Задачи с неизвестными границами для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Львівський державний університет імені Івана Франка

БЕРЕГОВА Галина Іванівна

УДК 517.956

ЗАДАЧІ З НЕВІДОМИМИ ГРАНИЦЯМИ ДЛЯ ГІПЕРБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ ТА СИСТЕМ З ДВОМА НЕЗАЛЕЖНИМИ ЗМІННИМИ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Львів - 1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському державному університеті імені Івана Франка на кафедрі диференціальних рівнянь.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент

Офіційні опоненти: доктор фізкко-математичних наук, професор

Хома Григорій Петрович,

Тернопільська академія народного господарства, професор кафедри вшцої математики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Ільків Володимир Степанович,

Державний університет “Львівська політехніка”, доцент кафедри обчислювальної математики і програмування.

Провідна установа

Інститут прикладних проблем механіки та математики НАН України, м. Донецьк, відділ математичної фізики.

Захист відбудеться “19” листопада 1998 року о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському державному університеті імені Івана Франка за адресою:

290062, м. Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського державного університету імені Івана Франка (вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “16” жовтня 1998 року.

Вчений секретар

Кирилич Володимир Михайлович,

Львівський державний університет ім. Івана Франка, доцент кафедри диференціальних рівнянь.

спеціалізованої вченої ради

Микитюк Я.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Для гіперболічних рівнянь та систем на прямій зичними і достатньо вивченими є задача Коші, змішана задача, задача Гурса. Ці і дач і вивчались багатьма авторами за допомогою різних методів.

Останнім часом, зокрема при вивченні прикладних проблем, з’явились кісно нові постановки задач. До таких задач відносяться задачі з нелокальними мовами, задачі з виродженням, обернені задачі, задачі з невідомими границями,

ПІЦО.

Предметом досліджень даної дисертаційної роботи є задачі з невідомими раницями для лінійних та напівлінійних гіперболічних рівнянь і систем. При ьому граничні умови задаються у нелокальному вигляді, може вироджуватись інія задания початкових умов або невідомими є також коефіцієнти рівняння, лід зауважити, що всі задачі з невідомими границями є нелінійними і основна елінійність в них пов’язана, як правило, з невідомою наперед границею.

Задачі з невідомими границями описують процеси, що виникають в еханіці твердого тіла і рідини, фізиці, оптимальному управлінні, біології і т.д. акі задачі для параболічних та еліптичних рівнянь називаються задачами 'тефана і вивчаються вже більш ніж століття. Детальний огляд літератури з цієї роблематики дано в роботі І.І.Данилюка (Данилюк И.И. Задача Стефана // спехи мат. наук. - 1985. - Т.4, №5. - С. 133-185) та монографії Е.В. Радкевича і l.C. Мелікулова (Радкевич Е.В., Меликулов А.С. Краевые задачи со свободной раницей. - Ташкент: Фан., 1988.-184с.).

Проте, багато математичних моделей проблем газової динаміки, гропружності, теплопровідності (якщо швидкість поширення тепла скінченна) риводять до розв'язування задач з невідомими границями для гіперболічних івнянь та систем. *

Напевно, одним з перших досліджень гіперболічних задач з невідомими эаницями була праця НіІГа С. Denson'a (Hill C.D. A hyperbolic free boundary roblem // J. Math. Anal. And Appl. - 1970. - V.31, №1, - P. 117-129), в якій писано процес вільного переміщення поршня в трубі сталого перерізу. Пізніше налогічні задачі про рух поршня досліджувались у працях М.В.Хазанова, .D’Acunto, В.Guo та C.Xiaohong.

Відомо, що в багатьох реальних середовищах розповсюдження тепла писується гіперболічним рівнянням точніше, ніж класичним рівнянням гплопровідності. Це досягається шляхом заміни класичного закону Фур'є = ~кТх релаксаційним співвідношенням першого порядку rq, +q = -кТх. В з'язку з цим природним є формулювання задач Стефана для гіперболічного

рівняння теплопровідності. Дослідженням таких задач займались Т.Д.Джурає Ж.О.Тахіров, М.І.Летавін, Н.В.Шеметов, A.Fridman, Li Dening, R.E.Showa

A.D.Solomon, I.Straskraba, J.Turo та ін.

Задача про визначення невідомої лінії розриву гідродинамік параметрів потоку рідини або газу є однією з основних проблем газ динаміки і теорії аеропружності. Її математична модель зводиться до вивчі змішаної задачі для квазілінійної системи гіперболічного типу в області з од: або декількома невідомими границями. Таким задачам присвячені ро! К.Ю.Казакова та С.Ф. Морозова, Li Ta-tsien’a. і

У працях 3.0. Мельника та Т.О. Мельник розглядались зада невідомими границями для систем гіперболічних рівнянь першого поряд також деякі задачі для гіперболічних рівнянь другого порядку. Використав цих роботах метод характеристик дозволив звести вихідні задачі розв'язування нелінійних інтегро-функціональних рівнянь типу Вольтерра.

Цікавими для дослідження є гіперболічні задачі Стефана з нелокаль граничними умовами. Змішані задачі з нерозділеними або інтеграль умовами (нелокальні задачі) для гіперболічних рівнянь та систем зустрічаї в біології, екології, механіці, демографії. Дослідженням таких задач займ

B.C. Ільків, 3.0. Мельник, А.М.Нахушев, Б.ЙЛташник, D.A. Sanchez, D.R.!

I. Sond та інші. У другому розділі даної дисертаційної роботи узагал: нелокальну задачу з праці 0.3.Мельник (Мельник 0.3. Общие граничные з для линейных гиперболических систем на прямой //Львов, 1987. - 49с. І УкрНИИНТИ 20.04.87г., №1281 - Ук.87) на випадок області з невідс границями.

Деякі гіперболічні задачі Стефана з нелокальними граничними умов криволінійному секторі вивчались у працях В.М. Кирилича. Більш за результати були отримані В.М. Кириличем і А.Д. Мишкісом для гіпербо задачі Стефана для напівлінійної системи рівнянь першого поря; криволінійному чотирикутнику. У третьому розділі даної дисертації узагаї роботу В.М. Кирилича та А.Д.Мишкіса (Кирилич В.М., Мыщкис Обобщенная полулинейная гиперболическая задача Стефана на пряі Дифференц. уравнения. - 1991. - Т. 27, № 3. - С.497-501) на випадок виро; лінії задания початкових умов у точку, а також досліджено задачу Сте інтегральними граничними умовами фредгольмівського типу.

Задачі про визначення коефіцієнтів гіперболічних рівнянь та сис деякою додатковою інформацією про їх розв'язок мають важливе пра значення. Це пов'язано з тим, що диференціальні рівняння описуюті фізичні процеси, а коефіцієнти рівнянь відображають фізичні характер

з

едовища, в якому відбуваються ці явища. Дуже часто ці параметри є акціями координат. Безпосередньо їх виміряти, як правило, неможливо, тому ,ача про визначення властивостей речовини є, по суті, оберненою. При цьому, додаткова інформація для її розв'язку, задаються характеристики фізичного эцесу, виміряні на границі області. Найбільш яскраво це проявляється, срема, в задачах геофізики.

Одновимірні обернені задачі для гіперболічних рівнянь та систем зглядались А.С. Алексєєвим, С.П. Бєлінським, А.С. Благовіщенським, [.Кабаніхіним, М.А. Кулієвим, Д.Г. Орловським, В.Г. Романовим, В.Г.Яхно. :новний метод досліджень - зведення одновимірних обернених задач до систем ераторних рівнянь Вольтерра другого роду з наступним застосуванням инципу стисних відображень для доведення локальної коректності, {алогічно, використовуючи нерівність Гронуолла-Беллмана, отримувались [ІНКИ стійкості “в цілому” і, як наслідок цих оцінок, доводились теореми иності розв'язку “в цілому”. Загальна методологія та конкретні приклади таких дач наведені в монографіях В.Г. Романова (напр.: Романов В.Г. Обратные дачи математической физики. - М.: Наука, 1984,264 с.).

Існують різні варіанти формулювань обернених гіперболічних задач, априклад, коли додаткова умова на розв'язок задається не на границі, а у іутрішніх точках області. Інший можливий варіант формулювання обернених ідач пов’язаний з заданиям додаткової інформації про розв'язок в інтегральній ормі. Такі задачі досліджувались у працях А.І.Ісмаілова, В.М. Кирилича, ..І.Прилепка та Д.Г. Орловського, Б.З.Ройхеля.

У четвертому розділі дисертації розглядається обернена гіперболічна здача Стефана для загального рівняння другого порядку з інтегральною умовою еревизначення. З цього питання відомі праці B.C. Крутікова (Крутиков B.C. Об дном решении обратной задачи для волнового уравнения с нелинейными словиями в областях с подвижными границами //Прикл. мех. и мат. - 1991. -'.55, № 6. - С. 1058-1062) та В.М. Кирилича (Кирилич В.М. Обернена іперболічна задача Стефана // Вісник Львів, ун-ту. Сер. Мех.-мат. - 1993. - Вип. 8.-С. 21-24.).

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота була частково підтримана Міжнародною науково->світньою програмою фонду "Відродження" - "Соросівські аспіранти", грант V«PSU081073. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями сафедри диференціальних рівнянь Львівського державного університету імені .вана Франка, її результати використані при виконанні завдань державних тем \W195V009657, №0193V027106.

Мета і задачі дослідження. Дослідити коректну розв'язніст гіперболічних задач Стефана з двома незалежними змінними в різних областях Для цього встановити умови існування та єдиності розв'язків задач з невідомим] і^аницями для строго гіперболічної системи рівнянь довільного порядку нелокальними (нерозділеними та інтегральними) граничними умовами та дл. гіперболічних систем першого порядку у випадку виродження лінії задана початкових умов у точку. Довести теореми існування та єдиності розв'язкі: обернених та обернених задач Стефана для загального гіперболічного рівнянн. другого порядку у випадку задания умов перевизначення в інтегральном; вигляді.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше вивчено деяк гіперболічні задачі з невідомими границями для лінійних рівнянь нелокальними граничними умовами, а також досліджено обернену гіперболічн; задачу Стефана. Для них отримано умови існування та єдиності "в малому узагальнених та класичних розв'язків. Встановлено також умови існування т єдиності глобального розв’язку оберненої задачі для гіперболічного рівнянн: другого порядку. Доведено відповідні теореми коректної розв'язност гіперболічних задач Стефана для напівлінійних систем першого порядку ; випадку виродження лінії задания початкових умов у точку.

Наведено конструктивні схеми зведення задач з інтегральними умовам) фредгольмівського типу до систем інтегро-функціональних рівнянь ТШГ Вольтерра другого роду, які розв'язуються методами послідовних наближень аб< стисних відображень.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація ма теоретичний характер, її результати є суттєвим внеском в загальну теорік рівнянь з частинними похідними, а також можуть бути використані і прикладних дослідженнях, зокрема, в газовій динаміці, теплопровідності механіці, математичній біології, екології, демографії, тощо.

Особистий внесок дисертанта. У працях [4-6], [10-11] В.М. Кирилич; належить формулювання задач і керівництво роботою, результати ж отриман автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались н; Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники Б.Й.Пташник, С.ПЛавренюк, П.І.Каленюк, 1997-1998рр.) та на кафедральном; семінарі з теорії диференціальних рівнянь (керівники: С.ПЛавренюк

М.М.Бокало, 1996р.); Воронежській весняній математичній школ "Понтрягинские чтения - VI" (м. Воронеж, 1995р.); Всеукраїнській конференці "Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування", присвяченій 60

пччю від дня народження В.І. Фодчука (м.Чернівці, 1996р.); II Міжнародному :импозіумі "Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та інструкцій" (м. Львів-Дубляни, 1996 p.); Міжнародній конференції "Nonlinear jartial differential equations" (м. Київ, 1997 p.); Всеукраїнській конференції "Нові іідходи до розв'язуваная диференціальних рівнянь", присвяченій 70 - річчю від ція народження професора В.Я. Скоробогатька (м. Дрогобич, 1997р.); Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (м.Чернівці, 1998р.); конференції "Обратные и некорректно поставленные задачи" (м.Москва, [998р.).

Публікації. Основні результата дисертації опубліковано в роботах fill], з яких [1-6] надруковані у виданнях з переліку №1, затвердженого ВАК /країни.

Структура і об'см роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох :юзділів, висновків і списку використаних джерел та викладена на 144 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 181 найменування.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, подаються мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація та структура роботи.

У першому розділі зроблено огляд літератури, що стосується досліджень нелокальних мішаних задач, задач з невідомими границями для рівнянь та систем гіперболічного типу та обернених гіперболічних задач з двома незалежними змінними.

У другому розділі досліджено питання локальної однозначної розв'язності гіперболічної задачі Стефана для системи диференціальних рівнянь довільного порядку.

Нехай Qr = |(х, f) є і?2: 0<t<T, а,(/) < х < a2(f), аі(^) = аі° - відомі

константи, і =1,2, af <a°J, причому функції a((t) наперед невідомі. В Qr розглядається рівняння

^ J д дЛ -ДЛ , , ч 3іи ч

£ 4,\х,г, —• и з £ £ ли (*.0—7 = Л*,0. (1)

„0 k дх fft) J dx’ct1 1

де коефіцієнти A,j є квадратними матрицями порядку тхт, причому 4,о(*.0=Еи, a u = col(u\...,um), f = col(fГ).

Характеристичні корені А рівняння det Ап (х, t, 1, Я) = 0 - дійсні і різні для всіх (х, t) є Qr. Відомо, що коли Я,■ * Я при іФ j, то сукупність власних

векторів можна розбити на п груп по т в кожній так, що кожна група утворю базис в Я1”'. У відповідності до нумерації власни

векторів перенумеровуються характеристичні корені (вектору А- відповідатим власне значення X ‘).

Через /*+(/р) позначається множина індексів і для яки

®;/(/)аЯКв<(0,0-а/(0>о «'(0<о), *=йЯ і=ЦЇ, / = и, *є[о,г

Причому /?=У/?* (/ = 1,2). (

5=1

У підрозділі 2.1 розглядається така задача: для деякого Т{ >0 знайт: вектор-функцію а = {а{,аг ) є[с2([0, Г;]) | і у відповідній області Сі7

розв'язок и є |С'1-2 (£2Гі) j системи (1) так, щоб задовольнялись умови 3і иж.............................оо *

ді

7-(х>°) = Я/(^), х е[а ,,а2], і = 0,п-1, з=\,т, (2)

т п-\ і ( 2 Л'и*

ІЕЕ2Х'і«^

.?=! і=0 у=0 |^=1 ах 01

*-а9(0

аг(0 3іі/{£ 1

+ \с:и^)—^<14 =й4(0, к = \,к0, / є[0, гг ], (3)

а,Ь) \

т п-1 і аг(0 Л

НЕ (4)

/с = лг0 +1; дг, *є[0,Г,],

«/"(О = ^|(л «і(0> а2(0> «і'(0> а2(0> “(аі(0. 0- МЫ')> *))>

в/(0) = в,°, о/(0) = а,0, /=1,2, V/ є[о,т;], (5)

і умова

шах Л *(а, (г), г) < а\(і) < тіп Я /(а, (*), /), / = 1,2, /є [о, Г, ], (6)

0. 5) б/," ('.*)« #

де £*, В*и, СД7, Ик та - відомі функції, 0<N0<N, N - кількість елементі;

'ГІК

множини

За коефіцієнтами рівняння (1) та умов (3)-(4) певним чином складаєтьс. квадратна матриця Р (^) порядку N і припускається, що

дві/3 {і)* 0, V / є[0, 7|] (7)

Використовуючи методику робіт О.З.Мельник, Ь. СашрЬеІГа і А.КоЬішоп’а, V. ТЬотее для зведення рівняння (1) до системи рівнянь першого порядку та застосовуючи метод характеристик і принцип стисних відображень, у підрозділі 2.3. для випадку п> 2 доведена теорема

Теорема 1. Нехай

1) рівняння (1) строго гіперболічне, коефіцієнти оператора Ап в (1) неперервно диференційовні, а коефіцієнти операторів А, [і <п,п> 2) та вільний член / неперервні в (УГ] = |(л:, (): х є Я, 0 < / < 7]};

2) £/ еСп-‘^([аІа°]), і = 0,п-1, * = ї^г;

3) при к = І, М0 функції В*-[к,Іік єС([0,Т;]), С*/ єс(^), і = 0,и-1,

у = 0, /, 5 = 1, т, д = 1,2;

4) /7/7И к ~ М0 +\, N функції, єС1 ) (у = 0,я - і), С,5/ єСол (і/Гі),

і=0,п-2, j = 0,i, і=1 ,т, Ик єС1 ([О, 7|]);

5) фунщїї Рі(і,х1,х1,уі,у2,гиг2) визначені та неперервні в П = [0, Г,] х д2ти і задовольняють умову Ліпшиця за всіма змінними, крім ?, зі сталою М;

6) виконуються умови узгодження нульового порядку в кутових точках ^сг^, 0^ та (а“,0);

7) виконується умова (7).

Тоді існує таке е є (0, 7]], що задача (1)-(б) має в єдиний узагальнений

розв'язок й є[с"'2(Ое| , а є[с2 ([О, є ])|2 (зміст цього розв'язку

уточнюється в процесі доведення теореми).

У підрозділі 2.4 для задачі (1)-(6) окремо виділено випадок, коли п~2 і доведена локальна за / теорема існування та єдиності узагальненого розв'язку

-№)Р яє[с2([°^])12-

У третьому розділі розглядаються дві задачі з невідомими границями для запівлінійної гіперболічної системи рівнянь першого порядку у випадку зиродження лінії задания початкових умов у точку.

У підрозділі 3.1 досліджується задача, в якій характеристики, випущені з зершини сектора, в нього не попадають, а граничні умови задаються в нтегральному вигляді.

В криволінійному секторі б, := {(х,;): / єЯ+, <я,(/) < .т < а2(ї), а,(0) = = <я2 (0) = 0|, де функції а, єС1 (/?+)(/= 1, 2) є наперед невідомими розглядається напівлінійна система рівнянь

^- + Л;(х,г)^-=/.(х,Г,и), /=1,77, (8)

ої ох

де и = соі(их,...,ип}. Умови на невідомі границі задаються у вигляді

а!(0 = ЕЁ (а(г)’ тЫаМ г)Лг + /г;(а(/), /), /=1,2, (9)

г=1 М о 1

де у'и (а(ґ), () = у', (а,(/), а2(/), і), \ (а(г), і) = А, (я, (/), а2 (і), і), - відомі функції причому /г, (0,0) * /г2 (0,0).

Припускається, що жодна з характеристик системи (8), які виходять точки (0,0), не попадає в область (7, тобто виконуються умови

ДІ(0,0)-А1(0,0)>0, І^ТГр,

Яі(0,0)-А2(0,0)<0, і-р + І, п, (10)

Розглядається задача про відшукання для деякого Т > 0 набору функції а„а2 єС1([0, Г]), и, є С1 (Ст) (і = й), Де 6>:= {(х,/): г є[0, Г], *,(/)<; х«

<а2(і), а,(О) = а2(0) = 0} так, щоб для всіх / є[0, Г] задовольнялись систем рівнянь (8), умови (9) та граничні умови

П а2(0 ___

X \аи{у, ()и,(у, ‘)Ф = Нк(і)> к = \,п, (11)

'=! а,(<)

де а кі (_у, г), Нк (/) - задані функції, причому Нк (0) = 0.

В припущенні, що

ёе1а'(0)* 0, (12)

де а 1 - квадратна матриця порядку п складена з коефіцієнтів акі (а, (і), /), умови (11) після її диференціювання за і знаходяться значення и,(0, 0).

Означення 1. Розв'язком задачі (8)-(1І) назвемо набір функці еС'([0,Г]) та класичний розв'язок и є задачі (8), (11), як

задовольняють умову (9) при всіх ґ є[0, 7].

Теорема 2. Нехай виконуються такі умови:

1) система (8) - гіперболічна, тобто функції А,(х, ї) [і = 1, и| - дійсні, крі: того Я, єС2(і? х [0, Г]) і задовольняють (10);

2) /і є С'(і? х [О, Г] х /,'\та/’и задовольняють умову Ліпшиця за и;

3) функції а и єСг(йх [О, Г]), Я, є С2([0, Г]), Нк (0) = 0 (к = Тп),

4) функції у^і єС^К2 х [О, А/ є С1^2 х [О, Г]| (/ = 1, 2) і задовольняють умову Ліпшиця за першою змінною відповідно зі сталими Іг> іь\

5) виконується умова (12).

Тоді іспус таке є є(0, 7і], що задача (8)-(11) має в С с єдиний розв'язок, визначений при всіх / є [0, є ].

Теорема доводиться за допомогою методу характеристик і теореми Банаха про нерухому точку оператора шляхом зведення задачі (8)-(11) до системи інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду.

У пункті 3.1.3 наведено приклад, який показує, що коли ц характеристик, які виходять з точки (0,0), попадають в область Сг(, то задача з інтегральними умовами типу (11) некоректна.

У підрозділі 3.2. розглянуто більш загальну нелінійну задачу з невідомими границями на випадок наявності у секторі характеристик системи (8), які виходять з його вершини.

Система (8) розглядається в області (7аГ:= |(.г, ?): /є(0, Г],

аи х(і)<х<аи 2(ґ), і(0)=аи 2(0) = 0| з невідомими границями аи1((), 1=1,2,

які задоволышоть такі умови

—= к!(ґ, и), м = со/(м,,...,мл), /=1,2, (13)

причому q характеристик системи (8), які виходять з точки (0,0) - попадають у сектор. Задаються нелінійні граничні умови

= {и,-(а„,і(0.')}), 'є/,+ , Гє/Г, (14)

“/(аи,2(О>0 = МММа“.2('М))> / є[0, Г], і є 12, і'єК.

Тут

/;={/: Я,(0,0)><;(0)}, і;=(і: А ,(0,0) < <,(0)}, / = 1,2.

Ставиться задача про знаходження для деякого Т > 0 функцій «/ЦСИ.Г), аи , єС‘([0,Г]), які задовольняють систему (8) та умови (13)-(14).

Вводиться метричний простір 5Г “наборів” V = , аи к |

(і = \,п, к = 1,2^, де и( єС(ви,т), аик єС'([0,Г]), аиЛ (г) < аи2 (?), з метрикою

= шах|шах|ац14(?)-ац2 4(Г), тах|м,’ (х,г)-и? (х,/)||

(туг для довільної г: [а, А] —> Я позначення г означає продовження г на Я за формулами г(х) = г{а) (х < а), г(х) = г{Ь) (х > Ь) ). Позначимо через <р1 (г; х, г) -розв’язок задачі Коші сІІ;ІсІт = Я ,-(<*, г), £(?) = х, (х, ґ)єСа,г, /=1,и. Означення 2. Узагальненим розв’язком задачі (8), (13)-(14) називається набір V є Бг функцій, які задовольняють систему рівнянь (13), систему інтегро-функціональних рівнянь

Г

и,(х, г)=бУ,(х,/; и) + х, ґ), г, и)с!г, і = 1,и, (х,/)єС„ г,

де /,(х, г; и):= тіп(г-.- (^,(г; х, /), г) єСа Г},

£«('*(*>м); г'^ч+і(а“.і(Ґ-(х>н))> «))»••• >

“4а“.'(г.(х-м))> (*> {> «)))• при и)> х> 0=а„,і(Ф’ ^ "))>

£,.2(ґ,.(х, V, м); м,(ааі2 (/,(*, Г; м)), /,(х,Г; м)),...,

иР{аи,і{ь(х’г’и))> Ф> *> ")))• ПРИ <Рі{Ф> *’> «); *>{) = аи,і{(,(х: «)), та умову: Я ,(аиД (/),?) ^/гД?; м), А: = 1,2, і = 1,п.

Користуючись принципом стисних відображень доведено теорему існування та єдиності для деякого £>0 узагальненого розв'язку задачі (8), (13)-(14) при / є [0, е].

Теорема 3. Якщо виконуються такі припущення:

1) всіфункції Я,(х, /) - дійсні та ЛієСІ(я х [0,’Г]) (г = 1,и);

2) кожен функціонал /)(х, ґ,и) визначений і неперервний при V є5Г, (х, і) єСиТ, а відповідно Ьк(і; и) - на [0, Г] х Бт, крім того, в деякому околі довільної точки з £Г ці функціонали задовольняють умову Ліпшиця за и та існує таке М>0, що якщо и(.,,) задовольняє за х умову Ліпшиця зі сталою Ь, то /]•(.,.;.) задовольняє за хумову Ліпшиця зі сталою МЬ\

со.

(х, /; и) =

-Р-Я

ульняють

3) функції визначені на [О, Г] х ІІп~р~ч, gl2 - на [О, Г] х Яр і задовол.

за всіма зміннішії умову Ліпшиця зі сталою 7>0(7’), де g0(T) обмежена при Т є (0, + оо); а також виконуються певні умови на функції glk при 1 = 0.

Тоді для деякого є>0 існує єдиний узагальнений розв’язок задачі (8), (13)-(14) при І є [0, є ].

У четвертому розділі вивчаються обернені задачі з невідомим множником при вільному .членові правої частини гіперболічного рівняння другого порядку.

У підрозділі 4.1. в прямокутнику Рг = |(.х, г): 0 <х<1, 0 < / < г} розглядається обернена задача для строго гіперболічного рівняння ии + а,(х, ї)их1 + а2(х, /)и„ = 6,(х, ?)гг, + Ь2(х, і)их +Ь(х, ?)г/+/(/)я(.г, ?), (15)

в якому окрім функції и{х,і) невідомою є також функція /(?)■ Додаткова інформація про розв'язок задається в інтегральному вигляді, розглядаються різні випадки задання крайових умов. Доводяться глобальні за / теореми існування та єдиності розв'язків поставлених задач.

У підрозділі 4.2. рівняння (15) розглядається в області Ог, визначеній у розділі 2. Вважається, що

Л,(а°,0)-а?>0, (16)

Л 2 (от,0, о) — а ? < 0, і = 1,2,

де Я „ Я 2 - корені характеристичного рівняння Я 2+ а{(х, + а2(х, = 0.

Задаються початкові, граничні та додаткова умови

и{х,0) = рх(х), и( (х,0) = (Зг(х), х є а?,.

их («1 (0> 0 = (0» 11 х {а2 (0. !) = у2 (0. ‘ е[о, т\

аЛ<)

§а(х, і)и[х, і)<іх = И(і), / є[0, Г],

а,(0

а також умови на невідомі границі а

(17)

(18)

(19)

і (0 = ніаі (0> а2 (0’ а\(ґ)> аг (?).«(«і 0.11 іа2 (0> 0)>

аі (°) = а? > аі (°) = а ?> / = 1,2.

Означення 3. Розв'язком задачі (І5)-(20)

(20)

називаються функції

а, єС2([0,Г])(/=1,2) ота узагальнений розв'язок (г<, /) єС1л(Ог| х С([0, Ґ|) задачі (15)-(19), які задовольняють умову (20).

Доводиться теорема існування та єдиності такого розв’язку.

Теорема 4. Нехай

1 )а, єС2’](Пг), Ь{, Ь, §єС1’°(йт), де ит = {(ж, ґ): 0 < * < Т, хеЯ},і = 1,2;

2) а е С2'2(І7Т), к є С2([О, Т}), р, є , а20]), Vє С'([0, Г]) (і = 1,2);

і х2’ Уі> Уг> 2і> 2і) визначені і неперервні в області Пг = [0, Г] х К(' і задовольняють умову Ліпшиця зі сталими Ьн (і = 1,2) за всіма змінними, крім ґ;

4) |а(х, 0)^(д-, 0)с1х * 0;

а? .

5) виконуються умови узгодження нульового та першого порядків.

Тоді для деякого є є(0, Г] в області Сї£ існує єдиний розв’язок задачі (15)-

(20).

При більш високих припущеннях на гладкість вихідних даних справедлив;

теорема існування та єдиності "в малому" класичного розв'язку задачі.

ВИСНОВКИ

- У дисертаційній роботі встановлено достатні умови існування та єдиност узагальненого розв’язку задачі з невідомими границями для строп гіперболічної лінійної системи рівнянь довільного порядку з нелокальнимі (нерозділеними та інтегральними) граничними умовами у криволінійному чотирикутнику.

- Доведено відповідні теореми коректної розв’язності гіперболічних зада1 Стефана для напівлінійної системи рівнянь першого порядку у випадк; виродження лінії задания початкових умов в-точку. Наведено ефективні схемі зведення задач з інтегральними умовами фредгольмівського типу до систег інтегро-функціональних рівнянь типу Вольтерра другого роду.

- Досліджено гіперболічні коефіцієнтні обернені задачі для строг* гіперболічного рівняння другого порядку з невідомим множником пр; вільному членові правої частини. Встановлено умови існування та єдиності " цілому" розв'язків поставлених задач.

- Отримано достатні умови коректної розв’язності оберненої гіперболічної задачі Стефана в криволінійному чотирикутнику з інтегральною умовою перевизначення.

Основні результати дисертації опубліковано у працях:

1. Берегова Г.І. Гіперболічна задача Стефана з нелокальними граничними умовами // Вісник Львів, ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1996. - Вип. 45. - С. 104-112.

2. Берегова Г.І. Обернена гіперболічна задача для рівняння другого порядку // Вісник Львів, ун-ту.< Сер. мех.-мат. - 1997. - Вііп. 48. - С. 50-59.

3. Берегова Г.І. Обернена гіперболічна задача Стефана // Математичні студіі. -1998.-Т. 10, № 1.-С.41 -53.

4. Берегова Г.І., Кирилич В.М. Гіперболічна обернена задача в криволінійному секторі // Вісник Львів, ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1994. - Вип. 40. - С. 9-12.

5. Берегова Г.І., Кирилич В.М. Гіперболічна задача Стефана в криволінійному секторі // Укр. мат. журнал. - 1997. - Т. 49, № 12. - С. 1684-1689.

6. Берегова Г.І., Кирилич В.М. Про один варіант гіперболічної задачі Стефана в криволінійному секторі // Вісник Львів, ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1998. - Вип. 51. -С. 99-107.

7. Берегова Г.І. Гіперболічна задача Стефана з нелокальними граничними умовами // Тези доповідей Всеукраїнської наук. конф. "Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування". - Чернівці. - 1996. - С. 14.

3. Берегова Г.І. Оберне на задача для гіперболічного рівняння другого порядку // Тези доповідей Всеукр. наук. конф. "Нові підходи до розв’язання диференціальних рівнянь". - Дрогобич. - 1997. - С. 14.

). Берегова Г.І. Узагальнена гіперболічна задача Стефана в криволінійному секторі // Тези доповідей Міжнарод. наук. конф. "Сучасні проблеми математики". - Чернівці. - 1998. - С. 25-28.

[O.Beregova G., Kyrylych V. Inverse hyperbolic Stefan problems // Proc. International Conf. on Nonlinear Partial Differential Equations. - Kiev. - 1997. - P. 20.

.1.Берегова Г.И., Кирилич В.М. Пример одной обратной гиперболической задачи Стефана // Тезисы докл. конф. "Обратные и некорректно поставленные задачи". - Москва. - 1998. - С. 14.

Берегова Г.І. Задачі з невідомими границями для гіперболічних рівнянь та систем з двома незалежними змінними. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Львівський державний університет імені Івана Франка, Львів, 1998.

У дисертаційній роботі доведено теореми існування та єдиності розв’язків задач з невідомими границями для строго гіперболічної системи рівнянь довільного порядку на прямій з нелокальними граничними умовами та для напівлінійної системи рівнянь першого порядку у випадку виродження лінії задания початкових умов у точку. Досліджено коректну розв’язність обернених гіперболічних задач у прямокутнику та оберненої гіперболічної задачі Стефана у криволінійному чотирикутнику з інтегральною умовою перевизначення.

Ключові слова: гіперболічна система рівнянь, задача з невідомими границями, обернена гіперболічна задача, нелокальні граничні умови.

Берегова Г.И. Задачи с неизвестными границами для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные

уравнения. - Львовский государственный университет имени Ивана Франко, Львов, 1998.

В диссертационной работе доказано теоремы существования и

единственности решений задач с неизвестными границами для строго гиперболической системы уравнений произвольного порядка на прямой с нелокальными граничными условиями и для полулинейной системы уравнений первого порядка в случае вырождения линии задания начальных условий в точку. Исследовано корректную разрешимость обратных гиперболических задач в прямоугольнике и обратной гиперболической задачи Стефана в

криволинейном четырехугольнике с интегральным условием переопределения.

Ключевые слова: гиперболическая система уравнений, задача с

неизвестными границами, обратная гиперболическая задача, нелокальные граничные условия.

Beregova G.I. The problems with unknown boundaries for hyperbolic equations and systems with two independent variables. — Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Phisics and Mathematics degree on the speciality 01.01.02 — Differential Equations. Ivan Franko State University in Lviv. Lviv, 1998.

Theorems of the existence and uniqueness of the solutions of the problems with unknown boundaries for a strictly hyperbolic system of any order equations on the line with unlocal boundary conditions and for a semilinear system of first order equations in the case where line ,of determination of initial conditions degenerates into a point are proved in the work. Correct solvability of inverse hyperbolic problems in a rectangle and inverse hyperbolic Stefan problem in curvilinear quadrangle with integral conditions of overdetermination are investigated.

Key words: hyperbolic system equations, problem with unknown boundaries, inverse hyperbolic problem, unlocal boundary conditions.