Задачи оптимизации области для одного класса эдамптических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАНК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ИАТЕИАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

КАНДОПА Игорь Николаевич

УДК 339.3

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ОШСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

(01.01.02 дифференциальные црлпнониа)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидат,ч физико-математических наук

ЕкатеринЛцрг 1992

Работа выполнена в Институте Математики и Механики Уральского Отделения Российской Академии Наук

Научный руководитель - академик Е.С.ОСИПОВ

Офицальиые оппоненты - доктор фиэико математических наук,

профессор И.В.БПНИЧУК

- кандидат физико-математических наук, доцент С.П.ОХЕЗИН

Ведущая организация - Московский Государственный Университет им. К.6.Ломоносова

Задити состоитса 20 мая 1992 года в четырнадцать часов на заседании специализированного совета (Д 002.07.01) по иачите диссертаций на соискание ученой степени доктора физики математических наук в Институте Математики и Механики Уральского Отделения РАН (Р20219. г.Екатеринбург. ГСП 381. ул. С. Ковалевской, 16).

С диссертацией моано ознакомиться в библиотеке Института Математики и Механики,

Автореферат разослан ¿1:уге~<.и.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат фиэ. мат. наук

1992 г.

№

М.И. Гусе»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемч, Данная рadora посвящена математическим вопросам оптимизации конструкция, построению численных мэтодов оптимизации, существенно использующих специфику решаема задач.

Теория оптимизации конструкция имеет своим источником важные прикладные проблемы ira механики, физики и инвонерного дела. Особенно активно эти задачи начали изучать в последние двадцать лет. Это обуславливается быстрым развитием авиационной и космическоп техники, судостроения, точного машиностроения. На основе оптимального проектирования достигается снижение материалоемкости конструкций, улучшение мэханических характеристик изделий". Таким образом, иооледования в в то а области имеют несомненное прикладное значение.

Проблемы оптимального проектирования имеет и теоретическое оначоние. Здесь представляет интерес выделение и исследование новых классов математических задач, разработка эффективних мэтодов оптимизации. Существенный вклад в становление и развитие теории »несли В.Прагер. И.Ольхофф. Э.ВасютинскиЯ, Я.Л.П.Арман. К.В.Баничук, А.К.Лурье и другие авторы.

Приблизительно до середины шестидесятых годов исследования в области оптимизации конструкция концентрировались вокруг небольшого числа одномэрных задач и большая их часть о математической точки зрения посвящена управление коэффициентами

'^Куршин Л.Ы., Оноприенко П.Н. Определение форм двусвязных сечения ¡тержнея максимальной крутильноЯ жесткости // ПШ. 1978. Т.40. iun.5. С.1078-1084.

Э

дифференциальных уравнений. С начала 70-х годов начинает возрастать интерес к задачам, в которых "управлением" является cuva область изменения пространственных переменных, на которой решается соответствующая задача математической физики. Значительный вклад в постановку таких задач и развитие теории внесли Я.Л.Лионе. К.Cea. О.Пироно, A.Acker« Н.В.Баничук и др.

Е основе лэвестных теоретически* результатов. имеют:»* непосредственное отношение к тек© исследований данной диссертации, лежит изучение свойств двух модельных задач оптимизации области:

1) Задача минимизации теплового потока - определение формы

поперечного сечения попой призматической трубки, при которой

1

тепловой ноток через ее стенки бил du минимален :

2) Определение формы многосвяэного поперечного сечения упругого однородного призматического стержня. оОпадаажого максимальной крутильной >*&о7Коатъи^~6) .

'^Волков М.А. Численное решение одной задачи с неизвестной границей. /✓ Вести. МГУ. Сер. Вычисл. патентика и кибернетика, ]ЗШ. J3S, C.I3-I0.

'"'Ucker A. A íiee boundary optimization probien // SIAH J. Math. Anal. Wfl. V.9. P.1179-1191.

3)Тяррег D.E. Free boumlary problem // SIAM J. Math. Arial. 1974. V.5. -W5. P.841-Ö46.

^ Apy'v>')iiiti II. X. . АОрамян В.Л. Kp учение упруги* тел. U.: физматгиэ, I0S3. 606с.

^Баиичук H.D. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука,1000 . 233с. ^Куршии Л.М. H задача оо определении формы сечения стержня максимальней крутильной itñCTKoem //Докл.АН CCCP.ia73.T.2Z3.Jí3.C.583-5f

При этом в обоих задачах формы попоречнмх сочениП внутренних

искомого сечения накладывается ограничение.

В настоящей работе рассматривается достаточно общая постановка задачи оптимизации области, в которую включаются указанные выше модельные задачи. Изучается структура задачи, исследуются ее свойства. IIa основе свойств решения краевой задачи, описыванидей здесь состояние системы, определяется специальная класс вариаций области. Такие вариации позволяют отроить эффективную относительно простую в вычислительном отношении численную процедуру решения задач оптимизации области для эллиптических систем, состояние которых описывается решением краевой задачи из некоторого класса.

Основными целями работы являются:

1) исследование задач оптимизации области с интегральным функционалом качества, состояние системы в которых описывается решением краевой задачи Дирнхло для уравнения Пуассона с постоянной пролоЯ частью:

2) построение эффективного численного мэтода оптимизации, существенно учитывающего свойства решений краевых задач из указанного класса.

Метод решения. В работе систематически используются методы вариационного исчисления, понятия теории уравнений математической физики и математического анализа.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми.

структура типичной задачи оптимизации области для одного класса

полостей рассматриваемой конструкции фиксированы, а на площадь

эллиптических систем, исследованы некоторые ее свойства. В рассматриваемой постановке эта задача имеет достаточно широкую физическую интерпретацию. На основе полученных теоретических результатов в работе предложен эффективный численный метод решения рассматриваемой задачи оптимизации облазти. В каждом конкретном случае эффективность этого метода может быть поводена посредством учета свойств решения соответствующей краевой задачи.

Результаты работы являются новыми, методы исследования могут Сыть использованы для изучения задач оптимизации области в случае ряда нелинейных уравнений, уравнений высших порядков и систем уравнений.

Апробация работы. По материалам диссертации сделаны сообщения на конференциях колодых математиков (г. Свердловск, 1988 г.. 1088 г.). на Всесоюзной школе по проблемам современного численного анализа (г. Дилижан. 1688 г.). на VII Всесоюзной конференции "Управление в мэханических системах" Сг. Свердловск. I900) и докладывались на семинарах отдела дифференциальных уравнений Института Математики и Механики УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1-6).

СТВУКТУЕЙ-Ц- ■У^Ье* R4ft>TH.

Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трех глав, списка литературы и приложений. Объем работы составляет 143 страницы машинописного текста. &<блиография включает 63 наименования работ советских и зарубежных авторов.

ООДЕРЯАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор работ по тематике диссертации, обосновывается актуальность проводимых исследований и приводится краткое содержание диссертации.

Первая глава состоит из трех параграфов и носит вводный характер.

В 61 формулируется общая постановка задачи, к которой сводится ряд задач оптимизации области, и приводится несколько примеров постановок такой задачи, возникающих в теории оптимизации конструкций. Приведем общую постановку задачи.

Обозначим через (У Г*.Г) область двумерного евклидова

о *

рострвнства ог , ограниченную п внутренними контурами Г^

У и одним внешним контуром Г. которые являются Ы

гладкими попарно непррссекаюшимися иордановымя кривыми (см.

рж-. I ) .

ГХафиксируем контур Г* и некоторую положительную величину р. Обозначим чер«э 0(Г*,Р) класс областей

ССГ'.Р) - | «Г*.Г) с я2 | п>ев(о(Г\п] - Р } •

где тев(Ь(Г*.Г)| есть лебегова мера области ГХГ*.Г)- В дальнейшем Зулем обозначать этот класс через О.

Цусть и(Г*,Г,р) является решением краевой задачи

( 1) С 2) (3)

Здесь Д есть некоторая неотрицательная константа и с^

С1 - I. 2.....п) » П.З) - постоянные, часть и.э которых -

фиксированные константы, а остальные с^ - сСГ|,Г)

С1 « Ш, 2,____ п. 1ч!й<г0 ~ неизвестные величины, для определения

которых служат дополнительные условия

Н^иСГ'.Г.р)) - 0 (1-О.2...,г0. (4)

где Й^СиСО) ( 1-01.2,... ,г0 есть непрерывные в пространств ОС«*) функционалы.

Задача оптимизации заключается и определения элемента СХГ*,Г,) • О (контура Г.) . доставлявшего вкотремум функционалу

.КОСГ'.Г)) - X (ЖГ*.Г.р))'<1р. (6)

£ХГ*.Г)

В С2 изучается поведение решения краевой задачи С1)-С4) при вариации области. порождаемой вариацией во внс*шной границы Г-

Оп(р)-ерСр). р « Г. (6)

где р(р) • С^СГ) • Для достаточно малых е > 0 каждая точка р контура Г сдвигается по нормали к ]' в о то Я точке на величину £р( р) . Направление сдвига определяется знаком величины р( р).

Летз_2.1* Пусть СХГ*,Г) • О и для всех К1£п выполнены следуодне условия:

-ДУСГ* Г.р) - А

исг*,г.р) - 0 исгГ.г.р)« с? > 0

р « ПС Г*.Г) р • г

р « г! С1»1.2.....п)

j) П^(иСО) ость дифференцируемый по Гато о пространств С(К^) функционал. производную по Гато на элементе иС*) п° направлению /{•) которого обозначим через Й^СиС*) ,V( *)) .

. cCri,rj-cCr?.r>

)) Существуют пределы v. » Ilm --—--1- (1 « 1.....гО •

1 е-0 6

Гогяп функция UC Г* .Г( е) ,р) вместо со своими производными по р ю второго порядка включительно непрерывно- дифференцируема по е I области Л(Г*,Г) и при е » 0 оЗ производная УСГ'.Г.р) [вляется в iXГ*.Г) решением задачи

AVCr*.Г,р) - 0 р о ОС Г*.Г) С7)

УСГ'.Г.р) - |VUCr*.r.p)|p{p) р « Г (8)

VCr'.Tj.p) - v* р « Г* С9)

де постоянные v* либо равны нулю (если соответствующие краевые качения с* в СЗ) но зависят от области), либо - неизвестные епичины и дпя их определения слу»ат дополнительные условия

ftjcucr'.r.o.vcr*,r.-n - 0 1 - ГО. 2.....П- СЮ)

Б третьем параграфе формулируются необходимые условия пткмальности решения рассматриваемой садачи и обсундамтся зкоторыг вопросы. связанные с ого существованием и

OHHCTDeKHOCTbO. При этом здесь только напоминаются у ае эвестныо^ теоретические результаты для частных постановок :следуеко» в работе задачи. В общем во случае проблема

1 Acker Л. Heat flow Inequalities with applications to heat flow HlrnUattona problem // SIAH J. Math. Anal. 1977. V.8. ,604-618.

существования достаточно сложна и здесь не решается.

Вторая глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена изучению поведения решения краевой задачи (|)-С4). «го носителя и значения функционала качества (5) пр.! специальной вариации области, порождаемой некоторым однопарллэтрич»ским семэЯством операторов. Эдось и далее предполагается. что функционалы

Н^(иСО) (l»m,2.....п) удовлетворяют условиям лемьы 2-1 •

Рассмотрим область (ХГ*,Г) « О. Под е~расширением ОСГ*,Г) ( b > 0) будем понимать множество

ЖО.е) - [ U 0(р,е)1 \ П*. р-П(Г.Г*)

где 0(р.е) - •» к2 | 2< е }• где " 0<3лас™"

огрпниченнАЯ контуром Г*- Внутренними граничными компонентами

E(ll.t) но прежнему являются контура Г*. Г^..... А внешняя

граница Г( е) атого множества получается сдвигом всех точек контура р на величину g гю направлению поля внешних I о тоои tnibiiu Л(Г*,Г)> нормалей к Г- Точки, которые » рмпулыаге такого геометрического преобразования Г. становятся внутренними для E(i),b"> и отделенными множеством Е(О.в) от бесконечности (см. рис. 2) из IX С) исключаются. При этом ГС и) предстаьлнет собой один хордановыЯ замкнутый контур. Для е-расшнроннл Л(Г*.Г) сохраним принятые здесь обозначения области - ПСГ\Г(е)).

f bjeCD , аеСГ) » 0 Пусть Е.(Г) « {

I «I . Х(Г) К 0 (Г - выпуклый контур)

К/П - mlh{ | ;( ь) - |(t)| ? | 6.1 * tO.Lt Г) ) : Ц>в|,лЕ,(П }

Г B1ír) ч

ЕСГ) - nlnl E^D. I

ПО

Л(Г.Г)

рио. 2.

'Ь 7(8) Се « (0.LCD)) - параметризация контура ■ Г по

ргральному парамэтру в С1ХГ) - длина контура Г):

) - гоах геСГ,р). где г£(Г,р) ость кривизна контура Г в точке р*Г

выше ленная по поло внешних относительно области А(Г*.Г) чалеЯ к контуру Г.

На классе о определяется оператор равномерного расширения юти ОСГ'.Г) (на величину е а ГО.ЕСГ))>

5еС£УГ\ГЗ) - 0(Г*,Г(в)). е « ГО.ЖГ)).

гими словами, для е « (О.ЕСГ)) область ОСГ*,Г(в))

/чается из СКГ*,П вариацией С6) контура Г при pal на Г-

Далее показывается, что на О можно определить дующее однопараметрическое семейство операторов

*е(г)сг*.г)) - яли).«вшг*.г)) = П(Г\Га). 0<в<ЕСГ).

зтвуюшах из

на множество все* ограниченных открыты»

ннояюот» о* . Вдвоь

1 1

\(М.Т*.т - |р « (ХГ*,Г) I ОСГ'.Г.р) > hj. h« к.

а величина h(e)>0 однозначно'^ определяется услови

meefOCr'.r5)) » шевС£ХГ*.Г)). Оператор ^(ОСГ*.^) <3уд наэиюать оператором срезки С величину h - уровнем среоки) .

Пусть ЕдГГ) - eup[ С«е<ЕСГ) | Vß: СКО^е ^Б(П(Г*.П) « oj

Доказывается. что для любой области П(Г*,Г) из © о достаточ гладкой границей Г ЕдСГЗ > 0-

S!lFieüonpjyig_I.JLi jrf-вариацией оОласти (КГ*,Г). отвечают значению параметра е « [О.Е^СГО ) будем называть область

ПСГ*.Г6) - ^е(ПСГ*.П) .

В <0 выделим класс областей. отвочаюишй значению парамэт

е > 0-

ДС,е) - |Г/Г*.Г) « о | £ХГ*.Г) с G. тев((ХГ*,Г)).» Р. Eftm > t

где С с есть некоторый компакт. Далее класс vWG,

называется к-допустимым классом областей. Приводятся прима е-допустимого класса областей. Доказывается. что для любо оолйсти ГКГ*,Г) из о с достаточно гладкой внешней границ

V/

(Г « С . V 2 существует такое число О < 6 ^ Eq( Г) • ч ГКГ*,П -*(С,е) •

IIa вопрос о том. как ведет себя носитель решения краев задачи (1)-(4) при ¿¿-вариации области 0СГ*,Г) да^т отв следукчяая

' ^ Лалыженская O.A., Уральцева H.H. Линейны*» и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1664. 530 с.

Теорема g. I. Для каядоЯ области ОСГ*,Г) из вр-ДОпустимого icca областей >ÍG.8q) ÍEq > 0> Для любого О < в < £q при зтаточно малых 0 « [0.8q-6) справедливо

V р « Г6 р£(р.0) - ÖReCp) + о(б). >сь Re(p) - 9¡1Cp) [veCp) - К6]. где среСрЭ ~ IVOCr'.I^.p) I.

р) - У(г\г(в).р}. a min VgCp) < Kg < max vecp).

р»Г® p-I^

Здесь sa получены некоторые оценки, характерчэующке поведение ьчония уровня срезки h(e) при ¿¿-вариация области.

Далее доказывлотся ряд важных вспомогательных утверждения. 1ВОЛЛСЩИХ сравнивать значения функционала качества на 1ИэволыюЯ допустимей области н элемэнтах гладкого семейства [астеП.

Рассмотрим однопараметричоское семейство области* ) » 0(Г*,Га) « О I а « I где X есть некоторый открытый

«рвал на числовой оси. Этоьфг семейству областей поставим в

тветстьие множество точек BCI) - U Г •

а-1 а

Будем говорить, что последовательность контуров Jrrtl при

Г 1 м

•I сходится к контуру Г I Ilm ГА » Г I. если существуют

7 I M р 7 J

хний и нижний пределы этой последовательности'^ и они равны

Пусть I) удовлетворяет следующим условиям:

а) Для любого а в 1 контур Г^ есть замкнутая гладка*

уратовсккй К. Топология. Ы: Мир. T.I. 1966. 394 с.

кордановая кривая. Причем существует такая лшшмцевая во к то функция пСр). р « KI). что для любых а в I и р в Га ортогональна контуру Га в точке р.

b) Для любых а. ß « I таких, что а < ß справед (ЖГ*.Гр) с П(Г*.Га) .

c) 11га Г„- ГА для любого fiel.

а Р

d) Существует непрерывная функция фСр) ■ (pCIXI) р « BCD такая, что rp(p) - |VU(Г*.Га>р) | для любо» т р « В(1). где Га есть тот единственный контур, ограничива область ПСГ*,Га) * Е(1). которому принадлежит точка р.

Иэьестна"

Теорема ЭЛ. Пусть £(I) (I с ВО есть некот

однопараметрическо® семейство областей, удовлетвори

перечисленным выше уоловиям. Тогда, если А » 0 * сСГ^.Гд)

Í1 - 1. 2.....п) для всех а « I. го для любого t « I

произвольного замкнутого жорданового контура Г с BCD так что СУ Г* .Г) « О справедливо неравенство

JCfXr\rt)) + J (p^(p)dp < JÍÍXr*.?)) ♦ J (f^Cp><3p. St st

где st - fxr*,rt> \ ПСГ*.Г) . St - 0(Г*.Г) \ ivr*.rt). a есть многосвязная область, ограниченная контуром Г* рис.3

'^Acker A. Heat flow Inequalities with applications to heat optimizations problems // SIAM J. Math. Anal. 1977. V.8. P.504-616.

В диссертации доказана

Теорема 3.2. Пусть 2(1) (I с К) есть некоторое

опарамэтрическое семэйстао областей. удовлетворяющее ечисленным выше условиям. Пуоть I) А > 0: 2) Для любых Р « I таких, что а < р справедливы неравенства

;^[и(г*.га>Р) - исг*.гр.р)]|ар| < о. Г1

с(Г^.Гр) < сСГ^.Гд). (1-1.2.....п).

щ есть проиэводнал по направлению внешней относительно тветствующей области нормали к контуру Г*.

ца для любого 1 « I и произвольного замкнутого ворданового гура Г с В(1) такого, что • (КГ .Г) « О справедливо шенство

Л(ХГ*.ГЬ)) - / (^(рЗйр > ЛОСГ*.?)) - / (р2(р)йр. (3.1)

- (ХГ*.Г^ \ СХГ'.Ь. - ОСГ'.П \ 0СГ*.Гь). « О* . многосвязнал область, ограниченная контуром Г* (см. ■3).

рис. з.

Перечисленные вше результаты позволяют иеолвдотить маменение

значения функционала качества (5) при ¿¿-вариации области. Эде< для любой области ПСГ*.Г) иэ О докаэывется дифференцируемое функции FCe) = j[^e(ncr*,r))] на отрезке [О.ЕдСП

предлагаются конструктивные оценки для значений ее произьодио Полученным результатам дается качественная интерпретация терминах необходимых условий оптимальности.'

Например, рассмотрим задачу об определении формы поперечно сечения упругого стержня, обладающего максимальной крутильн жесткостью. Допустим, что некоторая область (ХГ*.Г) « '

описывающая форму его сечения, не является оптимальн

^ |V0(r*,r.p) | * const на Г J • Тогда оказывается, что существу такое g « (О.ЕдСГ)]» ч^о стержень, поперечное сечение хоторо занимает область <^рС0СГ*,Г)) обладает большей крутильн жесткостью. Здесь we предлагается некоторый подход к определен величины оптимального (в смысле максимального роста значен Функционала качества) равномерного расширения g облас

Л Г*. Г).

Наконец, в третьей главе изучаются условия сходимос носителей последовательности функций в метрике Хаусдор< определяется улучшающая последовательность областей рассматриваемой здесь оптимизационной задаче.

Пусть G и Qq ■ ОСГ'.Гд') есть некоторый компакт в к^

область из eQ-Допустимого класса ЖС.бд) (вд >

соответственно. Рассмотрим последовательность облас-

z • WL- 2яесь ni+i - псг*'г1+1) - -Vй'

1 - 0. 1.....а е^ > 0: гхг'.гр « -«iG.ej). Пу.-

{е^ ^ и Р - jujCp)}^ . где ц^р) - CCG):

г wr'.^.p). р « п,

э) ■> ^ к оотъ последовательность

10 , р а Г \ flj

^мэтров и последовательность решения краевой задачи, отвечающие

юя последовательности областей 2.

Определение 3.1. Последовательность областей I будем

юать срезающей последовательностью.

Определение 3,2. Срезающую последовательность областей £

эм называть улучшающей. если для лг-iyx 0 < 1 < J выполняется

эвие улучшения: J(O^) > JCOj) а задаче о минимизации

<аионала J (соответственно J(O^) < в задаче о

зимиэации функционала J).

Далее приводятся достаточные условия существования улучшающая

педовательности областей, устанавливаются достаточные условия

сходимости в метрике Хаусдорфа.

Тооре^ 3.1. Пусть срезающая последовательность областей £

влеиюряет следующим условиям га

У е. сходится. Ч-О 1

ЗМ>0 «= 3 D > 0: Vp.fij D ^ UjCp) + |VUj(p) | «; М. да 3 U ä 0(G) : lim - U|CCG) - 0 и последовательность I

1 * т сходится по Хаусдорфу к вирр(и)-На основе этих результатов и результатов второй главы длагается численный метод решения задачи оптимизации области тоа построения улучшах/дей последовательности областей) .

В приложениях кратко описывается пакет прикладных программ.

созданный для 1Ш РС типа АТ/ЖГ н реализующий предложен работе численный метод решения ряда задач оптимизации облас рассматриваемого класса. Здесь же приводятся результаты числ моделирования для двух задач оптимизации: минимизации тег потока и максимизации крутильной жесткости уг призматического стержня.

Заключение

В диссертации раамотрена достаточно общая пекл задачи оптимизации области, в которую включается ряд нэе модельных задач и получены следующие основные результаты.

1. Изучена структура оптимизационной задачи и исследовв свойства.

2. Получен ряд результатов, позволяющих сравнивать зи Функционала качества на произвольной допустимой облас элементах гладкого семейства областей.

3. На основе свойств решения краевой задачи пре специальный класс вариации области и исследовано поведение р краевой задачи, его носителя и величины функционала качеств таких вариациях области.

4. Исследованы условия сходимости нос последовательности функций в метрике Хаусдорфа. Пс достаточные условия существования улучшающей последовател областей в рассматриваемой задаче оптимизации области.

5- На основе указанных результатов предложена яффек д.тстьточио простая в вычислительном отношении чиеярнкая прс

ения. задач оптимизации области для эллиптических систем, тояние которых описывается решением краевой задачи из санного вше класса.

1. Кандоба И.Н., Суетов А.П. Алгоритм оптимизации форм в иптических системах. Тезисы доклада. Конференция молодых Е>матиков. Препринт. Свердловск: УрО АН СССР, 1988.

2. Кандоба И.Н. Об одном свойстве двусвязных областей в ачах оптимизации области. Тезисы доклада. Проблемы ретнческой и прикладной математики. Информационные материалы, эдловск: УрО АН СССР. 1080.

3. Кандоба И.Н. Об одном алгоритма оптимизации форм в оптических системах // ГШ. 1983. Т.53. вып.2. С.273-283.

4. Кандоба И.Н. О методе решения одной задачи оптимизации <ы в теории упругости // ПОД. 1000. Т.34. вып.З. С.306-310.

3. Кандоба И.Н. Метод последовательных приближений в задачах «мизации области в эллиптических системах // VII Всесоюзная [■еренция "Управление в механических системах": [Тезисы докл.]. эдловск. 1090.

б. Кандоба И.Н. О сходимости метода среоки в одной задаче с ■ьестной границей // Задачи моделирования и оптимизации. )Дловск. 1001. С.24-35.

//

'С-ьсс

/ /

7Г