Экстремальные задачи для прямых методов решения операторных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

г I и V- р | ь уд

Л О Ж ^ 1 П-АПР 1595_________________________

ИЛШЮИЛЛЬНЛЦ ЛКЛДКУПШ НАУК М<ГЛНТ!Н И ПС У И I У Г млт РМ м яки

Ил прпоах ру>»

УРУМБАЕВ Лоио Нагметопим

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЯМЫХ

МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.01 —матсматичпский янпппп Автореферат

днггсртации на соискание ученой гтрпрня капдидпта фишисо-матоматнпр'-ких нал г

Киев • 1995

Диссертация есть рукопись.

Работа выполнена в отделе теории приближения Института математики НАН У крайни.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

ПЕРЕБЕРЗЕВ С.В.

Сфвдялыше оппонента: доктор физико-математических наук,

ЗАДЕРЕИ П.В.

кандидат физико-математических наук КАШШРОВОКИИ А.И.

^йя»ийя от-янизация: Институт кибернетики

им.В.М.Глушкова НАН Украины.

¿Запета состоится " 28 " . марта 1996 г. в 1Б°° часов на заседать сягациалнзкрованного совета Д 016.60.01 при Институте математики 1Ш1 Украины по адресу :

262601, Киев-4, ГСП, улица Терещэнковская, 3.

О диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " 2Б_" февраля 1995 г.

Ученый секретарь ■ о;1о1Шалйзированного совета доктор физико-математических наук

^гусАК ДЛ).

Общая характеристик« "рвАотиг — ----------— _______

¿^уалыюст^^гймы^ В посла дата дасятидчтня в овяаи о 1«.» тями вычислительной математики осоЯоа внимание щм изучении щли'-т женных методов решения операторных, уравнений стало уделяться и?. ТИМИ38Щ1Й. Основу иссл9довзяий но ОУГГШМЯаПЖ! 1Ц'Иб'|МКЗТТКЙ «оотяпшш работы А.Н.Колмогорова. С.М.Никольского, И.а.Кахвиж»««, Н.Н.К'>}•«*« н.К.Лзядака, В.М.Тихомирова, связанные о построением ойц&х. »Ийтений -ИиДаЧ ?-ТпТ"1и'™иаШ1И. Этими лето-

рами била разработана мотодил»гия с^арс:-"!""1'» »»»им ближагоШ. Элементы этой методологии были вскоре п-г.-.-дотнор'ю итгал1.-зованы для построения, исследования и оптимизации приближении* методов решения операторных уравнения в работах В.В.Иванова, Г.М.Вяйиик-ко, Б.Г.Габдулхаева, С.В.Переверзева.

Интерес к оптимизации приближенных методов непрерывно возраста ет, о чем свидетельствует ряд появившихся в последнее время публикаций, посвященных указанной тематике, из которых достаточно упомянуть хотя б и монография Дж.Трауба, Х.Вокьняковского, Г.Вяои.гськавского, и А.Г.Сухареве. Отмэтим тагам, что исследования по онтимизяют р,чгп ритмов в настоящий момент мкроко развернута в научных цвнтрпт Укрлч ян, России, США, Германии, Польши п Болгарии.

Один из наиболее используемых классов приближениях методов рп шения операторшх уравнений составляют прямые метода, ггри поторчу н« хоздешге приближенного решения сводится к система линейннх алгеброй ческях уравнения. Именно в силу пкрокого применения втих методов они лучше исоледоваш с точки зрения оптимизации. Так, например, прр. ур-> »нений Фредгольма второго рода глубокие результата в указанно« «чтгрп влрнии получены в работах Б.Г.Габдулхаэпз, О.В.Ппрапврзева, Ш.ХеШгри-ха Я З.Шока. Вопрос об оценках погревности оптимальных прпмчг мпт'-л1" для общих операторных уравнения в- гильбертовом пространство ("'п^'р ввлоя а роботах О.В.Переверэева и С.Г.Солодкого.

Однако для ряда важннх классов интегральных уравнений второго родя вопрос об оптимальном (по порядку) прямом методе оставался от

КрЧТКМ. ЯТО ОТНОСИТСЯ ПриЩИ ВООГО К урЧНЯВНИЯМ ВолЬТЧррЯ И ург.г.па

ниям Фредгплъма с внялятичаскими я слабо сиягуляртжт чдрч^и к втим уряяпшгипм и уделено основное внимание в .яитг-гтггт«.

Цель работа. Вычисление точных порядковых оценок оптимальной погрешности прямых методов решения упомянутых вше классов интегральных уравнений и предъявление метода, реализующего соответствующий порядок.

Методика исследований- Основные результаты диссертации получены с помощью мэтодов современной теории наилучших приближений и функционального внализэ. Систематически используются влемвнтн общей теории приближенных методов Л.В.Канторовича.

Научная новизна и практическая ценность. Найдены точные порядки оптимальной погрешности прямых мэтодов и предъявлен метод, реализующий указанный порядок:

- для классов интегральных уравнений Вольтерра второго рода о ядрами и свободными членами из классов дифференцируемых функций;

- для классов интегральных уравнений Фредгольма второго рода с рнвлйтическими (гармоническими) ядрами и свободными членами;

- для классе слабосингулярннх интегральных уравнений второго рода с ядрами, имеющими степенную и логарифмическую особенности^

Работа носит теоретический характер, при втом результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при решении прикладных задач, связанных с интегральными уравнениями.

Апробация работа и публикации. Полученные в диссертвции результаты докладывались и обсувдвлись на семинарах отдела теории приближения Института математики HAH Украины, на международной конференции "Теория приближения и задачи вычислительной математики" (Днепропетровск, 1993), на научно-практической конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Ашгабат, 1ЭЭЗ).

Основные результаты выполненных исследований представлены в публикациях И-5К

Структура и объём работы.-Диссертация объемом 88 страниц машинописного тексте состоит из введения, 9 параграфов и списка цитиро-пчшгой литературы из 50 наименований.

Основное содержание работа'

В §1 дается определение прямых мэтодов, указываются основные их глпн, примеры, а также приводятся различные постановки задачи оптимизации по точности прямых методов приближенного решения операторнъ урнпнений второго рода.

Пусть Х- нормированное пространство;-а Ф <=Х. Кроме того, сдать 11 - некоторый класс линейных непрернвшх операторов, действупцих из X п X и таких, что операторное уравнение второго рода

г = Нг + / (1)

однозначно разрешимо при любых НеЯ и ДФ. Класс таких уравнений будем обозначать (71,ФД].

Под прямым методом приближенного решения уравнений из класса 1Я.Ф..Х) будем понимать правило В, по которому каждому оператору И отав»1^1 л элементов 1<рь- <рь(Я,1)),

й»Т777>, а каждой паре (Я,/)- язйор ««• » <». !</./,Г/,

,У). А приближенное ркэявше уравнения (1) эадаотоя в вида

и

**т" Е+; • * (2)

к= г.

При фиксированном Я множество всевозможных таких прямых методов будем обозначать Т)п.

Как правило, наиболаэ известные прямые методы из Т)}1 строятся по следующему принципу: по определённому правилу вибнрэ&тпя координат ней система а нахождение кажймциенгов (с^.) сводится к решению

некоторой системы лююЯных алгебраических уравнений размерности ^ V.

Обозначим через Т>„ совокупность прядаг методов Пе1> , сопоотвп-гп

ляпдих всем операторам Я е. 71 одну и ту г:е координвтпую систему /ф =

=• фь(С) ,й=Т7л),линейная оболочка которой образует конечномерное под

пространства Уп с х. щшми словами при прямых методах из Г> косрдя-д гя

натная система фнкекроявия заранее п не зависит от оператора конкретного уравнения (1). Такие при/но метода будем называть гшмй. К их числу, наприкзр, относятся метод колх'пмщ«, жэтпл нпя кзньиих квадратов п т.д.

Адаптивным прямнм методом будем называть твкой прямой метод, при котором коордяязтпая система <<рл, выбирается в строгой аванса-

дастн о? опорзтора Н конкретного уравнения (1).

•К вдаптквиш прпмнм методам решения, например, интегрольт» уравнений Фредгольма, относится ичтод механических квадратур, »"т л Нвтшши « ряд других методов типа метода тртвдмтогл ялрч.

Под погрешностью прямого метода D на классе уравнений ЕЯ.ФД], как обычно, будем понимать величину

е U'H,<M],D) - sup |z-zK(D)|x.

r^Bz+f UtM.fZ®

В работах В.Г.Гвбдулхаева и его учеников исследовалась задача оптимизации прямых методов в смысле величины

vjin.m.x)) - mr mi в„ин,ф.л.о).

РисХ D6D

л

В рамках общего подхода к оптимизации приближённых методов Core а естественно оптимизировать прямые метода в смысле величины

в„,ПК,ФДи » 1Ш е_Ц«,Ф,Л,В>. * DeZ?w "

Ы ртом случае оптимизация осуществляется на всём множестве прямых методов, включая и адаптивные.

Прямой метод называется оптимальным по порядку в смйолэ

величина 6(; нв классе , если выполняется соотношение'

К вя(1П,а>,Х)).

Аналогичным образом определяется неадаптивный прямой метод, on-тлмэлыгай по порядку в смысле величины V^.

В диссертации рассматриваются следующие прямые методы.

Пусть U^J - некоторый базис в X, a PN : X - FK - прсектор на

иашрострояство a spanUA, &=1 ,№).

№адаптивный метод Галёркина Координатной системой при этом

методе яаляются первые N элементов базиса {. Коэффициенты ке cfc в представлении приближенного решения (2) определяются из условия

«г - + /•

Адаптивный метод Олоана Координатной системой при этом мегом являются элементы ОП^, fe-T/TT). Коэффициенты ко cfc в иридстгш п'«т^,от приближенною решения (2) должны выбираться из условия

Адаптивный метод Курпвля-Первверзенв Л^ ( Т> . Координация система при атом метода имеет вид

V0^ •

гк , к = т,ы

Hl. , к = Г;И ,'лн

я

а коэф&щиеяты cfe в (2) должны выбираться на условии

- И -И* • '

¿й л Vir ' "

«'до

' V + НР« ~ №

В {2 вводятся классы операторных уравнений и оценивается погрз--шностя указанных прямых методов ня этих классах.

Пусть У с X и для любого f i У выполнено |ф|х <5 |<р|у. Чвроз £(Х,У) обозначим пространство линейных непрерывных операторов Н, дейотвупцих из X в У с обычной нормой Положим

71tf,Y) « t И: HtCaj), S а., \(1-ПГ'\.у < а0 ).

•7 - V- /С1\ 1ЛУ < 7>-

Кроме того, когда X - гильбертово пространство с обычной нормой, введенной при помощи скалярного произведения, то положим

Н'(Х.Г) - { Н: Яе7{(Х,У), Н%£(Х,Г), < >.

где I- тождественный оператор п X; оI ,а ,а ,7 - заданные положительные константы, причем аг>1, а Н* - оператор, оопрязйтпшЯ к <7, то есть, для любых ф.^бЛ выполняется (<$,Н$) -

Обозначим через В класо операторных уравнений вида (1) с операторами И из Н(Х,У) и / из У^, то есть « [Н{Х,У). Аналогично

<> * Л

определим класс ® (X,Очавг!дпо, тто 9 с э. нз осп<танин оценок погрешностей методов на этих классах ураваапий делается вывод: - на классе уравнений V применение метода Слоанэ не дает возмоиюсти получить приближенно» решение с точностью, порядок которой выше порядка точности, гарантируемого методом Гаперюгад. О

другой стороны, для класса Hi* метод Олоаиа предпочтительнее метода Галеркина, поскольку при одинаковой размерности решаемой системы линейных алгебраических уравнений метод Олоава обеспечивает двукратное увеличение порядка точности.

В $3 приводятся сведения из теории приближения и функционального анализа, необходимые в диссертации.

В $4 вводится класс = г-1,2,.'.интегральных опера-

торов Вольтерра, действующих в 1г » 1г(0,1)

t

Hyit) -1 h(t,i)'q>(t№ , ч>а>аг, о)

о

ядра h(t,x) которых имеют непрерывные на Q - [0,1] « {0,11 частные производные

П<^> » —Q^-r- h(t,i), Oil+J<r, dt Ox

и суммируемые в квадрате на Q частные производные h(l'J>, i + J - г. KjxiMe того,

у тх |п«*"| + у f ffn'W'l'Wtl'^ip.

■0«ij<r 1 1 J >

где р - некоторая заданная постоянная.

Вводится также класс - Я^'в(р),(г,s » 1,2,...,г < в) интеграл ышх операторов (3) с ядрами, имеющими непрерывные на Q частные производные h(<'J), 1=0,г-1, Т^Г. и суммируемые в квадрате на Q

частные производные hfr"", h(i,a), l^U^r, И, кроме того,

г-t в-1

У У . то* 1л"«"I * У f ГГл"»!*«^! ¿5jh-<x*-™1 «to 4

i/г

+

Рассматриваются классы ST =■ , - уртаданиП

(1) с операторами, соответственно из классов 7С и '8 и свободными членами f(t) пп -

Теорема 4.1. Сг.раведлидо ссотнс'лешш

e_r»rí х fl /,iír-e.» - ir-r~'_

J.! - ¡J ¿4 U

сглилалъинй псряОоя на классах u реа.ашуеп леяод Слоат Г®, построенный на базе орлопроеитора на подпространство алгебраических хнагачленов степени, не выше If-1.

В 86 на те* же классах ИГ рассматривается задача об оптимизации неадаптивгах прямых методов и доказана Teopeua 5.1. Справедливы сеошскхпсия

V®^ > VC"' *

Надо отметить, что оптимизация прямих методов приближенного решения интегральных уравнеш?й Волътврра ранее не исследовалась ¡м в смюле величины ни в смысле 9 .

Результата 54, §5 опубликованы в работе [П.

В JG в качестве пространстна X берется L^í fQ,2x). В качество

пространства Y - пространство Л1г, влем^нтвмя которого являются 2it -

периодические функтсии f{t), "0пу~сппц3га аналиткческоо продолжьни» и полосу ( V) = Í + ('tí, -1<и<1 ) комплексной плоскости.

Пусть Н1- кножвство интегральных операторов Н, вида

2ТС

SzfU - J hft,-c).z(iJ0.i (4)

о

иршюдокздкх классу Н*.

Рассязтривяется кхзсс - урзвйовкЯ (1J с операторами Я с, /<' и свободными членами f(t)e

Теорема 6.1. Справедлив о аостюшенив вя(®Ъ * е"ш

Онтилалъный порядок на классе в' реализует летод Слаана Б?, построенкий на базе ортопроеюпора £>п ко подпространство Тп - тригонометрических помаюлов, степени не въяие п = -целая часть числа Р).

Отметим, что уравнения из класса ф' естественно возникают в методе граничных интегральных уравнений при решении задач» Дирихле для уравнения Лапласа в областях, ограниченных замкнутыми аналитическими кривыми . Заметим ещё, что класс И* содержит уравнения, ядра которых обладают бесконечной гладкостью по соответствующим переменным.

Так, например, для принадлежности оператор» В классу Я1 достаточно чтобы ядро в (4) по каждой переменной являлось периодической

аналитической функцией, продоляямой в полосу шириной 21.

В 5? в качестве пространства У берется пространство элементами которого являются гя-периодические функции f(t), представшие

в виде f(t)= и(р^), 0<р<1, где функция и(гд;:огг-»о! гармонична в круге радиуса 1 (г,г- полярные координаты точки на плоскости).

Пусть У? - множество интегральных операторов Я вида (4), принадлежащих классу Я* СЬг,гР;.

Рассматривается класо Шр - уравнений (1) с операторами Н € УР и свободными членами

Теорем» 7.1. Справедливо соотношения

э^чр)*р»:

ОгтшшыаЛ парадок мз классе реалиаует летод Слаана пастро-на базе ортопроетара на подпространство Тп, п - •

Из результатов работ Б.Г.Габдулхаэва следует, что для оптималь-гай погрешности неадзптитых прямых методов нч классах и 5<Р будут справедлива соотнодонвя

---------- - - q

VN(Vl) я е'Н1/г, VN(nP) Х'р"/3,

Из общих оценок, полученных в диссертационной работе О.Г.Солод-кого, следует, что метод Курпеля-Пероверзева на классах Фг и дает в два раза менее высокую точность погрешности, чем метод Слоани. Результаты 56, §7 опубликованы в работе 12 J.

В 56 В качйптиа V Ц _ niwinTpiTÎCT" йХрШШЧоНММ» »» or

tû.îï чЦункида» } с оСичиой нормой, обозначим через С"1 пространство непрерывных функций /(t )еИ, удовлетворяющих условии u>(f,d} S C'tofO;, где w(J,0) - модуль непрерывности функции /(t), и(0) - некоторый заданный модуль непрерывности на С0,11, а о -- константа, m зависящая от 0. Рассматривается класс цР интегральных уравнения •

1

z(t) = Hz(t) + Jit) « J hlt,t)-zlt№ + Jit),

a

где Я « и J e C^.

Теорека 8,1. СпробеЗдиво соотношение

к uz(1/N).

Отилалъный порядок погрешности на icMicce реализу<ш miimmiiâ-Htiû прямой хеяод Еурпеля-Переберэеба L^, построенный на баян провк

тори S*, сопоотавдяжчего ка*вой фушсции /«If частихчку» п-ю суму ео ряда Фурье по ортоноржироОанной системе фушашй. Хпяр™.

Кроме того, укалывается конкретный модуль непрерывности £ С ; -- a{tv-lnqt,5) и, как следствие из теоремы 8.1, приводится

Ча

Теорема 8.3, Пусть Ф - /апсс интегральных ура&тний вида 1

2(t) - f)'z(t) J /(î) s j ?iJ(i,T).inq(ji-'t|).it-T|v-,.0(t)cit - /(O, о

гьЧ> С i v $ 1, I,1 f w, a aflprïh (î, т ) ¡кигорн, 'то H с ЩИ,G п) и coo-ш

бобине члени J{î) f С . Тогда отдашюдьндя погрешность пряма лито-

о

Зов из Т>к на классе В удовлетворяет соотношению

е^Л * ы^н.н-^.

Отметим, что если функция имеет абсолютно непрерывную ограни-

ченную частную производную по переменной г, то этого условия доотато-

(1>

чно для того, чтобы оператор В действовал из Ы в О

Проводится сравнение теоремы В.З с результатами Б.Г.Габдулхае-

ва, из которого можно сделать вывод, что неадаптивныа прямые метода

ш

не обеспечивают для класса ® ° оптимальный порядок погрешности, а метод Курпеля-Переверзева является оптимальным по порядку на втом классе и дает в 2 раза более высокий порядок точности погрешности, чем неадаптивные методы.

Результаты §8 опубликованы в работах 13-Б].

§9, в отличив от остальных, посвящен проблеме конечномерной аппроксимации решений некорректных задач, в именно, интегральным уравнениям первого рода. Приводится модификация прямого метода, предложенного в монографии В.К.Иванова, В.В.Васина, В.П.Тананв. Показано, что на довольно широком классе интегральных уравнений первого рода, етот модифицированный метод вкономичен в смысле размерности возникавшей системы уравнений, и в смысле числа операций, требуемых для вычисления приближенного решения.

Автор благодарит своего научного руководителя доктора физико-математических неук О.В.Переверзевя ва внимание и постоянную помощь в работе.

Оснсвние положения диссертации опубликован» в сдедуьцих р«ботахi

1. Переверзев О.В..Урумбаев А.Н. Об оптимальных прямых методах решения уравнений Вольтерра в гильбертовом пространстве// Мпт.зпмзтки.-1992. - 52, #4. - 0. 74 - 84.

2. Урумбаев А.Н. 00 оптимизации прямых методов решения интегральны» уравнений Фрвдгольма второго т«»- -- д^^^ о»»*«!»!* гла^мл.!*/ t ¿'kd.kht icc-3. - 4bf * »'-•. С. 'C3S - (Vu1.

3. Пероверзев C.B..Урумбаев А.Н. Оптимизация прг'н-уи&тсяов репеяия слабосингулярннх интегральных уравнений Фредголк'чц второго рода// Труды научно-првктической конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Ашгабат, 11-14 мая 1993 г. Ч.З. - С. 137 - 140.

4. Урумбаев А.Н. Оптимизация прямых методов приближенного ряшнил слабо сингулярных интегральных уравнений второго рода// Маждумр. конф. "Теория приближения и задачи вычислительной мя1'ематики", Днепропетровск, 26-28 мая 1993 г.: Тез.докл.- Изд-во ДГУ.- 0.190.

5. Урумбаев А.Н. Оптимизация прямых методов приближенного ¡>гдатш слабо сингулярных интегральных уравнений // Укр.мат.жури.- 1SU4. ■ 4«, ,* 9. - С. 1246 - 1254.

Урумбаев А.И.

Экстремальные Задачи для прямых методов решения операторных уравнений. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - Математический анализ. Институт математики НАН Украины. Киев. 1995.

Диссертация посвящена оптимизации прямых методов решения операторных, и в частности, интегральных уравнений. Для некоторых классов интегральных уравнетай найден точный порядок оптимальной погрешности прямых методов я указан метод реализующий этот порядок.

Urumbaev A.N.

Extremal problems for direct methods for the solution of operator equations. Manuscript. Thesis for a degree of Candidate of Scl-snce (Ph.DO'ln Physics and Mathematics, speciality 01.01.01 - Mathematical analysis. Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Wcralne. Kiev. 1995. ~

The thesis are devoted to optimization of dim at methods for the solution of operator, and In particular, Integral equations. For soma classes of Integral equations, the optimal order of the error of direct methods is found and tha method that realizes this order Is Indicated.

Ключевые слова : операторное уравнение, оптимизация приближенных методов решения, адаптивные пргшв методы, точность по порядку.

Иодп. в пэч. 10.02.95. Формат воВ4Л6. Бумага тип. Офс. печать. Усл. иеч. л. 0,93. Усл. кр.-отт. 0,93. Уч. - йад.л. 0,6. Тирвж 100 вкз. Зак£/Бесплатно.

Подготовлено и отпечатано в Институте мптрмятккй HAH Украины Kf-?ßOt Кпря 4, ГСП, ул. Твреда!гка"скя.ч, 3