Закономерности отражения волн ТМ и ТЕ поляризации от плоскослоистых сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЗАКОНОМЕРНОСТИ ОТРАЖЕНИЯ ВОЛН ТМ И ТЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ ОТ ПЛОСКОСЛОИСТЫХ СРЕД

Специальность: 01.04.03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Денисов Александр Владимирович

Санкт - Петербург

2004

ЛОов'Ч

1ЩГ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Денисов Александр Владимирович

ЗАКОНОМЕРНОСТИ ОТРАЖЕНИЯ ВОЛН ТМ И ТЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ ОТ ПЛОСКОСЛОИСТЫХ СРЕД

Специальность: 01.04. 03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт - Петербург 2004

гтш

Работа выполнена на кафедре радиофизики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

профессор Новиков Валентин Владимирович Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Светличный Василий Александрович кандидат физико-математических наук, доцент Живулин Виктор Александрович Ведущая организация - Санкт-Петербургский Государственный

Технический Университет.

Защита состоится " /г

2004 г. в час. 00 мин

на заседании диссертационного совета Д 212. 232. 44 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу:

199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, СПбГУ, oyf сfS С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Автореферат диссертации разослан " Ш " ис&Л- 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

С. Т.Рыбачек

РОС. и

R" * Г

Шйг-

'vjibha* '-КА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работа посвящена нахождению и изучению новых закономерностей отражения плоских волн горизонтальной (или ТЕ) и вертикальной (или ТМ) поляризации от плоскослоистых сред.

Актуальность темы. Установление закономерностей распространения плоских гармонических электромагнитных волн в изотропных плоскослоистых средах (характеризующихся диэлектрической проницаемостью £(г)) приобретает конкретный характер при условии, что найдены точные аналитические выражения для коэффициентов отражения ¡1 и прохождения Т волн во всём частотном диапазоне и при произвольных углах падения волны. Трудность их получения обусловлена отсутствием общего правила для нахождения точных аналитических решений (ТАР) (т.е. решений, выраженных через специальные функции математической физики) линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) с переменными коэффициентами, вытекающих из уравнений Максвелла. Исследования, посвящённые ТАР задач распространения волн, начались в начале 20-го века [1-3]. По мере развития теории дифференциальных уравнений интерес к этой проблеме постоянно усиливался [4, 5], однако, ТАР задач о распространении плоских волн в плоскослоистых средах найдены всего лишь для нескольких зависимостей е(г). В связи с этим является актуальным нахождение новых функций е(г), для которых могут быть точно решены эти уравнения. Поскольку в линейном приближении в плоскослоистой изотропной среде распространяются волны двух поляризаций - ТМ и ТЕ, то представляет особенный интерес нахождение тех зависимостей £(г), для которых можно точно решить ЛОДУ, описывающие распространение волн обеих поляризаций. Даже для «простейшей» зависимости е(г) - переходного слоя Эпштейна эта задача до настоящего времени остаётся нерешённой (известно только решение уравнения для ТЕ - волны).

В теории распространения волн недостаточно широко рассмотрены модели сред, характеризующиеся разными масштабами изменения при г —* и г . Для получения закономерностей отражения волн от сред с переменным масштабом изменения (ПМИ) актуально рассмотрение новых зависимостей £(г) и соответствующих им ТАР ЛОДУ для полей.

Целью диссертации является поиск новых закономерностей отражения волн, обусловленных ПМИ среды распространения. В качестве главной цели ставится задача найти ТАР уравнений, описывающих распространение волн обеих поляризаций для зависимости £(г), определяющей переходный слой, и изучить влияние поляризации на особенности коэффициента отражения от этого слоя.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) получены ТАР уравнений, описывающих распространение ТМ к ТЕ -волн для зависимости £(г), моделирующей монотонный переход от £ = £„т (при г = ) до е = е^ (при г = ). Для этого слоя найдены коэффициенты отражения и прохождения волн обеих поляризаций и впервые установлено влияние поляризации на отражение волн от такого слоя. В частности, из ТАР этих задач получен новый факт, что высокочастотные асимптотические зависимости коэффициентов отражения ТМ и ТЕ - волн от переходного слоя оказываются различными в случае падения волны на слой под углом, равным углу Брюстера;

2) найдено ТАР уравнения для ТЕ - волны для новой зависимости £(г), соответствующей переходному слою с ПМИ;

3) изучены закономерности отражения ТЕ - волны от ряда новых моделей плазменных слобв с ПМИ электронной концентрации, полученные на основании ТАР соответствующих уравнений;

4) проведено развитие исследований о падении ТМ - волны на симметричный плазменный слой в случае, когда частота волны равна максимальной плазменной частоте, а потери в слое и угол падения волны на слой малы;

5) (в приложении) рассмотрена задача о трансформации электромагнитной волны в нестационарной пространственно-однородной плазме, характеризующейся ПМИ во времени диэлектрической проницаемости.

Научная и практическая ценность:

1) найденные в работе точные выражения для Ли Т для ряда новых моделей неоднородных сред могут применяться при решении прямых и обратных задач распространения волн;

2) рассмотренные слои i(z) можно использовать в качестве новых эталонных;

3) полученные ТАР ЛОДУ могут применяться в других разделах теории колебаний и волн, например, при изучении распространения волн в нестационарных пространственно-однородных средах, при рассмотрении распространения поперечной волны в струне с неоднородным по длине натяжением;

4) ТАР упомянутых задач могут быть полезны при решении задачи о распространении импульсных сигналов в ионосферных слоях;

5) ТАР задачи о распространении ТМ - волны в переходном слое можно применить в задаче о переходном излучении заряда в такой среде. ТАР этой задачи, насколько известно автору, до настоящего времени не получено. В результате преобразования Фурье-Бесселя для гармонического поля переходного излучения заряда её можно свести к решению неоднородного ЛОДУ, однородная часть которого совпадает с ЛОДУ для Н компоненты ТМ- волны;

6) рассмотренные линейно-дифференциальные преобразования зависимой переменной уравнения (при нахождении его ТАР), понижающие количество особых точек исходного уравнения, могут явиться толчком к поиску других моделей неоднородных сред. Кроме того, эта преобразования могут инициировать исследования по возможному обобщению метода эталонного уравнения, связанного с применением в его схеме линейно-дифференциального преобразования.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на Региональной VIII конференции по распространению радиоволн [Г].

Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесть работ, список которых приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка используемой литературы (85 названий) и двух приложений. Материал изложен на 112 машинописных страницах, включая 33 рисунка и 5 страниц приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, изложена история вопроса. Отмечен большой вклад в изучение распространения волн в неоднородных средах и в развитие методов решения ЛОДУ, возникающих в теории колебаний и волн, который внесли учёные В. Л. Гинзбург, Н. Г. Денисов, А. Н. Дородницын, В. М. Бабич, В. С. Булдырев, М. В. Федорюк, Г. И. Макаров, В. В. Новиков, Н. Н. Зернов, В. А. Живулин, Л. М. Бреховских, К. Rawer, J. Heading, В. S. Westcott и другие.

Содержится краткое описание работы, и формулируются основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается переходный слой с разными положительными предельными (при z —значениями £(г), и для него построены ТАР задач о падении ТМ и ТЕ - волны. Рассмотрено влияние поляризации на отражение волн от такого слоя во всём частотном диапазоне и при произвольных углах падения.

Выбирая систему координат (х, у, z) так, что волна падает в плоскости (х, z), из уравнений Максвелла дня гармонической зависимости поля от времени получаем уравнение для Еу компоненты ТЕ- волны и Ну компоненты ТМ- волны:

U-„-qU:+rjl,^-sm2ff)U=0, (1)

Е. для ТЕ волны, где U = '

Ну для ТМ волны;

s = у - безразмерная переменная; I- один из характерных масштабов изменения свойств среды; tj^ = tj0 = —I, a> - частота волны, с0 - скорость

со

света в вакууме; £;ич - диэлектрическая проницаемость среды, из которой волна

£

попадает на слой £ (У); в - угол падения волны; ? =-.

^меч

В разделе 1.1 рассматривается задача о вариантах задания ограниченного слоя, при которых уравнение (1) для падающей плоской волны ТМ и ТЕ поля-

0 (ТЕ), ^ (ТМ);

ризации сводится к гипергеометрическому уравнению (ГТУ) в результате линейного преобразования зависимой переменной уравнения, а также преобразования независимой переменной. Новая независимая переменная предполагается не связанной ни с , ни с в. Доказано, что единственными такими моделями слоя являются: для ТЕ - волны - слой Эпштейна [1] (в дальнейшем он не рассматривается), а для ТМ- волны - слой, заданный в неявном виде:

<*)°' еЧе'+аГ'^е', *е (—,+«) (2)

а ех+1

и определяющий переходный слой (с ТТМИ) без потерь от значения ?-I при s

= -оо (х = -««) до значения е^ = — при з- = (при этом х = +<*>). Характерный

ОС

масштаб изменения ё(х) при .г -> и при у -> равен соответственно I и Ы.

В разделе 1.2 проведено исследование задачи о падении плоской ТМ -волны из вакуума (со стороны 5 = -°°) на слой (2). Из ТАР уравнения (1) в терминах гипергеометрических функций (ГГФ), подчиняющегося граничному условию при ^ —> (принципу излучения или принципу предельной амплитуды) определяются Ит и Тт :

к _ Г(с - 1)Г(1 - а, )Щ - с + 1) с12ъсо.*,ь* Г(с-в,)Г^)Га-с)

гр _ Г(1 — ах)Т{Ь^ - С + 1) ^¡/хяе-^^-тРе-щЫа ™ ~ Г(Ь, - а, + 1)Г(1 - с)

а\ +7? + '77о 4a(l ~ orsin 2 ^ ■ = íi + 7 - iJlo 4а$ ~ asin2 в),

c = 1+2ít;ocos0, I, =--J- + ^(l-a)2sin2^, J] = iT}0eos0. 2 V 4

Находятся выражения для j/?„,|, \Тти\, и проводится анализ \Rm\. В частности, в случае £„„ > sin2 в при Г]0 —» ~>:

е-2щ,са.е sin#<sin0o, em >1; sin0>sin0o, £tou < 1,

sin0>sinOo sin0<sinexúH<l,

где 0O = aresin " Угол Брюстера для резкой границы раздела двух сред

(вакуума и среды с е = £кон).

При в = ва и 770 -»~ |Rm| = 2

-2Я77,

со$(жт}0 . ) ех/7 л/1 + а

- с уве-

личением частоты волны |/?w| (наряду с экспоненциальным уменьшением) осциллирует.

В разделе 1.3 рассмотрено ТАР задачи распространения ТЕ - волны через переходный слой с ПМИ:

e(s) = P + l~Pey +а, е>(е>+а)а-'а>0, р< 1. (3) а еу +1

Зависимость (2) получается из (3) при /? = 0. При а = 1 функция (3) определяет переходный слой Эпштейна [1].

Если в уравнении (1) для Еу перейти к новой независимой переменной е

по формуле (3), то получится уравнение с четырьмя правильными особыми

|_ л

точками: £ = Д ? =1, ? =/? + —— и £=<*>. Для него в теории ЛОДУ

нет соотношений, связывающих асимптотические поведения его линейно-независимых решений в окрестностях точек j = ±оо [5, 6]. Однако, как показано в этом разделе диссертации, с помощью линейно-дифференциального преобразования зависимой переменной

_i(4) VLdy

ЛОДУ для Z в результате линейного преобразования зависимой переменной и преобразования независимой переменной сводится к ГГУ (с тремя правильными особыми точками). Дня слоя (3) при использовании (4) построено ТАР уравнения (1) для ТЕ - волны (в терминах ГГФ и их производных), подчиняющееся граничному условию при s , и найдены R к Т . Затем при для слоя (2) в случае падения волны из вакуума находятся:

Г (с - 1)Г(1 - а2 )Г(Ь2 - с+1)

Rte

Г(с-а2)Г(Ь2)Г(1-с)

_ Sin в - ij- sin19 Г(1 - a2 )Г(Ь2 - с +1) ^»(««»-V*»--""'«)«'»<> £„,„(sin0~ícos<9) Тф2-а2+\)Т{\-с)в

а2 -¿¡2+т} + iTjoyja(l-orsin2 в), b, =¿¡, +7]-ir]B^a(l-arsin2 в), Z2=-ri0\a-a)sme\, а также анализируется зависимость |/?Г£| от r¡0 и в, и она сопостав-

ляется с аналогичной зависимостью для \RTU\ ■

При в = 0о и tj0—*°о зависимости |Лге| и |/frAÍ| от частоты для слоя

1-ос , ( „ I а Л

(2) различны: |йге I = 2

vl + ar

При 0&0О и асимптотики |ЛГМ| и |/?ге| совпадают. В этом слу-

чае совпадают и аргументы комплексных значений коэффициентов отражения для компоненты ТЕ - волны и Ну компоненты ТМ- волны.

По полученным формулам построены графики зависимости \ИШ\ и ¡йге| от т]в и в (25 рисунков), анализ которых сводится к следующему. При а< 1 значения |/?ш| и |/?Г£| различны в более широком диапазоне изменения в, чем в случае а > 1. С ростом а отличие \^Тм\ от уменьшается. В случае, когда а < 1 , а угол угол в близок к ва , сильно выражены осцилляции |ЛШ| и при изменении т}0.

При т)0=1 для любых значений в: в интервале 0,005 <. а <0,1 Кг|<|*™|> в интервале 0,5<а< 1,5 |Яге|>|Яш|, при а >1,5

В случае а = 0,1: при 7]0 < 0,8 |ЛШ| < |йге|; с ростом щ в этом частотном интервале разность |Лге|-|Лгм| уменьшается и при = 0,8 и в~ 1,2 1^1 = 1^1- В интервале щ >0,8 ^«М^!' а отличие |/?ш|от (я^ становится наибольшим, когда т]а ~ 1,2 и в = 1,25. При дальнейшем росте т]0 разность |Лш|-|/у уменьшается и в области т)а >2 = |ЛШ|. При 6 = ва~ 1,264519 зависимости модулей коэффициентов отражения (обеих поляризаций) от частоты характеризуются наличием осцилляций с обращением их в ноль при некоторых 70. С дальнейшим увеличением в осцилляции уменьшаются по величине.

Таким образом, влияние поляризации наиболее сильно сказывается при малых значениях параметра а и углах падения, близких к углу Брюстера вй.

Во второй главе находятся ТАР задачи о падении из вакуума ТЕ - волны на плазменные слои (с ГТМИ электронной концентрации) с £(s) = 1 - ^, где

(О

шюЬ) - плазменная частота, зависящая от электронной концентрации в слое.

В разделе 2.1 рассмотрена модель слоя, которая задаётся формулами:

l 2/4

{а? I /

(5)

» ^ е +а О Ае + Ве л „ л

л/е + Се' +1 е2* + Се' + 1 С ростом 5 в интервале (-~;-н=°) переменная х увеличивается от - °° до +»<>, при этом характерный масштаб изменения функции Лм меняется от & до I, что обуславливает несимметричность слоя по переменной 5.

Находятся условия на параметры А, В и С, при которых йЯ (5)>0 при

определяются /?, 7" и их модули. Рассматривается частный вид функции (5) при С = 2 и подробно изучается ситуация, когда екон = 1. При этом с ростом параметра А вид функции £2(5) меняется от случая, когда она имеет два максимума на оси (5) до случая, когда меньший максимум у неё исчезает, и она определяет слой с одним максимумом - в переменной х получается симметричный слой Эпштейна. В случае, когда функция £2(5) имеет двойной нуль, максимальное отношение меньшего максимума к большему максимуму (достигается в предельном случае а—>0 и а оо) составляет н 10~2. В случае С= 2 приводятся выражения для Ни Т.

Для случая £кои=1, А» 1, соответствующему несимметричному по л слою с одним максимумом, проведено аналитическое исследование зависимости |Л(<а)| в окрестности т^ - критической частоты слоя при наклонном падении, а также при больших значениях а. В окрестности й> яаи с ростом а убывание IЛI при увеличении аз становится плавным.

В разделе 2.2 исследуется вопрос о монотонности зависимости |/?(«а)| для других вариантов зависимости (5) - симметричных (относительно точки « = 0) функции О(л').

Рассмотрен слой с параметрами а = 1, С = 2+ 4/, £ты -1 (В = 0). В

этом случае функция £2 может иметь на вещественной оси 5 от одного до трёх максимумов в зависимости от А и у. Определены интервалы изменения А и у соответственно этим случаям.

Для слоя с одним максимумом исследована зависимость . В частно-

сти, найден закон убывания | Л | при который зависит от параметра у,

•уе(-1;+°о): при у->-1 |Л| = ехр(-Ъщасовв^-Щ);

при у>0 Я =2

сое 2я^?7702 сое2 6—(1+ У)огтт>х -^-|ехр(- 2ща со$в), - с ростом

частоты |л) осциллирует.

В разделе 2.3 с помощью линейно-дифференциального преобразования получено ТАР уравнения (1) для ТЕ - волны для плазменного переходного слоя

= где = £ = =

аг & Х^, В + х

х е (0,-н» ), В>0, со значениями £ = е^ = 1 при 5 = -°° (* = 0) и

е = при « = +°° (* = +■»)•

Точное ТЕ - решение выражено через вырожденные ГТФ и их производные. Для этого слоя

К-К7о) -у-И-\ •

~ Г(2ц)Т(±-!1+х)

где Го~ х__1ЩВ{2со%гв-Хтп)

Х«*> ' 2Хта,]со*2в-Хтх '

// =—г77п-со

2

В случаях О или О, отвечающих резкому изменению свойств среды, из (6) получается формула Френеля для резкой границы раздела.

col m« I-

При -töcos0-»<*> Щ =-дополнительный

с 1 1 2Ö2 V cos в

предэкспоненциальный множитель уменьшает |/?| с ростом частоты.

В третьей главе рассмотрена задача о падении под малыми углами ТМ -волны из вакуума на плазменный слой с максимумом электронной концентрации и с малыми потерями. Показано, что коэффициент прохождения волны с ростом в при углах падения, близких к 0 = 0, сильно изменяется от значения порядка 0(1) до значения порядка о(1).

В разделе 3.1 построено решение этой задачи для плазменного слоя с

. . . 1 -th2s V . z с

£(j) = l--, где û)=wla —«1, 5=—безразмерная переменная.

, . . У CÛ I

1 + 1— 0

На основании интегрального уравнения для новой функции U = ——-

£ ds

и 1 £ dU^

(приэтом H =—--. 2д , ):

' ще-sm Ods

U=B0+AC) £(*')-™2eds> + J Кц(SiS')U(s')ds'; (7)

0 £(S ) о

сначала находится приближенное решение в комплексной области вокруг точки

1 [v

s=0 в области 5 < in = —, —, У « 1, с линейными размерами много больше рас-11 у\<о

стояния от точки s = 0 до ближайшей особой точки уравнения (1).

Затем строятся решения в интервалах (s,,+°°) и (-°°,-s,), удалённых от нулей

функции £(s), и определяются условия на параметры задачи, при которых

j,<Î0«1 (8)

и существуют перекрывающиеся интервалы (-50,-5,)и О, , .50), в которых решения, построенные по обе стороны от них и имеющие в них одинаковые асимптотики, затем аналитически сшиваются.

В предыдущих исследованиях [7, 8] по распространению ТМ - волны в аналогичных слоях для построения решения уравнения (1) в области около точки 5 = 0 рассматривалось интегральное уравнение для функции Ну, при этом

в случае в * 0 и —> 0 модуль его ядра в точке 5 = 0 неограниченно возрастал, а>

поэтому правомерность метода последовательных приближений требовала специального обоснования, в то время как |Ки (5,5')| такой особенностью не обладает. При построении решения на вещественной оси в двух интервалах:

|5|>5, где у«1, бш2 <9«1, рассматривается уравне-

ние для функции У=.-—г—(/:

- 5ш о

I,

= Ч

К +7о(/—вп20 + (1-1-)Ляя)У = а а

8Ш в

е - вт в

-(КГ.3^/ < (9)

2 е и; ) 4 {е(е-$т2в))

В терминах ГГФ строятся нулевые приближения интегральных уравнений, вытекающих из (9), для положительной и отрицательных значений 5, и находятся условия их применимости.

Неравенство (8) выполняется при ограничениях:

3

щв «1, Т]1\ - «1, 7о-т=«1. Щв -«1, -«1.

\а>) у со а

1а>

В результате аналитического сшивания решений в перекрывающихся интервалах получаем:

[4) 21ЯМ1\-Щг ' Ы ЪМ1\ -2Ц2 '

, Г(1 + Ь- а)Г(1 - с) , Г(1 + 6-д)Г(с-1) где = —-———-—¿2= -------

Г(1-а)Г(1 + Ь-с)' 2 Г(ВДс-а) 13

Г(1 + а-*)Г(1-с) _ Г(1 + а—ЬУГ(с -1)

' Г(1-Ь)Г(1 + а-с) 2 Г(а)Г(с - Ь) * 4 \ /(Л аз

, .TJ.COS0 , , . TjQ cos 0 1 sin2 в -f iv~

ь 2 * 2 2 2a У of

В разделе 3.2 проводится анализ этих формул. Если 9 меньше или порядка ^ j4, то при т)й = 0(1) величина Т = 0(1). В случае, когда 1 1 .. i

V - I V - I I ГУ

(-)<«0«_L(_)">, T^0(-) = 0(-TJ-) = o(l).

а „! а> М 0гЧ со По5

Таким образом, Ли Т резко изменяются при варьировании в в достаточно узком интервале значений.

В приложении I (к разделу 1.1) поясняется решение некоторых алгебраических уравнений при получении возможных зависимостей е (г).

В приложении 2 получено ТАР задачи о трансформации электромагнитной волны в нестационарной пространственно-однородной плазме (при пренебрежении временной и пространственной дисперсией), относительная диэлектрическая проницаемость которой меняется по закону

^ \ег+а

ет(0 = е -у—--, Т.=--=-, а>0, ге(-~;+~),

ттеГ+е ' а ет +1

м ком

где — - безразмерная переменная. Функция е„(г) представляет собой рас-

'о

смотренный в первой главе (но теперь в переменной () переходный слой с ПМИ. Найден коэффициент И, характеризующий возникновение обратной волны, и коэффициент трансформации для спектральной компоненты поля. Исследована зависимость /? от параметров задачи при ?0 —>0 и при °°. В случае ет ти = а рассмотрено медленное изменение диэлектрической проницаемости (/„ —>оа), и найдена зависимость убывания с ростом *0.

ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1) Решение задачи о падении плоской волны на переходный ограниченный слой £(г), заданный в неявном аналитическом виде и характеризующийся разными масштабами изменения £(г) при г-»±°°. Для этого слоя найдены точные выражения для коэффициентов отражения и прохождения волн обеих поляризаций. Решение уравнения для ТМ- волны выражается через элементарные и гипергеометрические функции (ГТФ), а решение для ТЕ - волны - через элементарные, ГТФ и производные от них. Исследовано влияние поляризации на отражение волн от такого слоя. Установлено, что с ростом частоты асимптотические зависимости модулей коэффициентов отражения ТЕ и ТМ - волн в случае падения на слой под углом, равным углу Брюстера, оказываются различными.

2) Новые ТАР задачи о поле горизонтально поляризованной волны в бес-столкновительной плазме для трёх других распределений электронной концентрации, соответствующих слоям £(г) с разными масштабами изменения е(г) при г —» ±°° ■ Решения выражены через ГТФ, найдены коэффициенты И и Г для волны, падающей из вакуума, и проведён анализ зависимости |я| от частоты волны, угла падения волны и параметров слоя.

3) Особенности частотной зависимости |/г| плоской ТЕ - волны от плазменного слоя £(г), характеризующимся одинаковыми предельными при г —» ±°° значениями £(г) и переменным масштабом изменения.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1*. Денисов A.B. Точное аналитическое решение задачи распространения волны горизонтальной поляризации через переходный слой без потерь с переменным масштабом изменения диэлектрической проницаемости. Тезисы докладов Региональной Vin конференции по распространению радиоволн. СПб. 29-30 октября 2002 г. Изд. СПбГУ, 2002 г. С. 17.

2*. Денисов A.B., Новиков В.В. Строгое решение задачи о поле вертикально поляризованной волны для ограниченного переходного слоя // Вестник СПбГУ. - 1993. - Сер. 4, Вып 4 (№25). - С. 9-14.

3*. Денисов A.B., Новиков В.В Точное аналитическое решение задачи распространения волны вертикальной поляризации через переходный слой без потерь //Сб. Проблемы дифракции и распространения волн.; под ред. М.П. Базаровой. -СПб: Изд-во СПбГУ, 1994. - №26. - С. 128-136.

4*. Денисов AB., Новиков В.В. Строгое решение задачи о поле волны горизонтальной поляризации для слоя с переменим масштабом изменения диэлектрической проницаемости // Вестник СПбГУ. -1994. - Сер. 4, Вып. 3 (№18). -С. 20-28. 5*. Денисов A.B., Новиков В.В. Особенности частотной зависимости модуля коэффициента отражения горизонтально поляризованной плоской волны от симметричного плазменного слоя // Вестник СПбГУ. - 1995. - Сер. 4, Вып. 4 (№25). - С. 15-22.

6*. Денисов A.B. Точное аналитическое решение задачи распространения волны горизонтальной поляризации через переходный слой без потерь с переменным масштабом изменения диэлектрической проницаемости слоя // Вестник СПбГУ. -2002. - Сер. 4, Вып. 1 (№4). - С. 124-128.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Epstein P. Refection of waves in an inhomogeneous absorbing medium // Ptoc. Nat. Acad. Sei. Amer. - 1930. - Vol. 16. - P. 627 - 637.

2. Rawer K. Elektrische Wellen in einem geschichteten Medium //Ann.Physik. - 1939. -Bd 35 (5). - S. 385 - 416.

3. Westcott B. S. Exact solutions for vertically polarized electromagnetic waves in horizontally stratified isotropic media// Proc. Camb. Phil. Soc. - 1969. - Vol. 66, pt 3. -P. 675 - 684.

4. Погорелов В. И. Коэффициенты отражения и прохождения электромагнитных волн разных поляризаций на одномерном слое неоднородности среды // Изв. Вузов. Радиофизика -1996. - Т. 39, №9. - С. 1075 -1086.

5. Волков Д. В. Об интегрировании уравнения класса Фукса с четырьмя особыми точками. - М.: Выч. центр АН СССР, 1991. - 38 с.

6. Смирнов В. И. Избр. Труды: Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений. - СПб.: Изд-во СПб. Ун-та, 1996. - 280 с.

7. Зернов H. Н., Макаров Г. И. Построение решения эталонного уравнения для задачи о распространении плоской волны вертикальной поляризации в бесконечном слое с максимумом электронной концентрации //Изв. Вузов. Радиофизика. -1976.-T.19.N2l.-С. 64 - 70.

8. Живулин В. А. Некоторые граничные задачи самосогласованного поля: Дис. канд. физ.- мат. наук. - Л.: ЛГУ, 1975. - 153 с.

Подписано в печать 30.04.04 г. Формат 60 х 84 ■/„ Печать RISO. Усл. 1 п. л. Тир. 100 экз. Зак. № 43 Лицензия серия ЛП Ко 000332 от 15 12.1999 г.

Отпечатано с оригияая-макета в ООО «Издательство «ОМ-Пресо» 190031, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 117. Тел. 168-83-10 (58-310), факс: 168-87-96(58-796).

С-/ Су

РНБ Русский фонд

2006-4 12971

23 МАЙ im

Введение.

Глава 1. Влияние поляризации на отражение волн.

1.1. Варианты задания ограниченного слоя, при которых уравнение для падающей плоской волны ТМили ТЕ поляризации сводится к 11 У.

1.2. Исследование решения задачи о падении плоской 7М-волны на переходный слой.

1.3. Точное аналитическое решение задачи распространения волны горизонтальной поляризации через переходный слой с переменным масштабом.

1.4. Выводы.

Глава 2. Отражение плоских волн горизонтальной поляризации от плазменных слоёв с переменным масштабом изменения плазменной частоты.

2.1. Строгое решение задачи о поле волны горизонтальной поляризации для плазменного слоя с переменным масштабом.

2.2. Исследование частотной зависимости модуля коэффициента отражения горизонтально поляризованной плоской волны от симметричного плазменного слоя.

2.3. Вид плазменного переходного слоя, для которого решение уравнения для волны горизонтальной поляризации выражается через вырожденные ГТФ.

2.4. Выводы.

Глава 3. Распространение 7М-волны в плазменном слое с максимумом электронной концентрации при малых потерях

3.1. Задача о падении 7М-волны на симметричный плазменный слой.

Задачи распространения волн в неоднородных средах являются предметом исследования разных разделов физики (механики, квантовой механики, радиофизики, оптики). В большинстве случаев математические модели изучаемых явлений сводятся к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям (ЛОДУ) второго порядка, которые для многих задач теории колебаний оказываются схожими и можно говорить об общих способах решения этих уравнений. Изучению этих уравнений посвящено огромное число работ. По теории распространения электромагнитных волн в детерминированных неоднородных средах имеется целый ряд монографий [1-13] и журнальных статей [14-31], а также диссертаций [32-34], в которых рассмотрены точные и приближенные решения многих задач распространения волн. Интерес к этим задачам возник в начале XX века, после того как эксперименты Кеннели в Америке и Хевисайда в Европе доказали возможность отражения волн от ионосферы [35].

Распространение радиоволн в изотропной среде зависит от дисперсионных свойств и степени неоднородности среды, а также от вида поляризации волны. При рассмотрении слоисто-неоднородных сред (плоскослоистых, цилиндрически-слоистых, сферически-слоистых) уравнения Максвелла распадаются на две независимые пары, которые соответствуют двум видам поляризации (вертикальной и горизонтальной). Как известно [7], простейшим типом электромагнитной волны является плоская волна. Сферическая или цилиндрическая волна на большом расстоянии от источника может в силу малого искривления участков фронта рассматриваться в ограниченной области пространства как плоская. Это позволяет в ряде случаев при изучении отражения волн от слоев пользоваться выражениями для коэффициентов отражения плоских волн. Линейно поляризованная волна (распространяющаяся в плоскослоистой среде cs(z)), у которой вектор электрического поля лежит в плоскости распространения, проходящей через прямую (z) и направление распространения падающей волны, называется вертикально поляризованной (или ТМ), а с вектором, перпендикулярным плоскости, - горизонтально поляризованной (или ТЕ).

Изучение отражения волн от неоднородностей среды является одной из широкого круга задач, касающихся теории распространения волн и энергетического расчета радиолиний. В случае плоскослоистой среды ce(z) и гармонической зависимости поля от времени в результате Фурье-преобразования поля по двум другим пространственным переменным из уравнений Максвелла (с учётом линейности уравнений), являющихся (в дифференциальной форме) уравнениями в частных производных, для комплексных амплитуд полей получаются ЛОДУ [4]. Рассмотрение задач, для которых известны точные аналитические решения (ТАР) (т.е. решения, выраженные через специальные функции математической физики) этих уравнений, имеет весьма большое значение. Дело в том, что вытекающие из точных решений выражения для коэффициентов отражения и прохождения волн раскрывают важные закономерности в зависимостях этих коэффициентов от частоты волны, угла падения волны на слой, параметров слоя, а также от поляризации волны. Радиофизика, как наука, имеет дело с определенными математическими моделями. Наибольший интерес представляет задание зависимости е от расстояния z посредством аналитических функций, для которых известны ТАР уравнений Максвелла. Такие зависимости s(z) при рассмотрении других качественно сходных моделей среды можно рассматривать в качестве эталонных [20,25].

В задачах радиофизики, описываемых дифференциальными уравнениями, параметры задачи, входящие в коэффициенты этих уравнений, не могут быть измерены точно, и они могут изменяться под влиянием различных возмущающих факторов. В связи с этим большое значение имеет теорема [36] об условиях (Липшица), при которых решение ЛОДУ непрерывно зависит от параметров, входящих в коэффициенты уравнения. Условия этой теоремы в практических задачах обычно выполняются, за исключением случаев, связанных с некоторыми предельными переходами по параметру либо параметрам [37]. Так, например, в случае, когда дифференциальное уравнение имеет малый параметр при старшей производной при частоте волны о —> оо, модуль коэффициента отражения в пределе может терпеть скачкообразное изменение. Возможна также ситуация, когда решение, являющееся непрерывным по каждому из параметров, не является непрерывным по их совокупности. В этом случае значение коэффициентов отражения и прохождения волны может зависеть от порядка предельного перехода по параметрам. Учёт одного из них, как правило, меняет структуру особых точек дифференциального уравнения. Такая ситуация имеет место в задаче об экранировании ТМ - волны в симметричном плазменном слое с малыми потерями и на частоте волны, близкой к максимальной плазменной частоте слоя [25, 33]. При этом решение зависит от порядка стремления параметров задачи -эффективной частоты столкновений и угла падения волны - к нулю. Реально эти предельные значения никогда не достигаются. Значения этих параметров могут находиться в окрестности их предельных значений, и представляет интерес исследование коэффициентов отражения и прохождения в более широкой области изменения параметров.

Хорошо известно, что впервые законы отражения и преломления волн в электромагнитной теории света были угаданы Френелем в 1823 году. Затем этими вопросами занимался Рэлей, Жамен, Коши. Ряд вопросов о согласовании теории и эксперимента, а также обсуждение возможных причин, ответственных за некоторое их несогласование полно освещен в лекциях [38] в разделе, посвященном некоторым вопросам теории колебаний.

Поскольку механика, а вместе с ней и теория дифференциального и интегрального исчисления появилась значительно раньше радиофизики, то нет ничего удивительного в том, что многие модели неоднородных сред в радиофизике были заимствованы из механики. ЛОДУ второго порядка описывают в радиофизике, например, распространение электромагнитных полей, а в механике - колебания с сосредоточенными или распределенными параметрами и одной степенью свободы. Разумеется, аналогия между механикой и радиофизикой прослеживается и при рассмотрении задач, математические модели которых даются в виде систем ЛОДУ.

Теория линейных дифференциальных уравнений второго порядка с аналитическими коэффициентами, которая берёт начало в XIX веке, привела к получению всех важнейших специальных функций [39-42]. Важную роль среди них занимают уравнения, все особые точки которых регулярны [43]. Гипергеометрическое уравнение (11 У) является одним из таких наиболее изученных уравнений с тремя регулярными особыми точками. Коэффициенты в функциональных соотношениях (связывающих линейно-независимые решения I I У в различных интервалах изменения независимой переменной) выражаются через гамма-функцию [44], теория которой в основном была завершена к концу XIX — к началу XX века. По теории ЛОДУ существует обширная литература [45-60]. Такой большой интерес к ним связан с их важностью в прикладной математике и отсутствием метода нахождения общего решения произвольного ЛОДУ второго порядка. Вместе с тем в течение последних тридцати лет теория дифференциальных уравнений (прежде всего по таким вопросам, как устойчивость решений, применение методов функционального анализа, разработка новых методов приближенного решения уравнений) развивалась настолько интенсивно, что претендующее на полноту сопоставление с литературой заняло бы более сотни страниц списка литературы (заметим, что в книге [61] библиография занимает 140 страниц, а с момента её выхода появился целый ряд монографий и статей)

Одной из самых первых (обзорных) работ об интегрировании ЛОДУ второго порядка с переменными коэффициентами, которое встречается в теории колебаний, является работа [57]. В ней рассмотрены функции f (х), для которых дифференциальное уравнение у1+р0л*)у = о, (1) где р0 - параметр), посредством замен зависимой и независимой переменных сводится а) к уравнению с постоянными коэффициентами, б) к уравнению Бесселя и в) к 11 У.

ГГУ, имеет канонический вид (1), где/(х) = —-Т~Г >так 4X0 эта Функция совпа

Г qdx Р + а exp(J --j)

В случае а) /(*) = --i-гтг, в случае б) /(х) =---k + mx + nx t где л + тх + пх ) (k + mx + nx ) k,m,n,q,a,P - произвольные величины. В [57] утверждалось (без доказательства), что в случае в) a + bx + cx2+dx3 = ~Т,-ЦТ" • (2) k + mx + nx у

Однако, как показано в [47], уравнение Римана, которое дробно-линейным преобразованием независимой переменной и линейной заменой зависимой переменной сводится к а + Ьх + сх2 (k + mx + nx1)2 дает с (2) только при d =0.

Решения уравнения (1) можно применить в задаче о нормальном падении ТЕ волны на слой, функция диэлектрической проницаемости е которого зависит от безразмерного расстояния х по закону /(х). Некоторые из этих зависимостей в (х)= /(х) одними из первых были рассмотрены в радиофизической литературе в задачах о распространении плоских электромагнитных волн [23].

Наиболее полный обзор функций e(z), для которых решения уравнений Максвелла для волны ТМ поляризации имеют ТАР в терминах ГГФ и вырожденных ГТФ, сделан в работе [24]. В интервале z е (-оо,+оо) почти все (кроме двух вариантов) рассмотренные в ней зависимости s(z) являются либо неограниченными, либо одно из их предельных значений при z —> —оо (или z —> -ню ) равно нулю. На этих двух вариантах s(z) следует подробнее остановиться. Одна из этих функций задаётся выражением e(z) = Kth2(az + b), (3) где К,а,Ь- постоянные. Для этой модели среды в [ 15, 22] рассмотрены ТАР уравнения и для ТЕ волны. Другая зависимость s(z), для которой было найдено ТАР для ТМполя, задавалась в неявном виде в = s(£(z)), однако, об ограниченности этой функции £(£(z)) в работе [24] не упоминалось. В ней не рассматривался и вопрос о возможном виде (или видах) слоя при той или иной взаимно однозначной связи между переменными Q и z. Оказывается (это рассмотрено в диссертации), что при определенной такой связи эта функция будет описывать переходный слой.

Что касается систематического анализа функций, для которых известны ТАР уравнения для ТЕ волны, то этот вопрос был рассмотрен в [15,22]. В работах [14, 15, 22-24] приведены зависимости e(z), для которых ЛОДУ для полей горизонтальной и вертикальной поляризации сводятся к изученным специальным функциям. Эти работы имеют радиофизическую специфику, в том числе связанную и с различными вариантами задания среды распространения волны (в какой-либо выбранной системе координат). В общем же математическом плане книги [49, 56] охватывают более широкие виды линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, которые заменами переменных сводятся к уравнениям Бесселя, Лежандра, Уиттекера, Матье, Ламе и гипергеометрическому. В них проведено более полное по сравнению с [22-24] исследование тех случаев, когда ЛОДУ второго порядка приводятся к изученным уравнениям. Однако не все результаты исследований, проведённых в этих работах, можно приложить к радиофизическим задачам. Это связано с тем, что в ЛОДУ для полей параметры задачи (частота волны, угол падения волны на слой, либо производная Шварца (при рассмотрении ТМ- волны)) входят в уравнение определенным образом, что заметно сужает применение многих уравнений, рассмотренных в [49], к теории распространения электромагнитных волн. Кроме того, в [49] проанализированы только линейные преобразования зависимой переменной. Заметим, что некоторые результаты этой работы были получены в [56] методом факторизации, обобщенным на случай переменных коэффициентов.

Обсудим коротко приближенные методы решения задач о падении плоской волны какой-либо поляризации на слой, необходимость привлечения которых связана с отсутствием известных ТАР уравнений для полей. Все эти приближенные методы [60-72] связаны с наличием малого параметра задачи. Это методы: частичных отражений (частный случай метода последовательных приближений) [1], ВКБ [62, 64], метод геометрической оптики [67], метод фазовых интегралов [9,62]. Границы применимости метода геометрической оптики были расширены [73]. Здесь следует упомянуть предложенный в 1952 году метод осреднения функциональных поправок [74], применяемый для приближенного решения интегро-дифференциальных уравнений. Ссылок на его применение в задачах радиофизики автор не нашёл, но этот метод, возможно, будет применён и при решении задач о распространении электромагнитных волн в неоднородных средах. Большая библиография в [74] указывает на его различные (математические) видоизменения и обобщения. В случае среды, характеризующейся бесконечно дифференцируемой функцией диэлектрической проницаемости, а также при отсутствии точек поворота на вещественной оси модуль коэффициента отражения при стремлении частоты падающей волны а -> <ю экспоненциально мал [9]. Таким образом, он не может быть получен в рамках лучевого метода, где для него получается степенное убывание с ростом частоты. Приближенные методы решения задачи распространения волн тесно связаны с математической теорией устойчивости [75] и с теорией асимптотического (в редких случаях сходящегося) разложения (в монографии [64] решения уравнений с малым параметром при старшей производной представлены в виде сходящихся рядов). Укажем также на метод эталонного уравнения (МЭУ) (который в отечественной физико-математической литературе связывают с работами А. А Дородницына, а в западной математической литературе (вероятно учитывая историю возникновения, а не саму идею метода, безусловно принадлежащую А. А Дородницыну, более известный как преобразование Лангера) [60,70]. Этот метод приближенного решения ЛОДУ при наличии большого параметра задачи нашёл широкое применение в задачах распространения электромагнитных волн в неоднородных (изотропных и анизотропных) средах (см. работу [20], а также большое число работ Г. И. Макарова, на которые в ней приведены ссылки). Этот метод является одним из эффективных способов нахождения асимптотического поведения специальных функций математической физики.

С математической точки зрения возможна ситуация, когда слой настолько медленно выходит (при z —> ±оо ) на вакуум (или другую однородную среду), что полученное решение при z ±оо не будет иметь вид плоских волн. Математическая формулировка условий, при которых это имеет место, дана в работе [61]. Два варианта такого слоя приведены в диссертации (один вариант - в первой главе, а другой - во второй). Указанные выше асимптотические методы часто приводят к решению в виде расходящегося ряда.

В радиофизической литературе интерес к точно решаемым задачам о распространении волны в среде никогда не пропадал. Трудность этих задач в том, что основной метод интегрирования дифференциальных уравнений - это введение удобных замен зависимой и независимой переменных, преобразующих уравнение к простейшему виду, но для нахождения этих замен нет общего правила. Заранее не ясно, к какому уравнению целесообразнее свести исходное дифференциальное уравнение. При этом количество и характер его особых точек не всегда может навести на успешное преобразование. В математической литературе линейно-дифференциальные и другие более сложные (нелинейные) преобразования зависимой переменной (которые могут изменить количество особых точек уравнения) рассмотрены не так подробно, как линейные преобразования. При рассмотрении нелинейных преобразований зависимой переменной тем более нет общего правила.

Из обзора вышеперечисленных работ можно сделать вывод, что в классе аналитических функций e(z), вещественных и непрерывных при действительных значениях z, а также принимающих произвольные конечные значения при z ±оо, существует только одна зависимость e(z), допускающая ТАР уравнения для 7Е-волны - это слой Эпштейна [1, 14]. Однако даже для простейшего случая переходного слоя Эпштейна решение уравнения для ТМ- волны не получено. С помощью замен независимой и зависимой переменных его можно свести к уравнению с четырьмя особыми точками [58, 59], теория которого к настоящему времени еще не завершена. Функциональные соотношения, связывающие асимптотики линейно-независимых решений произвольного уравнения с четырьмя правильными особыми точками на сегодняшний день не известны. Полученные в [59] решения такого уравнения (в случае вещественного коэффициента уравнения) в виде очень громоздких рядов, сходимость которых имеет место только в отдельных областях, не дают возможности получить простые (т.е. в конечном виде) выражения для коэффициентов отражения и прохождения волны даже в случае вещественного слоя.

В литературе исследовано все ещё недостаточное количество точно решаемых моделей, чтобы провести какую либо классификацию закономерностей коэффициента отражения, поэтому представляет интерес дальнейшее изучение закономерностей отражения волн при рассмотрении некоторых новых моделей среды. С целью их изучения предприняты исследования, результаты которых изложены ниже.

В диссертационной работе представлены некоторые новые ТАР задач о распространении плоских гармонических волн в безграничных изотропных плоскослоистых средах. В математическом отношении эти задачи сводятся к решению дифференциальных уравнений с соответствующими условиями на бесконечности [7, 17].

В диссертации рассмотрены такие зависимости диэлектрической проницаемости е от расстояния z, для которых ТАР уравнений Максвелла для гармонических полей горизонтально и (или) вертикально поляризованных волн сводятся к гипергеометрическим и вырожденным гипергеометрическим функциям. В диссертации впервые, исходя из ТАР уравнений Максвелла для ТМ и ТЕ- волны, рассматривается задача о влиянии поляризации на особенности отражения волн для положительной и ограниченной функции s(z) специального вида, моделирующего переходный слой. Для него автором найдены коэффициенты отражения R и прохождения Т плоских гармонических волн и исследованы зависимости коэффициентов отражения от частоты волны и угла падения волны на слой.

В первой главе диссертации для этого слоя (который в общем случае задается неявно) найдены выражения для коэффициентов отражения и прохождения ТМ- волны. Затем (для этого же слоя) автором получено ТАР уравнения и для ТЕ- волны, что позволяет исследовать влияние поляризации на особенности отражения волн от такого слоя при произвольных значениях частоты волны и угла падения волны на слой. При получении ТАР уравнения для ТЕ- волны применяется линейно-дифференциальное преобразование зависимой переменной уравнения с целью понижения количества его особых точек с четырёх до трёх регулярных особых точек и сведения уравнения (для новой функции) к 11 У.

Кроме того, в первой главе получено точное ТЕ- решение и для более общего случая переходного слоя.

Полученное в этой главе ТАР ЛОДУ для ТЕ поляризации было применено автором к рассмотрению ТАР задачи о распространении электромагнитных волн в однородной нестационарной среде (это решение приведено в приложении). При этом в случае медленного изменения свойств среды была установлена новая зависимость коэффициента трансформации волны от параметра, характеризующего различный характерный интервал изменения свойств среды при t ±00. В работах [76-78] нестационарность плазмы характеризовалась более простыми моделями s{t)w этот случай не был исследован. Приведённая в [78] зависимость s(t) является частным случаем неявно заданной функции, рассмотренной в диссертации применительно к этой задаче.

Во второй главе диссертации рассмотрены некоторые ТАР задач о падении ТЕ -волны на плоскослоистую среду и изучены особенности в поведениях коэффициентов отражения от частоты и угла падения волны. Проведено обобщение результатов Эпштейна на случай, когда плазменная частота характеризуется различной скоростью стремления к предельным значениям при г —► ±оо. Получены R и Г для новых видов слоёв (с одним, двумя и тремя максимумами coM(z) ). Установлено, что модуль коэффициента отражения может характеризоваться как монотонным убыванием с ростом частоты, так и наличием осцилляции. Кроме того, рассмотрен новый вид слоя, для которого ТАР задачи о распространении ТЕ- волны выражается через ГТФ и их производные. Для этого слоя в частности получено выражение для Щ в случае сильного изменения свойств среды при г —> ±оо.

В третьей главе рассмотрено приближенное решение задачи о падении 7М- волны на ограниченный плазменный слой с максимумом электронной концентрации (частота волны полагается равной максимальной плазменной частоте в слое). При этом диссипа-тивные процессы в среде определяются отношением эффективной частоты столкновений электрона v к частоте волны а. В отличие от работ [25, 33], в которых рассматривался случай больших значений sin2 в , когда коэффициент прохождения волны при малых углах в, но при произвольном значении

Показано, что при малых потерях в слое значение |Г| существенно зависит от параметра sin2&J— . В случае sin2 в Л— »1 имеет место незначительное просачивание волны сквозь слой, при этом V v порядок величины |7] согласуется с результатами работ [25, 33], в которых были рассмотрены другие модели слоя. В случае sin модуль коэффициента прохож

V v дения |г| = 0(1). Коэффициент прохождения волны сильно изменяется в очень узком диапазоне углов в. Таким образом, найденное в третьей главе решение задачи о распространении ТМ— волны сквозь плазменный слой дополняет результаты исследований, выполненных в вышеупомянутых работах.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [79-84]. На защиту выносятся следующие основные положения.

1) Решение задачи о падении плоской волны на переходный ограниченный слой s(z), заданный в неявном аналитическом виде и характеризующийся разными масштабами изменения e(z) при z —► ±оо. Для этого слоя найдены точные выражения для коэффициентов отражения и прохождения волн обеих поляризаций. Решение уравнения для ТМ- волны выражается через элементарные и гипергеометрические функции (ГТФ), а решение для ТЕ - волны - через элементарные, ГТФ и производные от них. Исследовано влияние поляризации на отражение волн от такого слоя. Установлено, что с ростом частоты асимптотические зависимости модулей коэффициентов отражения ТЕ и ТМ - волн в случае падения на слой под углом, равным углу Брюстера, оказываются различными.

2) Новые точные аналитические решения задачи о поле горизонтально поляризованной волны в бесстолкновительной плазме для трёх других распределений электронной концентрации, соответствующих слоям e(z) с разными масштабами изменения s(z) при z —> ±00. Решения выражены через ГТФ, найдены коэффициенты RnT для волны, падающей из вакуума, и проведён анализ зависимости |/?| от частоты волны, угла падения волны и параметров слоя.

3) Особенности частотной зависимости |/?| плоской ТЕ- волны от плазменного слоя s(z), характеризующимся одинаковыми предельными при z -> ±оо значениями e(z) и переменным масштабом изменения.

В работе используется система единиц СИ. Все формулы в тексте (за исключением введения и приложений) пронумерованы двумя цифрами: первая означает номер главы, а вторая - порядковый номер формулы в данной главе.

Основные результаты данной диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. Проведено развитие исследований Весткотга [24], посвященных точным решениям задач распространения 7М-волн в горизонтально-слоистых средах. Рассмотрен переходный ограниченный слой, решение уравнений Максвелла в котором для 7М-волны выражается через гипергеометрические функции, и для него получены точные выражения для коэффициентов отражения и прохождения волны.

2. Для этого слоя, а также для переходного слоя более общего вида получены точные решения задач распространения JE-волны, что является развитием исследований Эп-штейна [14], Хединга [22] и Рауэра[15]. Установлена возможность обращения в нуль коэффициентов отражения волн различных поляризаций при некоторых значениях частоты волны и угла падения волны на слой. Выявлено влияние поляризации на особенности модуля коэффициента отражения.

3. Установлен различный характер асимптотической зависимости модулей коэффициентов отражения 7Ми ТЕ- волн (с ростом частоты волны) при углах падения, равных углу Брюстера.

4. Построены точные решения (выраженные через ГГФ) задачи распространения ТЕ- волны в плазменном слое с одним, двумя и тремя максимумами электронной концентрации. Установлены закономерности отражения волн - скачкообразное изменение коротковолновой асимптотики модуля коэффициента отражения, в общем случае его немонотонный характер убывания с ростом частоты, а также обращение его в нуль при определенных параметрах задачи.

5. Из точного решения задачи распространения ТЕ- волны (в терминах ГТФ и их производных) в переходном плазменном слое, плазменная частота которого характеризуется различной скоростью стремления к её предельным значениям, получены новые особенности убывания модуля коэффициента отражения с ростом частоты, обусловленные наличием в этой зависимости дополнительного предэкспоненциального множителя.

6. Проведено развитие исследований Г.И. Макарова, Н.Н. Зернова [25] и В. А. Живулина [33], посвящённых изучению распространения ТМ- волны в симметричных плазменных слоях с малыми потерями.

В заключение приношу глубокую благодарность моему руководителю - профессору

В.В. Новикову за неизменный интерес и внимание, которое он проявил при руководстве диссертационной работой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Изд-во АН СССР, 1957. - 502 с.

2. Бейтмен Г. Математическая теория распространения электромагнитных волн/ Пер. с англ.; под ред. Н.С. Кошлякова. М.: ГИФМЛ, 1958. - 180 с.

3. Budden R.G. Radio waves in the ionosphere. London : Cambridge Univer. Press, 1961. -340 p.

4. Гинзбург В. JI. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967. -683 с.

5. Гольдштейн Л.Д., Зернов НВ. Электромагнитные поля и волны. М.: Советское Радио, 1971.-662 с.

6. Папаз Ч.Г. Теория распространения электромагнитных волн/ Пер. с англ.; под ред. Г.Б. Гарибяна. Ереван: Изд-во АН Армянской ССР, 1974. - 304 с.

7. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое АП. Теория волн. М.: Наука, 1979. - 432 с.

8. Wait J.R. Lectures on wave propagation theoiy. N.J.: Pergamon press, 1981. - 384 p.

9. Заславский Г.М., Мейтлис В.П., Филоненко H.H. Взаимодействие волн в неоднородных средах. Новосибирск: Наука, 1982. - 177 с.

10. Вайнштейн Л. А Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. - 440 с.

11. Макаров Г.И., Новиков В.В., Рыбачек С.Т. Распространение электромагнитных волн над земной поверхностью. М.: Наука, 1991. - 196 с.

12. Макаров Г.И., Новиков В.В., Рыбачек С.Т. Распространение радиоволн в волноводном канале Земля ионосфера и в ионосфере. - М.: Наука, 1994. - 152 с.

13. Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. М.: Наука, 1999.-496 с.

14. Epstein P. Relection of waves in an inhomogeneous absorbing medium // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 1930. -Vol. 16,- P. 627-637.

15. Rawer K. Elektrische Wellen in einem geschichteten Medium //Ann.Physik. 1939. - Bd 35 (5). -S. 385-416.

16. Фок В. А. Законы отражения Френеля и законы дифракции //Успехи физ. наук,- 1948.-т. 36, №3. С. 308-328.

17. Свешников А.Г. Принцип излучения // ДАН СССР. 1950. - Т.73, №5. - С. 917-920.

18. Иванчиков В.И. К вопросу об отражении электромагнитных волн от неод но род ноете й типа слоев Эпштейна//Изв. Вузов. Радиофизика. 1958,- №1. - С. 150-152.

19. Пресняков Л.П., Собельман И И. О распространении электромагнитных волн в среде с переменным показателем преломления // Изв. Вузов. Радиофизика. 1965. - Т.8, №1. - С. 57-63.

20. Безрученко Л.И., Макаров Г.И. Распространение импульсного сигнала в ионосферном слое Эшптейна //Сб. Проблемы дифракции и распространения волн.; под ред. Э.М. Гюннинена. Л.: Изд-во ЛГУ, 1966. - Вып.5. - С. 71-84.

21. Heading J. Investigation into a new stratified hyperbolic profile // Proc. Camb. Phil. Soc. -1967. Vol.63, pt 2. - P. 439-450.

22. Westcott B.S. Electromagnetic wave propogation in spherically stratified isotropic media // Electr. Lett. 1968. - Vol.4, №25. - P. 572-573.

23. Westcott B.S. Exact solutions for vertically polarized electromagnetic waves in horizontally stratified isotropic media // Proc. Camb. Phil. Soc. 1969. - Vol.66, pt 3. - P. 675-684.

24. Зернов H.H., Макаров Г.И. Построение решения эталонного уравнения для задачи о распространении плоской волны вертикальной поляризации в бесконечном слое с максимумом электронной концентрации //Изв. Вузов. Радиофизика. 1976. - Т. 19, №1. - С. 64-70.

25. Макаров Г.И., Новиков В.В. Некоторые вопросы распространения электромагнитных волн в слоистых средах // Теория распространения волн в неоднородных и нелинейных средах. М.: ИРЭ АН СССР, 1979. - С. 188-259.

26. Погорелов В.И. Отражение радиоволн от слоя с переменной диэлектрической проницаемостью // Изв. Вузов. Радиофизика. 1990. - Т.ЗЗ, №4. - С. 435-442.

27. Погорелов В.И. Коэффициенты отражения и прохождения электромагнитных волн разных поляризаций на одномерном слое неоднородности среды // Изв. Вузов. Радиофизика 1996. - Т.39, №9. - С. 1075-1086.

28. Куницын В. Е., Нестеров И А. О задаче восстановления профиля электронной концентрации слоистой плазмы// Фундаментальная и прикладная математика. 1999. -Т5, Вып.2. - С. 503-526.

29. Куницын В.Е., Усачев А.Б. Отражение радиоволн от немонотонных ионосферных слоев//Изв. Вузов. Радиофизика .- 1999. Т.ЗЗ, №1. - С. 267-273.

30. Козлов И.П. Распространение электромагнитных волн в неоднородной плоскослоистой среде//Радиотехника и электроника. 2001. - Т46, №1. - С. 66-71.

31. Денисов Н.Г. К теории распространения электромагнитных волн в неоднородной изотропной и магнитоактивной средах : Дис. канд. физ.-мат. наук. Горьковский Университет, 1954. - 134 с.

32. Живулин В.А. Некоторые граничные задачи самосогласованного поля: Дис. канд. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1975. - 153 с.

33. Стефанчук А. Д. Расчёт полей электромагнитных волн в слоистой ионосфере с учётом нелинейных эффектов: Автореферат диссертации на соискание учёной степени канд. физ.-мат. наук.-М.: МГУ, 2000. 24с.

34. Дэвис К. Радиоволны в ионосфере/Пер. с англ.; под ред. А. А. Корчака. М.: Мир, 1973. - 502 с.

35. Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. М: Гостехиздат, 1955. - 300 с.

36. Бэр Р. Теория разрывных функций/Пер. с франц.; под ред. А. Я. Хинчина. -М.,Л.:ГТТИ, 1932. 135 с.

37. Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории отосительности и квантовой механике. -М.: Наука, 1972.-440 с.

38. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции/Пер. с англ. В.Я. Виленкина. М.: Наука, 1965, Т1. - 296 с.

39. Слейтер Л. Дж. Вырожденные гипергеометрические функции/Пер. с англ. М.К. Керимова. М.: Выч.центр, 1966. - 249 с.

40. Люк Ю. Специальные математические функции и их приложения/Пер. с англ.; под ред. К.И. Бабенко. М.:Мир, 1980. - 608 с.

41. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984. - 344 с.

42. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Минск.: Вэш. Школа, 1979. - 136 с.

43. Артин Е. Введение в теорию Гамма — функций/Пер. с нем. Д. А. Райкова. М.,Л: ГТГИ, 1934. - 39 с.

44. Стеклов В. А. Основы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.,Л.: ГИ, 1927. 419 с.

45. Горт В. Дифференциальные уравнения/Пер. с нем.; под ред. Р. О. Кузьмина. М.,Л: ГГТИ, 1933.-480 с.

46. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.,Л: ГИТТЛ, 1941.-398 с.

47. Эльскгольц JIЭ Обыкновенные дифференциальные уравнения. -. М: Гостехиздат, 1957. 272 с.

48. Манжаловский В.П. К интегрированию некоторых однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами в специальных функциях. Харьков: Изд-во Харьк.ун-та, 1959. - 69 с.

49. Штокало И. 3. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. -Киев: Изд-во АН УССР, 1960. 78 с.

50. Штокало И. 3. Операционные методы и их развитие в теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Киев. Изд. АН УССР, 1961.-128 с.

51. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения/Пер. с англ. А. Д. Мышкиса. М.: ИЛ, 1962. - 352 с.

52. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1970. 279 с.

53. Абгарян К. А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. -М.: Наука, 1973. -432 с.

54. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования функций и уравнений. Киев: Наукова думка, 1984. - 420 с.

55. Беркович Л.М. Факторизация и преобразования обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989. - 192 с.

56. Штаерман И Я. Применение одного элементарного метода интегрирования в теории устойчивости и в теории колебаний //Вестник Киевского института. 1929. Книги 2,3. - С. 142-146.

57. Смирнов В.И. Избр. Труды: Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во СПб. Ун-та, 1996. - 280 с.

58. Волков Д.В. Об интегрировании уравнения класса Фукса с четырьмя особыми точками. М.: Выч. центр АН СССР, 1991. - 38 с.

59. Дородницын А.Н. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка /УМН, 1952, т.7, вып. 6. С. 3-96.

60. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений/ Пер. с англ.; под ред. В. В. Немыцкого. М.: Мир, 1964. -478 с.

61. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ)/Пер. с англ.; под ред. В.П. Маслова. М.: Мир, 1965. - 238 с.

62. Федорюк М.В. Топология линий Стокса уравнений второго порядка // Изв. А.Н. СССР. Сер. Матем. 29,1965,- С. 645-656.

63. Фреман Н., Фреман П.У. ВКБ-приближение/Пер. с англ.; под ред. А. А. Соколова. -М.: Мир, 1967. 168 с.

64. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. М.: Наука, 1972. - 456 с.

65. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике/Пер. с англ.; под ред. О. С. Рыжова. М.: Мир, 1972. - 274 с.

66. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980,- 304 с.

67. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. - 352 с.

68. Найфэ А. Введение в метод возмущений/Пер. с англ.; под ред. Р. Г. Баранцева. -М.:Мир, 1984.-535 с.

69. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции/Пер. с англ.; под ред. А. П. Прудникова. -М.:Наука, 1990. 528 с.

70. Копсон Э. Асимптотические разложения/Пер. с англ.; под ред. М. А. Евграфова. М.: Мир, 1990. - 160 с.

71. Эскин Л. Д. Нелокальная асимптотика решений дифференциальных уравнений. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1990. 296 с.

72. Кравцов Ю. А. Модификация метода геометрической оптики для волны, просачивающейся через каустику// Изв. Вузов. Радиофизика. 1965- Т.8, №4 - С. 659-667.

73. Соколов Ю. Д. Метод осреднения функциональных поправок. Киев: Наукова Думка, 1967.-336 с.

74. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. - 534 с.

75. Ерохин Н.С . Вопросы теории линейной и нелинейной трансформации волн в неоднородных средах//УФН. Том 109, Вып. 2.1973.- С. 225-258.

76. Аскарьян Г. А., Погосян В. А. Волны и силы в однородной среде, свойства которых меняются во времени//ЖЭТФ. Т. 65, Вып. 1 (7). 1973,- С. 117-122.

77. Неравновесные и резонансные процессы в плазменной радиофизике/Н.С. Ерохин, М П. Кузелев, С.С. Моисеев и др. М.: Наука, 1982. - 272 с.

78. Денисов А.В., Новиков В В. Строгое решение задачи о поле вертикально поляризованной волны для ограниченного переходного слоя //Вестник СПбГУ. 1993. -Сер. 4, Вып 4 (№25). - С. 9-14.

79. Денисов А.В., Новиков В.В. Строгое решение задачи о поле волны горизонтальной поляризации для слоя с переменым масштабом изменения диэлектрической проницаемости // Вестник СПбГУ. 1994. - Сер. 4, Вып. 3 (№18). - С.20-28.

80. Денисов А.В., Новиков В.В. Особенности частотной зависимости модуля коэффициента отражения горизонтально поляризованной плоской волны от симметричного плазменного слоя // Вестник СПбГУ. 1995. - Сер. 4, Вып. 4 (№25). - С.15-22.

81. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций,- М.: Наука, 1966. -500 с.