Задачи теории упругости для клиновидных областей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



и

л .<

О Л

Санкт -Петербургский государственным университет

>ш принят рукописи

СУРОВЦОВА Ирина Львовна

УДК 539.3

ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КЛИНОВИДНЫХ ОБЛАСТЕЙ

01.02.04 механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фичико математических наук

Санкт Петербург 1997

Работ ШЛИ1.Н1Г1М па кафедре ~1 <-«1|>пн упругости математик» механического факуплета Санкт-Петербургского госуларстненного уии-иерснтета.

Научный руководители:

• член кор|кгснопдент РАН, доктор фи». мат. паук, профе< сор Морочон Н.Ф.

Официальные оппоненты:

• доктор фи:», мат. наук, профессор Коучои Д.П.

• доктор фи:«, маг. наук, профессор Пламененскпй Б.А.

Ведущая организация:

• Институт проблем маншпонедення Российской академии паук.

Защита диссертации состоится Се',//1997 г. и 1С часом па -»аседатш диссертационного сонета К.063.57.13 по чапште диссертаций на соискание ученой степени кандидата фитико математических наук и Санкт-Петербургском государственном унииерентете по адресу: 19890-1. С.-Петербург. Библиотечная пл. '2.

С диссертацией можно ознакомиться н библиотеке Саик I Петербургского государстпенпого университета (С.-Петербург. Уппнерсптетская наб. д. 7/9).

Ог>Ы1)Ы на автореферат н днух чкчеми.'тярах. (аперенные печатью организации. пр(мт1.м направлять и адрес диссертационного сонета.

Аитореферат разослан 1997 г.

Учении секретари

диссертационного соне|а.

док гор физико-математических паук

М.А.'Нарбут

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для эффективною решения уравнений теории упругости с '¡няниными начальными и граничными условн-ями представляет интерес исследование возможности такого изме-иения краевых условий, чтобы модифицированная задача оказала) I. более доступной для анализа, а различие и результатах было пренебрежимо малым. Необходимость такого подхода дик туется еще и тем, что и ряде задач отсутстнует аналитически точная информация о красных услониях, а известны лишь некоторые интегральные характеристики гГриложенного воздействия.

Общепринятый подход, позволяющий видоизменят!» краевые ус.ю-вия, основам па применении принципа Сен-Веиапа. который позволяет корректно заменять реально приложенную нагрузку на дискретный набор сосредоточенных воздействий, ч то существенно упрощаем расчетную схему задачи и широко используется в различных численных методах.

Однако, принцип, сформулированный Сен-Венаном в 1850 году на основе экспериментальных данных, доказан лишь для облип ей с гладкой границей. Что же касается возможности применения принципа к областям, контур которых содержит угловые точки, то -л от вопрос до сих нор не рассмотрен на строгом математическом уровне. Более того, известны примеры, противоречащие классической формулировке принципа. Самым известным из них является задача Карозерса о клипе со свободными от напряжений гранями, находящимся под действием сосредоточенного в вершине момен та.

Цель работы состоит в изучении возможности применения принципа Сен-Вснана в клиновидных областях при статическом и динамическом воздействиях. В этой связи исследуется влияние характера распределения нагрузки в окрестности вершины клина на "дальнее" поле напряжений. Рассматривается также вопрос о корректности поня тия о момен те, сосредоточенном в вершине.

Научная новизна. В диссертации исследуются статическое и динамическое пагружения клина силам», создающими момент, приложенный в окрестности вершины. При -»том краевые условия выбираются таким образом, чтобы каждый из волновых потенциалов имел независимые граничные условия.

Получены следующие основные резу.11,11111.1:

« 11<>< i роено |x i1111111- задачи о c i.4 ическо.м пагр\жепии клина <11 .'тми. перпендикулярными к граням при ок у ic i miiii касательных перемещений границы. Пч анализа полученного асимптотического пред< давления упругого поля на больших по сравне-iihio с областью нагружения расстояниях следует. что принцип Сеп-Вепана может применяться в классической формулировке лишь для клипа с углом раствора '2<\ < тг/2. При рассматрииа-емых граничных условиях предельный переход при стягивании области нагружения к вершшм~позволяет определить понятие сосредоточенного и нерпшне момен та для углов 2а < ж.

• Для граничных условий одо = /(г). i/r = 0 решена задача о распространении гармонических ноли н к.чиие. Покачано, что и случае нагружения. симметричного относительно оси 0 = 0. чадача для клина с углом '2о > ,т не допускает полного раздел е-пия волновых нотептылов из-за взаимодействия продольных и поперечных коли при их отражении от острого ребра (>■ = 0). Близость задачи к акустической позволило. чем не менее, построить явное аналитическое решение.

• Исследована задача о распространении гармонических ноли в многоугольной области. Построена матрица, чанпсящая от геометрии области и вида приложенной нагрузки и описывающая взаимное влияние вершин входящих углов.

• Показано, что принцип Сеп-Вепана в общепринятой формулировке не выполняется в задаче о нагруженин граней клипа гармонической нагрузкой нн для какого угла раствора.

• Решена задача о действии сосредоточенного источника тина центра вращения, приложенного во внутренней точке области на малом расстоянии Ь от вершины. Исследовано пределы юс решение данной задачи при h —► 0.

Основные результаты диссертации являются новыми.

Методика исследования состоит в применении методов контурного интегрирования и аппарата интегральных преобразований Меллииа и Конторовича-Лебедева. Асимптотические разложения контурных интегралов в окрестности сингулярных точек области строятся при помощи теоремы о вычетах, метода Cagiiiar- de Hoop'a. а также метода Мазьи-Пламеневского.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Первом Всероссийском симпозиуме по механике деформируемого твердого тела (Санкт-Петербург, 1994); на первом международном семинаре "Неклассические задачи теории упругости и механики разрушения" (Москва, 1995); на XXIV Международной летней школе ученых-механиков (Зеленогорск, Санкт-Петербург, 1996); на Sommerfeld'9G-Workshop "Modern Mathematical methods in Diffraction Theory and its Applications in Engineering" (Freudenstadt, Germany. 1996), на Saint-Venant Symposium "Multiple scale analyses and coupled physical systems" (Paris, 1997), а также на семинарах в Санкт-Петербургском университете, в Техническом- университете Дар-мштадта (Darmstadt,Gerrnany).

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при решении практических задач в клиновидных областях, и кроме того имеют важное теоретическое значение для дальнейшего осмысления принципа Сеи-Венана. а также оценки влияния угловой точки в задачах теории упругости.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 3-х научных статьях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на параграфы. Список цитированной литературы содержит 46 наименований. Объем диссертации с рисунками и библиографией 82 страницы.

г.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В настоящей диссертации исследуется влияние характера нагру-ження вершины клипа на "дальнее" поле при динамическом воздействии. В общем случае задача о распространении упругих воли в клине не поддастся аналитическому решению, поэтому мы рассматриваем относительно простой вид волнового движения, когда грани клина не могут иметь касательных перемещений и,., и на утих гранях заданы значения напряжения аоо• При таком выборе внешнего воздействия не происходит взаимного превращения продольных и поперечных волн при их отражении от границ (исключая острое ребро), что обуславливает относительную простоту структуры волнового поля. В этом случае удается построить аналитическое решение, наличие которого доставляет наглядность в оценку влияния нагружения вершины на "дальнее" иоле.

Мы исследуем также корректность понятия о моменте, сосредоточенном в вершине клина. С физической точки зрения естественным подходом к проблеме сосредоточенных воздействий, приложенных в точке поверхности Л'о упругой области, является рассмотрение последовательности распределенных гладких сил, область приложения которых стягивается к точке Лго. Решения задач о действии сосредоточенного усилия строится на основе соответствующих предельных задач.

Однако, попытка рассмотреть действие сосредоточенного в вершине клина .момента приводит к необходимости исследования двойного предельного перехода - при стягивании области нагружения в точку и при приближении чтой точки к вершине клина. В случае, когда соответствующее предельное' решение не зависит от последовательности перехода к пределам, понятие "сосредоточенный в угловой точке клина момент" имеет смысл и может быть использовано. В противном случае, для расшифровки этого понятия необходимо фиксировать порядок перехода к пределам.

В диссертации изучается возможность таких предельных переходов в случае нагружеиня клина при "специальных" граничных условиях. допускающих разделение волновых потенциалов. Рассматривался т ри вила заменяющей нагрузки, действующих в окрест ности

вершины. Первый иил liai ружспия. восходящий к Карозерсу (1012). соответствует распределению сил но дуге малого радиуса. Другой подход Пыл предложен СтсрпПсргом и Койтером (1958) и eooniei-(твует пагружеппю граней клина. Рассматривается также действие сосредоточенного источника типа центра крашения, приложенною к внутренней точке тела lia малом расстоянии Ь —» 0 от вершины (подход .l.Duwlurs, X.Markenseoff. 1990).

1. Первая глава посвящена исследованию корректности принципа Сен-Венана при статическом нагружении клина, а также возможности определения понятия момента, сосредоточенного и вершине клина. Если понятие о сосредоточенном моменте в рассматриваемой задаче имеет смысл и может быть использовано, то соответствующее решение должно совпадать с решением задачи с иагрузкоЯ, распределенной по некоторой области, причем результат предельного перехода при с тягивании области иагруження к вершине но'Должен зависеть от частных видов заменяющей нагрузки.

В первом параграфе главы рассматривается задача о нагружепни граней клина ^

Г-.Те

Г(—а.а) = {г.в : г > 0. -п < в < а} ,

антисимметричными относительно оси 0 = 0 силами:

rron(r.<\) = -<топ(г. -<\) = /(г) 0 < г < ос. (1)

ч,.(г.±, 0 = 0. (2)

при чем функция /(;•) отлична от нуля лишь на расстояниях, меньших некоторого конечного п. п удовлетворяет условиям

» а

|/(.г),/.г = 0. J f (г).,- ,/,■ = .U/2.

(3)

Такая задача эквивалентна отысканию бпгармоипчоекой в рассматриваемой области функции и может быть решена при помощи интегрального преобразования Me. i. inna.

Из анализа точного решения следует, что при антисимметричном нагружении областей с углом раствора, меньшим полуплоскости, "дальнее" иоле яшю зависит от результирующего момента М и но зависит от распределения нагрузки н окрестности вершины. Это, с одной стороны, согласуется с общепринятой формулировкой принципа Сен-Веиана, а с другой стороны, позволяет определить сосредоточенный момент посредством предельного перехода.

При 2а > 7Г главные слагаемые и асимптотическом представлении напряжений на больших расстояниях от области нагружения зависят от распределения нагрузки в окрестности вершины, что не согласуется с общепринятой формулировкой принципа Сен-Венана. При а 0 предельное решение для таких углов определено лишь когда

о,

О

что не позволяет использовать понятие о сосредоточенном моменте для клина с углом 2а > тт.

Оказывается, что если 2а > тг/2, то при действии самоуравно-нешенной симметричной нагрузки старшие члены асимптотического разложения упругого поля на больших расстояниях убывают медленнее, чем соответствующие члены при антисимметричном нагру-жонпи. Иначе говоря, решение неустойчиво относительно нарушений антисимметричности нагрузки уже при а > тг/4. Таким образом. если 2п > n/2, то при рассматриваемых граничных условиях принцип Сен-Венана в общепринятой формулировке не выполняется.

Другой подход к поня тию момента, сосредоточенного в вершине клина, восходящий к Карочерсу. соответствует распределению нагрузки по луге:

о

А" ( /•) = -С / (ff,.,, cos Ö - rr,„sill0) (Ш = 0.

Y(r) = -г J {оrrsiu0 + (J,.(n»s0) <10 = О, — i»

«I

M(r) = -r2 J ar0 iW = M, —f*

при выполнении однородных граничных условий (1),(2).

Однако, выясняется, что такая задача не имеет решения, что обуславливается невозможностью в случае рассматриваемых граничных условий приложить распределенную по дуге нагрузку, статически эквивалентную только моменту М, и следовательно, в рассматриваемом случае, подход Карозсрса к определению сосредоточенного момента не применим.

2. Вторая глава диссертации посвящена исследованию влияния угловой точки на возникновение обменных волн.

В общем случае волновое движение в упругой среде представляет собой суперпозицию двух различных по свойствам типов волн

волн расширения и сдвига. В отличии от акустической среды в упругой в случае наличия границ происходит постоянное превращение друг в друга продольных и поперечных волн, что обуславливает сложность соответствующих математических задач.

В первом параграфе главы рассмотрена задача о нагружении клина гармонической нагрузкой, перпендикулярной к граням, не имеющим касательных перемещений:

ст„„{г.±а) = h±(r). i/,.(r. ±о) =0. 0 < г < ос (4)

Такая задача сводится к решению двух "несвязных"' уравнений Гельмгольца

Ау + A-fV = 0. Ar + A-jV = 0 (.j)

с условиями Дирихле для продольного потенциала -р и Неймана для поперечного iio'iсминала г.

Однако. поскольку Граница обтает и имеет ребро, ki для обеспе- , чепня единственности решения необходимо сформулирован. допЬл- ^ нпте.тмте "условие на ребре"

Ï7 = 0(г1') />><), »->(). (G)

и — + V х t'\

эквивалентное требованию конечности упругой энергии вблизи угловой точки.

Решения задач Дирихле и Неймана для уравнений Гельмгольца (без учета условия на ребро) строятся при помощи интегрального преобразования Конторовича Лебедева. В результате получаются явные выражения для решений соответствующих акустических задач

Исследование этих решений показывает, что для клина с углом раствора, меньшим полуплоскости (2п < тг). каждый из акустических потенппа'юв удовлетворяет условию на ребре, и, таким образом. решение задачи теории упругости представимо через решения двух акустических задач для каждого из волновых потенциалов.

При 2а > л-, однако, акустические потенциалы, соот ветствующие симметричному относительно оси в — 0 пагружению. не удовлетворяют условию на ребре, но близость задачи к акустической позволяет'. тем не менее, построить явное аналитическое решение, в котором возмущение является суммой двух слагаемых, первое из которых совпадает' с решением акустических задач, тогда как в торое описывает влияние упругост и.

При антисимметричном нагруженнн каждый из волновых потенциалов удовлетворяет условию на ребре для клиновидных областей с произвольным углом раствори, н следовательно, в -»том случае задача теории упругости сводится к решению двух акуст ических задач для каждого из потенциалов.

13<> втором параграфе главы исследуется также задача о гармоническом нагруженнн области Q. контур которой содержит m входящих углов {'M.....п,„}. а приложенное симметричное воздействие

"он =/'(')■ = (>

il(> ¿к>

II»-прежнему допускает разделение потенциалов н граничных условиях.

Решения отдельных акустических задач не удовлетворяют условиям конечности чнергии вблизи каждого входящего угла, так как вблизи вершин главные члены асимптотических представлении акустических потенциалов имеют вид

Va ~ -4,Т;' со.ч£;0,-,

фа « Bi,j- siní.O,; =

2a,

где г,-,0,- — полярные координаты с центром в вершине i =го угла.

Коэффициенты Л,- и B¡ могут быть вычислены через функции нагружения по методу Мазьи- Пламеневского:

Aí = At[ ^h(r)dr, B¡ =--f Qh'(r)rdr.

ЛU!¿P J OH TTLJ-p J

¡)Q OQ

Решение задачи теории упругости строится в виде суммы акустического потенциала и функций С¡(г,в) и (,-(г. 0) для ~р и f. соответственно. Функции С,-(г,б) н С,(г,0) удовлетворяют в области Q уравнению Гельмгольца, однородным условиям Дирихле и Неймана и допускают представление

т

Q(r.O) = T-rSC.) cos&fc + ^<".jrfJ+ Я..

. j=l

m

GM) = \'(''¿) sin^,ö,- + Y,ear*'\(rJ)s™tjej + Ü.

J=1

где \(r¡) гладкая функция типа "срезки".

Замет им, что в рассматриваемой задаче для клиновидной области функции СМ) и ((г. в) имеют вид:

СМ) = </L('v)< os ^ . СМ) = H^Jhr) sin .

совпадающий с решениями задач Дирихле и Неймана для уравнения Гсльмгольца.

Взаимное влияние вершин входящих углов описывается симметричной матрицей {c¡j + e,j}, зависящей лишь от геометрии области и вида приложенной нагрузки.

В случае отсутствия входящих углов на контуре каждый из волновых потенциалов удовлетворяет условиям на ребре, и следовательно, исходная задача теории упругости может быть полностью сведена к двум акустическим.

3. В третьей, заключительной главе диссертации мы рассматриваем динамическое нагружение клина моментом, приложенным в окрестности вершины.

Так как на достаточно большом расстоянии от вершины основной вклад в касательное напряжение агд вносят поперечные волны; в свою очередь, напряжения агг и одд в "дальнем" поле определяются значением продольного потенциала <р, то вдали от приложенного воздействия напряжения определяются непосредственно из асимптотики волновых потенциалов.

В первом параграфе главы исследуется нагружение граней клина гармонической нагрузкой вида (4), удовлетворяющей условиям:

С учетом результатов второй главы при помощи метода Садтаг - (1е Ноор'а показывается, что независимо от вида нагружения главные слагаемые в асимптотических представлениях волновых потенциалов на больших расстояниях зависят от частного вида распределения нагрузки в окрестности вершины, что не согласуется с общепринятой формулировкой принципа Сен-Венана.

Аналогично, случаю статического нагружения динамическая задача, соответствующая распределению нагрузки по д\те малого радиуса в окрестности вершины клина, не имеет решения при рассматриваемых граничных условиях.

В третьем параграфе главы рассматривается задача о гармоническом источнике типа центра вращения, действующем во внутренней

1.5

точке k.'iiiiia па milium расстоянии oi вершины. что соответствует подходу .I.DuikIiii's m X.Markciiscoll (1990) к определению понятия сосредоточенного и вершине клипа момента. Такой источник возбуждает и области при выполнении однородных условий (4) лини, поперечное поле смещений:

£ml> + kltl'= —S{r-r„)S(0-Oo),

с однородными условиями Неймана на поверхности области.

Использование интегрального преобразования Копторовича-Лебедева и дальнейшие преобразования, основанные па применении метода Cagiiiar de Ноор'а, позволяют показать, что вдали от вершины клина поле, создаваемое источником типа центра вращения соответствует действию аналогичного источника в безграничной упругой среде. D данном случае мы можем определить понятие сосредоточенного момента, действующего в вершине клина, как предел последовательности решений задач о действии во внутренних точках рбласгн источников типа центра вращения при стремлении точки приложения этих источников к вершине области.

Завершает главу параграф, посвященный исследованию дальнейших возможностей применения метода Мазьи-Пламеневского к задачам о распространении упругих воли в клине.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Комплекс приемов и методов для исследования задач статической и динамической теории упругости для клиновидных областей подверженных нагружепшо ооредогоченпым вблизи вершины моментом.

• Классификация задач статической и динамической теории упругости ,ч.-|я клиновидных областей по отношению к справедливости принципа Сен-Вепана в классической формулировке.

• Методы исследования задач о распространении гармонических во. in в многоугольных упругих голах, на границах которых поддерживаются специальные краевые условия.

Публикации по теме диссертации

[1] Су рои цова И. Л. О припиши' Ссп-Всчппп для упругих углчных областей при штшлоском cjtinire. //Вести и к СПбГУ (сер.1.) 1996. вып.1—№1.—С.95-101.

[2] Морозов Н. Ф., Суровцова И. Л. Задача о динамическом шчру-жснии плоских упругих областей с угловыми точками контур а. // ПММ — 1997.— Т.61—вып.4.— С.654-659.

[3] Суровцова И. Л. О принципе Сен-Вснана для угловых обласгеИ при специальных граничных условиях. //Вестник СПбГУ (сер.1.)--1997.—вып.2—№8.— С.46-50.

(