Абсолютная суммируемость функциональных рядов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

I.Настоящая диссертация посвящена главным образом изучению абсолютной суммируемости в пространстве измеримых функций числовыми матрицами, а также изучению абсолютной суммируемости почти всюду функциональных рядов определённым матричным методом, обобщающим некоторые классические методы суммирования.

Пусть матрица /Ыа ^^осуществляет преобразование ряда в ряд. Обычно для числовых рядов абсолютную суммируемость определяют следующим образом. называется абсолютно суммируемым методом Л , если где

• (0.2)

Начиная с конца XIX века вопросами абсолютной суммируемости занимались многие математики. Понятие абсолютной сум-мируемлсти введено Э. Борелем [34] для одного из его методов. Абсолютная суммируемость применялась первоначально при исследовании суммируемости степеных рядов вне круга сходимости. Общее определение абсолютной суммируемости возникло

Если пределы изменения индексов не указаны, то они принимают все целочисленные значения от 0 до <х?. позже и получило широкое применение в исследованиях по суммированию рядов Фурье.

С общей точки зрения изучение абсолютной суммируемости несколько сложнее изучения обыкновенной суммируемости, так как сопряженное пространство абсолютно сходящихся рядов не-сепарабельно. С другой стороны, многие оценки для абсолютной суммируемости и для специальных преобразований выявляют параллели между обыкновенной и абсолютной суммируемостью.

Большую роль в теории абсолютной суммируемости имеет изучение абсолютной суммируемости рядов Фурье по ортогональным системам функций классическими методами суммирования (методами Чезаро, Рисса, Вороного-Нёрлунда итд.). Начало этому направлению положили своими работами Фекете £35] и Когбет-лянц [40}.

В начале шестидесятых годов начали появляться работы, исследующие абсолютную суммируемость произвольных ортогональных рядов. Работы в этом направлении принадлежат в основном советским и венгерским математикам (например [б], [41], [54]). Решение многих проблем теории рядов сводится к применению необходимых и достаточных условий, которым должны удовлетворять разные линейные или билинейные матричные преобразования одних классов последовательностей и рядов в другие классы. Часто теоремы, дающие такие необходимые и достаточные условия, называются теоремами включения. Классическими теоремами включения для абсолютной сходимости являются теоремы Хана [37], Кноппа-Лоренца [зэ] и Пейеримхоффа [б^.

Вопросы обыкновенной и абсолютной суммируемости можно изучать с единой точки зрения и тем самым развивать теорию суммирования также для других видов суммируемости (равномерная суммируемость, суммируемость в среднем итд.) функциональных рядов, если рассматривать вопросы суммируемости рядов в произвольном банаховым пространстве или в более общих пространствах, т.е. вопросы суммируемости абстрактных рядов. В 1956 Г. Кангро [ю] обобщил теоремы Хана и Кноппа-Лоренца для линейных преобразований абстрактных последовательностей и рядов в произвольном банаховым пространстве. Для следующей степени общности, т.е. для рядов в произвольном пространстве Фреше,теорему Кноппа-Лоренца обобщил Вуд [Ьб^.

ступени общности выявляются и некоторые новые аспекты. В то же время вопросам обыкновенной суммируемости в нелокально выпуклых ТВП уделено значительно больше внимания. Проблемы обыкновенной суммируемости в нелокально выпуклых ТВП рассматриваются например в работах [4], [м], [15^ , [17] и [453 •

Понятие абсолютной сходимости в нелокально выпуклых ТВП ввел Лиго [433 в 1976 году. В данной работе изучается абсолютная суммируемость в пространстве измеримых по Лебегу функций, исходя именно из определения Лиго.

Одна проблема, которая до сих пор не имеет решения, -эта проблема нахождения эффективных необходимых и достаточных условий для того, чтобы матрица А-(а п,к) переводила любой элемент из в некоторый элемент из (У с р.,<^>4. В настоящей диссертации эта проблема будет решена для довольно широкого класса матриц - для так-называемых матриц конечного типа. Более того, будет показано, что с такими матрицами мы сталкиваемся в конкретных преобразованиях. Например, матрицами конечного типа являются матрицы, преобразующие один класс последовательностей или рядов измеримых по Лебегу функций в другой.

3. Цель работы - изучение абсолютной уг-суммируемости в смысле Лиго в пространстве измеримых по Лебегу конечных почти всюду на отрезке функций, доказательство ряда теорем включения для абсолютной /г-суммируемости в этом пространстве, сравнение абсолютной сходимости в смысле Лиго и абсолютной сходимости почти всюду, а также нахождение достаточных условий для абсолютной суммируемости функциональных рядов почти всюду одним методом суммирования, обобщающим некоторые классические методы суммирования.

4. Научная новизна. В работе исследуется абсолютная [ь-сходимость и уг-суммируемость в смысле Лиго в пространстве измеримых по Лебегу конечных почти всюду на отрезке Ш функций. В связи с тем все основные результаты работы являются новыми. К ним следует отнести прежде всего следующие:

1) теоремы, дающие необходимые и достаточные условия для того, чтобы матричное преобразование переводило все абсолютно ^-сходящиеся ( ряды в сходящиеся по мере последовательности;

2) теоремы, дающие необходимые и достаточные условия для того, чтобы матричное преобразование переводило все абсолютно |ъ-сходящиеся ряды в абсолютно ^-сходящиеся ряды

3) теорему, дающую необходимые и достаточные условия для того, чтобы матричное преобразование переводило все сходящиеся по мере к нулю последовательности в абсолютно ^—сходящиеся ряды (44уъ< ;

4) сравнение абсолютной сходимости в смысле Лиго и абсолютной сходимости почти всюду;

5) теоремы резонанса для абсолютной ^-сходимости.

5. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на республиканском семинаре математического анализа Эстонской ССР в 1981 и 1982 году, на семинаре кафедры теории функций Уральского госуниверситета в 1983 году, во всесоюзной школе по теории функций, посвященной 100-летию со дня рождения академика Н.Н.Лузина в городе Кемерово в 1983 году, на научной конференции "Методы алгебры и анализа" в городе Тарту в 1983 году и на семинаре кафедры высшей математики Днепропетровского сельскохозяйственного института в 1983 году.

Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах (см. стр. 102 ).

6. Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения и трёх глав, которые делятся на 2, 5 и 3 параграфа соответственно. Параграфы имеют общую нумерацию. В списке литературы насчитываются 58 наименований. Работа написана на русском языке и изложена на 103 страницах машинописного текста.

1. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.:Изд. иностр. лит., 1963, 359 с.

2. Барон С. О признаках типа Вейля для абсолютной суммируемости ортогональных рядов.-Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1964,150, с.165-181.

3. Барон С. Введение в теорию суммируемости рядов. Таллин:Валгус, 1977, 280 с.

4. Вихманн Ф. 0 консервативности матриц относительно сходимости по мере.-Изв. АН ЭстССР, Физ. матем., 1971, 20, №3, с.275-278.

5. Грепачевская Л.В. Абсолютная суммируемость ортогональныхрядов.-Матем. сб., 1964, 65, №3, с.370-389.

6. Грепачевская Л.В. Абсолютная суммируемость ортогональныхрядов.-Сиб. матем. ж., 1965, 6, №4, с.737-774.

7. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы, Общая теория.М.: Изд. иностр. лит., 1962, 895 с.

8. Дей М.М. Нормированные линейные пространства. М.: Изд.иностр. лит., 1961, 232 с.

9. Жаворонков В.Д. Суммируемость числовыми матрицами в полныхлокально выпуклых пространствах.-Мат. зап. Уральский ун-т, 1977, 10, №2, с.36-39.

10. Кангро Г. 0 матричных преобразованиях последовательностейв банаховых пространствах.-Изв. АН ЭстССР, Сер. техн. и физ. матем. наук, 1956, 5, №2, с.108-128.

11. Кангро Г. Теория суммируемости последовательностей и рядов. -В сб.: Мат. анализ. Итоги науки и техн. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1974, т.12, с.5-70.

12. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Наука, 1977, 742 с.

13. Ламп Ю. Преобразования обощенньтх последовательностей.-Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1968, 220, е.67-83.

14. Лейгер Т. 0 суммируемости по мере. Материалы конф. Методыалгебры и функционального анализа при исслед. семейств операторов, 1978. Тарту, 1978, с.20-22.

15. Лейгер Т. Суммируемость последовательностей в линейныхтопологических пространствах.-Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1982, 596, с.32-42.

16. Меленцов A.A. Топологические основы теории бесконечныхматриц.-Мат. зап. Уральский ун-т, 1968, 6, №2, с.66-101.

17. Менихес А.Д. Суммирование в линейных топологических пространствах . -Мат . зап. Уральский ун-т, 1975, 9, №2,с.65-76.

18. Никишин Е.М. Резонансные теоремы и надлинейные операторы.-Успехи матем. наук, 1970, 25, №1, с.129-191.

19. Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов. -Матем. сб., 1951, 2.9, №1, с.225-232.

20. Тиман М.Ф. Об абсолютной сходимости и суммируемости рядов Фурье.-Сообщения АН ГрузССР, 1961, 26, №6,с.641-646.

21. Тиман М.Ф. Особенности основных теорем конструктивной теории функций в пространствах^ и некоторые приложения. Автореферат докторской диссертации. Тбилиси: Изд. АН ГрузССР, 1962, 24 с.

22. Т1ман М.Ф. Зауваженная до питанная про абсолютну сумовн1сть ортогональних ряд в.-Допов!Д^ АН УРСР, 1966, №12, с.1533-1536.

23. Тиман М.Ф. Об абсолютной чезаровскок суммируемости рядовФурье.-Мат. записки, Уральский ун-т, 1969, 6, №4, с.I09-II3.

24. Тюрнпу X. О сходимости функциональных рядов почти всюду.-Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1971, 281, с.140-151.

25. Тюрнпу X. Об. абсолютной -суммируемости функциональныхрядов почти всюду.-¿пд. Univ. Sei. budapest., sec. math.,1974, 355, 17, с.97-101.

26. Тюрнпу X. Об абсолютной Чезаро-суммируемости функциональных рядов почти всюду.-Уч. зап. Тартуск. унта,1975, 355, с.212-221.

27. Тюрнпу X. Об одном классе преобразований систем суммируемости. -Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1978, 448, с.66-73.

28. Ульянов П.Л. Решенные и нерешенные проблемы тригонометрических и ортогональных рядов.-Успехи матем. наук, 1964, 19, №1 (115), с.3-69.

29. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: Изд. иностр. лит., 1951,504 с.

30. Харди Г., Литтльвуд Дж.Е., Полия Г. Неравенства. М.: Гос.изд. иностр. лит., 1948, 456 с.

31. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир,1971, 359 с.

32. Эдварде Э. Функциональный анализ. Теория и приложения.М.: Мир, 1969, 1071 с.

33. Billard Б. Sur la sommabilite absolute des séries defonctions orthogonales.-Bull.sei. math., 1961, 85, p.29-33.

34. Borel Б. Mémoire sur les séries divergentes.-Ann. del'Ec. Norm., 1899, 16, p.9-131, 132-136.

35. Fekete M. Untersuchungen über absolut summable Reihenmit Anwendung auf Dirichletsche und Fouriersche Reihen. -Math, ês termêsz. êrt., 1914, 32, S.389-4-25.

36. Fridy J.A. A note on absolute sumraability.-Proc. Amer.Math. Soc., 1969, 20, №10, p.285-286.

37. Hahn H. Über Folgen linearer Operationen.-Monatsch. Math, und Phys., 1922, 32, S.3-88.

38. Joô I. A remark on convergence systems in measure.-Acta sei. math., 1976, 38, №3/4, p.301-303.39« Knopp K., Lorentz G.G. Beiträge zur absoluten Limitierung.-Arch. Math., 19^9, 2, S.10-16.

39. Kogbetliantz E. Sur les séries absolument sommables par la méthode des moyennes arithmétiques.-Bull. sei. math., (2), 1925, 49, p.234-251.

40. Leindler L. Über die absolute Summierbarkeit der Orthogonalreihen. -Acta sei. math., 1961, 22, S.243-268.

41. Leindler L., Schwinn H. Über die absolute Summierbarkeit der Orthogonalreihen. Acta sei. math., 1981, 43, №3-4,s.311-319.

42. Ligaud J.P. Sur différents types de sommabilite dans les espaces vectoriels topologiques.-Math. Nachr., 1976, 74, p.63-77.

43. Lorentz G.G. Direct theorems on methods of summability II. -Canad. J. Math., 1951, 3, №2, p.236-256.

44. Maddox I.J. Toeplitz transformations and convergence in measure.-J. London Math. Soc., 1966, 41, N?4, p.733-736.

45. Meder <J. On the Nörlund summability of orthogonal series. -Ann. Polon. -Math., 1963, 12, p.231-256.

46. Meder J. Absolute Nörlund summability and orthogonal series.-Ann. Polon. Math., 1966, 18, p.1-13.

47. Mehdi M.R. Linear transformations between the Banach spaces iüi and with applications to absolute summability. London, 1959.

48. Moricz F. Über die absolute Riesz-Summation der Orthogonalreihen.-Acta sei. math., 1962, 23, №1-2, S.92-95.

49. Okuyama Y., Tsuchikura T. On the absolute Riesz-summability of orthogonal series.-Anal. Math., 1981, 7, N13, p.199-208.

50. Peyerimhoff A. Über Summierbarkeitsfaktoren und verwandteFragen bei Cesäroverfaren I.-Pubis. Inst. math. Acad, serbe sei., 1955, 8, S.139-156.

51. Wood B. On l-l summability.-Proc. Amer. Math. Soc.,1970, 25, p.433-436.

52. Zeller K. Matrixtransformationen von Folgenräumen.-Rend.mat. e applic., (5), 1954, 12, №3-4, S.340-346.

53. Zeller K,, Beekmann W. Theorie der Limitierungsverfahren.Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - Few York, 1970, 314 S.ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРЯЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

54. Паллас Л. Абсолютная суммируемость функциональных рядовпочти всюду.-Тезисы докладов I студенческой конференции по гуманитарным и естественным наукам прибалтийских республик и Белорусской ССР, Тарту, 1976, с.87-88.

55. Паллас Л. Об абсолютной суммируемости функциональных рядовпочти всюду.-Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1982, 596, с.52-63.

56. Паллас Л. Абсолютная суммируемость в пространстве измеримых функций.-Тезисы докладов. 350 лет математики в Тартуском ун-те, Тарту, 1982, с.98-101.

57. Паллас Л. Абсолютная суммируемость в пространстве измеримых функций.-Тезисы докладов. Всесоюзная школа по теории функций, посвященная 100-летию со дня рождения академика H.H. Лузина, Кемерово, 1983, с.78.

58. Паллас Л. Резонансные теоремы относительно абсолютной сходимости в пространстве измеримых функций.-Тезисы докладов конференции "Методы алгебры и анализа", Тарту, 1983, с.44-45.