Задачи с нелокальными краевыми условиями для параболических уравнений и систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Г Б ОД

•; > г ЛЪВ1ВСШИ ДЕРЖА Bf {ИИ УКГВЕРСИТЕГ 1м. Гв .ФРАНКА

На правах рукопису

ЗАДОРОКНА НАТАЛИ МИКОЛА1ВНА

ЗАДАЧ1 3 НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЙОВШМ УЫОВАЫЙ ДЛЯ ПАРАЕОЛГШКХ РГВНЯНЬ I СЯСТШ

0l.0t.02.— диференц1алън1 р1вняння

АВТ0РЕ8ЕРАТ

дисертацИ на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зяко-математичашс наук

ЛЬВХВ - Í985

Дасвр?ац1я 8 рукояисой.

Робота ваконана в 1нститут1 прикладпих проблем механХки 1 цатематаки 1м.Я.С.П1дстригача HAH УкраТни

НвуховвА хер1вянк— доктор ф1зико-математичних наук.

профасор ПГШШ Б.М. Оф1д1£а1 спояента: доктор ф1зико-магеыагичких наук, Ерофэсор ЕВШШЕ! С.Д. (Черн1вецький дэраавннй ун1варситет), кандидат ф1згко-математичних наук, доцент БОКАЛО U.M. (Льэ1всышй даргавяяй уы1вэрситет). Пров1двэ орган1зьц1я~ 1пститут математики HAH УкраХви, ы.Ки!в.

<l£ -/л

Загаст в1дбудетъся *..."..........1995 р. о .....год. на зас1дан-

н1 спвц1ап1зовано1 вчево! Ради Д 04.04.01 при Льв1вському державному ун1верснтет1 1мЛб.Франка (290001, ы.Льв1в, вул.Ун1верситетська, 1).

3 дасертац1ею мохна озвайоштися в науковШ бШ1отец1 Льв1всько-го дерз5ун1в8рситету (м.Льв!в, вул.Драгомааова, Б)

Автореферат роз1елано 9.9......1995 р.

Бчекай секретар спгц1м1зовапо1 рада

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОГИ

Актуальн!сть теми. В останн1 десятил1ття значна увага надаеться дос-л1дкенням нелокальних крайових задач для диференц1альних р1вкянь 1з частшпшми пох1даими га диференц1альяо-олераторних р1внянь. Це обновлено оагагьма причинами: потребами загальяо! теорИ крайових задач; теор1ею ф!зики плазми 1 твердого т1ла; провесами теплопров!даост!, ко-ливань, ф1льтрац11, дифуз11 у фрактальшсс (сильно пористих) середови-щах тсщо.-

Терм1н "нелокальн! умош" вперше зустр1чаемо в робот! О.О.ДезЛна; загалъне означения та класиф1хац1я нелокальних крайових задач Сули дан! А.М.НахушеЕта. В роботах О.О.Дез1на, А.Х.Мам'яна, В.К.Романка було показано, що в багатьох випадках для опису вс1х коректних 'задач для даференц!ального р1вляння з частинними пох1дяимп, поряд э локальними умовами, треба використовуватя нелокальн1 краЯов! умови.

Задэч1 з нелокальними умовами для ел!птичних, парабол1чних та да-ферентально-операторних р1внянь у р1зних аспектах вивчалися в роботах Я.О.Баранецького, А.А.Березовського, А.В.Б1цадзе ! О.А.Самарського, М.М.Бокзло, В.М.Борок, П.Н.Вабищевича, С.Д.Ейдельмана, В.О.КОядратьз-ьа, лл.Корбут, В.П.Лавренчука, Г.П.Лопушансько!, В.Г.Мазь! 1 Б.А.Пла-меневського, А.А.Макарова, МЛ.Мат1йчука, Г.В.Савченко, А.Л.Скуба-чевського, Л.В.Фард1голя, М.Х.Шханухова, Ы.М.Шхаяуково!, М.Й.Юрчукз 1 ВЛ.Чесал1на, С.Я.Якубова.- В цих роботах, в основному, вид1лен1 регулярна випадки розглядуваних задач. Проте задач1 з нелокальными умовами для загальних (в т1м числ! парабол1чних) даференц1алышх оператор1в 1э частинними лох!днями е, взагал!, яехоректними, а питания про 1х розв'язн1сть у багатьох випадках пов'язане з проблемою малих анаменник!в, для розв'язання яко! природа!!« е метричний п!дх!д.

В роботах 1.0.Бобика, В.С.1льк!ва, ЛЛ.КомарницькоГ, В.М.Пол1дук, Б.И.Пташника досл1джувались задач! з нелокальними умовамн сдо узагаль-нюють умови пер1одичност!) за вид1леиою зм1ннов t для л!н1Яних Пггер-бол1чшк 1 безишних (як! не охошшють парабол!чних) рШшяь та систем р1внянь дов!льного порядку в нерегулярних випадках, коля при псбудов1 розв'язку задач! виникають мал! знаыённики. Для оц1нок знизу малхх значеняш^в тут було використано результата ! метода, мгтричяо! теорП чисел, розроблек1 В.Г.Спривдауком та його учнями, а тахои метрэтн! те-ореми, отркмая1 у сум1сних роботах ВЛ.Берника та Б.й.Лтазшика, ко стосувалися локальних (двоточкових 1 багатоточкових) задач для

решЦальяих р1внянь 1з частинними пох1дшми.

Дана дисертац1я, яка продовжуе вказаний виде напрямок досл!даенъ, прясвячвна вивченню нелокальних крайових задач для л!н1йних. парабол1ч-них р1внянь (з1 сталими та зм1нними коеф1ц1ентами) 1 систем р1внянь дов1лыюго порядку. Досл!даен! нерегулярн1 випадки цих задач 1 проведений метричний анал!з оц1нок знизу малих знаменник1в, як1 виникають при побудов1 розв'язк1в розглядуваних задач.

Мета робота. Досл1даення корекиюст! та побудова розв'язк1в крайових задач з нелокальнши умовами за часовою зм!нною та повними умовами за просторовими координатами для парабол1чних р1внянь 1 систем довольного порядку та для деяких клас1в парабол1чних псевдодаференц1альних р1в-нянь. Доведения метричшп теорем про оц1нки знизу малих знаменник!в, з яких випливае Юнувшшя класичного розв'язку для майжо вс!х (в1даосно м1ри Лебега) коеф1ц1ент!в задач!. Всгавовлення умов ет1йкост1 задач! та побудова набликаного розв'язку методом регуляризацП за А.М.Тихоновны.

Методика досл!джевь. В дасертац1йн!й робот! використовуються метода загально! теорИ даференЩальних р1внянь 1з частинними тох!дтши, тео-р11 псевдодиск ренц1альких оператор!в, функц1онального анал1зу, теор11 ряд1в Фур'е 1 метрично? теорИ чисел.

Наукопа новизна. Встаяовлен1 теореми 1снувакня та единост1 класичних _ розв'язк1в розглядуваних задач, як1 формулювться в 61льшост1 випадк1в у теоретако-числових терм1лах. Вивчеп! питания про мохливЮть продов-*ення розв'язку нелокально! крайово! задач! для парабол1чного р1вняння дов!лызого порядку з1 сталими коеф1ц1ентами за меж! облает! в напрямку часово! координата та питания про ст!йк1сть 1 регуляризац!» ц1е1 зада-ч1. Досл1джона коректна розв'язШсть нелокальних крайових задач для парабол1чних р!вняяь, що ы!стяь псевдодаференц!альн1 оюратори, зок-рйма оператора дробового даферешЦювашш. Доведен! нов1 метричя! тео-рома про оЩнки з!шзу малих знаменник!в, з яких випливае виконання д^статн1х умов розв'язност1 задач для майке вс!х (в!дносно м1ри Лебега) вактор1в, складских 1з коеф!ц1ент1в р!внянь 1 коефЩ1ент1в крайо-углзв. Побудован1 явн1 форадли для розв'язк1в розглядуваних. задач у ряд1в за системами ортогональних функц1й. 7глроткчяя 1 ррякичнз зпачюЛсть. Робота носить теоретичний характер. *Т ^гультати е пешим вяаском у теор!ю граяичних задач для парабол!1!-р1г.нлль. Лозудован! формула для розБ'язк!в задач мозгуть бути вико-

ристан1 при доел 1даелл1 конкретних задач природознавегаа. Апг-обаЩя робота. Результата дисертацИ допов1далися на зас1даннях Льв1всь'кого м1ського сем1нару з даференц1алышх р1внянь (1992р., 1994 р., 1395р.); сем1нар1 молода вчених 1нституту прикладних проблем кэ-хая1ки 1 математики 1м.Я.С.П1дстригача HAH УкраХни, присвяченого пам'ят1 академ!ка Я.СЛИдсгригача (Льв1в, 1994 р.); сум1спому сам1нар1 Черн1вецького в1дд1лу 1нституту прикладних проблем мэхан1ки i математики 1м.Я.С.П1дстригача HAH Укра&ш та кафедри математичвого моделв-вання Черн1вецького державного ун1верситегу 1м.Ю.Федьковича (Черн1вц1, 1995 р.); Всеукра!нськ1й науков1й конференцП "Нов1 п1дходи до розв'язання даференЩальних р1внянь" (Дрогобич, 1994 р.); наукоа1Я конференцП "Нел1н1йн1 крайов1 задач1 матемэтачно! ф1знки i 1х засто-сування" (Терноп1ль, 1994 р.); М1кнародн1й математичн1й конфзреяцП, присвячен!5 пам'ят! Ганса Гана (Черн1вц1, 1994 р.).

Публ1кац1У. Матер1али дисертацИ опубл1ковано в роботах [1-9). Структура та обсяг робота. Днсартащя складазться з1 вступу, 8 параг-раф1в, об'еднаних у 3 розд1ли,та списку л1тератури, що включав 92 найменувань. Загальний обсяг робота Н2. стор1яок.

КОРОТКИЙ SMICT ГОБОТМ

У вступ! подано короткий огляд л1тератури по тем1 дисертацИ, сформульован1 основн! результата робота; наведено деяк1 в1домост1 теоретико-числового характеру, що використовуються в робот!, а також наступи! познатення:

х= (х,,... ,хр К®р; (t,х)=С t,х,,...,хр)6Rpt 1; k= <k(.... ,kp kzp; а=(а,.. ,ар)егР; |а|=а,+...+ар; s=(s,,... ,spk2p; |з|=з,+.. ,+sp; §={s0,sSp)^'1; (¡c.xi^^j+.-.+kpXp; fik8=(k,k)'/3; |k| = |k, | + ... + |kp|, (J)(s,k)=lls!k^,...l{^p; П— р-вим1ршй тор, отрима-нкй шляхем ототожнення проталежннх граней куба Схе»р: Оферте, г-Г7р>;

D=tO,T]xn; KT={(t,T)| 0$t.1CT>;

C(ri,Q> (D)— банах1в npocTlp функцШ u(t,z) з нормою

aislu(t,x)

0u(t,x)!| = £ max

..... "" '

atSqqx.% ...dxl,

» P

crc.a)(Dx <t,x>eD

прост1р ФУНКЦ1Я cp(x)= 2 (p^expdk.x) з нормой | kjjO

A< '3>0,f^0)-

- Б

|Ф|6>р=^^|с(^|ехр(з|к|Р); Сп<СО,Т],а|)- прост1р функЩЛ т(г.х)

таких, що для кожного ШО.ТЗ , 3=07п, 1 неперервна по I в

норм1 ¿Р; Я— мнокина вс1х тригонометричних пол1лом1в

РСх,- ск(Р)ехр(1к,1), хе®р, 3€2+, с^ОЧес, Ж'— прост1р ус!х

л1н1йних неперервних функц1онал1в над 3 (який сп!впадае з простором формальних тригонометричних ряд1в); СП([0,Т),2) (Са(Ю,Т1,Ж')— клас

функц1й таких, що для кожного а^у/а^е З(З'), ,НТ7п;

Б— прост!р Шварца швидко спадних функц1й; Б®— простори типу Б; Ф—

т

мнохина вс1х функцЗЯ вигляду ф(х)= 2 с^(ф)!^, тем, ск(ф)ес, хе«, де

(х) — функц11 Еры1та, ях1 утворюють ортонормовану базу в к, (К); Ф' — прост1р ус 1х л!н1йних неперервних функд!онал1в над Ф, який сп!впадае

з простором формальних ряд1в вигляду 2 с. к (х); фР (в>0,р>0)— просто в К - **

т1р функц1й срСх3 Н0РМ0И В<Р1фр =кЕо 1ехр(з(2к+1

У пера1й глав1 дисертацП досл1джуюгься задач! з нелокальними уморами за часовою координатою та умовами иер1одичност1 за просторови-мп зм1няими для л1н1йних ларабол1чних р1ваянь дов1льного порядку з1 сталей та зм1нними коеф1ц1ентгш. У випадку сталих коеф1ц1ент1в вив-чаються ,такок питания про могшш1сть продонявння розв'язку за мек1 облает! в напрямку часово! координата та питания про ст1йк1сть 1 регуля-риззц1с задач1.

У % 1.1 в област1 Б розглядаеться задача

в |г |

м<3\. (|/и ♦ 2 а (§т;> ° ! и . ■ т.х). (1)

0 дх(\..ах*>

80<П Р

К а 8 Ц Г о*0- ц а*0 ц» 1=

0 дХ 0 к=0 дХ 0 к=т

Б0<П 1 Р

-<РГ(Х), г=Т7п, (2)

с*---; ^ (с, т<с\{0); q,Iti9^. ч>п; оператор 1- парабол1чиий ~ о *

за Г.е.Шиловим.

Розв'язок задач1 шукаетъся у вигляд1 ряду

и<1;,х)=^ и^ШехрС^.х).' (3)

Спочагку припускаеться, що вс! Я-корен1 р!вняшя

Ь(Х,1к)=0 (4)

е прост1; 1х позначено через ^^(к), Л=ТТп.

Нехай Б(к)^ае1П Г, Ь^ а ф(в.к)1» = Я 1|г| Вгк|

Теореыа 1.1.1. Для едияост1 розв'язку задач1 (1),(2) в простор! С(п,ч>(Б) нвобх1дно 1 досить, щоб р1вняння

1-ц ехр(Х8(к)Т)=0, з=Т7п; В(к)=0

не мали розв'язк1в у ц1лих числах к,,...,кр.

При виконанн1 умов теореми 1.1.1 в1рним е таке твордаення. Теорема 1.1.2. Нехай Хснуюгь додатн1 стал1 б2, Сэ> С4так1, що

для вс1х вектор1в к€2р, (к^К^, виконуються нер1вност1

П -8, -в,

П (^(к) - ха(к)| 5Сэ|к| \ 1=ТТп; |В(к)|?с4|к| г. (5) ак

ЯКЩО <^(Х)€СТ(П). 7>д(Зп-1 )+р+з>+зг, т=ттй; Х(г,х)ес(ГО,Т1 , з>жт,

то в простор1 С1п,ч>(Щ 1снуе розв'язок задач1 (1),(2), який непорерв-нозалеяить в1д функц!й Ш,х) 1 <рга(х), ш=Т7п.

При доведенн1 теореми використовуються оц1нзси | ^ (к) |.<зе|к|^. х>0, к€2р\{0), 3=Т7п, як! вшшшають 1з структури р1вняння (4).

Зауваження 1.1.2. Якщо срп(г)еА^ , з>эЯ?, ш=ГГп, то при виконагсг!

вс1х 1нших умов теореми 1.1.2» розв'язок задач!. Я), (2) налеклть до

простору СП(10,Т],А|), 0<е<з-геТ.

Для досл1даення нер1вностей (5) використовуеться метрлчкгй

Х1Д. Нехай р® .....р^Ъ, .,^а)-векгори. скла-

де«! в1дпов1дно з д1йсних 1 уявних частнн кое$1ц1ент1в Вг ,,-л ;-.--■ к1льк1сть ц1лочислових розв'язк1в нер1вност1 |г| щп; у=(у(,... •

вектор, складенай з кое-ф1д1ент1в р1вкяння (1), да тлж --ли. у:,--- 7 -

Ф1ц1ент1в. Доведено, до для вс!х (крХм ск!нченного числа) вектор1в к.«2р нер1вкост1 (5) виконуються, в1дпов1дно, при а,>(п-1)(рн}(п-3))/г

1 а2>р для майже вс!х (в!дносно м1ри Лебега) вектор1в у 1 для майже вс1х (в1даосио м1ри Лебега) ватор1в р(В та дов1льних р® (або для май!;® вс1х р® 1 дов!льних ри'■) (теорема 1.1.3 I 1.1.4).

В пункт! 1.1.3 результата них досл1даень перенесен! на випадок кратних корен1в р!вняння (4). При цьому значно ускладшшзсъ анал!тичн1 викладки 1 виникли нов1 мал1 знаменншш складн1шо1 структур«.

Питания про М02цщв1стъ продовження розв'язку и(1,х) задач1 (1), (2) з област1 Б в область БгС={-т:1 г,>0. г2>Т, досл1дкуеться

в § 1.2. Знайдено формула да функц!й ГрЛна а, (I, И, крайових

задач

Ь(й/(1г,1к)и5[(1)=0, М^Ш^сг)^, г=Т7п, -л^Ш.,,

у квадрат1 ЗЫ-т^г.ЕС^}. На н!дстав1 цих формул встадавлен! оцшки

(В1ДНОСНО к) коеф1ц!внт1в Фур'е ^(I) та 1х пох1дних до порядку п шу-кшюго розв'язку, з язшх вшишвае така теорема.

Таорема 1.2,1. Нехай виконуються нер1вност1 (5) для вс!х вектор!в

кегр, |И|>3^, 1 нехай <рг (х)ес'7(0), )+р+з,+эг, г=Т7п,

I(^хкСа-т, ,хг], А£), з>ж 1лах{г) лг). Тод1 в простор1

1снуе едшшй розв'язок и((;,х) задач1 (1),(2) (розглядувано! в облает!

), якиё неперервно залежигь в1д функц1Я 1(Х,х), <рг(х), г=ТТп, 1 в област1 В сп!впадае з иЦ',!]. У § 1.3 за додатково! умови

+...+ (^-)г)сЬс<Е, Е>0, (б)

досл1дкуеться ст1йк1сть крайово! задач1 з нелокальними умовами {?.) для однор1даого р1вняння

М^. иа,х)=0 (11)

та оудуеться 11 на<3ликений розв'язок методом регуляризацП за А.М.Ти-

ХСНОРЛ'Л!.

Означеккя. Задача (1'),(2),(6) називаеться стМкою, якщо для до-Н1ЛЬШ1Х двох розв'язк1в и( .и^С1"'4' (Б) р!вняння (1*), як1 задо-ь.^.ьнллть (6) 1 умови

¡М^з/лоиа.х) - <ргицг (П)<С5, |т-Т|«*0, г=1"Тп, с>0,

маемо

VE, V<p (х)€Ь_(П), г=Т7п, lim max |u,-uj =0 . r ß-0 1 ^ \(П)

Встановлено умови сг1Якост1 задач1 (1').(2),(6) (теорема 1.3.1),

як! мають вигляд:

А(к,Т)з П (i-jx ехр(А. (к)Г)) ВСЮ П (V,<k)-\. (к))^си ке2р. (7)

8 3 1

Доводиться, що, при виконанн1 умов (7), с1м'я оператор1в

BjjrLg (Q)-l2(D), залеишх в1д Щлочислового параметра Н 1 Еизначених за

правилом

и А (к,Т)

В"Ф(?'«ili« А-Д* е*р«1к-х>+ч<™>'

до 9=со1((р, Ar : (к,Т) — алгебра!чне доповнення элемента ар1 =

« £ ф(з,к)^°Ьд gdiiexp^Ck)!)) у визначнику A(k,T)=detljarl^ 80<п

е регуляризуючою с1м'ею опэратор1в для задач1 (1').(2).(б) (теорема 1.3.2). Наближений розв'язок ц1е! задач1 зображуеться формулою

n ~ А„ , (к,г) %л(г,х)= Е Е Фгк -stbrr exp((lk.x)+A1№)t),

де Фгк— коеф1ц1ент Фур'е функц11 срг(х) такс!, що ¡¡^r(x)-<pr(х)[| £

Ьг(П)

<Сб, а параметр N узгодзгуеться з оц1якою похибки б.

Знайдено оц1нку в1дхилення наближеного розв'язку uN т(t,х) задлч!

(1'),(2),(б) в1д II точного розв'язку u(t,x).

Теорема 1.3.3. Нехай справдхуються умови (б),(7) 1 для вс1х (кр!м ск1нченного числа) вектор1в к€2р виконувться нэр1ЕНост! (5). Тод! правильна оц1нка

|u(t,x> -Uj, ,(t,x)|f + С Г s S i

-я,-с L2<D) (N+t ) 4SklOi

l^rk»

|k|<H

x и-ехр^В)!^ бгшхт i )■

У § 1.4 для однор1дного р1вияння (1 •) досл1дауеться ззл-r-h загальшши нелокальними умоваш вигляду

в^а/аг.з/ахнкг.х)! - вЧэ/аг.д/ахжг.х)! =<р(х),

«г=о и=т

ч . н вп А

ДО

Б3(3/д1,а/3х>=у Ь^ Ад/дХ) 0-х-; Ь^ =со!(ь! ..

4тт<„ V® ^'р О* о1

р

8„<Л

Т^Т^Ч л,'...л.

о

3=0,«; <р(х)=соЦ<рхт.....ФП(Х)).

Розв'язн1сть задач1 встановлена для вужчих, н1ж в § 1.1, клас1в вектор-функцЩ (р(х). Для еданост! розв'язку задач1 (1'),(8) у простор1

с1п,<1> (Ъ) необх1дно 1 досоть, щоб виконувалася умова л(к)/0, к(;2р

П ( °

(теорема 1.4.1), де Д(к)гйегВВ°(ХИ1,11с)-ехр(\вТ) В (Ха,!к)Дт=1 у випад-

ку простих Х-корен1в р1вняяня (4), якщо х ц1 корен! мають кратност1 а(к>

п_(к) ( £ и (Ю=П), то

V

Мк)£|(В°)иР>(Х ,1к)-ехра Т) ^^(В1)^' (Я 1к)8р=ТТЙТ1П- ,

" г г=0 р '

де (В-5)'0" (А. ,1к)=0-%Ж1 , 3=0,1; число комб!нац1й з п р фО. |Д.=лр п

еломенИв по т.

Припускаеться, що вс1 корен! р1вняння (4) е прост1 ! мае м!сце един1сть розв'язку задач1 (1'),(8). Тод1 в1рне твердаення.

Творена 1.4.2. Вехай 1снуютъ додатн1 стал1 так1, що

для кохного вектора к€2р, |к| >К(, виконуеться нер1вн!сть

-8 . п

|Л(к)|>С |к| 1 ехр(Т £ БеА. (к)). (9)

ш= 1

Якцо <Р(5(х)€А^, з>айп, т=ТТп, то в простор! С(Ги<1)(В) 1снуе розв'язок задач! (1'), (8), який неперервно залекить в1д <р(х).

Доведено, цо для майжа вс!х (в!дносно м1ри Лебега) вектор!в у-(у,.....У^) 1 Ь=(Ь1,...,Ьп), де Ь^еЬ^^д.....0 . 1=Т7п, нер!в-

Шсть (9) виконуеться при з^МЗр^+Ц-рН/г для вс1х (кр1м ск1нчен-

н.->го числа) вектор1в к?гр (теорема 1.4.3).

Под!Ряэ формулиоться умови 1 сну ваш« розв'язку задач1 О'), (8) у ыгладху кратких корен1в р1вняння (4) (теорема 1.4.4).

У % 1.5 рогглядаеться нелокальна крайова задача для параОо-

л1чних за Т.Г.Петровським р1внянь з1 зм1нними за х коефЩ1ентами в па-ралелеп1пед1 0=1 (х,г): оа<Т; х«П>, де 1Ыхекр: О«^«?*, г=Т7р>:

,-. ап а, а

ЩЗАП,!,,.....Ьр)и=) \,(х[д/дХ)

Ьа0+¡а|=Ьп

х ии,х)=т,х), (10)

г-• 3 а, Г сь, оь!

мла/а^ь......Ь)иг> .ь,!..ьр а^и/з^ -

•) 1 р с-, а0'а 1 р

Ьа0+|а1§ Ъп а0< п

- у а^и/э^ |=ш,<х), з=Т7й, (11)

А| =0, г=Т7р, т=07БтР1, (12)

1 |Х =0 г (X —ТС 1 г 1 г

де ьг3-3/3хг(аг(хг)а/ахг)+чг{хг); а^)€СгЬа"1Ю,х).

Ч (х)«(г1>а"';[0,'71;] ~д1Яснозначн1 фугшцг ; а гх_)>0, яИ(х_)>0, г=Т7р;

Г г ^ • Г Г Г Г

ла а^1 Ап,<о)='5 ^ аеС* опеРатоР <я~ р1вном1рно

?.Ь~ параСол1чшй за 1.Г.Петровським в област1 Q.

![ехай (Х^ (х^)) та Л={Як ), , — нормована система власних г г

Функц1й та множила власиих значень, в1дпов!дно, задач1

ЬгХ(хг)=Х Х(2г,), Х(0)=Х(1С)=0, (13)

,3=Т7й,— корен1 р1вняння Щц.Х^,. )=0 (для них винями е оц1нки: |Ц.)(\) 3=1,п; ).

*«а„-т |а[«и 0 1 р ^

При умовах, накладених на хоеф!ц1енти оператора Ър, власп1 значения задач1 (13) задовольяяють оц1нки

Со^О^ , К^ш, 00>0, С,>0.

Г

Розв'язон задач! (10)-(12) шукаеться у витляд1 ряду

ии,х)= 2 ик<г> (х,)..^ (х ). (14)

1 Р

Теорема 1.5.1. Для еданост! розв'язку задач! (10)-(12) у

И Г " ° с » II ° ' "гЛ

простор1 с(а*аж>(0) необхЩга 1 досить, щоб для вс!х вектор1в .....^ )€Л виконувалися уюш

1-у ехр^О^ШтЮ , в=ТТп; Щ^О. (15)

Явдо в р1внянн1 (10) яг(хг)5Ю 1 число нуль е власним значениям задач! (13) для косного г, г=ТТр, то для единост! розв'язху задач! (10)-(12) необх1дно 1 досить, щоб для вс1х \кеА\((0)У виконувались умови (15) та умова

| ¿0.

- - . ¡¡б.зи

Для досл!даэхшя розв'язяост! задач1 введено наступи! функц!ональ-н! просторы:

Р Г

Вв=Ь(х)еЦ,(Е)| Ф(Х)« 2 ФА (2,)...^ (х ); I ке(НР « Р

1<Р1 =Е |%.|ехр(ал|)<а }, в>0,р>0. ;

Б.р к€Ир > I -р

Сп([О.Т1, прост1р <й®кц!й у(1;,х) таких, що для кокного ию.Т)

»

а-'у/а^еВ^, 3=07п, ! неперэрвна по 1 в норм! В^.

Розв'язн1сть задач! (10)-(12), як 1 попередн1х задач, пов'язана з проблемами малкх знаменянк!в,

Встановлено 1снування розв'язку и(г,х)€С1п*гЬп(о) розглядувано! задач!, якщо для вс1х (кр1н ск1нчвшого числа) вектор1в Х^еЛ в!рн1 не-р1вност!

ан

1 Х(1,х)сС([0,51],В^), в^рС/сР]^, а функцИ ^(хкСШ) ^>Ъ(пг+ +7п-4)+р+2(8,+в2)), 3=ТТп, задовольняють умови (х)|х =о=

(зс)1г=Т7р: 8=07Щ72Т; 3=ТТ5 (теорема 1.5.2, 1.5.5).

Доведено, щр для вс1х (кр!м ск1нченного числа) Х^сЛ оц!нки (16) виконуються при а,>(п-1)(р/4-Ь), зг>р/2 доя майке вс1х (в1дносно м1ри Лебега) вектор1в, складених 1з коеф1д!ент1в ^.а 1 ^.а <теоР8ЫЙ

1.5.3, 1.5.4).,

- -

У друг1й глав1 розглядаеться нелокальна крайова задача для систем парбол1чнюс за Г.е.Щиловим р1внянь дов1льного порядку з1 сталими кое-ф1ц!ентама а

г,ла/дх,д/дх)м = {в/аи ^и. + <а/згР<э/<9х)и=о, 3=Пга. от)

-ц (д/эъ) °иа| = ьТлу 3=Т7п, ПЗ"

де (X, ?)- пол!ном з д1йсними коеф1ц!еятамн, степ!яь яхого за сукупн1стю зм!нних Ер не вкще q, а за зм1нною не вище

Вкладок система -р1вяяяь значяо ускладнив анал1гичн! поОудови та лрив!в до нових мали знаменнин!в.

Встановлен1 умови 1снуваяня та единост! класичного розв'язку задач! (17),(18) (теореми 2.1.1, 2.1.2, 2.1.6); проведений метричний анал1з оц1нок знизу малих знаменник1вр лк! винихли при побудов1 розв'язку Ц1в1 задач1 (теореот. 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5).

Третя глава присвячена досл1джешю нелокальних крайових задач для парабол1чних р1внянь, що м1стять за просторовими зм1нними оператор« дробового диференЩювання в просторах узагальнених пер1одичних функц1й та дов!льн! псевдодиференц1альн1 оператори з неперервними символами. У § 3.1 в облает! Б розглядаеться задача

Ь(|г-.Аа)и(г,х)^и(1;,х)+£Е1 Е а1гД- (Ап)ги(г,х)=Г(1,х). (19)

ох а аг11 3=0 г=о -^а^ а

п-1

Е Е^, (А )гГЦи1 и=тТп. <201

= о г=о г3 а Ц}^ »ио <51^ т

0* „1 .. а1

3-

де аЛг, аек (а>0); Ц^СЧСО), Ь^с; qа>n; Аа=Аа|^р—звужен-

8

ня оператора Аа на прост!р А^ , а Аа:2'-»Ж' (а>0)— оператор дробового

диференц1ювання, що д1е за правилом: АаИх)= ^^|К||аГкехр(!к,х).

Оператор Ь названо парабол1чним псевдодиференц1альним, якщо \-ко-рен! р!вняння Ь(\, ¡¡Т|1|а)=0 для дов1льного задоволъняють умову

шах йе Х1(|тЦ)$-С,8т)|ь+С,1 С.>0, С_>0, *1>0. 3 «»'»г I г

Заувакено, що (^(ИКвН^к^0, 3=ТТп, ае>0.

Розв'язок задач! (19),(20) щукаетъся у вигляд1 ряду (3). Теореюа 3,1.1. Для едшост! розв'язку задач1 (19), (20) у клас! (Я(Ш,Т) ,3') необх1дно 1 досить, щоо для кожного ке2р виконувалися умови

1-ц ехр(Я.е(|к|)Т)^0, б=ТТп; /о.

Доведено, цо при виконанн1 умов теореми 3.1.1, задача (19),(20) завзди мае розв'язок у класах (Яао.тз.з:) (СПССО.Т].Ж')), якщо

1(г,х)?0(ГО,Т)Д) (СПОЛЧ.Х')), Фп(х)еж ($'), ш=ТТп (теорема 3.1.2).

Для промЗжних клас1в, зокрема для простору Сп([0,Т1,аР), роз-в'язи1сть задач1 пов'язана з проблемами малих знаменник1в.

Теореиа 3.1.3. Нехай 1снувть додатн1 стал1 С3.з,, в2 так1, що для вс1х )сегр, |к5>кг, виконуються нер1вюст1

Якщо Х(г,х)еС(10,Т1.А^а)» в>ай\ срш«)€А£а, «>в~зеТ, т=Т7п, то в простор! С^аО.ТМ!®), 0<е<9-х$, 1снув розв'язок задач1 (19), (20), якиЯ

неперервно залетать в1д фунюЦй í(t,J) 1 суя, го=ТТп.

. Доведено, що нер1вност1 (21) виконуються для вс1х (кр1м скаченного числа) вектор1в кб2р при з,>(п-1 )(рк}а(п-3))/2, вг>р для майке

вс1х (в1даосно м1ра Лебега) вектор1в» складених !з коеф1ц1ент!в аЛг 1 ЬР, (теорема ЗД.4, З-г.5).

У § 3.2 розвйв&ыгься методика попереднього параграфа на випадок нелокально! задач!» коли оператор Аа зам!кено загальшш псевдодифзрен-

ц1альним операторов а неперервним символом, а тор П— простором к. У смуз1 ®={(г,х): ШО,Т1, х«к> вивчаеться задача

Ш/эилмг.хжэлпЛт.хк1^ 2 &л(д/д1)* дги(1,х)=г(г,х), (22)

л-о г»о аг

£ ъ*лтцд/дХ)ли\±_а - ц (а/аг)ли|ьт)=фт(х), (23)

Г-0 Г3 «.-и

де a^R; b^ec; q.n<«. q>n; A=AJ^- звухення оператора А на

npocrlp фР , а А:Ф'-»Ф' — оператор, побудоваяий за неперврвяою функц!ею (символом) G(x):r-10,440), що задовольняе ушв1

7 7

3 7>0 :-.Do>0 3bj >0 ЗЬг>0: b0|J| §G(l)ib,|l| +ьг,

00

лкий д!е за таким правилом: Ат<х)= £ G(K) 7к1^(х).

Оператор L названо парабол1члим псевдодифереяц1альним,якщо л-кореп! р!вняния L(ä.,G(t)) )=0 для дов1льного т)ск+ задовольняють умову

¡пах Hex, (G(7i)K-C,<G(7i))h+C,; G.>0, С„>0, ЬО; Sa г \ г

Заувахено, що (G(K))|<je(G(K))q, 1=Т7п. зе>0, k«zt; G(kKvQ(2k+1)7. Розв'язок задач1 (22),(23) шукаеться у витляд1 ряду

u(t,x)= fj II (t) к (I).

К'О * *

Teopeua 3.2.1. Для единост1 розв'язку задач1 (22),(23) у клас! Сп((0.15,Ф' ) необх1дно 1 досить, щоб для дов1дьного k£Z+ виконувалися умови

i-ц expas(G(k)T))#0, s=TTn; B(C(k))=det| £ br, j-i

Показано, що при виконанн1 умов теореми 3.2.1, задача (22),(23)

завздл мае розв'язок у класах С0(ГО.t].ф) (Cn(C0,tJ,4>')), якщо (ро(х)еФ (Ф'), m=TTn, f(t,x)€C(tO,t),®) (C{tO. t3.4>*)) (теорема 3.2.2). Для про-м1яних простор1в встановлено наступне тверджеиня.

Теореыа 3.2.3. Нехай 1снують додатн1 стал1 С^.С^.з^ аг так1, що для ecix к«г+ ,k>k2, виконуються нер1вност1

П |\1(G(k))-Xp(G(k))|$C3(G(k))Sl. l=T7n; |B((3(k))|?C4(G(k.))S?. . (24)

Якщо r(t,x)€CüO,TJ,<!>24), з>ая^Т, Фв®еФ^4. e>e-aevgT, m=TTn, то в

простор1 Са([0,Т],ф|1), 0<£<з-ао>2т, 1снуе розв'язок задач1 (22),(23), який неперервно залезать в1д функц±й г(t,x) 1 <pa»t m=T7n.

Доведено, що оЩнки (24) виконуються для вс1х (кр!м ск1нченного числа) kcz+ при st>(n-1)(q(n-3)+1/"r)/2, эг>1/т для майже вс!х векто-р1в, складешх 1з коефЩ1ент1в задач1 (22),(23) (теореми 3.2.4, 3.2.5).

OchobhI резульгатн дксертацИ опубл1кован1 в роботах:

1. Задорохна Наталя. Крайова задача для парабол1чних р1внянь з1 загальними велокалышми умовами/У Нов! п1дходи до розв'язання ди$еренц1альша р1внянь (Дрогобич, 25-27 с!чня 1994р.): Тези доп.-К.: 1н-т математики АН Украйш, 1994.-С.55.

2. Задорожна Н.М., Мельник О.М., Пташник Б.Р5. Нелокальна крайова задача для парабол!чних р1вяянь//Укр.мат.журн.-1994.-46, N 12.-С.1621-1627.

3. Птазшик Б.И., Задорохна Н.М. Нелокальна крайова задача для парабо-л1чного р!вняння з! зм1ншши коефШенгами// Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб.науч.тр.-К.: Ин-т математики HAH Украины, 1994.-С.164-165.

4. Задорохша Наталя. Нелокальна крайова задача для парзбол1чних псев-додаференц1альних р1внянь// Ы1кнародна математична конференц1я, прнсвячена пш'ят1 Ганса Гана (Черн1вп1, 10-15 жовтня 1994р.) :Тези доп.-Чэрн1вц1: Рута, 1994.-С.52.

5. ЗадороЕна Н.Ы. Продовженвя розв'язку нелокально! крайово! задач1 для парабол1чних р!внянь з1 сталиш коеф1ц1енташ// 36.наук.доп. учасник1в сеы1нару, прйсвяченого пам'яЛ академ!ка ЯгС.Шдстригача. -ЛЬВ1Е, 1994.-С.41-45.

6. Задорскка Н.М. Нелокальна крайова задача для парабол1чних псевдоди-ференц!альних р1внянь//Ыатер1али м!хнародно! магематично! конферен-ц11, прпсвячено! пам*ят1 Ганса Гана.-Черн1вц1: Рута, 1995.-С.100--105.

1. Задороша Наталя. Нелокальна крайова задача для парабол1чних р1в-аянь sl зм1ншши коеф1ц1енташ// Третя М1кнародна наукова конферен-ц1я 1м.академ1ка М.Кравчука (Ки1в, травень 1994р.): Тези доп.-К.: 1н-т математики АН УкраЬш, 1994.-С.47.

8. Задорогна Н.Ы., Птаяшик Б.И. Нелокальна крайова задача для парабо-л1чш£ р!ваяЕЬ з1 змИшими коефЩ1ентами//Укр. мат. курн. -1995. -47, Н 7.-С.913-919.

9. Пташник Б., Задороша Н. Математичн! модел1, що описуються нело-кальниш задачами для парабол1чних р1вшшь//М1жнародаа наукова кон-ференц1я, присвячена 150-р1ччю в1д дня народаення видатного укра-2нського ф!зика 1 електротехн1ка 1вана Пулюя (Терноп1ль, 24-28 травня 1995р.): Тези доп.-Терноп1ль: Терноп1льський приладобуд1вш!й 1н-т 1м Л. Пулюя, 1995.-С.36.

- -

Задорожная Н.Н. Задачи с нелокальными краевыми условиями для параболических уравнений и систем. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02— дифференциальные уравнения, Львовский государственный университет им.Ив.Франко, Львов. 1995.

В диссертации исследованы краевые задачи с нелокальными условиями пс временной координате и некоторыми условиями по пространственным переменным для параболических уравнений и систем произвольного порядка !.с постоянными и переменными коэффициентами) и для некоторых классов параболических уравнений с псевдодайеренциальными операторами, в частности, с операторами дробного дифференцирования. Установлены условия существования и единственности решений задач. Рассмотрены вопросы о продолжении решения задачи за граница области в направлении временной координаты и об устойчивости и регуляризации задачи. Доказаны

никают при построении решений рассматриваемых задач в виде рядов по системе ортогональных функций.

Zadorozhna H.M. The nonlocal boundary value problems for parabolic equations and systems. Manuscript. Thesl3 for a degree of candidate of Science (Ph.D) In Physics and Mathematics, speciality 01.01.02.— Differential equations. L'vlv Ivan FranKo state university, L'vlv, 1995.

The problems with nonlocal time conditions and some conditions In space variables for parabolic equations and dysterns of arbitrary order (with ccmstant and variable coefficients) and for some classes of parabolic equations with pseudodlfferentlal operators, In particular with the operators of the fractional degree, are studied. 1л the dissertation. Conditions of existence and. uniqueness of the solutions of the problems are established. The questions of continuance of the solution of the problem beyond the domain measure In the time coordinate direction and about stability of this problem are considered. The metric theorems on lower bounds of small denominators, which appear In the construction of the solutions of considered problems In the form of series of orthogonal functions, are proved.

Ключов1 слова: нелокальн1сть, парабол1чн1сть, Mlpa Лебега, функц1я Гр1на, псевдодиференц1альн1 оператори, мал1 знаменники, д1офантов1 наОлиження.

метрические теоремы об оценках снизу малых знаменателей, которые воз