЕ к*і

Е ^ (*)у* ДіКО) - у , (г/(0) -

ЛєЯ

к*і

-\х\(і>у(0)-\х2{іу(і))+ £/>А(і)(уА(^(0) + Иі(Л, */(£)) + іі2(&, #(£)))

*є£

X! Р* (* - 0)ц1 (&, і, уЦ - 0), г/(0) + Р; (£ - 0)(л2Сг, г/(£ - 0),у(0)

кєЕ

2 £ Р* (* - (ЙщОг. г. */(£ - 0), г/(і)) + £;(£- 0)ц2(і, */(£ - 0), гДО)

ієЕкєЕ

к*і

<ІИ( =

-Рі (і - 0)]<Ш,

1, якщо г/(£) * уІЇ - 0); 0, якщо у(і) = у(і - 0),

з початковою умовою

Р/(0) = Р{х(0) = і/у(0) = а0) =

а0

ієЕ

Теорема 1.3.2.

Якщо виконуються умови теореми 1.3.1, то умовні ймовірност Рі(Т, О задовольняють системі диференційних рівнянь

Р{

£Р( (ОХціуіО)

і єЕ

йрі{т,і)= РііТЛ)—--------------—-----------ІР;(Г,0: /ч

/»• (0 /б£ Ру (О

!*і

<іі +

РІ(Т,С)'£,Р1 и -ОщСг./.гДі-СО.гАШ

ІєЕ

____________________/*і____________________________________________

2 Р, (£ - 0)|а,(і, /, гДі! - 0), г/(0) + Р{ (і - 0)ц2(*. #(£ - 0), г/(г0)

ІєЕ

1*і

-І

РуСГ.ОР; - 0)ц,(г,у, г/(і — 0), г/(0)

>е£ X Р/ ^ _ 0)щ(/,у(г - 0), у(і)) + Р. (£ - 0)ц2О, ~ °)> У&))

/*>' (е£

з початковою умовою

РІ(Т,П=РІ (Т), г є£, де (О визначається в теоремі 1.3.1.

Другий розділ складається з чотирьох параграфів.

йШ

§2.1 присвячений задачам фільтрації та інтерполяції ланцюгів Маркова з довільним просторім станів та дискретним часом.

У §2.2 результати §2.1 поширені на ланцюги Маркова з довільним простором станів та неперервним часом.

Нехай г(£) = {х(0,#(£)}, £>0 - однорідний марковський процес зі значеннями у фазовому просторі Ц,^), де Z = XxY, ©г = х а (X,©*) та (У,53у) -відповідно фазові простори компонент х(0 та г/(£) процесу г(0 (при цьому, як і раніше, припускаємо, що ст-алгебра 33г містить всі одноточкові множини {х} єЗЗх, х єХ, та {у} є 33,,, у є У ).

Позначимо д0(М) = Р{г(0) еМ}, Мєй, - початковий розподіл процесу г(^), і Р((г,М) = Р{г(0 є М/г( 0) = г}, г £>0, М єЗЗг -його перехідну функцію за час І.

Припустимо, що процес г(0 має чисто розривні траєкторії і, при цьому виконуються такі співвідношення :

Для будь-якого г = (х,у) е2

Ііш-Р(((х,у),Ніхх) = Ах(у,Н), х єХ, у єУ, у і Я, Я є®„

\\т- Р(((х, у), А, х) = М „(х.Л), х єХ, у є У, х е А, А єЗ}х

і-уО £ '3‘ у

\\т\ріі.{х,у),М,х ,) = ТХЛМ), х єХ, у є У, х й А, у єН

<-»0 Г ,у

1іт-(1- Р(((х, г/),{(х, г/)}) = Аг(г/) + М„(х) + Г* х є X, у є У <->о і:

Ах (у) = А* (г/, У \ {г/}), Му (х) = Му (х, X \ {х})

ГІгУ =Гч(Х\{х}хУ\М),

де при будь-якому х є X та Я є 33у Ах(у,Н) - 33у-вимірна по уєУ, при будь-яких х єХ та у є У, А х(у,) є скінченною мірою на (У, 33у). Відповідно, при будь-яких у є У та Л є 33.,., Му(х, Л) є - ©^-вимірною по х єХ, при будь-яких х єХ та у є У, Му(х, •) є скінченною мірою на (Х,33х).

Мають місце такі теореми Теорема 2.2.3.

Якщо виконані наведені вище умови рівномірно по г & Ъ, А єЗЬх, Я є®у;

існує така с-скінченна міра v.t(•) на (Х.ЗЗд.), а також 23^-вимірна по у еУ, 33*-вимірна по х,м єХ, обмежена функція цу(х,м) така, що

для будь-якого А єЗЗх та х єХ М^(х,Л)= \\іу(х,иЬ/х(сІи)

л

існує така о-скінченна міра на (у.ЯЗ^), а також ЗЗ^-вимірі

по х єХ, 33,,-вимірна по V, у є У, обмежена функція Ххіу,у) така, пі

для будь-якого Я є 33^ та у є У Ах (у, Н) = 11Х (у, г))уу (<1ь)

н

існує така %}х-вимірна по х,м єX, 33,,-вимірна по и,у є\ обмежена функція ухд(и,и) така, що для будь-якого А є 33х, йе®}і у є У, х єХ, М = Ах Я, Тху(М) - | Іу^уСм.иУДгіи^Сгіг»)

’ Д\{*}Я\{у) '

існує така 332-вимірна функція ^(х,у), (х,у) еХ, така, що дл

будь-якого М = Ах Н є ЯЗг, д$(М)= \ 1%(х, у)\Х{(іх)\у((іу),

АН

то для будь-якого і > 0 існує така ©^.-вимірна функція й*(£,х), що дл будь-якого А є 33х

й(£, А) = |Л*(£,х)уд:(с?л:)

А

і при цьому функція Н*и,х) задовольняє такому інтегрс диференційному рівнянню:

6к*{Ь,х) = І /г* <^, ^)р.і/(і)С£>, дт> л/д. +

_х\{*}

+Іг*И*(і,х)[А.х(у(0) + ТХ у(і^х(сІх) -

-їі*(і,х)(Ах(у(0) + Муі0(х) + Гху(і)У

<іі +

Іі' (і - 0,х)\х(у{і - 0), 2/(0) + ІЛ* (С — 0,Е,)у^ у((_0)2/(0)у.,(сЙі)

______________________________х\И____________|____________________

И' и - 0, (у(г - 0), уШ)+ \/і* (і - 0, Оу^,уи-0)^х’ («?£)

Х\(л| '

Лсіх)

-//*(£- 0, я)|с?ЛГ(

з початковою умовою

«•(0.x). ,

X

Теорема 2.2.4.

Якщо виконані умови теореми 2.2.3, то існує неперервна по £ 33* вимірна по * єХ функція 5-г(і,х'), така, що для будь-якого А

7Гр(£,/1)= х)ух(сіх)

А

і при цьому для будь-якого £ є[0,Т], функція (і,х), задовольняє інтегро-диференційному рівнянню

СІ5Ї0,0 =

’ /г*(£-0,и)

х\и>

/г*(£ - 0, £) хЧ(4>

5ї(і,х)1і'(і-0,{,)ухуи_0)(£„г/(і))

х\«} !*’<*- 0,ОГх.і,(і-о)(£, у(0)ух(гі£)

+

чх(с!х)

СІМ

де функція /г*(£,;с), £ £ 0, яєХ - визначається в теоремі 2.2.3 при граничній умові

5*(Г^) = ЛЧ7’І^), § єХ

У параграфі 2.3 розглядається двокомпонентний процес, що складається з марковського процесу та випадкової величини, розподіленої на станах марковського процесу. Для цього процесу отримані рекурентні рівняння фільтрації та інтерполяції.

§2.4 присвячений задачі фільтрації напівмарковського процесу, причому напівмарковський процес розглядається як двокомпонентний процес з вкладеного марковського та випадкової величини, розподіленої на станах вкладеного ланцюга Маркова за розподілами часу перебування напівмарковського ланцюга у станах. Отримані рекурентні рівняння для випадку спостережень за напівмарковським процесом до п-ї зміни стану вкладеного ланцюга Маркова та для випадку спостережень до довільного моменту часу £.

У третьому розділі, що складається з двох параграфів, наведені приклади застосування теоретичних результатів, отриманих у розділах 1 та 2 до задач статистичного аналізу мереж та систем масового обслуговування за умови неповних статистичних даних.

Задача фільтрації та інтерполяції мережі масового обслуговування з неповною статистичною інформацією розглянута у §3.1.

Нехай ми маємо мережу масового обслуговування (ММО) з двома вузлами. Перший - М/М/г/со з вхідним пуассонівським потоком з параметром 7 , г приладами з показниковим роподілом з параметром Щ обслуговування кожен. Після першого вузла всі вимоги потрапляють на другий вузол, де обслуговуються за показниковим законом з параметром

И2-

1 2

Позначимо X' - черга на першому вузлі в момент часу і, Хі

черга на другому вузлі в момент часу £.

Цю систему можна описати марковським ланцюгом з неперервним часом г(£) = {л:(£), г/(0}, £>0, де х(і) = Х}, у(0 = Х^, з дискретною множиною станів (/ = Е * Е, Е = {0,1,2,...}.

Припустимо, що ми можемо спостерігати лише за другою компонентою , і за цими спостереженнями необхідно знаити умовнии розподіл першої компоненти XТоді мають місце такі теореми:

Теорема 3.1.1.

Умовні ймовірності Рі (£), і = 0,1...£ > 0 задовольняють систему

диференційних рівнянь

Теорема 3.1.4.

Якщо для мережі масового обслуговування виконуються умови

теореми 3.1.1, то для Рі (£), і = 0,1........... £>0 виконуються

співвідношення

dp.it) = [у(Р*_{(0 - Р*(і))~ с,гіі)\і\Рц (і)Р-(0]сІі +

+ - 0) - У{і - 0) = 1]. РІІ (О = 0,

1 “ і() \£ ““ 0/

3*(0) = Р{х(0) = і/уЩ

+

= о, £>0

і е[т;-,т/+1), У = 0,^7-, т„г+1 = 7\ т0 =0,

з початковими умовами

!3 .

р* (х . _ 0) __________

/?«»=р{^(о)=і/ущ, рЦч)==°-^

1 У

У §3.2 розлянута задача оцінки стану системи масового

обслуговування М / М / п / г та задача оцінки стану деяких супроводжуючих процесів.

Вхідним потоком є пуассонівський з параметром А,. Час обслуговування кожної вимоги, незалежно від моменту її надходження до системи та від тривалості обслуговування вимог іншими приладами, є випадковою величиною, що має однаковий для всіх приладів показниковий розподіл з параметром ц.

Якщо кількість вимог, що знаходяться у системі у момент часу £, позначити за t,(t), то, згідно із загальною теорією масового

обслуговування, £(£) утворює однорідний марковський процес з неперервним часом і дискретним простором станів Е = {0,1,2,..., її + г}.

Припустимо, що спостереженню доступні моменти часу

(t0,tt..tn}, t0 = 0, коли вимоги надходять до системи чи залишають її,

причому інформація про те є £,-, г=1,2Д... моментом, коли вимога надійшла до системи і залишилась у ній на обслуговування, надійшла до системи і була втрачена (коли у системі £(£) = п + г вимог) чи вийшла із системи після обслуговування - відсутня.

Позначимо = £(£„) - стан процесу t,(,t) на проміжку часу

t ЛЛ+1). «=0,1,2,... , єЕ та e„=tn+i-tn, 6„ є/?+ я=0,1,2,..., -

час, проведений процесом £(£) після п - ї зміни стану, «=0,1,2,... і

р = {рі, і є Е) - деякий розподіл на Е, р{ > 0, £ р{ = 1.

ієЕ

Нехай vt - кількість змін стану процесом за час

t, v( = sup{n: £„<£}.

Теорема 3.2.1

Нехай нам відома траєкторія процесу 0А за п кроків, гі>0. Тоді найкращою оцінкою стану , І < п буде к , що задовольняє Р&і = к/з£} = max Р&, = к/%)

OSKSn+r

Розглянемо процес = {£п,0„}. Легко бачити, що він утворює ланцюг Маркова.

Теорема 3.2.2.

Для ланцюга Маркова ={!;„, 0„} умовні ймовірності Р{ (п) задовольняють рекурентному рівнянню

nV , Pif(i+„(я - ш + gg(i)vkn(i +

' л-а+^(і+0р) +

і>(;_0(я - оа+дка)ц)хе-а+^)о-+ А -(Х. + <;я(г-1)ц)

. РІ\(я) = 0, і = 1, п + г, п-1,2,...

з початковою умовою Р’ (0) = Р{, де

+

;=о

(X + <^(і + 1)ц)

Рд-рС» ~ ОСЬ + ^(іУЖб-а^(і)^9" (X + $її(і - 1)|і)

Підсумки.

Основні результати роботи.

Таким чином, у дисертаційній роботі отримані такі результати:

• сформульовані та доведені загальні теореми задач оптимально нелінійної фільтрації та інтерполяції для ланцюгів Маркова : дискретним простором станів та дискретним і неперервним часом;

• результати, отримані для ланцюгів Маркова з дискретним просторо> станів поширені на ланцюги Маркова з довільним простором станів;

• доведення усіх сформульованих теорем є конструктивними;

• сформульовані та доведені теореми для застосування отриманий результатів до теорії масового обслуговування;

• на основі розробленої методики створено алгоритмічне і програмні забезпечення для оцінки стану та моделювання двокомпонентнт ланцюгів Маркова з дискретним часом та дискретною множинок станів а також для моделювання та оцінки стану системи масовок обслуговування та деяких супроводжуючих процесів.

Список публікацій

1 Война О.А., Сидоров М.В.-С. Обернені рівняння оптимальної нелінійн

інтерполяції для частково спостережуваних марковських процесів/ ДАН України,- 1995,- №1,- 24-26 с.

2 Война О.А., Сидоров М.В.-С. Оцінювання умовних перехідні

ймовірностей для частково спостережуваних ланцюгів Маркова/ Теор.ймов.і матем.сгат,- 1996.- вип. 54,- 1-13 с.

3 Война О.А., Сидоров М.В.-С. Рівняння оптимальної нелінійної фільтраї

та інтерполяції для частково спостережуваних марковських процесів/ Укр. мат. журн.- 1994.- том 46, №8.- 971-976 с.

4 Сидоров М.В.-С. Задача фільтрації напівмарковських процесів// те:

доповідей "Третьої міжнародної наукової конференції ім. акад. Г> Кравчука"., Київ.- 9-11 травня, 1994р.- с. 109.

5 Сидоров М.В.-С. Фільтрація мережі масового обслуговування з неповно

інформацією// тези доповідей "Четвертої міжнародної науков конференції ім. акад. М. Кравчука"., Київ.- 11-13 травня, 1995р.- с.222.

6 Сидоров М.В.-С. Фільтрація та інтерполяція мережі масового

обслуговування з неповною інформацією// Вісник Київського

університету, серія "Фіз-мат. науки",- 1995,- М°11,- 217-233 с.

7 Sydorov M.V.-S. The filtration of semiMarkov processes.// тези доповідей

"П'ятої міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука".,

Київ,- 16-18 травня, 1996р.- с.395.

Особистий внесок.

У всіх публікаціях, написаних сумісно з науковим керівником, Войні О.А. належать постановки задач та наукові консультації, стосовно написання робіт.

Сидоров Н.В.-С., Задачи оптимальной нелинейной фильтрации и интерполяции марковских процессов и их приложения. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико -математических наук по специальности 01.05.01 - теоретические основы информатики и кибернетики. Киевский университет им. Тараса Шевченко, Киев, 1996.

В диссертации рассматриваются задачи оптимальной нелинейной фильтрации и интерполяции частично наблюдаемых марковских процессов. Построены конструктивные алгоритмы для задач фильтрации и интерполяции цепей Маркова с дискретным и непрерывным временем, дискретным и произвольным пространством состояний. Представлены применения результатов к решению некоторых задач теории массового обслуживания и полумарковским процессам.

Sydorov M.V.-S. The problems of optimal non-linear filtration and interpolation of Markov processes and theirs applications. Thesis for Candidate of Science degree in Physics and Mathematics, speciality 01.05.01 - Theoretical Bases of Computer Science and Cybernetics/ Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 1996.

The problems of optimal non-linear filtration and interpolation of partially observed Markov processes are presented in the dissertation. Constructive algorithms for the filtration and interpolation problems of Markov processes' with discrete and continuous time and discrete and arbitrary space of state are built. Applications of obtained results for the solving of some qieueuing theory and theory of semi - Markov processes problems are presented.

Ключові слова.

Оптимальна оцінка, марковський процес, фільтрація, інтерполяція, мережі масового обслуговування, випадковий процес, частково спостережуваний процес, вектор спостережень, випадкова величина, вкладений ланцюг, розподіл.