Збiжнiсть у граничних теоремах теорii надiйностi тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГ Б Ой 2 г АВГ 199^

НАЩ ОПАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ і нені Тараса ЛЕВЧЕНКА

На правах рукопису

КУШНІР Олександр Олегович

. 7ДК 519.21

ЗБШІІСТЬ У ГРАНИЧНИХ ТЕОРЕМАХ ТЕОРІЇ НАДІЙНОСТІ

01.01.05 - теорія імовірностей і катехатнчна статистика

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізкко-катєкатичних каук

Київ - 1394

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Національного університету ік. Т. Зевчзнка.

Наукозий керівник: доктор фізико-матєматичних наук,

професор ' КАРТАЕОВ М.В.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук,

професор изнецов М.В.:

кандидат фі зско-катенатичних наук,

■ КОМАШКО О.В.

Провідна організація: Інститут математики НАН УКРАЇНИ.

Захист відбудеться "Ж." р. о

годині на засіданні спеціалізованої ради К 01.01.14 при Національному університеті України іи. Тараса Еевченка за адресов; 252127 Київ - 127, проспект Академіка Глупсова, '6, механіко--катенатнчний факультет.

З дисертацією иохна ознайомитися в бібліотеці Національного університету 'імені Тараса Ееечеі-ка.

Автореферат розісланий. "М." .,0% 199^ р.

Вчений секретар спеціалізованої ради

КУРЧЕНКО 0.0.

Актуальність теми. У зв’язку із створення« високонадійних технічних систем активно розвивається

асимптотичний аналіз випадкових процесів, zp ' описують їх функціонування, зокрема з роботах Анісі нова В.В.Боровкогза 0.0., Гніденка Е.В., Калашікова В.В., Картаиова Я.В., Хінчина О.Я., Шуренкова. В.М. та багатьох інсих азторів. о

Завдання аналізу таких процесів значно спрощується, яхср припустити, до розподіл тривалості деяких елементарних операцій (наприклад, безвідновної роботи елементів) у системі каяветть до певного параметричного класу, особливо експоненціального. У такому випадку процеси, ер розглядаються, кодуть бути харківськими, або нагівкаркісськими з дііскретнсв многсінся стзніа. .Тему d перзіх роботах цього яапря-tKV теорії надіГяіості припуцзкня такого роду пнреко використовувалися. Пізнігм обмеження на (Ьуякції розподілу стали носити загальний xapwrrep, наприклад у вигляді абсолютної иеперорзнссті та хо.чентних обнзгень (див. поаці Барлоу ?. га Лроаана Ф., Соловйсза А'.Д., Короянса B.C.,-Турбіна А.Ф.). Внаслідок цього звузився клас процесіз-ноделей, цо ::авть ноязнти регенерації. Щоб подолати переисоди такого типу, деякі автори, зокрема Коваленко І.М., Кузкецоз Н.Э. успішо зайкалнея нгучноз побудовою таких ксхєіітіз .

Паралельно впродозх останніх десятирічь розсипалась теорія Т'ідноздения. ЇІа»ча справ; з досить специфічними ярсцесака, в її ра::ках вдазг.лсся отг-пиуазт;! як досить загальні гпінкчні тсоре.чи (вузлова тєорека Скхта'!, і рівномірні грана7ні теереки (зокрема в роботах СяльвесгрозавД.С. ,• Картаетза а taxes хоропі якісні

(Рогозі них Б.А.) та кількісні оцікки пзидкреті збіпності (Карта-швих И.В.) пр-л досить загадьглх обкєгкліякх на вихідні функції розподілу. ;

Багато результатів теорії зіднозлєкня кож перефор.мулвзгті!

> вигляді теорех про асимптотичну поведінку розз’ї-Гіків інтегральнії;: рівнянь пезнего типу: рівнянь підновлення та

подібних до них, наприклад, такого вигляду

' +00

x(t) = ef(U + KCt-s)dFCs), t«(0,+«>?,

де f - задана функція, F - функція розподілу невід'ємної випадкової веллчини, ««10,11. .

Зокрема теорему Реньї (Renyi А-А-) можна сформулювати в термінах рівняння U) так: при f=F

Досягнення у теорії відновлення кош.а застосувати до дослідження систем, які не описуються о днин процесом відновленая і навіть не мають моментів регенерації.

Цьому питанню і присвячена дана робота.

Мета роботи. Отримати граничні теореми, рівномірні граничні теореми та кількісні оцінки шидкості. збіжності у наступних задачах: ‘

1) ^-зближення кількох незалежних процесів відновлення при

2) прсрідкення рекурентного потоку незалежним від нього альтврнуючин процесом, проміжки відновлення якого збігаються до нуля в середньому.

Загальна методика досліджень. При розгляді кожної системи складається інтегральне рівняння для функції розподілу моменту настання шуканої рідкісної події, яке потім аналізується за допомогою досягнень теорії відновлення.

Новизна результатів, наукова та практична цінність. В роботі запропонований новий метод дослідження асимптотики Вказаних виш,е рідкісних подій, Ер дало змогу дедо узагальнити відомі раніпе граничні творе««, доведені в роботах Королика B.C., Турбіна А,Ф. Цей метод кожна, буде застосувати'для аналізу іншіх, складніших систем.

Вперие отримані кількісні оцінки швидкості збіжності в розглянутих задачах. Ці оцінки коша використати при праіпичних

о

1і® x(t/c) = 1 - expi-tyMF} £•*0

HD

розрахунках екстремальних показників надійності систем із

захистом. -

Апробація роботи. ■ Основні результати дисертації доповідались автором на науково-технічній конференції, присвяченій 70-річч» Українського інституту Інженерів Водного Господарства у 1992 році, та на наукозих семінарах кафедри вицої математики У11ВГ.

Публікації. На тему дисертації опубліковані 4 роботи.

Структура та об’єм роботи. Дисертація

обсягом 93 сторінок масинопису складається із вступу, 6

параграфів, розбитих на 2 розділи, і списку цитованої літератури із 38 найменувань.

, ЗМІСТ РОБОТИ

7 вступі обгрунтовується актуальність теки, формулюється нетз і методика дослідження, дасться огляд літератури з теми дисертації і наводиться анотація отриманих результатів.

7 персом у розділі вивчається збірність потоку «-збликвнь 'сількох незалежних рекурентних потоків до найпростішого.

З 51 формулюються означення і вводяться позначення, а такоз наводяться допоміжні тае; д’їзння, я:сі використовується в днеертаді ї,

{ 0, х^О; г *і

Нехай х(:0 = і » 2х(х) = 1 - ехр{->-х> *(х);

і. 1, :<>0; 1 J

¡А- і ,

Е^Сх) = fî - ехр{->-х) \ х£х£<п]х(х), >о0, х « «, n е W.

L ; »о

Для довільної функції розподілу невід’ємної незалежної випадкової величини (далі - ф.р.) F позначимо ‘

КГ = IxciF(x); Т = x-Fi XFCk) = fF(y)dy, х « R;

О ■ О

RF « XF/UF; " F = sup |F'x+^) - Fix)i, *>0.

:>o

Для класу ф.р. iFa,a«A> позначимо буквами наступні умови:

Ш) inf MFrt > 0; (X) lin sup^F^(x) = 0;

С*єА X-*CD £j=£A

(0) F_(+0) - : 0, OgA; lia sup Fa(^) < I;

U £+Q aeA

(ш) lira sup o <1 * Ц. i* 3 («3) • li® sup Fa(£) = 0;

£+0 aeA £-*0 0<=A

Назвемо ф.р. F - абсолютно неперервного типу (далі - АНТ), якср при деякому п «= ^ n-кратна згортка F п нас абсолютно неперервну компоненту (далі - ДНЮ, тобто його бути поданою у вигляді

F*n « CfF^ + CgF2 , де FjCx) •> ^f(y)dy для деяких чисел at > О,

с2 і 0, + сг = І, ф.р. Ff та Рг, та інтегрованої функції f.

Про сукупність ф.р. {Fa,«eA> говоритикеко, ир вона -рівномірно абсопвтно неперервного типу (далі - РАНТ), якщо вона задовольняє: ШД) та наступну умову CD): ' ‘

(D) існують в> е Ш, с>0, а<Ь такі, що при всіх ««а цільність АН8

> F*n не кенил від с на відрізку [а,Ь]. -

П-/ , .

• і • -

У §2 вивчається аеинптотика моменту периого «-зближення двох

незалежних рекурентних потоків.

Розглянеко дві незалежні послідовності CSTl)n>0, CT,J^0 сук

нєзалекних нєеід’сннкх випадкових величин які

каюті, ф.р. F, (6 та скінченні додатні математичні сподівання MF та

KG відповідно. '

У теоремі 2.1 сформульовані умові;, при яких йновірність

співпадання >іоиентів Sn та Тп дорівнює нул».

Лозначико для «>0, s^3

е.

т

sCx) = ?{eÆ S<X>.

Фє s(xî = P<T£ S<X}.

T e о p в її a 2.2. Нехай одна з ф.р. F, 6 - АНТ. Тоді, якщз F' - неперервна на (0,+т), то '

li® sup sup f І v* _(t) - Ex(t? І + \<PC slt) - Ex(t)|l = 0, (2-29)

£-*0 IgR £>0 *■ » * ,

a яхщр F - нерепііткова,. G - неперервна на (0 ,+<*>), то для довільної неперервної ф.р. К Ш0)=0>

де х = *(ї-Ри0))(1-'3(+0)>/(МГ-МЗ).

Нехай Р вибирається з класу ф.р. СГа,««А>, Є - з класу ф.р. аК-з класу ф.р. СК^,, г е П. Тоді

Сі) якср СРа,<*еА} - РАНТ та одностайно неперервний, а {Є^./їев} - задовольняє умови Ш,Х,«о>, то збіжність у (2.29) буде рівномірною;

(іі) якир {Ра,о«А} - рант і задовольняє умову (и), {.вр,реіз}

- укови СЯ.Х.о,“), а клас {1!^, г «з г> - одностайно неперервний, то збіжність у С2.30) - рівномірна.

Побудовані в роботі оцінки сзидкості збірності у (2.29-2.30)

/ — ? />

мають порядок не кращій, ніж 0(« ), якпр відоко, ер

м(?}) <+(», н(г?г )Г<+«> р має обмежену вільність Г, яка збігається до нуля на нескінченності, і 0(-^1п(£)), якну иеур{>^)<+<», КехрО^К+ю, для деякого Х>0 і при тій хе укові гладкості р. Шир х Р нас сингулярну компоненту, то побудовані оцінки ка»ть гіршй порядок.

У §3 сформульоване тиердження узагальнюється на випадок ^-зближення кількох процесів відновлення, а такоя рстановлиеться збіжність потоків «-збликень до найпростішого.

lira sup £+о tek ~

(2.30)

О.Я. Хінчин даз означення збізгності потоку однорідних подій до найпростішого, нка еквівалентна слабкій збіжності в розумінні випадкових процесів, тобто в терміна?: кількостей подій, що відбулися до фіксованих монентів часу. З теореми 3.4 випливає, ср потоки -с-зближекь збігаються у цьому розумінні до найпростішого із параметром *=1 після нормування на ^т'~іде » -кількість процесів відновлення, MF£ - математичне сподівання проміжків міх відновленнями і-го процесу, І^І^т, якцо всі ф.р. проміжків кіх відновленнянк - неперервні й АНТ.

У другому розділі розглядається суперпозиція альтернуючого процесу з інтервалами безвідмовної роботи <-r>n)neN та тривалостями проніїсгів відновлення із ф.р. G та J та скінченними

ДОД..ГЛІКН >;атекггичшінн сподіваннями MG va MJ відповідно 1 незалежного від нього рекурентного потоку із проміжками міх подіти: із ф.р. F тз скінченним додатнім математичним

сподіванням ЬР. Передбачається, щр ф.р. J змінюється в схемі серій так, ¡до Ш—> 0-

Тача. схема коделюе систему з захисток і нею займалися Збкрко II.Д., Кузнецов В.Н., Турбін А.Ф., Королюк B.C. Моментом віднови такої системи називається момент настання події рекурентного потоку, що належить періоду відновлення альтернуючого процесу.

JL£4_ сформульовані допомігші твердження, які переважно стосуються входження альтернуочого процесу в стаціонарний реиш.

-5 зивчасгься комант лерсої відмови системи з захистом;

:г. = 0. т* = т;_, +1»,, т; = тт + си, - « м.

? с о р е и а 5.1. Нехай ф.р F,ü - такі, щз F(+0)=Gf.+0)=0, MF-КЗ - С0,+»), а послідовність ф.р. (JпУпсх ~ така. CP Р є с;, о < Шп—► 0, n-х», і виконується одна з наступних укоз:

(і) F - АКТ, одна з ф.р. F,G - неперервна; '

(ii) G - АНТ і неперервна;

(iii) G - АНТ, F - неперервна, Шп = 0(«л), П-*«\ . до = *(Jn) = |e>[l-Jn(z)]-[l-F(z)]dz--'

. Тоді

lira sup sup |piTj s=;x> - Ef O^x/tMF'MG)}-! =0- (5.46)

n-»<x> 5>0 X^R n »

Збіжність у (5.46) буде рівномірною, якщо послідовність вкбират« з рівномірно інтегрованого класу ф.р., причому збіжність MJn до нуля - рівномірна і виконується одна- з наступних уі.ОВ'-

(a) F вибирається з РАНТ одностайно неперервного класу ф.р., G - з класу ф.р., Ер задовольняє умови (М,Х^):

(b) F вибирається з РАНТ класу ф.р., шр задовольняє умову (й), a G - з класу ф.р., що задовольняє умови (М.Х.о,“);

(c) G вибирається з РАНТ одностайно неперервного класу ф.р., F - з класу ф.р.-, що задовольняє умовч (М.Х.м), умова MJn= 0(^1, п * оо виконується рівнонірно відносно вибраних послідовностей Цп!пєМ-

Побудовані оцінки пвидкості збірності описуються в термінах Функціоналів від трійок ф.р. (G,J,F),

_ї_§6_ розглядаються потоки відмов системи з захистом.

Теорем а-6.1. Якпр F - АНТ і виконуються умови теореми 5.1, то для ордннарності граничного потоку відмов системи з захистом після нормування на рЛ при MJn—* 0, п-»°> необхідно, щоб

Рп = 0(Pr>. (6*.04)

, «в • *00 Дв pn = £ RF*F(z)dJn(z); pn = | RF(z)dJn(z).

Далі наводяться умови, еквівалентні (6.04) та сильніші від іеї. Наприклад, якщо послідовність ^ n)n> f збігається до нуля за (інчином, то (6.04) - виконується.

Нехай F(+û)=G(+0)=0. Позначимо при к « ¡н, То=0, S0=-s, s^O = ^.в. = inf, {іV Sa > <£, Sn e листи, Tj}.

Теореиа6.2. Нехай виконуються умови теореми 5.1. Співвідношення '

1ІП sup sup |P{Tj >x> - Ei4c_x/(KF-KG)}| = 0 (6.22)

n-*co s>0 n»

виконується тоді і тільки тоді, коли виконується (6.С4).

Збірність у (6.22) буде рівномірною в класах ф.р. , якщо виконуються умови рівномірної збірності теореми 5.1, і (6.04) виконується рівномірно.

' Користуючись нагодою, висловлюй виру подяку науковому керівникові докторові фізико-катбкатіїчкнх каук, професорові Картасову Іїнколі Валентиновичу за постанову задач і підтримку в роботі.

Ка тему дисертації огубліковані наступні рбботн автора:

- 1 . Кумир А.О. Предельная теорека для кохеята ^-еблнгения

say к і!взазнс5і;:їк процессов восстаиоалсння/^Тсория вероятностей к кате:іатнчєс::ая статистика. Bun. 45. - К. : Дыбндь, 1991. С. 69-74.

2. Куш ip 0.0. Про асимптотику розподілу моменту підмові: в системі el/G 1/2/0 //Теорія ймовірностей і математична статистика, сип. 47.- К.: Либідь, 1SS2. С.75-80.

3. Hyzjiip 0.0. Щз раз про граничну теорему для системи з

захистом//Тези доповіді на науково-технічній конференції, присвяченій-"іО-річчю У11БГ. - Рівно, 189;;..С. 29-30. . ,

4. Кушннр А.О. Прорезазкиє процесса восстановления при помощі альтернирующего процвсса/Кибериетнка и системный анализ,- К.: видавництво інституту Кібернетик;! МДН України, Î983, И. C.29-35.

до