Задачи теории упругости для клиновидных областей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Саикт -Петербургский государствен п и Й унииерситет

на щнитх ]>;/коти: и

СУРОВЦОВА Ирина Львовна

V___/1\.

ЩлР

г ^ I' и

УДК 539.3

ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КЛИНОВИДНЫХ ОБЛАСТЕЙ

01.02.04 механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико математических паук

Сан кт Пе тербург 1997

('аГниа 11Ы1Ш.щепа на к;к|м,,Ч|«' теории упругости математик«» мг.чл-тги-скиго «[»аку. и.пча Санкт-Петербургского г<>«'ударетнениосо уии-мерги|ета.

Научный |>ук<»т>;пп<-.'11.:

• член кор|кчт1опдепт РАН, доктор «|)1г$. маг. паук, профессор Моро«)» Н.Ф.

()(|ши11;ип,11|,1о оппоненты:

• доктор фи:», мат. наук. профессор Коуши Д.П.

• доктор фн:1. мат. наук, профессор Пламенем кий Б.А.

Ведущая органичЖшя:

• Ит-тптут проблем машиноведения Российской академии наук.

Зашита диссертации ми-гоитси 1937 г. и 16 часои на

китдашш диссертационного сонета К.063.57.13 по -ищите диссертаций на соискание ученой с тепени кандидата фи чико .математических наук и Санкт-Петербургском государственном университете но адресу: 198904. С.-Петербург. Библиотечная п.т. 2.

С диссертацией можно ошакомнп.ся н библиотеке Санкт Петербургского пи-ударстненного уиинеренгета (С.-П«'тербург. Уиииерснтетскан наб. д. 7/9).

(>г«ыим на автореферат н днух чк чемн.тнрах. чанереииме печатью «»ргашпашш. просим паиран. |ят|, и адрес диссертационного сонета.

Антореферат (ш-мм-лан 1997 г.

Ученмн секретари

Д11сс«Ч>гацп1Ч111ЛГ1» ««тега.

док гор (|ш чик1»-.маг«-ма ГИЧ1-<М1Ч наук

М.А.Нароу г

:¡

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для эффективно! о решения уравнений теории упругости с заданными начальными к граничными условиями представляет интерес исследование возможности такого изменения красных условий, чтобы модифицированная задача окачалась более доступной для анализа., а различие н результатах было пренебрежимо малым. Необходимость такого подхода диктуется еще и тем, что и ряде чадам отсутствует аналитически томная информация о красных условиях, а известии лишь некоторые интегральные характеристики приложенного воздействия.

Общеприня тый подход, позволякнций видоизменять красные условия, основан на применении принципа Сен-Венана, который позволяет корректно заменять реально приложенную нагрузку на дискретный набор сосредоточенных воздействий, что сущее/ ценно yiipoinaei расчетную схему задами и широко используется в различных численных методах.

Однако, принцип, сформулированный Ссн-Венаном в 185G году на основе экспериментальных данных, доказан лишь для областей с гладкой границей. Что же касается возможное ти применения принципа к областям, контур которых содержи! угловые точки, н> чип вопрос до енх пор не рассмотрен на строгом математическом vpon-не. Более того, известны примеры, противоречащие классической формулировке принципа. Самым известным из них является задача Карочерса о клине со свободными oí напряжений гранями, находящимся иод действием сосредоточенного и вершине момеича.

Цель работы сос тои т в ичумеипп возможное i н применения принципа Сен-Венапа в клиновидных областях при счатнческом и динамическом воздействиях. В чтой связи исследуется влияние харакк -ра распределения нагрузки в окрестности вершины клина на "дальнее" поле напряжений. Рассматривается чакже вопрос о коррек! ногти понятия о моменте. сосредоточенном в вершине.

Научная новизна. В диссертации исследуются статическое и динамическое пагружепия клипа силами, создающими момент, приложенный в окрестности вершины, При зтом краевые условия выбираются таким образом. чтобы каждый пч волновых жменниалоц имел независимые граничные условия.

Получены следующие основные резу. п. i а I ы:

' Построено решение задачи о статическом нагружении клина силами, перпендикулярными к граням при отсутствии касательных перемещений границы. Из анализа полученного асимптотического представления упругого поля на больших по сравнению с областью нагружения расстояниях следует, что принцип Сен-Венана может применяться в классической формулировке лишь для клина с углом раствора 2а < к/2. При рассматриваемых граничных условиях предельный переход при стягивании области нагружения к вершине-позволяет определить понятие сосредоточенного в вершине момента для углов 2а < тг.

Для граничных условий <?$$ = /(г), иг = 0 решена задача о распространении гармонических волн в клине. Показано, что в случае нагружения, симметричного относительно оси в = О, задача для клина с углом 2а > п не допускает полного разделения волновых потенциалов из-за взаимодействия продольных и поперечных волн при их отражении от острого ребра (г = 0). Близость задачи к акустической позволило, тем не менее, построить явное аналитическое решение.

I

Исследована задача о распространении гармонических волн в многоугольной области. Построена матрица, зависящая от геометрии области и вида приложенной нагрузки и описывающая взаимное влияние вершин входящих углов.

Показано, что принцип Сен-Венана в общепринятой формулировке не выполняется в задаче о нагружении граней клина гармонической нагрузкой ни для какого угла раствора.

Решена задача о действии сосредоточенного источника типа центра вращения, приложенного во внутренней точке области на малом расстоянии Ь от вершины. Исследовано предельное решение данной задачи при Ь -> 0.

Основные результаты диссертации являются новыми.

Методика исследования состоит в применении методов контурного интегрирования и аппарата интегральных преобразований Меллина и Конторовича-Лебедева. Асимптотические разложения контурных интегралов в окрестности сингулярных точек области строятся при помощи теоремы о вычетах, метода Cagniar-de Huop'a. а также метода Мазьи-Пламеневского.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Первом Всероссийском симпозиуме по механике деформируемого твердого тела (Санкт-Петербург, 1994); на первом международном семинаре "Неклассические задачи теории упругости и механики разрушения" (Москва, 1995); на XXIV Международной летней школе ученых-механиков (Зеленогорск, Санкт-Петербург, 1996); на Sommerfeldl96-Workshop "Modern Mathematical methods in Diffraction Theory and its Applications in Engineering" (Freudenstadt, Germany, 1996), на Saint-Venant Symposium "Multiple scale analyses and coupled physical systems" (Paris, 1997), а также на семинарах в Санкт-Петербургском университете, в Техническом' университете Дар-миггадта (Darmstadt,Germany).

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при решении практических задач в клиновидных областях, и кроме того имеют важное теоретическое значение для дальнейшего осмысления принципа Сен-Венана. а также оценки влияния угловой точки в задачах теории упругости.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 3-х научных статьях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на параграфы. Список цитированной литературы содержит 46 наименований. Объем диссертации с рисунками и библиографией 82 страницы.

с,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В настоящей диссертации исследуется влияние характера иагружения вершины клипа на "дальне«*" иол«' при динамическом воздействии. В общем случае задача о распространении упругих воли в клине не поддается аналитическому решению, поэтому мы рассматриваем относительно простой вид волнового движения, когда грани клина не могут иметь касательных перемещений иг, и на этих гранях заданы значения напряжения аоо- При таком выборе внешнего воздействии не происходит взаимного превращения продольных и поперечных волн при их отражении от границ (исключая острое ребро), что обуславливает относительную простоту структуры волнового поля. В этом случае удастся построить аналитическое решение, наличие которого доставляет наглядность в оценку влияния иагружения вершины на "дальнее"' иоле.

Мы исследуем также корректность поня тия о моменте, сосредоточенном о вершине клина. С физической точки зрения естественным подходом к проблеме сосредоточенных воздействий, приложенных в точке поверхности No упругой области, является рассмотрение последовательности распределенных гладких сил, область приложения которых стягивается к точке До- Решения задач о действии сосредоточенного усилия строится на основе соответствующих предельных задач.

Однако, попытка рассмотреть действие сосредоточенного в вершине клина момента приводит к необходимости исследования двойного предельного перехода — при стягивании области иагружения в точку и при приближении зтой точки к вершине клина. В случае, когда соответствующее предельное решение не зависит от последовательности перехода к пределам, понятие "сосредоточенный в угловой точке клина момент" имеет смысл и может быть использовано. В противном случае, для расшифровки чтого понятия необходимо «|>нксироцать порядок не|>ехода к пределам.

В диссер тации изучается возможность таких предельных переходов в случае иагружения клина при "специальных" граничных условиях. допускающих разделение ном/юных потенциалов. Рассматривается три вида заменяющей нагрузки, действующих в окрегтжнтп

вершины. Первый вид пагружспни, восходящий к Карозерсу (1912). соотиетстнугг распределению сил но дуге малого радиуса. Другой _ подход был предложен С'1срнб(-ргом и Койтером (1958) и cooTiiei-ствует иагружению граней клина. Рассматривается также действие сосредоточенного источника типа центра вращения, приложенного к внутренней точке тела на малом расстоянии b —> 0 от вершины (подход J.Dimdur.s, X.Markenscoff, 1990).

1. Первая глава посвящена исследованию коррек тности принципа Сен-Венана при статическом нагружении клипа, а также возможности определения понятия момента, сосредоточенного в вершине клина. Если понятие о сосредоточенном моменте в рассматриваемой задаче имеет смысл и может быть использовано, то соответствующее решение должно совпадать с решением задачи с нагрузкой, распределенной по некоторой области, причем 1>езультат предельного перехода при стягивании области нагружения к вершине не должен зависеть от частных видов заменяющей нагрузки.

В первом параграфе главы рассматривается задача о нагружении граней клина

Г(-а,а) = {г.0 : г > 0. -а < в < а}

антисимметричными относительно оси в = 0 силами:

"оо(г,<*) = -п<,о(>--'») = /('') 0 < г < со. (1)

«,.(г,±«) = 0. (2)

при чем функция /(г) отлична от нуля лишь на расстояниях, меньших некоторого конечного п. и удовлетворяет условиям

<t и

J f{.v),l r = 0. J f(.,).r<l.r = .U/2. (3)

o o

Такая задача зквнвн,чептна отысканию бнтармомической в рассматриваемой области функции н может быть решена прн помощи Hinerpiuibiioro преобразования Мелл lilla.

Из аншжза точного |Н'||Н'|1ия следует, что при антисимметричном пагружении областей с углом раствора, меньшим полуплоскости, "дальнее" поле явно зависит от результирующего момен та M и не зависит от распределения нагрузки а окрестности иершины. Это. с одной стороны, согласуется с общепринятой формулировкой принципа Сен-Венана, а с другой стороны, позволяет определить сосредоточенный момент посредством предельного перехода.

При 2а > л главные слагаемые в асимптотическом представле-„ нии напряжений на больших расстояниях от области нагружения зависят от распределения нагрузки в окрестности вершины, что не согласуется с общепринятой формулировкой принципа Сен-Венана. При а О предельное решение для таких углов определено лишь когда

а

f^M*-*,

О

что не позволяет использовать понятие о сосредоточенном моменте для клина с углом 2а > гг.

Оказывается, что если 2а > тг/2, то при действии самоуравновешенной симметричной нагрузки старшие члены асимптотического разложения упругого поля на больших расстояниях убывают медленнее, чем соответствующие члены при антисимметричном нагружении. Иначе говоря, решение неустойчиво относительно нарушений антисимметричности нагрузки уже при п > <г/4. Таким образом, если 2n > ~/2. то при рассматриваемых граничных условиях принцип Сен-Венана в общепринятой формулировке не выполняется.

Другой подход к понятию момента, сосредоточенного в нершнне К. шна. восходящий к Карозерсу. соответствует распределению нагрузки по .чуге:

о

Х(г) = -г I (a,.,.c<>stf-ft,.„sinfl) lie = 0.

Г(г) M{r)

при выполнении однородных граничных условий (1),(2).

Однако, выясняется, что такая задача не имеет решения, ч то обуславливается невозможностью в случае рассматриваемых граничных условий приложить распределенную по дуге нагрузку, статически эквивалентную только моменту М, и следовательно, в рассматриваемом случае, подход Карозерса к определению сосредоточенного момента не применим.

2. Вторая глава диссертации посвящена исследованию влияния угловой точки на возникновение обменных волн.

В общем случае волновое движение в упругой среде представляет собой суперпозицию двух различных по свойствам типов волн

волн расширения и сдвига. В отличии от акустической среды в упругой в случае наличия границ происходит постоянное превращение друг в друга продольных и поперечных волн, что обуславливает сложность соответствующих математических задач.

В первом параграфе главы рассмотрена задача о нагружении к.ниш гармонической нагрузкой, перпендикулярной к граням, не имеющим касательных перемещений:

(Тоо(г. ±п) = h±(r). nv(r.±n)= 0, 0 < г < ос (4)

Такая задача сводится к рсшешно двух "несвязных" уравнений Гельмгольпа

Дг- + ¿-¡v = О. АС' + = 0 (5)

с условиями Дирихле для продольного потенциала у и Неймана для поперечного потенциала ('.

- -г j (ff,.,..sin ff + (T,o cos0) dl) = 0, <t

= -г" У o,.0 ttö = M,

К)

Однако, поскольку граница области имеет ребро, то для обесие-^ чеиия единственности решения необходимо сформулировать доиЬл-ннтелыюе "условие на ребре"

м = 6)(гр) ¡>>0, г-К), (6)

« = ^¡р + V X г[>,

•эквивалентное требованию конечности упругой энергии вблизи угловой точки.

Решения задач Дирихле и Неймана для уравнений Гельмгольца (без учета условия на ребре) строятся при помощи интегрального преобразования Конторовича-Лебедева. В результате получаются явные выражения для решений соответствующих акустических задач. "

Исследование этих решений показывает, что Для клина с углом раствора, меньшим полуплоскости (2о < 7г), каждый из акустических потенциалов удовлетворяет условию на ребре, и, таким образом. решение задачи теории упругости представимо через решения двух акустических задач для каждого из волновых потенциалов.

При 2а > V, одПаКй,"акустические потенциалы, соответствующие симметричному относительно оси в — О нагружению, не удовлетворяют условию на ребре,- но близость задачи к акустической позволяет. тем не менее, построить явное аналитическое решение, в котором возмущение является суммой двух слагаемых, первое из которых совпадает с решением акустических задач, тогда как второе описывает влияние упругости.

При антисимметричном нагружении каждый из волновых потенциалов удовлетворяет условию, на ребре для клиновидных областей с произвольным углом раствора, и следовательно, в -»том случае задача теории упругости сводится к решению двух акустических задач для каждого из потенциалов.

Во втором параграфе главы исследуется также задача о гармоническом нагружении области ф. контур которой содержит т входящих углов {п).....п,„а приложенное симметричное воздействие

"00 = /'('). «г = О .»у

по прежнему лопуекае! разделение иотенци.иит и граничных условиях".

Решения отдельных акустических задач не удовлетворяю-! условиям конечности чн(чр| ии вблизи каждого входящего угла, 'гак как вблизи першим главные члены асимптотических представлений акустических потенциалов имеют вид

'Ра =3 cos

¡Л, и 6 =

¿(X,

где г,-, f,- полярные координаты с центром в вершине » =го угла.

Коэффициенты .4, и J3, могут быть вычислены через функции нагруження но методу Мазьи-Пламсневского:

Л; = -V f dx, В, =--L. [ Qh'{r)rdr:

J/> J Oil TiU!lp J

;)Q aq

Решение задачи теории упругости строится в виде суммы акустического потенциала и функций Q{rJI) и Gi''-^) -1Л>! у '•'• соответственно. Функции (¿(г, 0) и (г. в) удовлетворяют в области Q уравнению Гельмгольца. однородным условиям Дирихле и Неймана и допускают представление

ш

с ,(r.O) = v(r,)cos^, + +

Г.'I

ОМ) = + ^с.яГ + /?,.

j=i

где \(г,) гладкая функция типа "срезки".

Замечпм. ч то и рассматриваемой задаче для клиновидной области функции ((г.О) а ((г.0) имеют вид:

<М> = //^,((A„-)cos (g) , <(,-.«) = Sin g j .

совпадающий с решениями задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца. '

Взаимное влияние вершин входящих углов описывается симметричной матрицей {cjj зависящей лишь от геометрии области и вида приложенной нагрузки.

В случае отсутствия входящих углов на контуре каждый из волновых потенциалов удовлетворяет условиям на ребре, и следовательно, исходная задача теории упругости может быть полностью сведена к двум акустическим.

3. В третьей, заключительной главе диссертации мы рассматриваем динамическое нагружение клина моментом, приложенным в окрестности вершины.

Так как на достаточно большом расстоянии от вершины основной вклад в касательное напряжение огд вносят поперечные волны; в свою очередь, напряжения атт и аво в "дальнем" поле определяются значением продольного потенциала <р, то вдали от приложенного воздействия напряжения определяются непосредственно из асимптотики волновых потенциалов.

В первом параграфе главы исследуется нагружение граней клина гармонической нагрузкой вида (4), удовлетворяющей условиям:

С учетом результатов второй главы при помощи метода Cagniar - de Ноор'а показывается, что независимо от вида нагружения главные слагаемые в асимптотических представлениях волновых потенциалов на больших расстояниях зависят от частного вида распределения нагрузки в окрестности вершины, что не согласуется с общепринятой формулировкой принципа Сен-Венана.

Аналогично, случаю статического нагружения динамическая задача, соответствующая распределению нагрузки по дуге малого радиуса в окрестности вершины клина, не имеет решения при рассматриваемых граничных условиях.

В третьем параграфе главы рассматривается задача о гармоническом источнике типа центра вращения, действующем во вну тренней

п

точке клика на малом расстоянии от вершины, что соответствует подходу Л.ОинЛпг.ч и Х.Магкен.чсоН' (1990) к определению поняшм сосредоточенного а вершине клина момента. Такой источник возбуждает п области при выполнении однородных условий ( !) лшш. поперечное ноле смещений:

Д ф + -6(г-г0)6(в-в„),

Го

с однородными условиями Неймана на поверхности области.

Использование интегрального преобразования Коиторовича-Лебедева и дальнейшие преобразования, основанные на применении метода Cagniaг - И с Ноор'а, позволяют показать, что вдали от вершины клина ноле, создаваемое источником типа центра вращения соответствует действию аналогичного источника в безграничной упругой среде. В данном случае мы можем определить понятие сосредоточенного момента, действующего в вершине клина, как предел последовательности решений задач о действии во внутренних точках области источников типа центра вращения при стремлении точки приложения этих источников к вершине области.

Завершает главу параграф, посвященный исследованию дальнейших возможностей применения метода Мазьи-Пламеневского к задачам о распространении упругих ноли в клипс.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Комплекс приемов и методов для исследования задач статической и динамической теории упругости для клиновидных областей подверженных нагружению соредоточенным вблизи вершины моментом.

• Классификация задач статической и динамической Iгорни упругости для клиновидных областей но отношению к справедливости принципа Сен-Венана в классической формулировке.

• Методы исследования задач о распространении гармонических волн в многоугольных упругих телах, на границах которых поддерживаются специальные краевые условия.

Публикации по теме диссертации

[1] Суровцова И. Л. О припиши- Сси-Вчишш для упругих угловых областей при антиплоском сдниге. //Вестник СПбГУ (сер.1.) 1996. вьш.1— №1.— С.95-10^.

[2] Морозов Н. Ф., Суровцова И. Л. Задача о динамическом нагружении плоских упругих областей с угловыми точками контура. // ПММ — 1997.— Т.61—вып.4.— С.654-659.

[3] Суровцова И. Л. О принципе Сен-Венана для угловых областей при специальных граничных условиях. //Вестник СПбГУ (сср.1.)—1997.—вып.2—N'8.— С.46-50.