Задачи оптимизации области для одного класса эллиптических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

российская пкллеиия нами

ЯРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На праиах рукописи

КАНДОНА Игорь Николаепич

удк 539.3

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

(01.01.0? дифференциальные уравнения)

Автореферат

диссертации на соискании ученой степени кандидата физико-математических клик

ЕкаткринЛург 1992

Сабита нииоянана в Институте Математики и Механики Уральского Отделений Российской Академии Наук

Научный руководитель - академик С.С.ОСИПОВ

Офицалыше оппоненты - доктор фнзико математических наук.

профессор Н.В.БАНИЧУК

- кандидат физико-математических наук, доцент С.П.ОХЕЗИН

Ведуцая организация - НпсковскиА Государственный Университет им. К.В.Ломоносова

Защита состоится 1!0 иаа 1992 года в четырнадцать часов на заседании специализированного совета (Л 007.07.01) по иаците диссертаций на соискание ученой степени доктора физико математических наук о Институте Натематики и Механики Уральского Отделения РОИ ({¡20219. г.Екатеринбург. ГСП 381. ул. С. Ковалевской, III).

С диссертацией иовно ознакомиться о библиотеке Института Математики и Механики.

Автореферат разослан " ¿¿«уи-сиЛ

Учений секретарь специализированного сонета кандидат ^из. мат, наук

1942 г.

Ж1.

И.И. Гусе»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

- J

"1—Актуальность проблема. Данная работа поевяпдана математическим вопросам оптимизации конструкция, построению численных методов оптимизации, существенно испольоушнх специфику решал «д задач.

Теория оптимизации конструкция имает своим источником важные прикладные проблемы ira мэханики, физики и инкенерного дела. Особенно активно эти палачи начали изучать в последние двадцать лет. Это обуславливается быстрым развитием авиационное и космической техники, судостроения, точного машиностроения. !ta основе оптимального проектирования достигается снимание материалоемкости конструкция, улучшение мэханических характеристик изделия^. Таким образом, исследования в о то Я области имеют несомненное прикладное значение.

Проблемы оптимального проектирования имеет и теоретическое значение. Здесь представляет интерес выделение и исследование новых классов математических задач, разработка эффективных методов оптимизации. Существенный вклад в становление и развитие теории внесли В. Протер. Н.Ольхофф. Э.Васвтннский. З.Л.П.Арман, Н.В.Баничук, А.К.Лурье и другие авторы.

Приблизительно до середины шестидесятых годов исследования в области оптимизации констоукциЯ концентрировались вокруг небольшого числа одномерных задач и большая их часть о математической точки зрения посвящена управление коэффициентами

'^Куршин Л.М., Оноприенко П.Н. Определение форм двусвязных сечений стержней максимальной крутильной «ветхости // ПШ. 1976. Т.40. ьип.В. C.I07Q-I084.

дифференциальных уравнений. С начала 70-х годов начинает возрастать интерес к задачам, в которых "управлением" является сима ос!ласть изменения пространственных переменных, на которой решается соответствующая задача математической физики. Значительный вклад в постановку таких задач и развитие теории внесли й.Л.Лионе. К.Cea. О.Пироно. A.Acker. Н.В.Баничук и др.

В основе известных теоретических результатов. амэюишх непосредсавенное отношение к тема исследований данной диссертации, лежит изучение свойств двух модельных задач оптимизации области: I) Задача минимизации теплового потока - определение формы поперечного сечения полой призматической трубки. при которой тепловоп поток через ее стенки dun du минимален' ¡ 21 Определение форми многосвязного поперечного сечения упругого однородного призматического стержня. оОпадающого максимальной крутильной иесакостькИ-^ .

'^Волков М.А. Численное решение одаоП задачи о неизвестной границей. // Песtu. МГУ. Сер. Вичиел. математика и кибернетика, 19&1. A3. С.13-10.

Acker A. A free boundary optimization problem // SI AM J. Math. Anal. tferro. V.9. P. 1179-1191.

3)Tepi*?r D.E. Free boundary problem // SIAM J. Math. Anal. 1974. V.5. >«6. P.841-Ö46.

^Apyi»jnmi H.X., АОрамин Б.Л. Кручоние упругих тел. U. : Физматгнэ. I0S3 . 606с.

^Баличук H.D. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука.IßßO. 233с. ^'^Кураши Л.М. К задача od определении форми сечения стержня максимальней крутильной жйсткости //Докл.АН СССР.I'X'S.Т.223.JÍ3.С.583-588

При этом в обоих задачах формы попоречных сочения внутренних по/юс той рассматриваемо!? конструкция фиксированы, а на площадь искомого сечения накладывается ограничение.

В настоящей работе рассматривается достаточно общая постановка задачи оптимизации области, в которую включаются указанные выше модальны© задачи. Изучается структура задачи, исследуются ее свойства. lía основе свойств решения краевой эацачи. описмваюииря здесь состояние системы, определяется специальная класс вариаций области. Такие вариации позволяют строить эффективную относительно простую в вычислительном отношении численную процедуру решения задач оптимизации области для эллиптических систем, состояние которых описывается решением краевое задач» из некоторого класса.

Основными целями работы являются:

1) исследование задач оптимизации области с интегральным функционалом качества, состояние скотемы а которых описывается решением краевой задачи Дирцхло для уравнения Пуассона с постоянной правой частью:

2) построение эффективного численного метода оптимизации, существенно учитывающего свойства решение краевых задач из указанного класса.

Метод решения. В работе систематически используются мэтоди вариационного исчисления, понятия теории уравнений математической физики к математического анализа.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность, В работе изучена структура типичной задачи оптимизации области для одного класса

эллиптических систем, исследованы некоторые ее свойства. В рассматриваемой постановке эта задача имеет достаточно широкую физическую интерпретацию. IIa основе полученных теоретических результатов в рadoте предложен эффективный численный метод решения рассматриваемой задачи оптимизации облазти. В каждом конкретном случае эффективность этого метода может быть повышена посредством учета свойств решения соответствующей краевой оадачн.

Результаты работы являются новыми. методы исследования могут быть использованы для изучения задач оптимизации области в случае ряда нелинейных уравнений, уравнений высших порядков и систем уравнений.

на конференциях молодых математиков С г. Свердловск. 1988 г.. 1080 г.). на Всесоюзной школе по проблемам современного численного анализа С г. Дилижан, 1968 г.). на УЦ Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" Сг. Свердловск. 1090) и докладывались на семинарах отдела дифференциальных уравнений Института Математики и Цеханики УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1-6).

Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трех

глав, списка литературы и приложений. Объем работы составляет 143

страницы машинописного текста. ВДблиография включает 63 н ии минован и и работ советских и зарубежных авторов.

По материалам диссертации сделаны сообщения

ООДЕРЯАЛИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор работ по тематике диссертации. обосновывается актуальность проводимых исследования и приводится краткое содержание диссертации.

Первая глава состоит из трех параграфов я носит вводный характер.

В 61 формулируется общая постановка задачи, к которой сводится ряд задач оптимизации области, и приводится несколько примеров постановок такой задачи, возникавших в теории оптимизации конструкций. Приведем общую постановку задачи.

Обозначим через ГХГ*,Г) область двумэрного евклидова

о *

пространства К . ограниченную п внутренними контурами

. п .1

Г - у Г}| и одним внешним контуром Г« которые являются 1-1

гтгалкими попарно непересекающимися жлрдановыми кривыми (см. рис . р .

Зафиксируем контур Г* и некоторую положительную величину р. 0>х>эначим через ОСГ*,Р) класс областей

о(Г*.Р) - | ОСГ*.Г) С к2 I тев[п(Г*.п] - Р } .

где тев ^ОСГ* ,П | есть лебегова мера области (ХГ*,Г)- В

дальнейшем Зудем обозначать этот класс через О.

Цусть и(Г*,Г,р) является реыением краевой задачи

(t) (2) (3)

Здесь А есть некоторая неотрицательная константа и cj

(1-1,2.....ТО в П.З) - постоянные, часть из которых -

фиксированные константы. а остальные с J ■ сСГ^.Г)

(1 ~ П>, 2.....n, 1 ilttSn) - неизвестные величины, для определения

которых служат дополнительные условия

HjCWr'.r.p)) - О (1-Ш.2....ПЗ. (4)

где HjCuCO) (1-Ш.2,___,ПЗ есть непрерывные в пространств 0(Я*)

Функционалы.

Задача оптимизации заключается в определений олемэнта iXr*,r,) • О (контура Г), доставлявшего зкотрецум функционалу

JCOCr'.n) - j (vu(r*.r,p))'dp. (б)

~ 0(Г*.П

В 62 изучается поведение решения краевой задачи (1)-{4) при вариации области, порождаемой вариацией ее внешней границы Г-

Оп(р)-ерСр) , р « Г. (6)

где р(р) » С^СП- Для достаточно малых е > 0 каждая точка р контура Г сдвигается по нормали к Г в этой точке на величину £р(р). Направление сдвига определяется знаком величины рКр).

Пусть (ХГ*,Г) « О и для всех виполноиы

следувсше условия:

-Л1КГ* Г.р) - А исг'.г.р) - О ucri.r.p)« ci > О

р « «Г*.Г) р « Г

р « Г? (Ы .?.....п)

В

a) Е^(иСО) есть дифференцируемый по Гато а проотрансте С(и^) функционал, производную по Гато на влекэнте иСО по направлению

которого обозначим через Й^СиС •) Ж •)) •

b) Существуют пределы у. «. Ига---—--±- (1 « 1, .... а) •

1 е-0 6

Тогда функция и(Г*,Г(е),р) вместе со своими производными по р по второго порядка включительно непрерывно- дифференцируема по в в области СХГ'.Г) и при е ■» 0 еЭ производная УСГ'.Г.р) является в (ХГ*.П решением задачи

ЛУСГ*,Г.р) - О р«СХГ\Г) (7)

УСГ'.Г.р) - |ВД(Г*,Г.р)|р(р) р«Г (8)

УСГ'.Г^р) - V* р « Г* (9)

где постоянные либо равны нулю Сесли соответствующие краевые

значения в (3) "в зависят от области), либо - неизвестные

величины и для их определения служат дополнительные условия

(^ПКГ'.Г.О.УСГ'.Г.О) - 0 1 - т. 2.....п- (10)

В третьем параграф© формулируются необходимые условия оптимальности решения рассматриваемой садачи и обсуждаются иокоторк« вопроси. связанные с его существованием и

рдинственность». При этом здесь только напоминаются уже известные*' теоретические результаты для частных постановок исследуема» в работе задачи. В общем жо случае проблема

11 Acker A. Heat flow inequalities with applications to heat flow optimizations problem« // SIAM J. Math. Anal. 1977. V.8. -»4.

P.604-6'8.

существования достаточно сложна и здесь не решается.

Вторая глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена научению поведения решения краевой задачи СП-С4). его носителя и значения функционала качества (5) прл специальной вариации области, порождаемой некоторым однопараметрическим семейством операторов. Здесь и далее предполагается, что функционалы

Н^(иСО) (1»т,2.....п) удовлетворяют условиям леквии 2-1-

Рассмотрим отпасть СХГ*,Г) «О. Под {¡-расширением 0СГ*,Г) (е > О) будем понимать множество

ЕСП.е) - [ и О(р.е)] \ П*. р«П(Г,Г*)

где 0(р,е) - ■>. I |р-\}| 2< е где П* - область,

ограниченная контуром Г*- Внутренними грачичными компонентами

Е(и,е) "(> прежнему является контура Г*. Г|..... А внешняя

граница Г( е) »того множества получается сдвигом всех точек контура Г на величину е по направление поля внешних (относительно Л(Г*,Г)> нормалей к Г- Точки, которые » рв.цлыйтв такого геометрического преобразования Г> становятся внутренними для Е(П,ь1 и отделенные« множеством Е(О.е) бесконечности (см. рис. 2) из Г( С) исключаются. При »том IXв) представляет собой один жордановыЯ замкнутый контур. Для е-расширения ОС Г*,Г) сохраним принятые эдесь обозначения области - ПСГ\Г(е)).

Г Г), ж(Г) ' О Пусть Е,(Г) - |

I '> , ЖГ) < О (Г - выпуклый кои тур)

К/Г) - |;(в) - 2 I 8-1 10.ИГ)) : Ц-в|лсЕ,т }

г В1(Г) 1 ЕСП - mlnj В^П. -i^— ].

Z'

ПО

л(г?г)

риа. 2.

¡есь 7(8) (о « Í0.WDJ) - параметризация контура ■ Г по

1туралыюму параметру в (1ЛГ) - длина контура Г);

Г) - шах ае(Г,р). где ггСГ.р) есть кривизна контура Г в точке р*Г

вычисленная по поло внешних относительно области СХГ'.Г) эрмалсЯ к контуру Г.

fía классе о определяется оператор равномерного расширения Элиста 0(Г*.Г) Сна величину в о [О.Е(Г))>

»„(«Г'.Г)) - 0(Г*.Г(е)). е в Ю.В(П).

с

ругима слоьамм, для е - Ю.Е(Г)) область (ХГ'.Пв))

олучается из (ХГ*.Г) аариаиивО (6) контура Г ПРИ pal на Г-Далее показывается, что на О можно определить

ледующее однопарамэтричвсное семейотво операторов

*еШГ*,Г)) - Я^^вдССХГ'.Г)) -(ХГ*.г8). 0<8<В( Г) •

1еПат»ук»шх из О и» множество всех ограниченных открытых .2

I о п.мн о адао т» О*

0Д«»ОЬ

ÄhCfXr\F)) - jp « <ХГ*.Г) I исг'.г.р) > hj. h « R.

а величина hC £)>0 однозначно'^ определяется условие

meafßcr'.r6)) - ШЭ8(ПСГ*.Г)). Оператор Я^(П(Г*,ГЗ) ¿уло называть оператором срезки (величину h - уровнем срезки) .

Пусть f.q(T) - sup[ СКб<ЕСГ) I Vö: Ск/Не. ^6СП(Г*.П) « о}.

Дркаэиаается. что для любой области CliV" ,Г) из © с достаточна гладкой границей Г E^CD > О-

Определение I.I. /i-вариациой области Г*,П . отпечажхдо* значению параметра е « (О.Е^СГ)) будом называть область

ПСГ*,Ге) - *еСГХГ*.ГЭ).

В <0 выделим класс областей, отвечающий значению перамэтрг е > О-

х(С.е> - |ГХГ*.П • о | £ХГ\П с 0, шевССХГ*,Г)).- Р. Eft(n > ej

где С с есть некоторый компакт. Далее класс ДС,е) называется ß-допустимым классом областей. Приводятся примеры е-допустимого класса областей. Доказывается, что для любоЗ

области IXГ*.Г) иэ О с достаточно гладкой внешней границей

v

С Г « С . V ^ 2> сушэстъует такоа число 0 < 5 Ед(Г>. что ПСГ*.Г) « ХС,е).

IIa вопрос о том. как ведет себя носитель решения краевой задачи (1)-Г4) при .¿-вариации области ГКГ'.П дает ответ следующая

'^Ладыженская O.A., Уральцеьа H.H. Линейные и квазилинейные урэ-внения эллиптического типа. Ы.: Наука, 1064. 530 о.

Sseßgiiä-iLtli Для каждой области П(Г*,И из вд-допустимого тасса областей Сед > 0> для любого О < в < Eq при

>статочно малых 0 а Ю.вд-е) справедливо

vp«r£ реср.0) - ORgCp) + о(б) • iecb Пе(р) - <p~4pl [ve(p) - K£j. где фе(р) „ IVUCr'.r^.p) |.

s(p) - V(r*.r(8).p). a mln VgCp) < KE < шах Vgfp).

р«Ге p-I^

Здесь гэ получены некоторые оценки, характеризующие поведеиио ■аченмя уровня срезки h(e) при .¿-вариации области.

Далео доказывается ряд ваяных вспомогательных утверждения, гавслятаиих сравнивать значения функционала качества на юиэволыюЯ допустима области и элементах гладкого семейства )ластеЯ.

Рассмотрим однопврамэтрическое семейство областей I) - £ ОСГ*,Га) в О | а « I где X есть некоторый открытия

[тервал на числовой оси. Этому семейству областей поставим »

ютветствие множество точек В( I) » U Г .

Oil а

Будем говорить, что последовательность контуров Л\Л при

Г 1 м

,-JmJ СХОДИТСЯ к контуру Г Ilm Га " Г . если существуют

7 { м р 7 J

рхний и шшшЗ пределы этой последовательности'^ и они равны

Пусть £(J) удовлетворяет следующим условиям:

а) Для любого а « I контур Г^ есть замкнутая гладкая

Куратовокий К. Топология. Ы: Мир. T.I. 1966. 594 с.

жорданоьая кривая. ПрычСм существует такал липшнцевая вектор| Функция п(р). р ч ЕС I). что для любых а а I и р в Га Ш ортогональна контуру Гд в точке р.

b) Для любых а. р « I таких, что а < р справедл!

ОСГ*.Гр) с гхг\га).

c) 11га Г - Г» для любого 6 в I.

а Р

Й) Существует непрерывная функция <рС рЭ » ф(1Х1).]

р в ВС1) такая, что <рСр^ « | Г* .Гд.р) | Для любой то' р « В(1). где Га есть тот единственный контур, ограничиваю! область ПСГ'.Гд) « 1С1). которому принадлежит точка р. Из ьес тн а' ^

Теорема ЭЛ. Пусть 2С1) СI с К) есть некото|

олнопараметрическое семейство областей, удовлетворяю« перечисленным выше условиям. Тогда, если А » 0 и сСГ^.Гд) ■ (1 - 1, 2.....п) для всех а « I. то Для любого 1 « I

А,

произвольного замкнутого жэрданового контура Г С ВС1) тако; чтп (ХГ'.'П в О справедливо неравенство

ЛШГ'.Г^) + $ ф2Ср)(1р < ЛШГ'.П) ♦ / (р^Ср)<3р.

где - ПСГ'.Г^ N ПСГ*.Г). ^ - ПСГ*.Г) \ (ХГ'.Г^. а есть многосвяэная область, ограниченная контуром Г* рис.3 )•

1'Acker A. Heat flow Inequalities with applications to heat f optimization? problems // SIAM J. Math. Anal. 1977. V.8. F.504-616.

U

В диссертации доказана

Теорема 3.2, Пусть 2(D (Ico?) есть некоторое

днопараматрическое семэйстао областей. удовлетворяюще* ерочисленным выше условиям. Пуоть I) А > 0: 2) Для любых . Р « I таких. что а < р справедливы неравенства

jJñ(ocr".ra.p> - ucr*.rp.p))|dp| <0. Г1

с(Г^.Гр) < с(Г^.Га). (1-1.2.....п).

де jj- есть производная по направлению внешней относительно оответствуюшей области нормали к контуру Г*-

огда для любого t « I и произвольного замкнутого яорданового ~ *

онтура Г С Б(1) такого, что ■ £ХГ .Г) « О справедливо »равенство

J(ÍXr*.rt)) - f <(?(p)ôp > JCÍXr'.f)) - f cp2(p)dp. (3.1)

ne st - íxr*.rt) \ íxr'.D. st - псг'.г) \ ocr*.rt)■

отъ многосвязная область, ограниченная контуром ис.Э).

(см.

рис. з.

Перечисленные выше реоультаты позволяют исол^повать маменвнна

а

Г

значения функционала качества (5) при .¿-вариации области. Здесь для любой области ОСГ*,Г) иэ © доказывется дифференцируемоетъ функции Р(е) - JpeCiXr*,D)] «а отрезке Ю.ЕдСГЭ J.

предлагаются конструктивные оценки для значений ее производной. Полученным результатам дается качественная интерпретация в терминах необходимих условий оптимальности:

Например, рассмотрим задачу об определении формы поперечного сечения упругого стержня, обладающего максимальной крутильной жесткостью. Допустим, что некоторая область ПСГ*.Г) с О.

описывающая форцу его сечения, не является оптимальной

J |VTJ(r*.r.p) | * Const на Г j. Тогда оказывается, что существует такое £ о (О.ЕдСГ) 1. что стержень, поперечное сечение которого занимает область ^gC(Xr*,D) обладает большей крутильной жесткостью. Здесь же предлагается некоторый подход к определению величины оптимального (в смысле максимального роста значения Функционала качества) равномерного расширения б области

Г*. Г).

Наконец. в третьей главе изучаются условия сходимости носителей последовательности функций в метрике Хаусдорфа, определяется улучшающая последовательность областей в рассматриваемой здесь оптимизационной задаче.

Пусть G и Qq ■ АСГ*.Гд) есть некоторый компакт в R^ и

область из EQ-Допустимэго класса ЖG,Eg) Сед > 0)

соответственно. Рассмотрим последовательность областей

г = MLo' адесь " ar"-ri+i> - *eiC£V•

1 - 0. 1.....а е1 > 0: (ХГ*.!^) « -*CG.6j). Пусть

{еСо " ? - ЬсрС0- гдв

Г ВГГ'.Г-.р). р П1

^р) - [ 1

О , Р а (К2 \

последовательность

фаметров и послодовательность решения краевой задачи, отвечающие ишой последовательности областей 2.

Определение ЭЛ. Последовательность областей 2 будем аэивать срезающей последовательностью.

Определоние 3.2. Срезающую последовательность областей 2 удем называть улучшающей, если для лг-<их 0 ^ 1 < 3 выполняется словие улучшения: .КП^) > .ЯП^) » задаче о минимизации ункцнонала J (соответственно .Т(П^) < ® задаче о

аксимизашш функционала Л).

.Цалое приводятся достаточны® условия существовачия улучшающей оследовательности областей, устгнавливаются достаточные условия о сходимости в метрике Хаусдорфа.

Тоорем^г 3,1, Цуоть срезающая последовательность областей 2 дсвлетворлот следующим условиям

ш

О У сходится.

Ч~0 1

» нн>о & э о > о: Ур.а1 о и^р) + ^ср) | м.

Гогда 3 и « ОС 0: 11га ¡¡1^ - и|с(0) » 0 и последов а телмюоть 2

1ри 1 -» со сходится по Хаусдорфу к еирр{11>-

На основе этих результатов и результатов второй главы тредлагьется численный метод решения задачи оптимизации области .'метод построения улучшахшеЯ последовательности областей).

В приложениях кратко описывается пакет прикладных программ.

созданный для IBM PC типа AT/XT и реализующий предлокенн работе численный метод решения ряда задач оптимизации облаоп рассматривав кого класса. Здесь же приводятся результаты числе« моделирования для двух задач оптимизации: минимизации тепле потока и максимизации крутильной жесткости ynpj призматического стераня.

Заключение

В диссертации раомотрена достаточно общая постай задачи оптимизации области. в которую включается ряд нзвес модельных задач и получены следующие основные результаты.

1. Изучена структура оптимизационной задачи и исследованы свойства.

2. Получен ряд результатов, позволяющих сравнивать знач функционала качества на произвольной допустиьюй области элементах гладкого семейства областей.

3. На основе свойств решения краевой задачи предл специальный класс вариации области и исследовано поведение реш краевой задачи, его носителя и величины функционала качества таких вариациях области.

4. Исследованы условия сходимости носит последовательности функций в метрике Хаусдорфа. Полу достаточные условия существования улучшающей последователь»! областей в рассматриваемой задаче оптимизации области.

5. На основе указанных результатов предложена пффекти! илстьточно простая в вычислительном отношении чиеярнкая прсие;

шения задач оптимизации области для эллиптических систем, стояние которых описывается решением краевой задачи' из исанного выше класса.

Публикации по теме диссертации.

1. Кандоба И.Н., Суетов А.П. Алгоритм оптимизации форм в шиптических системах. Тезисы доклада. Конференция молодых (тематиков. Препринт. Свердловск: УрО АН СССР. 1988.

2. Кандоба H.H. Об одном свойстве двусвяэных областей в »дачах оптимизации области. Тезисы доклада. Проблемы >сретическоЯ и прикладной математики. Информационные материалы. *ердловсн: УрО АН СССР. I98Q.

3. Кацдооа И.Н. Об одном алгоритм® оптимизации форм в илиптических системах // ПММ. 1Э£й. Т.53. вып.2. С.273-283.

4. Кандоба И.Н. О методе решения одной задачи оптимизации эрмы в теории упругости // ПШ. 1900. Т.34. вып.З. С.306-310.

3. Кандоба И.Н. Метод последовательных приближений в задачах птимизвции области в эллиптических системах // VII Всесоюзная онференция "Управление в механических системах": [Тезисы докл . 1 . вердловск. 1990.

в. Кандоба И.Н. О сходиь*>сти метода срезки в одной задаче с сиаьестиой границей // Задачи моделирования и оптимизации, вердловск. I0SI. С.24-35-

i^. /йссу/^