Деформации инстантонных пленок тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

1 8 П ч 9'

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДЕНА ЛЕНИНА II ОРДЕНА ОКТЯГ.ГЬСКОЙ ГЕПОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. Л. СТЕКЛОВЛ

На правах рукописи УДК 519.

ПИДСТРИГЛЧ Виктор Ярославович

ДЕФОРМАЦИИ ЙНСТАНТОННЫХ ПЛЕНОК 01. 01. 04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1991

/> , /

/-•*/ ■■ .л /V,*

Работа шнолнена и отделе геомотрии и топологии МИАН им.. В. А. Стиклова.

Науч'ннй руководитель - доктор физико математических наук профоосор М М. Постников.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук О.ЯВиро доктор физико-математических наук А. II- Рудаков

Ведущей организация - Московский Государственный Униворситс 1»!- М. Б. Ломоносова.

1991 I

Защита диссертации состоится "<у в //7 час. па заседании специализированного совета при ордена Ленина и ордона Октябрьской роьояшцин Матшатичоскоь институте им. В. А. Стекяона но адросу: Москва, ул. Вавилова, 42.

с диесертащш!! можно ознакомиться в библиотеке Института.

Автореферат рагюояан

Учении сиирохйрь тптйцлшшзиров.-шниго соиита 1-'?! И ли дат ([ИЗ.'-мат. наук

. /

И. И Гршиш

■ ; ОбЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ.

. < I !■

.л ;

>тдо АКТУАЛЬНОСТЬ Т0,М.

"""•За'последнее десятилетие возникла новая область топологии -изучение четырехмерных многообразий (4-многообразий) методами математической физики. В этой области был получен ряд сколь глубоких стол'ь и неожиданных результатов о гладких структурах на I-многообразиях. Эти результаты указывают на разительный контраст левду строением гладких многообразий в размерности 4 и в больших размерностях. Среди них:

1.Наличие й-коОордантных но не диффеоморфных многообразий;

2.Наличие счетного семейства гладких структур на топологическом замкнутом многообразии;

3. Наличие несчетного семейства экзотических гладких структур

т

Эти исследования развивались на фоне полученного Фридманом в .982 году результата о том, что топологическая (то есть с 'очностью ДО гомеоморфизма ') классификация односвязных .-многообразий' может быть • проведана по существу методами шогомерной топологии .и, .за исключением небольшой ^определенности, сводится к алгебраической классификации ¡олочисленных унимодулярных форм. Такие формы возникают здесь как орлы пересечений на двумерных гомологиях 4-многообразия и вляются центральным инвариантом односвязного замкнутого -многообразия.

I '

Техника, с помощью которой были получены результаты о гладких -многообразиях, состоит в использовании антиавтодуальных

связностей - или инстантонов - придуманных физиками. С помощью пространств модулей строятся некоторые инварианты рационального типа, которые существенно зависят от гладкой структуры на многообразии ( как и само уравнение антиавтодуальности). Эти инварианты дают возможность сравнивать и различать некоторые гладкости на 4-многообразиях.

Гладкие структуры на 4-многообразиях строятся преимущественно следующими двумя способами.

Для многообразий, допускающих алгебраическую проективную структуру - заданием' их' в виде пространства решений систем алгебраических уравнений (проективных моделей). Различные системы могут давать гомеоморфныэ ,но - как показывают указанные инварианты - не диффвоморфные многообразия.

Второй способ состоит в разрезании и переклейке имеющихся (в том числе и полученных первым способом ) многообразий.

Задача состояла в том , чтобы для имеющегося запаса многообразий фиксированного топологического типа указать среди ¡¡их недиффеоморфные. и. по возможности, выявить закономерности. К подобного рода попыткам и относится гипотеза о гладкой инвариантности размерности Кодаиры алгебраических поверхностей:

Две гомеоморфные алгебраические поверхности с разной размерностью Кодаиры Ее могут быть диффеоморфны ( обсуждения этой гипотезы см. [«>])•

Техника инстантонных пленок - или модулей антиавтодуальных связностей , как следует из названия^__являе1щя_!__&У1Цесздзенно— ^ометричшШйТ-Это-зн1чйтГв частности, что для построения такой пленки мы должны зафиксировать риманову метрику на 4-многообразии.

Указанная техника основана на использовании полезных свойств пространств модулей н л аитиавтодуальных (аэ<з) связностей иц комплексном векторном двумерном расслоении на 4-многообразии.

снабженном некоторой римановой метрикой. Ниже изложены нокоторыо из этих свойств.

1. В общем случав (для общей метрики) иаЕа является ориентированным многообразном фиксированной размерности.

2. Можно контролировать конци этого многообразия , п ото , грубо говоря , дает возможность определить "фундаментальна класс" этого многообразия.

3. Можно контролировать зависимость этого класса от римановой метрики на 4-многообразш1.

4. Пространство модулей можно вычислить. Наиболее плодотворный путь для этого - использование теоремы Дональдсона о взаимно однозначном соответствии между неприводимыми антиавтодуальншш связностями на алгебраической проективной поверхности со стандартной Ходжевой метрикой и стабильными относительно проективной поляризации алгебраическими рассшештш. Однако в этом случае мы теряем нервоэ свойство, так как Ходжева метрика может на быть общей и, следовательно, пространство модулой антиавтодуальных связностей может не быть многообразием. Дело в том, что Ходжеш мерши встречаются среди всех метрик довольно редко (они образуют нигде не плотное подмножество).

ЦЕЛЬ РА60ТЫ.

Цель' данной работы состоит в том чтобы определить гладкие инварианты 4-многообразия исходя из пространства модулей, построенного для необщей Ходжевой метрики. Имеются пример« таких метрик. Один из них рассматривался Монгом и относится к гомотопическим КЗ-поверхностям. Второй пример, относящийся к численным поверхностям Годо рассмотрен в диссертации с целью проверки упомянутой гипотезы.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ.

Все результаты диссертации являются новыми' и имоыг

теоретнческий характер. Развитая техника, по существу, сводит задачу вычисления инвариантов 4-мерных гладкостей к алгеОро-геометрическим вычислениям и может Сыть применена как для вычислений различных известных инвариантов так и для определения новых.

АПРОбАЦИЯ.

Результаты диссертации докладывались на семинарах в МИАН п. р. А. Н. Тюрина и А.Н.Рудакова, на мех.-мат. ф-те МГУ п. р. ММ. Постникова, на мех.-мат. ф-те ИГУ п. р. А.С.Мищенко и Ю. II. Соловьева., в отд. геометрии ЛОМИ п. р. 0. Я. Виро, на школе-семинаре по алгебраической геометрии (Ярославль, 1990 г.), международной конференции по 4-мерным многообразиям (университет Макмастер, Гамильтон, Канада, 1990).

ПУбЛИКАДИИ. По теме диссертации опубликовано 2 работы.

СТРУКТУРА РАбОТЫ. Диссертация изложена на 50 страницах. Она состоит из введения и двух глав - всего 11 параграфов. Список литературы содержит 13 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. .

Введение содержит краткий исторический обзор инстантонной техники в четырехмерной гладкой топологии и мотивировки данного исследования. Кроме того во введении объясняется логическая структура работы и дается изложение основных результатов диссертации и их применений.

В главе 1 развивается основной технический прием.исследования

связностей) на векторном двумерном комплексном расслоении е над римановым 4-многообразием.

§1 содержит основные определения, относящиеся к модулям инстантонов. Определяются пространство классов связностей по

модулю действия калибровочной группы в и гильбертово расслоенио и на нш, слой которого изоморфен пространству автодуальных форм со значениями в бесследных эндоморфизмах расслоения е. Имеется каноническое сечение ааай этого расслоения, сопоставляющей связности еэ кривизну. Нули этого сечоння и есть пространство модулей ангиавтодкальных связностей (инстантонов). Излагается "модель Кураниши" пространства модулой - локальная модель этого пространства. Модули будут гладким многообразием, если они ив содержат приводимых связностей и для каждого инстантона вторые гомологии некоторого комплекса ("деформационного комплекса Атьи") обращаются в ноль. Если второе условно выполнено , метрика 4-многообразия называется общей. Общие метрики образуют всюду плотное подмножество в пространстве всех метрик на 4-многаобразик.. Поэтому можно любую необщую метрику лродеформировать в общую посредством малой деформации. Ставится задача определения препятствия к деформации инстантона вдоль заданной деформации метрики.

§2 содержит рассмотрение аналогичной ситуации, в которой бесконечномерные гильбертовы многообразие в и расслоение и заменяются конечномерными. Определяется "локализованный эйлеров класс* - гомологический класс , двойственный к эйлерову классу расслоения, построенному по конкретному сечешга. Этот гомологический класс имеет носитель на пространстве • нулей указанного сечения. В случав, когда сечение регулярно (трансворсально пересекается с нулевым сеченном), локальный класс совпадает с фундаментальным классом многообразия нулей этого сечения. Вычисление локального эйлерова класса в торминах пространства нулей требует учета "кратности нулей". Многообразно у, расслоение в и сечение о- предполагаются для этих полой голоморфными. В этом случае ответ выглядит елвмушш образом

(см.- алгебраический случай):

С(Е) = [с(С|х-ТУ|2)Пс.(2)](11иу_(41тС

Здесь е (в) - локальный эйлеров класс, с(0| опс| а> - класс Чженя разности расслоений в и касательного к х, суженных на подпространство нулей сечения <г , п - произведение пересечение когомологий и гомологнй, с.(2) - канонический класс схемы г (см. [?]) . Ма1_пУ_а;1тв ~ комтнен,га указанной размерности.

В следующем, третьем , параграфе обсуждается возможность применения этой формулы в бесконечномерной ситуации, описанной выше. Прежде всего нужно определить структуру аналитического пространства на модулях инстантонов. Для 4-многообразий, являющихся алгебраическими поверхностями это возможно благодаря следующей теореме, принадлежащей Дональдсону (см. [5]):

Теорема. Расслоение на алгебраической проективной поверхности стабильно относительно проективного вложения, если и только если оно допускает неприводимую связность Эрмита-Эйнштейна по отношению к метрике, индуцированной указанным проективным вложением.

В односвязном случае, которым мы и ограничиваемся, связности Эрмита-Эйнштейна есть в точности инстантоны. Таким образом модули инстантонов и модули стабильных расслоений изоморфны , а последние имеют каноническую структуру аналитического пространства. Далее, в указанной формуле есть разность двух бесконечномерных расслоений. Эти расслоения связаны фрвдгольмовым морфизмом, и поэтому их разность стабильно изоморфна разности конечномерных аналитических пучков И1, определенных гомологиями деформацишшохх>-комплексаг-Эти~

наблюдения приводят к формулировке следующей теоремы.

Теорема А. Пусть д=ы - Ходжева метрика и пусть - деформация

метрики, такая что дь общая для почти всех ^о. Предположим

дополнительно, что пространство л*аза(д1:) компактно для всех 1.

Тогда фундаментальный класс многообразия ) длл общоп

метрики д. может быть определен из формулы:

^*аза<%>> - - И1) п ссж*ввЛс«| 11 Апа <4' 1>

Доказательство этой'теоремы опирается на следующоо предложение, которое по существу сводит бесконечномерную ситуацию к конечномерной.

Предложение. При указанных в Теореме А предположениях существует голоморфное конечномерное многообразие N и голоморфное расслоение г на нем с голоморфным сечением <г таким, что (<г)

как аналитические пространства. Более того, существует деформация этого сечения с^. о-0=чт, такая, что регулярно , если мотрика общая и в этом случае (^о^ава*9^* Кроме того, в • к-функторо выполняется равенство

Г-ТЛ' » 1пй (<Зд»<1Д) .

Параграф заканчивается выводом теоремы А из предложения.

Доказательство предложения занимает параграфы 5-8 и опирается на ряд промежуточных лемм.

В §5 дается определение еще одного гильбертова многообразия в • - пространства орбит действия комллексифицированной калибровочной группы на пространстве связностей. Это многообразие шеет голоморфную структуру, как и расслоение ?, определяемое на нем. Слой расслоения изоморфен пространству 0.2-форм на нашей алгебраической поверхности, определено голоморфное сечение расслоения 3, сопоставляющее связности 0. 2-компоненту кривизны. Имеется естественное отображение

к: г -> в

и подъем ? расслоения 5 вдоль к будет прямым слагаемым расслоения и, а подъем сечения будет совпадать с проекцией сечения ва5а на слагаемое 5. В конце параграфа "формулируется вспомогательная

лемма.

Ломма 5.1 Пусть 1>з . Тогда существует конечномерное нодрасслоешш к расслоошш такое, что сечение эаза

трансворсально к подрасслоению г в некоторой окрестности

, т. е.. соответствующее факторсечение факторрасслоения к/р регулярно в этой окрестности. Расслоение г поднимается с пространства в: . и голоморфное подрасслоение

трансверсально сочению вЬд расслоения

В следующем параграфе строится коночномерное голоморфное подрасслоошш гх ь расслоения э зависящее от точки х алгебраической поверхности и от обильного пучка ь на ней.

В 5? показано, что подрасслаекия гх ь для разных точек х не пересекаются и что существует конечный набор различных точек (х^) такой, что расслоение г(х } = ^ ^ ь Удовлетворяет условиям лемм!

5.1. В этом месте существенно используется компактность пространсва модулей.

В §8 леша 5.1 используется для доказательства предложения. Подмногообразие я строится как прообраз подрасслоения } при

отображении сечения в Комплексная структура на н индуцирована отображением к, вкладывающим н в комплексное подмногообразие пространства а.

Наконец "в последнем, девятом, параграфе первой главы пучки Ш1 вычисляются в терминах алгебраической геометрии - как пучки прямы образов расслоения эндоморфизмов универсального расслоения.

Вторая глава посвящена одному применению формулы 4.1 для

-чнелешнЕГ-повирхнистШ годо. Под численными поверхности,ш Годо мы Судом понимать гладкие алгебраические минимальные поверхности оСцсги типа, геометрический род рд и иррегулярность q которых ¡ ¡-ü нулю, а квадрат канонического класса кх поверхности х равен

о

«яшьим: к" " i . Изшстао несколько примеров таких

поверхностей, среди них - единственная односвязная - поверхность Барлоу Bv (см. [i]).

Эти поверхности особо интересны в своте упомянутой гипотезы:

Две гомеоморфные алгебраическио поворхности с разной размерностью Кодаиры не могут быть диффооморфны ( обсукдония этой гипотезы см. [g]).

Дело в том, что для рациональных поверхностей pg~q-o ,а .поскольку указанные инварианты являются топологическими инвариантами, то для проверки этой гипотезы в классах рациональных и общих поверхностей ш должны рассматривать общие поворхности именно с pg=q=o. У таких поверхностей, если они минимальны, для квадрата канонического класса есть конечное число возможностей:

2

1 s к £ э

Односвязная численная поверхность Годо гомеоморфна 2 _2

ср «вер , то есть проективной плоскости с восемью раздутыми точками. Последняя является единственной рациональной поверхностью такого топологического типа. Таким образом, если гипотоза верна то должна выполнятся следующая теорема.

Теорема В. Гладкие структуры на односвязной численной поверхности Годо х и на поворхности cp2#sc?2 не диффеоморфны.

Эта теорема доказывается в работе [3] для случая x=bw ( см. также il/], где она доказана для однократного раздутия bw). Доказательство состоит в построении целочисленного инварианта гладкости Ф и вычисления его для bw и для ср2«зср2 : <how)=8,

2 _7

Ф(ср «sep ) = о . Построение инварианта Ф использует технику антиавтодуальных связностеЯ с коеффициентами в группе Ли so(з) . Дискретные инварианты расслоения рг=-з, w2=w2(x) подобраны таким образом, чтобы многообразие модулей tfasd было компактным ,и нульмерным для общей метрики и чтобы не было сроди

о <ро„„гь „„вар,и111 кав чимо ,очвк, 1101Ю »»

о» ,,„гте 0 м ор_ 3io чисяо »

«P« . . m -ь „ г_ 4_шогообраэ„, попользуй тхтшт вшо ,осро,„ До11мшоова (ш

овязиоащую шгстантош „ с,т,„, Зр.шта-Э.шта1Ша '

" СВ0" °"8р0дь =Р.И«-зпшт;„и т „(21-рамоеШ1

™«!гГ ЭТОГО °ТО6Ра*ОТ — ■ Ч-

Тшши оорааоц. апныяае , сит,тая „ .

—а „J^ I —

i" X ■ =2- ■ В случае, когда „,амшв „„„.^

Г"0.....— » ~ одномерных JZ7

■»•III» Так, « в эти случае ■

ТОШ, (ш. [51). "" С0дар*"1 Г'0ИЮ «шошша)

Т" —~

~ —^аТоГ чГГГ

что "9 ЯМЯвТСЯ °0"Э" « " —» W-Век, с, IS))

. ЧТО ОСЛО« задач, Егасдати м,шар„а)ш ^ ^

. штшш пршлоняэтся 4.1. ^ KIaH„MM0, что „ в

Г СЛ,,М ' Й1Ж —Теорема В м ,2

ворча для этот ■тттгтесктхг

тгшаг

Цитированная литература

1. Barlow R.N. A simply connected surface of general type with Pg=0. // Invent. Math. 1985. V.79. P.293-301.

2. Friedman R., Morgan J.W. Algebraic surfaces and 4-nanifoldss Some conjectures and speculations // Bull. Ал. Hath. Soc. 1900. V.1B, H.l. P.1-19.

3. Kotschik D. On manifolds -homeomorphic to С1Р2|вСРа // Invent. ■ Hath. 1989. V.95. P.591-600.

4.0konek C., Van de Ven A. Г-type invariants associated to PU(2)-bundles and the differentiable structure of Barlow's surface. // Invent. Hath. 1989. V.95. P.601-614.

5.Donaldson S. Anti self-dual Yang-Mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles // Proc. L6nd. Math. Soc. 1985. V.50, H.l. P.1-26.

6.Фрид Д,, Уленбек К. Инстантоны и четырехмерные многообразия.

М. :Мир, 1988."

7. Фултон У. Теория пересечений. М. :Мир, 1989.

Работы автора по теме диссертации

1. Deformation of moduli of antieelfdual connections. // Preprint. McMaster Univ., Hamilton, Ontario, Canada. 1990.

2. 0 деформации ¡тстантонпых пленок. Известия АН СССР, сер. мат., 1991. N2. •