Аддиционные свойства инстантонных гомологий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Ï.0 о 3 3-2

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи САВЕЛЬЕВ НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ

УД( 515 Л

АДДЩИОКШЕ СВОЙСТВА ИШТАНТОШНХ ГОМОДОГШ 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 199I

Раоота выполнена ка кафедре высшэй геометрии и топологии механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор Физико-математических наук, профессор М.И.Посткиков.

Официальные оппоненты: доктор ф/.зико-математическкх наук А.й.Тюрин

кандидат физико-математических наук З.Й.Пидстригач.

Ведущая организация Московский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится в S' час.^^мин. на заседаний специализированного Совета Д.053.05.05 в Московской государственном университете по адресу : П9о99, Москва, Ленинские горы, ШП/ ¿¿ffi- W^tf

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке МГУ им. А.¡¿.Горького.

Автореферат разослан 1992 г

Учёный секретарь

специализированного Совета В.Н.Чубариков

Д.053.05.05

t^'itorviV.:? -1 -

7

, ' ■ I ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

^ • - ...... /

^^-Диссертация посвящена изучению инстантонных гомология (гомологий Флоера) трёхмерных многообразий.

Актуальность темы.

Сильным алгебраическим инвариантом замкнутого связного ориентированного 3-многообразия ~Z является его фундаментальная группа (2). К сожалению, она не чает удовлетворительного описания класса 3-многообразий. Это происходит, по меньшей мере, по двум причинам. Во-первых, классификация многообразий с изоморфными фундаментальными группами упирается в хорошо известную проблему Пуанкаре. Во-вторых, до сих пор нет удовлетворительного описания групп, являющихся фундаментальными группами трёхмерных многообразий.

Появившиеся в последние годы альтернативные инварианты 3-м'ногообразий используют представления группы ЗГ< ("2) в некоторой неабелезой группе Ли G .

Так, в I9b5 году для ориентированной ZL -гомологической З-сферы А.Кассой ввёл целочисленный инвариант X(Z) , который определяется исходя из пространства 12(23) классов сопряжённости неприводимых представлений Х^ (2Г)в ST7("2). Инвариант Кассона был использован для решения ря-■■1& известных задач трёхмерной топологии.

Многообещающее обобщение инварианта Кассона дал в 19Ъ7 готу А.£лоер CI ] , введя гак называете "инстантонные гомологии" или "гомологии 5лоера". Зтот инвариант имеет вид

[I ] Floer A. An instanton-invaríant for 3-maniíolds. Comm.líath.Ph. 1988. v.118. Р.215-240.

абелевой группы с естественной -градуировкой!

причём

А (2> - C-OVb^-CO .

Определение групп инстантонных гомологий существенно использует калибровочную теория на трёх- и четырёхмерных многообразиях, и их вычисление достаточно сложно.

Р.Зинташел и Р.Стерн С2] в rcnv, используя ранее развитую ими технику лсевдосвобоцных орбиобразий. получили ряд важнкх результатов о группах инстантонных гомологий гомологических сфер Ззйферта 3 («•< ( ..., а 1v). ь частности,они пре дложили эффективный алгоритм их вычисления для п. =3. Попытки вычислений для п. 5= 4 натолкнулись на проблему описания топологического типа компонент связности пространства CS Са<;,. Эта проблема была решена П.Кирком и Э.Кдасееном [31 для п —4 и п=5 й остаётся открытой для п 6.

fipeслагаемый в"данной работе подход к вычислении групп инстантонных. гомологий. сфер Зейферта позволяет вообще обойти эту проблем/ и провести вычисления для произвольного п .

Кроие того, в ,'.иссертации изучается дифференциал цепного комплекса Злоера связкой суммы гомологических сфер

0 #271 . Рассматриваемая задача описания многообразия (¡Ai ЬО&) -инстактоков з тривиальном рас-

слоении на цилиндре (250it2J.,)исходя из многообразий

[2] Pintushel Н., Stern R, Instanton Homology groups of Seifert fibered honology spheres. Proc.London Math.Soc. Sex.3. 1990. r.61. P.109-137.

p} JCirk Р., Klassen F.. Representation spacea of Seifert fib«-e4 hoaology sphores. iopology. 1991. v.30. P.77-95.

оН(Х хТ?) и была поставлена С.Доналъд-

. л

соном. Предлагаемая техника' "склейки" инетантонов вдоль о является некомпактным аналогом проекции Таубеа, разработанной для обычных связных сумм компактных 4-мкогообразий.

Цель работы. Исследование поведения функтора инстантонных гомологий относительно сплетений и связных сумм гомологических сфер и на основании этого получение эффективного алгоритма для вычисления групп инстантонных гомологий сфер Зейферта.

Обаая методика иссле ювания. В работе используются методы дифференциальной геометрии и топологии, нелинейного анализа, теории индекса эллиптически операторов на некомпактных много-ооразиях и на многообразиях г. краем. Используется и частично развивается теория орбдаоразий С V -многообразий). Научная нозизна.

Основные результаты диссертации являются новыми. Они состоят в следующем.

I. Получен простой алгоритм для вычисления групп инстантонных гомологии произвольной сферы Зейферта Именно, Х^СЗСа..,,...,^))^

,а^, -ан У; © Саг-- , >.- .>а Л)

для любого 1 такого, что 2 л п - 2 . По индукции бычис-

0 о

ления для произвольного Уь сводятся к случаю н-3.

_2. Изучено поведение групп инстантонных гомологии сфер Зейферта при перестройках Дена по особым слоям.

3. Доказано существование мономорфизма нулевой степени ХЛС2Г0) ф л:* (-20 -V „

для связной суммы произвольных гомологических

сфер Зейферта "2 и 727.

4, йредяожэпа техника склейки шотано-оков иа ббоконечак цилиндрах эдлль образующих втчх цилиндров - кекошхактная проекция Хаубоа.

Практиуес^-ая в.екносгь; Дчсеер?ш/,«л нос® тсорвгй'гес.кий характер, Получекзьа результат могут приаеьдаьса в »одой многообразий палых размерностей.

Апробация:. Резу.чь-га'ш диссертации дскладавались на св«к» нарах мзханкко- •иахекздиаеоксго факультета ЖУ :

по адгебравдеской ■^апологии, рук. проф. Й^Ы„11ое-1'Кйко5, по геометрии и гокологик, рук. проф. к

с.н.с. ЮЛйГ'ОЛОзгйв» по фушщиональкому анализу, рук, акад. И.Ы.Гвль$ацд, Публикации. Ссковнаа рзэул^-гаты диссертации о»убя*агог-а№. Структура диссертации. Диссертация состой-? ¡&з знед.-нил-,. четырех глаи, вклютаке^тс семь параграфов,- к «иска. ттеряч-угя, содсриа^его 25 названий. Объём диссертации 105 с^раккц.

СОД2г31ЛНйЕ РАБОТА.

Зс ¿-ведении кратко хзлеляяа «етор.чн ьоироасг",, рассиатрй-вешвх в диссертации, и с-фориуштрованн её осяовчке рваутагод:.

Глава I, ъ которой излагается теория иштвжокних гоно-логкй к вводятся нзебходшые обозначения, не преч'е'-:ду?т на оригинальность.

Глава 2 посвящена исследованию поведения групп йнстактсн-ннх гимологий сфер Зейферта относительно перестроек ^¿йз. по ссобьы слоак.

Б § 2 доказана, ч-гс(-- 1 ) - перестройка Дз;ха сферы Зэйфзрта. '21 — 3 <СЦ, а-«.} по особому слою 4

с изотропией '5' гх являемся ссероП ЗэЯфертв

,...,0*.*- ан- — • а„,ч) . След этой перестройки -совдизм - индуцирует гомоморфизм нулегой степени ^ » ^С^ф.,аЛ)-*-.Х к-СЛГсл,-¿V- -а^)).

2.4. Гомоморфизм включается з точный треугольник

(длинную тсчн/и последовательность) степени +1 х^С к)

^ V (2Л)

х*(:з)---х^Сго-О ,

где К - результат О-перэетройки дена сгЬорь.' Зейферта по особому слов 4; , и Н*.00 - Н ^ С о1 > .

2.а. Теорема. 21 - мокоморх«?,м. ¿ока^атеяъству зтой теоречь' посвящены ел-заущие два параграфа. Б § 3 спйсавается баляс цепного комплекса олоера ЦСйСЙ).

3.1. лнсгосбр£з;-;е К является многообразием Зейферта рода С с инвариантами Зейферта , ... , С& , "), С ""п. . " ^ н /> '

Б частности,

(ЬО - ( х< ,... , ОС л . 4 1 с ^ 4 3 ~ а ,

а.- > ~ ь: (г„ р 51»--- . V

•х.. * « .к , >г « и , х^-... -ссп = 1 } .

Осознают символом Р главное ЗОСхЭ-расслоанжг над К с эз 1 . Пространство классов калибровочной экви-

валентности плоских связностей в расслоении ТР будем обозначать С К, .

3.2.Лемма. Отображение голономии отождествляет простра-_ __

четво С К , ~Р с факторизацией пространства 52 ( К , 2?) =

Нот 0,(Ю, еххса)> и -± \ / аЛ Сй-хгсаУ)

по следующему отношению эквивалентности: представления <¿1 ,о(г: ->- Зггсг-) из •?оСК;Р) эквивалентны, если

иняуцируемые ими представления Т, (К~) -»-ЪОф./ сопряжены.

З.З.Лекма. Бое представления о( е :??£><>Р) неприводимы.

Леммы 3,2 и 3.3 позволяют дать конструктивное описание множества компонент связности пространства "52( в терми-

нах допустимых векторов.

3.16. Лемма. Пусть : ЭГ,Ск>-- вОСз) - представление из такое, что с1Сх0~г- 1. для •»■«. ,

ЫС-х^) = для г = гг- + £,..., -уг. . Тогда компонента связности представления оС в пространстве -к? Т?) является гладким замкнутым многообразием размерности .

3.1?. Лемма. На любой компоненте связности существует- Функция Морса <с>^ : и —»- 1<? . кмеащая критические точки '.г-олько чётных индексов.

Как показано в л-екме 4.1. критические точки функций Ь'.орса из лемш 3.17 являются образующими цепного комплекса Флзера

Параграф 4 практически целиком посвяцен вычисление индексов Элоера этих образующих.

4.5. Предложение. у (о-о 2 для всех обрасу-щих о, , & цепного комплекса Флоера 1С к С><-) -

Доказательство этого предложения, технически довольно громоздкое, использует изложенные в § 3 методы теория V -многообразий ( орбиобразий в терминах Финташела и Стерна с нарушенным условием лг-ЕЕДОСвободностк ), а такке формулу Атьи-Патсдк-Зингера для индекса эллиптического оператора на многообразии

с краем.

4.6.Следствие. Дифференциал з цепней комплексе ХС^Ск. автоматически равен нулю, и ^ ХО^Ск) .

Так как -f. (X^Cic?) >■ о , то это означает, что Х^С^О — ° • Длинная точная последовательность (2.1) распадается на короткие точные последовательности

О —Х^ (2-О. Следовательно, -мономорфизм, и теорема 2.8 доказана.

Глаза 3 посвящена собственно аддиционнш свойствам инстан-токных гомолегкй.

В § 5 исследуются группы инстантонкнх гоыологий связных сумм гомологических сфер Зейферта.

5.1. На связной сумме -30 ~ 3;.. гомологических сфер 270 и вводится римзкоза структура -ти. ^ , г 0, в кото-

рой многообразие покрывается парой откгатых

множеств XJ 0 и U"f_ с пересечением по шейке радиуса ^-'-/А . Риманово многообразие (2/'0 ti-' } m ^ ) мы обооначаеа

"о ** х i

5.5. Лемма, Имеет место изоморфизм 12 C2ro № 2t ) « föCSo) u iec^t) Li -J2 , где "R является тота.аьнь'м пространством главного SO<s> -расслоения р : —'S? (IE е) х З^СЗ«).

В лемме 5.7 этот изоморфизм описан з терминах нлосаих связностей.

5.12. Ees компоненты связности пространства являются гладкими замкнутыми многообразиями.

Следовательно, в качестве образующих цепного комплекса Флоера IC^Qzaцможно взять критические точки

- s -

u>

' любой ьегкрожденчой функций Морса ц> ! л? (12 о 33-,) TS? , С учётом того, что на "TZCZo'i и

(jz, 1) существуют функции Ыороа 1Р,- с критическими точками только чётных индексов, строится йотация "-Г 72 (J2?0+s= 2-,) -»-i? с множеством критлчесхж точзк

■КСг.^* и 'йср,)^' и ъ&У'х so®,

причёи особое подаиогооооазин ¿.ОСЬ1) незарождекы. Стандартный- пртйи из теории бифуркаций позволяет построить ф/нк-цкн Морса <f — ЗГ £ - такую, что j

а Li Тгсзо^и *

где \i> ; SO(.5")-»-i? - стандартная Функция Морса на SoCs} с критическими точками индексов 0, 1, 2, 3, ,чля критически: течек функция <-р кстельзукд^я понятнее обозначения 0.*& ; -i - О,1* , 2, 3 .

5.22. Предложение. Для -индекса Флоега ¡и ка гокслогиче-

"" и

ской сфере * "^t шеэт место следующие сравнения:

(1) liCft* Э)3*3 М х vwod. 6 , » ^ "

М (б*-6) s ,4 (-t>) VK-ocL & , f* l/ ^ 1

(2) j* (ü-ii. V,) -Е= u, fco -r f^-2- + ^nod 2 • j 1 (I 1) •

Ta-лм о5разок, базис ценного комплекса "XC*CS0=K= 2?.,) содерж pSpasynaiHC и чётной, и нечётной градукрозки, и нет сснованаЛ, как в следствии 4.6, говорить об &з-гокати«еском въло/здеак;: ди.тферйi:циала.

5 29 .Теорема. Имеет место мономорфизм пулевой степени

4.

ХуХ^о} <& зг „ CSi) —i * es-о ^ 31) •

Зтот улксазрернзм, как показано, имеет виг, О.^ ее .

где Q •гекоторые бордизмы, "JQ.; ~ U Zo^S,.-

Их опасагш» лосвяценк п.п. 5.25 - 5.28.

Доказательство теарэмц содержит дза клвчевих момента.

БйрвкЯ - сто

С-.31 .Лаила. Ка уровне цепных комплексов

ао>э : тсЙсзв-> а хс»С24>

является ц^йиым м0коыор$изм&ы.

Второй момент - доказать. что для каких дчух элементов из "-'т. ^ О. © ) их разнойь не есть гргница. В дока-

зательстве используется тоорнч деформаций для ;мстантонов, кон-чакцихоя в неькроз?я.5<ччом критической многообразии спукхцкк . Основной результат работы доказан » § 6-

Пусть м - трубчатые окрестности

узлов 1сс !-; 4с., в осуекгярезаннях гомодогачееклх 3-сфера?

72-, , пусть , -С; обозначает стгидартцго

пч,р;/ и!еередйак-п!чра,»лел»и на крас мнт оабраз^к к: -

•*', ч. Склеив :сгогооотези:> 0 ч К< по краэ в ссстесТ-стбкл с тгог&тоы -иг,. — •£, > •-» -5» , получим гсиологн-чъекг: сферу 13 " К* и .. .

-3,3. С псе.!; еле к ко, Гомсмюгш-зская сфера "Ж. называется сплетеньем ' о;//: гокологкчеехих с£ср 2.'« к

о.З. Леамч. Гомологическая сф°ра Зей&еруз. — "Ж (а,, —. а „.; есть результат сплетений гокочогнческих стер а — 3 С«,, , а,- . а,-„ ■ а .„ >

4 О

и 02.«... • <2.^ , а^-! > -'- ; йц) , 2 л сг * п- 2, по

сссбш, слоям 'Ъ, к в и с изотрегк'лми

6.4. Теорема. 1С2? <£Ц, —, а.«.)) » I*. (2 С а....., а^ч, • ... -а-к"» ©

© Хл (3 • — • а-з . ¿¿-и ,

6.5. Следствие. Ц ^ СО). —, аЛ })

Ф а^-а^-.-.-ао) -

лабгесок доказательства теорем.

Операция сплетения может быть записана в терминах перестрое! Дена и связных сумм следующим образом:

(2Г0-Лв)**с^-Ъ,) - 3 -

где - связная сумма узлов. Мономорфизмы из теорем

2.Ь и 5.29 вклвчаются в диаграмму с точнкш строками (2.1)

о- Г.(2,)Ф ...

|

? ,

Доказывается, что композиция • С^о*-® ^»^»С^о«-® ^1*0 тривиальна. Следовательно, имеет место вложение

1Е*.с:г.>а> .

Тая как X — о и инвариант Кассона аддитивен относи-

тельна сплетения, этим и завершается доказательство теоремы.

Е главе 4 по каждой паре неприводимых инстантонов А ^ с коигчикм действием Янга-Миллса на цилиндрах 2],- к "К?

0, 1, построен ияетантон А на х -?<• , как

угодно мало в ¡— 0 « -норме с уменьшением параметра Л/ от-личащийся на V; от связностей А- . Здесь

210 и - произвольные ориентированные - гомо-

логические сферы ( не обязательно зейфертовы ) .

Основные результаты диссертации содержатся в работе автора

I. Савельев Н.К, 0 группах инста!¡тонных гомологий сфер Зейферта // Деп. ьИНИГИ № 4540 - В91 от 6.12.91. - 45 стр.