Задачи оптимизации и полунатурной отработки систем ориентации спутников тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

005002437

На правах рукописи

ПРИЛЕПСКИЙ Илья Владимирович

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ПОЛУНАТУРНОЙ ОТРАБОТКИ СИСТЕМ ОРИЕНТАЦИИ СПУТНИКОВ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 НОЯ 2011

Москва-2011 год

005002437

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Мирер Сергей Александрович

Ведущая организация: Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

Диссертационного совета Д 002.024.01 при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Автореферат разослан « » ноября 2011 г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Карапетян Александр Владиленович

кандидат физико-математических наук, доцент Гутник Сергей Александрович

Защита состоится "_/?_" 2011 года в И час. на заседании

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

Т.А. ПОЛИЛОВА

Общая характеристика работы

Объект исследования и актуальность работы

Объектом исследования в диссертационной работе являются пассивные гравитационные и активные (маховичные, магнитные) системы ориентации спутников, причем последние рассматриваются также применительно к задаче стабилизации макета спутника на лабораторном стенде (при проведении лабораторных испытаний макет, подвешенный на струне, помещается в рабочую область имитатора геомагнитного поля).

Совершенствование систем ориентации искусственных спутников Земли остается одним из важных направлений развития космической техники. Известно, что ориентация спутника может быть осуществлена с использованием пассивных или активных методов. При этом, независимо от используемого метода, актуальной задачей является повышение скорости приведения космического аппарата в номинальный режим. Часто для оценки скорости протекания переходных процессов используется величина степени устойчивости - взятая с обратным знаком действительная часть ближайшего к мнимой оси корня характеристического уравнения линеаризованных в окрестности номинального режима уравнений движения. Можно, в частности, упомянуть цикл исследований, выполненных В.А. Сарычевым и его учениками в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. В настоящей работе под оптимизацией понимается определение значений параметров, при которых достигается максимум степени устойчивости номинального движения системы. Анализируются различные системы, в частности, система спутник-стабилизатор, представляющая собой два твердых тела, соединенных шарниром Р (рис. 1). Известно решение этой задачи в случае, когда в шарнире имеется вязкое трение и упругая связь. В диссертации рассмотрена система без упругой связи в шарнире. При этом, поскольку оптимизация выполнена

з

аналитически, некоторые из результатов характеризуются значительной общностью: хотя они получены при исследовании конкретной механической системы, они могут быть применены для любой системы, характеристическое уравнение которой имеет аналогичный вид.

Важным этапом разработки активных систем ориентации является их полунатурная отработка на стендах, позволяющая оценить адекватность функционирования датчиков и исполнительных элементов. При этом представляет интерес и проблема сопоставления наблюдаемого в лабораторных условиях движения макета аппарата с прогнозируемым движением спутника на орбите. При тестировании алгоритмов управления на макете на стенде также большое значение имеет сокращение длительности переходных процессов в системе. В диссертации эта задача решена для ряда алгоритмов магнитной и маховичной ориентации, реализованных на макете спутника, помещенном в рабочую область имитатора геомагнитного поля на струнном подвесе. Что касается сопоставления движения макета и прогнозируемого движения спутника, в работе выделены классы движений и соотношения между параметрами спутника и макета, когда можно говорить о подобии углового движения макета и спутника.

г

г

Рис. 1.

Цель работы

Основной целью диссертационной работы является исследование скорости демпфирования колебаний спутника вблизи номинального движения. Соответствующая задача решается и для макетов спутника с активными системами ориентации на лабораторном стенде, на котором проводится полунатурная отработка алгоритмов системы управления. При этом получаются оценки скорости протекания переходных процессов и определяются оптимальные параметры, при которых переходные процессы протекают максимально быстро.

Научная новизна работы

Выполнена аналитическая оптимизация степени устойчивости системы с характеристическим уравнением 4-го порядка специального вида. Пространство безразмерных параметров системы разбито на области, в каждой из которых найдено оптимальное значение коэффициента демпфирования, а максимальная степень устойчивости достигается на определенной конфигурации корней. Построена полная классификация механических систем рассмотренного вида с точки зрения выбора алгоритма определения оптимального коэффициента демпфирования и способа вычисления максимальной степени устойчивости.

Такое уравнение возникает, в частности, при исследовании системы спутник-стабилизатор без упругой связи в шарнире. С применением предложенной методики аналитически решена задача определения оптимальных параметров системы спутник-стабилизатор в частном случае, когда шарнир совмещен с центрами масс обоих тел системы. Показано, что оптимум достигается при подравнивании всех корней характеристического

Рассмотрена система с модельным демпфированием, т.е. твердое тело, на котором вдоль трех некомпланарных осей установлены устройства, создающие вдоль этих. осей демпфирующие моменты, пропорциональные соответствующим проекциям угловой скорости тела. Решена задача повышения эффективности гашения малой угловой скорости за счет оптимального выбора направлений осей демпфирующих устройств относительно главный осей инерции тела. Доказано, что максимальная степень устойчивости достигается при коллинеарности осей демпфирования и главных центральных осей инерции тела. Доказано также ранее неизвестное неравенство, которому удовлетворяют элементы тензора инерции произвольного твердого тела.

Проведено математическое моделирование, численное и аналитическое исследование динамики макета спутника на лабораторном стенде в ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. Решена задача улучшения демпфирующих характеристик ряда алгоритмов активных магнитных систем ориентации спутников при их реализации на испытательном стенде. Определены частные движения и ограничения на параметры макета, при которых возможно прямое сопоставление его движения в лабораторных условиях с движением спутника на орбите.

Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты позволяют оценить скорость демпфирования колебаний спутника вблизи номинального движения и выбирать значения параметров, при которых достигается максимальная эффективность демпфирования, и, таким образом, могут быть использованы на этапе предварительного проектирования систем ориентации спутников. Решена также задача повышения эффективности алгоритмов демпфирования колебаний при их реализации на макете спутника на лабораторном стсндс.

Выносимые на защиту результаты и положения:

1. Выполнена аналитическая оптимизация степени устойчивости по коэффициенту демпфирования для характеристического уравнения 4-го порядка специального вида. Пространство безразмерных параметров системы разбито на области, в каждой из которых найдено оптимальное значение коэффициента демпфирования, а максимальная степень устойчивости достигается на определенной конфигурации корней. Для частного случая совпадения шарнира с центрами масс спутника и стабилизатора аналитически найдены оптимальные инерционные параметры.

2. Для системы с модельным демпфированием доказано, что максимальная степень устойчивости достигается при коллинеарности осей демпфирования и главных центральных осей тела. Доказано ранее неизвестное экстремальное соотношение между элементами тензора инерции твердого тела.

3. Сформулированы рекомендации по улучшению демпфирующих характеристик алгоритмов при их реализации на лабораторном стенде. Определены частные движения и ограничения на параметры макета, при которых возможно сопоставление его движения с реальным движением спутника относительно центра масс.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих

конференциях и семинарах: XXXIII, XXXIV Академические чтения по

космонавтике, секция "Прикладная небесная механика и управление

движением" (Москва, 2008, 2009); 44 Чтения, посвященные разработке

научного наследия и развитию идей К.Э. Циолковского" (Калуга, 2009); V

научно-практическая конференция "Микротехнологии в авиации и

космонавтике" (Москва, 2007); международная конференция «Научные и

технологические эксперименты на автоматических космических аппаратах и

7

малых спутниках» (Самара, 2008); 48 -53 научные конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных наук" (Долгопрудный, 2005 -2010); X Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2011); семинар "Динамика относительного движения" (рук.: чл.-корр. РАН В.В. Белецкий, проф. Ю.Ф.Голубев, доц. К.Е.Якимова, доц. Е.В. Мелкумова - Москва, МГУ, 2011); семинар «Аналитическая механика и теория устойчивости» им. В.В. Румянцева (рук.: чл.-корр. РАН В.В. Белецкий, проф. A.B. Карапетян - Москва, МГУ, 2011); семинар «Механика космического полета» им. В.А. Егорова (рук.: чл.-корр. РАН В.В. Белецкий, проф. В.В. Сазонов - Москва, МГУ, 2011).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 17 печатных работах, в том числе в трех статьях в изданиях из Перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК РФ [1-3]. Список работ приведен в конце автореферата.

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертационной работы получены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю. Заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 93 страницах, содержит 30 иллюстраций, библиография включает 38 наименований.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты 07-01-00040, 09-01-0043).

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, приведен краткий обзор литературы, сформулированы цели диссертационной работы и дано описание ее структуры.

В первой главе проводится оптимизация степени устойчивости для систем ориентации спутников, для которых характеристическое уравнение линеаризованной в окрестности асимптотически устойчивого положения равновесия (номинального режима) системы уравнений движения имеет вид

а0 ОХР4 + kat (х) Р1 + <*2 (Х)Р2 + каз (Х)Р + аА (х) = °> (1)

где к - коэффициент демпфирования, х - вектор прочих параметров.

В разделе 1.1 приведено описание системы спутник-стабилизатор, при оптимизации скорости демпфирования плоских колебаний которой возникает необходимость решения подобной задачи.

В разделе 1.2 проводится оптимизация степени устойчивости уравнения (1) по к. Устанавливается, что оптимум может достигаться на одной из следующих конфигурациях корней уравнения:

I: совпадают действительные части у двух пар комплексно сопряжённых корней: =~d± icox, р2 4 =-d± ia>2, су, * 0, со2 * 0 ;

II: совпадают действительные части у двух вещественных корней (кратный вещественный корень, p¡ = р2 = -d);

III: совпадают вещественные части у пары комплексно сопряжённых корней и одного вещественного корня: pl 2 =~d ± ico, p3=-d-

IV: для действительной части одного из корней выполнено условие экстремальности: d¡' (к) = 0.

Для каждой из конфигураций на плоскости безразмерных параметров 0 = а0а3/а,а2,7 = а,а4/а2а3 определена область, в которой достигается оптимум степени устойчивости (рис. 2). При этом для области I оптимальное значение коэффициента демпфирования к * и максимум степени устойчивости £,(х) выписаны в явном виде; в остальных случаях, эти величины выражаются через корни уравнений 3 или 4 порядка.

В разделе 1.3 для частного случая совпадения шарнира с центрами масс обоих тел проведена оптимизация по инерционным параметрам. Установлено,

что максимум степени устойчивости й\ достигается при

вырождении одного из тел в пластину (здесь а>0 - орбитальная угловая скорость центра масс системы). При этом все корни уравнения (1) действительны и совпадают.

Во второй главе проводится оптимизация степени устойчивости для системы с модельным демпфированием (твердое тело, на котором вдоль ортов е установлены демпфирующие устройства, вырабатывающие моменты, пропорциональные проекциям угловой скорости на эти орты). В разделе 2.1 приведены уравнения движения в форме уравнений Эйлера

Щ + (13 - /2) ®2®з +2>, «, Xе-.Е.) = °>

7=1 3

12а>2+- /3)ю3ю, +£Ыга> е/)(е.> е2)=°>

<=1 3

Т.0. +(Г. -ТЛт.гп. +У к (ю.е,)(е,,Е3) = 0.

1=1

Здесь а, - проекции угловой скорости тела, I = с11аё(/15 /2, /3) - тензор инерции; Е - опты главных центральных осей инерции тела; к;. - коэффициенты

демпфирования. Ориентация ортов е| относительно главных центральных осей определяется матрицей А. Характеристическое уравнение линеаризованной в окрестности нулевого решения системы имеет нид1

1х1г1гръ + + к2Ь2 + )р2 + + к2к^х + кък^2)р + кхкгкъ = О, (2)

где

/(=/1а(21+/24+/34, 1,.=/2/З^+/3/,4+/1/24. (¿ = 1.2,3). Доказывается соотношение между инерционными параметрами

в котором равенство достигается только при коллинеарности осей демпфирования и главных центральных осей инерции.

Раздел 2.2 посвящен непосредственно оптимизации степени устойчивости. Сначала показывается, что для характеристического уравнения

/,/2/3р3 + + + + (к,к2 + к2к3 + + = О,

в котором вместо коэффициентов демпфирования используются их приведенные значения £,.=£,/./,., оптимальным является размещение осей демпфирования параллельно главным центральным осям инерции тела. Для доказательства делается замена переменной я = р + кг. В результате приходим к уравнению 6053 + ¿>,52 + + Ъъ = 0, для которого не выполняются условия Рауса-Гурвица. Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что система неравенств Ъ2 > 0 , Ь} > 0 несовместна, что в итоге сводится к проверке условия

которое действительно выполнено в силу известного условия > 1х1г1ъ и установленного в диссертации тождества

1 Аналогичный вид характеристическое уравнение имеет для системы с управляющими

маховиками вдоль осей е., кинетические моменты которых изменяются по закону

Результаты оптимизации в дальнейшем применяются при анализе исходного характеристического уравнения (2). В этом случае также показано, что максимальная степень устойчивости ^(^к1,к2,к3) = тт{к,/11,к2/12,к}/13) достигается, если оси демпфирования направлены вдоль главных центральных осей инерции тела (предполагается, что коэффициенты демпфирования и моменты инерции занумерованы таким образом, что к{ < кг < къ, /, < /2 < /3 ).

В третьей главе изучается динамика макета спутника на лабораторном стенде в ИПМ им. М.В.Келдыша РАН (рис. 3). Стенд представляет собой струнный подвес, помещенный в рабочую область имитатора геомагнитного поля. На макете могут устанавливаться управляющие элементы, позволяющие реализовывать алгоритмы магнитной и маховичной ориентации.

Рис. 3. Лабораторный стенд. В разделе 3.1 приводится описание систем координат и уравнений движения. Струна моделируется как невесомый и нерастяжимый, но упругий на кпучеттие стетзжень Ппе1Т1Тг™'р"" моцрли лпя случаев, когла в точках

крепления стержня к макету и неподвижному основанию установлены двух-либо трехстепенные шарниры; отдельно рассмотрен случай, когда на макете установлены маховики. Например, для случая трехстепенных шарниров и отсутствия маховиков уравнения движения имеют вид

Ù х / = j[-î2 - IF/m + /(<b х d) + (/co)(dw) - (/d)<y2] + F/m -

-6xd-(cod)a) + diy2-ilx(iîx/), Jcb = j(d x /)[-/(ш xd) +I2 + Ш/т -(/co)(dco) + (/d)©2] + M - œ x Jco,

где m - масса тела; / = 0,02, d = G02 - смещение точки подвеса тела к стержню от центра масс (рис. 4), F- главный вектор внешних сил, приложенных к телу; J - тензор инерции тела; M - управляющий механический момент, Пию- угловые скорости стержня и тела соответственно.

В случае использования магнитных алгоритмов управляющий момент

3

задается выражением M = ц х В = /i(e, х В,

где е, - едпшг-шые секторы осей, вдоль которых установлены управляющие катушки, ц, - магнитные моменты катушек. В случае маховичных алгоритмов,

управляющее воздействие задается величиной -Н, где Н - кинетический момент маховика. В диссертации рассматривается маховичный алгоритм

Здесь А - матрица, задающая ориентацию связанной с телом системы координат, оси которой совпадают с главными центральными осями инерции, относительно инерциальной системы координат. Кроме того, рассматриваются два магнитных алгоритма демпфирования колебаний

«2»: ц = -кВ.

В п. 3.2 для магнитных алгоритмов проводится численное моделирование в случае дискретного управления. Установлен характер зависимости эффективности демпфирования от соотношения интервалов пассивного и управляемого движения, от длины стержня, а также (для алгоритма «2») от смещения точки подвеса.

В п. 3.3 аналитически исследуется эффективность демпфирующих алгоритмов в случае непрерывного управления и малых плоских колебаний макета в вертикальной плоскости. Для маховичного алгоритма определены максимальная степень устойчивости и оптимальные параметры

4* = со,4к, к*а =(о)2 - со}}А, к'а = 4Асо,4к. Здесь А - момент инерции макета относительно оси, перпендикулярной плоскости движения; со} -mgdfA, m2=g/l, K = d¡l, km=ka/A, ~ka = ka/A. Для алгоритма «1» эффективность демпфирования оценивается с применением метода осреднения, который позволил получить следующие оценки времени затухания колебаний

кроме того, было показано, что при со = а>1 происходит примерно двукратное падение эффективности (что соответствует выявленной в численных

14

-Н = -kjo - kaS + ю х Н, S = [а23 -ап, я31-а|3, a12-a21f.

экспериментах немонотонной зависимости от I). Для алгоритма «2» получена оценка степени устойчивости

V-

где 5 = А!т12, и найдено ее оптимальное по к значение

ьЫ 1 -\к1 +k-S\ + J(k2 + ic-ö)7 +Лдкг [. 2\

-■ , kßl + о((Jfcß2/«^Л•

2/и/2 + Л А/ml2 -1 j ^ >>

В п. 3.4 обсуждается возможность достижения подобия движения макета и спутника. Показано, что для произвольных начальных условий это возможно только в случае, если тензоры инерции спутника и макета сферически симметричны и, кроме того, точка подвеса совпадает с центром масс. Проанализированы также частные случаи подобия движений - малые плоские и пространственные колебания. Для пространственных колебаний (в случае двухстепенных шарниров в О, и Ог) выписаны необходимые и достаточные условия такого подобия, представляющие собой ограничения на параметры стенда и макета

л _ЩёА-ёс) _ЩвА-вс)

А= 4(1 -ёс) 'вс= 4(1-бс) '

Здесь 6A=jJj2, <9С=-Л/Л _ инерционные параметры спутника, вА, вс -соответствующие инерционные параметры макета; а2 =mdl/J2; £ - параметр подобия (изменения масштаба времени); fj = j]l/J2g, 77 - модуль кручения стержня; Л = Л 1/J2g, А - кинетический момент дополнительного маховика, установленного вдоль оси Gz2 (необходимость в установке такого маховика для достижения подобия динамики возникает из-за того, что движение макета наблюдается в инсрциальной системе координат, а спутника - во вращающейся

„ ..„„.„-Л ТП ЛЛ \ rw» »ат-ти г T?TV\ Г> (-»Ii rix г ТТЛГ>ОГ»ЛТТГ*Т'ТО «ТТЛ о \ / TV» т» С иТ/ТЛО

С у 1 jlCDVJii l<K\JjJUl> i.I>£\J t'JQ)' Wiiviwitim, -11W XJ \,n*ij iivpujjviivn»

которым должны удовлетворять моменты инерции тела, подобия уравнений движения удается добиться только в случае, если для инерционных параметров спутника выполнено соотношение

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. С.А. Мирер, И.В. Прилепский. Оптимальные параметры гравитационной системы спутник-стабилизатор. Космические исследования, 2010, т. 48, №2, с. 198-208.

2. С.А. Мирер, И.В. Прилепский. Оптимальные параметры спутника с модельным демпфированием. Труды МФТИ, 2011, т.З, №2, с. 148-162.

3. С.А. Мирер, И.В. Прилепский. Оптимальные параметры спутника с модельным демпфированием. Вестник НГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011, т. 4, №2, с. 233-234.

4. S.A.Mirer, I.V.Prilepskiy. Optimal damping of satellite's attitude motion. Journal of Aerospace Engineering, Sciences and Applications, 2010, Vol. II, №1, pp. 32-46.

5. М.Ю.Овчинников, С.А.Мирер, С.О.Карпенко, А.А.Дегтярев, С.С.Ткачев, A.C. Середницкий, И.В.Прилепский, Н.В.Куприянова. Методы лабораторной отработки динамических моделей и алгоритмов ориентации наноспутников. Актуальные проблемы российской космонавтики: Труды XXXI Академических чтений по космонавтике. М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства, 2007, с.110.

6. С.А. Мирер, И.В. Прилепский. Об оптимальных параметрах пассивных систем ориентации спутников. Актуальные проблемы российской

16

космонавтики: Труды XXXII Академических чтений по космонавтике. М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства, 2008, с.130-131.

7. С.А. Мирер, И.В. Прилепский. Уточнение инерционных характеристик макета наноспутника по результатам лабораторных испытаний. Актуальные проблемы российской космонавтики: Труды XXXIII Академических чтений по космонавтике. Москва, январь 2009. М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства, 2009, с. 138-139.

8. С.А. Мирер, И.В. Прилепский. Математическое моделирование динамики малого спутника с активной магнитной системой ориентации на испытательном стенде. Научные и технологические эксперименты на автоматических космических аппаратах и малых спутниках. Самара: СНЦ РАН, 2008, с. 166.

9. С.А. Мирер, И.В. Прилепский. Математическое моделирование динамики малого спутника с активной магнитной системой ориентации на испытательном стенде. Труды XLIV Чтений, посвященных разработке научного наследия и развитию идей К.Э.Циолковского. Секция "Проблемы ракетной и космической техники", Калуга, 2009. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2010, С.256-266.

10.С.Ф. Галимов, И.В. Прилепский. Струнный подвес в составе стенда для экспериментальной отработки макета малого спутника. Тр. 48-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII. М.: МФТИ, 2005, с. 200-201.

11. И.В. Прилепский. Математическое моделирование динамики прототипа малого спутника с активной МСО на испытательном стенде. Тр. 49-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть III. Аэрофизика и космические исследования. М.: МФТИ, 2006, с. 230-231.

12.И.В. Прилепский. Об оптимальных параметрах пассивных систем ориентации спутников. Тр. 50-й научной конференции МФТИ "Совр. проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII. Управление и прикладная математика. Т. 2. М.: МФТИ, 2007, с.45-48.

13.И.В. Прилепский. Уточнение эллипсоида инерции макета малого спутника по результатам лабораторных испытаний. Труды 51-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 2. М.: МФТИ, 2008, С.16-18.

14.И.В. Прилепский. Отработка алгоритмов активной магнитной и маховичной ориентации на испытательном стенде. Труды 52-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 3. М.: МФТИ, 2009, С.158-159.

15. И.В. Прилепский. Сопоставление углового движения космического аппарата и макета космического аппарата на струнном подвесе. Труды 53-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 3. М.: МФТИ, 2010, С.60-61.

16. С.А. Мирер, И.В. Прилепский. Оптимальные параметры гравитационной системы спутник-стабилизатор. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2008, №48,28 с.

17. С.А. Мирер, И.В. Прилепский. Моделирование динамики макета малого спутника на лабораторном стенде. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2009, №41, 28 с.

055(02)2 Подписано в печать 01.11.2011г. Заказ № 72.

__Формат бумаги 60X60 1/16. Тираж 50 экз.

(с) Отпечатало в Институте прикладной математики РАН

Москва, Миусская пл. 4

Введение.

Глава 1. Исследование динамики системы спутник-стабилизатор.

1.1. Система спутник-стабилизатор.

1.2. Первый этап оптимизации.

1.2.1. Две пары комплексно сопряжённых корней с одинаковыми вещественными частями.

1.2.2. Кратные корни.

1.2.3. Три корня с одинаковой вещественной частью.

1.2.4. Случай сГ(к)=0.

1.2.5. Результаты первого этапа оптимизации.

1.3. Второй этап оптимизации.

Глава 2. Оптимальные параметры спутника с модельным демпфированием.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Оптимизация степени устойчивости.

Глава 3. Задачи полунатурной отработки алгоритмов ориентации спутника на стенде.

3.1. Постановка задачи и уравнения движения.

3.2. Численное исследование эффективности магнитных алгоритмов.

3.2.1. Влияние параметров алгоритма управления.

3.2.2. Влияние длины стержня, смещения точки подвеса от центра масс, инерционных характеристик макета.

3.3. Аналитическое исследование эффективности алгоритмов.

3.3.1. Исследование эффективности маховичного алгоритма.

3.3.2. Исследование магнитного алгоритма «2».

3.3.3. Исследование магнитного алгоритма «1».

3.4. Задача о сопоставлении динамики макета на стенде и спутника на орбите

3.4.1.Случай плоских колебаний.

3.4.2. Малые пространственные колебания в окрестности положения равновесия.

Одним из важных направлений развития космической техники является создание и совершенствование систем ориентации искусственных спутников Земли и других планет. В зависимости от требований к системам ориентации, таких как характер ориентации, длительность работы спутника, энергоемкость, необходимая точность ориентации, они могут быть реализованы на основе активных или пассивных методов. Так, в случае, если для нормального функционирования аппарата необходимо ориентировать его с точностью до нескольких угловых минут, используют активные системы ориентации, включающие датчики ориентации и специальные исполнительные органы для создания управляющих моментов. Работа таких систем сопряжена с расходом энергии и/или рабочего тела. Напротив, пассивные системы ориентации, которые могут использоваться при менее строгих требованиях к точности ориентации, способны функционировать продолжительное время без расхода энергии. Работа таких систем основана на возможности существования устойчивых положений спутника в орбитальной системе координат; восстанавливающие моменты при этом могут быть обусловлены взаимодействием с окружающими силовыми полями, например, гравитационным или магнитным полями Земли, или набегающим потоком воздуха при движении в верхних слоях атмосферы.

При использовании пассивных системы ориентации важной задачей является демпфирование собственных колебаний спутника в окрестности положения равновесия. Демпфирование может быть пассивным (например, обеспечиваемым за счет относительного движения элементов системы, как в системе спутник-стабилизатор [16]), полупассивным (примером такой системы может служить гиродемпфер [10, 20, 34]) иди активным (например, активная магнитная система демпфирования, использующая взаимодействие управляемого магнитного момента токовых катушек с магнитным полем Земли

31]). Независимо от способа демпфирования, важной задачей при разработке систем ориентации является минимизация времени приведения 3 спутника в рабочее состояние (асимптотически устойчивое положение равновесия) после того, как он был выведен из него вследствие внешнего возмущения. Для оценки времени протекания соответствующего переходного процесса можно воспользоваться величиной степени устойчивости системы

28] - взятой с обратным знаком вещественной части корня характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений движения, лежащего ближе всего к мнимой оси. Возможно применение и других критериев (например, времени установления при импульсном воздействии), однако степень устойчивости является, по-видимому, наиболее удобным индикатором скорости протекания переходного процесса.

Оптимизация степени устойчивости для различных пассивных систем ориентации являлась предметом рассмотрения в большом числе работ. Для систем, имеющих значительное число степеней свободы (и, соответственно, высокий порядок характеристического уравнения), такая оптимизация проводилась, в основном, численно. Для систем с более низким порядком (3-4) существует ряд работ, в которых оптимизация проводится аналитически; в первую очередь, следует упомянуть [25], в которой рассмотрены часто встречающиеся в приложениях виды характеристических уравнений. В статье

30] были независимым образом получены некоторые из результатов [25], а в работе [26] для системы с характеристическим уравнением произвольного четного порядка было показано, что конфигурация корней, отвечающая подравниванию всех их вещественных частей, доставляет локальный максимум степени устойчивости. Важным преимуществом аналитического подхода является возможность применения получаемых результатов для широкого класса систем, имеющих аналогичный вид характеристического уравнения.

Так, полученные в [25] выражения для оптимальных параметров в дальнейшем были использованы при изучении многих систем с пассивным и полупассивным демпфированием [10, 11, 13, 34, 35]. При этом можно констатировать, что представляющие интерес с точки зрения практических приложений задачи аналитической оптимизации степени устойчивости не 4 ограничиваются рассмотренными в [25, 26, 30]: так, рассмотренный в [25] характеристический многочлен 4-го порядка остается устойчивым и при отсутствии восстанавливающего момента упругих сил; следовательно, из описываемых им систем принципиально можно исключить упругие элементы и проводить оптимизацию только по коэффициенту демпфирования. Отметим, что важность решения подобной задачи обусловлена также тем, что результаты как численных [20, 23, 29], так и аналитических [10, 11, 13, 34, 35] исследований указывают на следующую тенденцию: в точке экстремума наблюдается подравнивание вещественных частей некоторой группы корней характеристического уравнения, что обуславливает неаналитичность степени устойчивости в точке экстремума и затрудняет применение традиционных (например, градиентных, методов). В связи с этим для нужд численных исследований был разработан специальный метод, учитывающий эту тенденцию и редуцирующий задачу оптимизации на многообразие меньшей размерности [24].

Задача оптимизации степени устойчивости представляет интерес и в случае использования систем с активным демпфированием, особенно если в число определяемых параметров не входят переменные, связанные с затратами энергии или рабочего тела. Численное рассмотрение подобной задачи проводилось, в частности, в [8] для системы с так называемым модельным демпфированием (демпфирующий механический момент пропорционален угловой скорости вокруг оси управляющего моментного устройства); кроме того, определение степени устойчивости для подобной системы проводилось в

9].

При создании аппаратов с активной системой ориентации (или с активной системой демпфирования) важной задачей является обеспечение отработки соответствующих алгоритмов в лабораторных условиях. При этом используются различные установки - испытательные стенды, на которых должны обеспечиваться условия, максимально приближенные к условиям реального полета. Принципиально реализации таких условий (в частности, 5 точной имитации гравитационного момента) позволяет, например, добиться пружинный стенд, описанный в [1]. Вместе с тем, могут использоваться и более простые стенды [7], основанные на использовании струнного подвеса. Это обусловлено тем, что такой подвес достаточно прост и обеспечивает высокую свободу движения тела относительно центра масс, что крайне важно при отработке и тестировании алгоритмов управления ориентацией спутника.

Динамика твердого тела на струнном подвесе является глубоко разработанным

разделом теоретической механики, как с точки зрения рассмотрения общего случая движения и малых колебаний в окрестности положения равновесия [5], так и точки зрения исследования различных типов стационарных движений

12]. Рассмотрение динамики макета спутника под воздействием алгоритмов активного управления приводит к появлению новых задач. С одной стороны, задачей отработки является проверка адекватности функционирования всей системы датчиков и исполнительных элементов; с этой целью можно, в частности, провести сопоставление реального движения аппарата и движения, предсказанного на основе численного и/или аналитического моделирования.

Дополнительной задачей при этом может являться улучшение демпфирующих свойств используемых алгоритмов, поскольку малое время переходного процесса позволяет свести к минимуму воздействие на систему возмущений, неизбежно возникающих в лабораторных условиях и с трудом поддающихся учету в используемых моделях (например, связанных с трением макета о воздух). Среди работ, в которых такая задача решается применительно к макету спутника на струне, можно указать [3]. С другой стороны, задачей отработки может быть имитация углового движения спутника при его орбитальном движении, например, при выводе ее на некоторую желаемую фазовую траекторию. В этом случае требуется определение параметров стенда и макета, позволяющих добиться такой имитации в определенном смысле например, в смысле подобия уравнений, описывающих угловое движение).

При использовании струнного подвеса в общем случае такого подобия добиться не удается, так что необходимо выявление класса движений и 6 последующая оценка параметров системы, при которых такое сопоставление возможно.

Перейдем к описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность темы, дается краткий исторический обзор и краткое содержание диссертации.

Заключение

В диссертации рассмотрены задачи об угловом движении спутник-стабилизатор, системы «спутник с модельным демпфированием», а также об управляемом движении макета спутника на лабораторном стенде. Во всех случаях основное внимание уделяется анализу движения в окрестности устойчивого положения равновесия и, в частности, оценке скорости переходных процессов и выбору параметров, обеспечивающих максимально быстрое демпфирование собственных колебаний системы.

Строго решена задача оптимизация степени устойчивости по коэффициенту демпфирования для характеристического уравнения 4-го порядка специального вида; определены области, в каждой из которых этот оптимум достигается на определенной конфигурации корней. Построена полная классификация механических систем рассмотренного вида с точки зрения выбора алгоритма определения оптимального коэффициента демпфирования и способа вычисления максимальной степени устойчивости. С применением предложенной методики аналитически решена задача определения оптимальных параметров системы спутник-стабилизатор в частном случае, когда шарнир совмещен с центрами масс обоих тел системы. Показано, что оптимум достигается при подравнивании всех корней характеристического уравнения.

Рассмотрена система с модельным демпфированием, представляющая собой твердое тело, на котором вдоль трех некомпланарных осей установлены устройства, создающие вдоль этих осей моменты, пропорциональные соответствующим проекциям угловой скорости тела. Решена задача повышения эффективности гашения малой угловой скорости за счет оптимального выбора направлений осей демпфирующих устройств относительно главный осей инерции тела. Доказано, что максимальная степень устойчивости достигается при коллинеарности осей демпфирования и главных центральных осей инерции тела. Доказано также ранее неизвестное неравенство, которому удовлетворяют элементы тензора инерции произвольного твердого тела.

Проведено математическое моделирование, численное и аналитическое исследование динамики макета спутника на лабораторном стенде в ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. Решена задача улучшения демпфирующих характеристик ряда алгоритмов активных магнитных систем ориентации спутников при их реализации на стенде. Определены частные движения и ограничения на параметры макета, при которых возможно прямое сопоставление его движения в лабораторных условиях с движением спутника относительно центра масс на орбите.

1. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. М., Наука, 1976.

2. Иванов Д.С., Карпенко С.О., Овчинников М.Ю., Ролдугин Д.С., Ткачев С.С. Лабораторные испытания алгоритмов управления ориентацией микроспутника 'Чибис-М'. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2011, №40.

3. Иванов Д.С., Овчинников М.Ю., Ткачев С.С. Управление ориентацией твердого тела, подвешенного на струне, с использованием вентиляторных двигателей. Известия РАН. Теория и системы управления, 2011, №1, С.127-139.

4. Ильин A.A., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И. Алгоритмы магнитной ориентации спутника, стабилизируемого собственным вращением. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2005, №19.

5. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Вращение твердого тела на струне и смежные задачи. М., Наука, 1991.

6. Карпенко С.О., Овчинников М.Ю. Лабораторный стенд для полунатурной отработки систем ориентации микро- и наноспутников. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2008, №38.

7. Луканин К.В., Сарычев В.А. Модельная задача о быстродействии и точности системы гравитационной стабилизации спутников. Препринт Института прикладной математики АН СССР, 1971, №47.

8. Мирер С.А. О некоторых экстремальных соотношениях между элементами тензора инерции твердого тела. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2009, №55.

9. Ю.Мирер С.А. Оптимальное гиродемпфирование нутационных колебаний спутника, стабилизируемого вращением. Космич. исследования, т. 15, 1977, №5, с. 677-682.

10. Мирер С.А. Плоские колебания спутника с двумя гироскопами. Космич. исследования, т. 16, 1978, № 1, с. 137-139.

11. Мирер С.А., Сарычев В.А. О стационарных движениях твердого тела на струнном подвесе. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1996, №96.

12. Мирер С.А., Сарычев В.А. Оптимальные параметры спутника, стабилизируемого вращением, с демпфером маятникового типа. Космич. исследования, т. 35, 1997, № 6, с. 651-658.

13. Нохрина Е.Е. Исследование возможности демпфирования колебаний спутника. В сб.: Обработкаинформации и моделирование М., МФТИ, 2002, с.119-122.

14. Плотников В. А., Зверкова Т.С., Метод усреднения для систем стандартного вида с разрывными правыми частями. Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, № 6, с. 1091-1093.

15. Плотников В.А., Зверкова Т.С. Метод частичного усреднения для систем стандартной формы с разрывными правыми частями. Украинский математический журнал, 1993, т. 45, №1, с.140-142.

16. Сарычев В. А. Исследование динамики гравитационной системы стабилизации. Искусственные спутники Земли, ч. 16, С. 10-33. Изд-во АН СССР, 1963.

17. Сарычев В.А., Луканин К.В. Оптимизация параметров гравитационной системы стабилизации с гиродемпфированием. Препринт Института прикладной математики АН СССР, 1971, №46.

18. Сарычев В.А., Луканин К.В. Оптимизация гравитационной системы стабилизации спутников. Препринт Института прикладной математики АН СССР, 1971, №54.

19. Сарычев В.А., Мирер С.А. Оптимальные параметры гравитационной системы спутник-стабилизатор. Космические исследования, 1976,т. 14, №2, С. 209-219.

20. Сарычев В.А., Пеньков В.И. Исследование гравитационной системы стабилизации спутника с демпфирующей пружиной. Препринт Института прикладной математики АН СССР, 1974, №127.

21. Сарычев В.А., Пеньков В.И., Яковлев Н.И. Оптимизация параметров линейных систем. Препринт Института прикладной математики АН СССР, 1975, №124.

22. Сарычев В.А., Сазонов В.В. Оптимальные параметры пассивных систем ориентации спутников. Космич. исследования, т. 14, 1976, №2, 1976, с. 198-208.

23. Сидорюк М.Е. К задаче нахождения максимума степени устойчивости. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша АН СССР, 1981, №89.

24. Ткачев С.С. Исследование управляемого углового движения аппаратов с ротирующими элементами. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М., 2011.

25. Цыпкин Я.З., Бромберг П.В. О степени устойчивости линейных систем. Изв. АН СССР, ОТН, 1945, №12, с. 1163-1168.

26. Яковлев Н.И. Оптимизация по быстродействию параметров гравитационных систем ориентации с двумя демпферами. Препринт Института прикладной математики АН СССР, 1976, №56.

27. Makovec K., Turner A., Hall C., Design and implementation of a nanosatellite attitude determination and control system, Advances in the Astronautical Sciences, Vol. 109, 2001, p. 167-186.

28. Pivovarov, M.I., Ferreira, L.O., and R.V.F. Lopes. Rigid body rotation evolution due to a disturbing torque which is known in a body frame, Acta Mechanica, 1999, V. 133, pp. 239-246.

29. Sarychev V.A., Mirer S.A., Isakov A.V. Dual-Spin Satellites with Gyro-Damping, Acta Astronáutica, 1982, Vol. 9, №5, p. 285-289.

30. Sarychev V.A., Mirer S.A., Sazonov V.V. Plane oscillations of a gravitational system satellite-stabilizer with maximal speed of response. ActaAstronautica, vol.3, 1976, No.9-10, p. 651-669.

31. Saiychev, V.A. Satellite gravitational stabilization systems with maximum damping rate, Second International Conference on Space Engineering, Venice,

32. Tabuada P., Alves P. ,Tavares P., Lima P., Attitude Control Strategies for Small Satellites, the project "Control and Stabilization of Small Satellites", supported by the PRAXIS XXI Programme, Report RT-404-98 Lisboa, 1998.

33. Zajac, E.E. Damping of a gravitationally oriented two-body satellite, ARS J., 1966, Vol. 32, No. 12, pp. 1871-1875.1969.