Алгебраическая теория проективных плоскостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ К А У К СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСГЛТУТ 1.1АТЕ/:ЛТККу1 Специализированный совет Д 002.23.01

На правах рукописи

НИКИТИН Александр Александрович

УДК 512.56 + 514.146

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОЕКТИВНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1990

Работа выполнена в Институте математики Сибирского отделения Академии наук СССР.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук-

Артемов Сергей Николаевич; доктор фи'нк'У-катематических наук, профессор Годуфалор "¡иколар Дмитриевич; так то р фюхко-эгетеиа ткческих наук, профессор Регеслекпиков Владимир ликанорович

ведущее предприятие - Кчековскиг государственны? университет пк.!<£•!. Ь.. ококоссве

Йацнта состоится "_"_1990 г. в _

часов но заседании Специализированного совета Д 002.23.01 г.р/ Лнституте математики СО АН СССР по адресу: 630090, г.,';оьосибирск,20, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АС СССР.

Автореферат разослан "_"_1990 г.

Учены? секретарь Специализированного совета доктор физико-мв тематически: наук

Е.А.Палютин

ОЩАЯ ХАРАЙЬРЙСТККЛ РАБОТЬ

Актуальность темп. Теория проективных лло-скостей своими истоками восходит к Д.Гильберту [5] , кэторкт одним из первых построил недеоаргову плоскость. Коэрдинзтизгиил плоскости, предложенная Д.Гильбертом, позволила переводить геометрические задачи на алгебраически? язык. Используя этот метод, О.Ееблен и Дч.оедцербарн [63] построили конечную недеэар-гову проективную плоскость, Г.Гессенберг [31] показал, что еся-кая паппова плоскость является дезаргоЕоР. 3 30-е годы Р.^уй'акг выявила взаимосвязи метау альтернативными телами и плоскости.:/, в которых всюду выполняется малая теорема Дезарга (эти плоскости впоследствии стали нрзкваться .чу&ангаш-ми1 [47-53] . Сродства подплоскостей и групп коллинезпиг изучали Р.Езр [21, 22] , Д.Зингер [60] и другие. 40-е годы теория проективных плоскостей получила коанкГ импульс благодаря работам советских математиков Л.А.Скорнякова [II] , Л.1и1.опе>"кикзГ (Головина?) [7] , Б.И.Аргунова [I] , зарубе:*нкх математиков .'¡.Холла [30] , Г.Райзера [24] , А.Алберта [19] и других, и.Холл СЗО] усовершенствовал метод координатизацки Д.Гильберта и ввел в рассмотрение свободные и свободно порожденные плоскости. Б 1945 г. Л.И.Коперника (Головина'* С7] пс.чазала, что всякая подплоскость свободно? плоскости свободна. :3 конце 40-х годов Л.А.Скорняков [12] получил характеризацив му^ангоЕьгх плоскостей при помощи альтернативных тел. ЛналогичньТ результат позднее получили также Р.Брак и Э.Нлейнфилд [23] .

Фундаментом для развития теории бесконечных проективных члоскостей -в 50-е и 60-е годы явился обзор Л.А.Скорнякова [14],

-..Л.Скорняков доказал глубокие теоремы, связкваюиие гомоморфизмы плоскосте? к 'Г-годахорфизкы тернаров, теоремы вложения для тернаров специального Еида алгебр с делением [15,16] .

Пол, влиянием работ А.".Мальцева, А.Г.Куроаа, А.Тарского и других пирокое развитие получка обдая теория алгебраических скстоу, а также развивались теории различных алгебраических систем: теория групп, теория колец, теория квазигрупп и др. некоторые алгебраические системы тесно связаны с проективными плоскостями. Всякая алгебра с делением однозначно определяет кокотсрул проективную плоскость, о всякое тождество или соотношение б алгебре определяет наличие определенной конфигурации е? плоскости. -ото обстсятельстЕО является одним из факторов приЕлечен'лг. снимания многих математиков к задачам описания алгебр с до-л'он'/лк ь роолгл'.нь'х многообразиях [10,12,13,19,23,40, 41,6-1 •/ др.; Тесно сьязоны с проективными плоскостями квази -грудг.к. ,;.:жие рияудьтатк в теории квазигрупп принадлежат советским математико.м ¡..V..Мальцеву [9] , ^.Д.Белоусову Г^З , Л.Л.Г?.'иг.чг,;х Г43 и яруги».

оО-е - 70-е годы активно изучались свободные и свободно

г.ср.о'.-дспкнз проективные плоскости [ 18, 20, 2?, 32-3?, 42 , 46, о

оо-о-. и другие^ при этом рассматривались вопросы, связанные с опкечияв:.' групп автоморфизмов, сроГ-сть коллинеаций, корреляций и гомоморфизмов стих плоскостей.

¡'-лияше обдей теории алгебраических систем сказалось и ка теории проективкь-х плоскостей. Так е начале 60-х годов Р.лага-ри ^46] у. Д.Д-диЕанъоли [29] предложили рассматривать Еполне свободные у. своСоднке плоскости как алгебраические системы.

15 1977 г. А./..^ир:::ог' в докладе "Проективные плоскости", сделанном ко Г.:,У .всесоюзног алгебраической конференции, изло-

4

кил подход к теории проективных плоскостей как теории алгебраических систем. Этот подход позволил по-новому взглянуть на известные результаты и проблемы с теории проективных плоскостей, а также сформулировать ряд новых вопросов. Еще !.';.лолл [30] показал, что любая свободная проективная плоскость конечного ранга вкладывается в качестве подплоскости в свободную проективную плоскость с четырьмя порождающими. Ь своем докладе А.И.Ширтов предложил конструкцию влоггения вполне свободной плоскости с конечным числом поро»дающих б свободную плоскость с четырьмя поролщавдими и сформулировал вопрос о построении вложения свободной плоскости счетного ранга в свободную плоскость с четырьмя порокдакпими. В том же докладе он отметил,что приведенные конструкции позволяют решить проблему равенства для вполне свободных проективных плоскостей. Б связи с г?титл А. И. Шир:га в указал, что для проективных плоскостей естественную образом формулируются различные алгоритмические проблемы, и в частности, отметил проблему равенства для папповых и дезарго-вых плоскостей. В своем докладе А.И.Чирков также привлек внимание к изучению гомоморфизмов проективных плоскостей, в том числе свободных плоскостей.

Таким образом, А.И.Ширшов определил новое направление в теории проективных плоскостей: изучение проективных плоскостей *ак алгебраических систем.

Б диссертации развивается это направление, получено реше-■ше ряда алгоритмических проблем и тесно связанных с ними за-1ач вложения и аппроксимации.

Отметим, что к указанному направлению примыкают результаты из [3, 4, 6, 25-30, 33-36, 38, 41, 43-46, 55, 59] и другие.

Методика исследования. Основной метод исследования, разработанный в диссертации, состоит в рассмотрении проективных плоско стер как алгебраических систем с бинарной частичной операцией, согласованной с отношением инцидентности. Изучаются и используются свойства координатизпрущего тернара плоскости. Применяются многоосновные алгебраические системы.

Цель работы. Изучение бесконечных проективных плоскостей, гомоморфизмов плоскостей, решение ряда алгоритмических проблем. Г!ри этом рассматриваются вполне свободные, свободные, свободно порожденные плоскости, а также папповы и де-зарговы плоскости.

Л а у ч н а я новизна и практическая ценно с ть. Результаты работы являются новыми. Работа носит теоретический характер. Ее результаты находят применение в научных исследованиях и чтении специальных курсов по теории проективных плоскостей, использованы при подготовке учебного пособия [73] . Работа может быть также использована при написании монографий.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре им. А.И.Ширшова по теории колец, семинаре по алгебраическим системам, семинаре по конструктивным моделям, семинаре "Алгебра и логика" Института математики СО А;: СССР и Ло во сибирского госуниверситета, семинаре по общей алгебре Московского госуниверситета, алгебраическом семинаре Института математики с ЬЦ АЛ Молд.ССР, на ХУ1-ХУШ Всесоюзных алгебраических конференциях (г.Ленинград, 19Ы, г.Минск, 19СЗ, г.Кишинев, 19с5), Международном коллоквиуме по алгебре, комбинаторике V. логике в теории вычислений (г.Дйор, ЬгР, 19С4), на

Международном конгрессе математиков (г.Беркли, СиА, 19с6), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти А.И.Мальцева (Новосибирск, 19с9).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [65-73] .

'Объем работы. Диссертация изложена на 116 страницах и состоит из введения и четырех глав. Библиография содержит 73 наименования.

СОДЬШАКЛВ РАБОТЫ

Традиционно проективной плоскостью называют систему "¡с? = Рии и), )> , где Р - множество точек, / -множество прятав, - сжлметричное отношение инцидентности (принадлежности точек прямым), если для элементов из ф? выполняются следующие аксиомы:

1. для любых двух различных точек (прямых) найдется единственная им инцидентная прямая (соответственно точка);

2. существуют такие четыре точки и четыре прямые, что любая из этих точек (соответственно прямых) инцидентна двум и только двум из этих прямых (соответственно точек

Элементы а и одновременно содержащиеся в Р или в / , будем иногда называть однотипными.

Определим на элементах из частичную операцию * следующим образом: если О. и 6 - различные точки (соответственно прямые), то через обозначим прямую (соответственно точ-

ку), инцидентную точкам (соответственно прямым) £? и $ .о остальных случаях операцию ■>( считаем неопределенной.

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что во всякой про-

ективной плоскости определена соответствующая операция х- , эту операцию будем иногда насыпать согласованной с отношением инцидентности.

Конфигурацией будем нарывать любое подмножество какой-либо проективной плоскости с отнотением инцидентности и частичной операцией, которые индуцированы на элементы этого множества отношением инцидентности и частичной: операцией, согласованной с этим отношением, определенными в отой плоскости.

л

Будем говорить, что плоскость Р порождена конфигурацией <к> , если существует такая последовательность конфигураций ' '1та 1? = У'С* и для любого натурального числа п всякий элемент из е£„+4 либо

л/

содержится г- либо инцидентен, по крайней мере, двум элементам из £ . Кели при ото:.: указанная последовательность такова, что для любого натурального числа К, всякий элемент кз £л+4 \ ¿Сп инцидентен двум и только двум элементам

из ^ , то будем говорить, что плоскость свободно порождена конфигурацией ¿С' .

Говорят, что конфигурация Л/ является невырожденной, если существует плоскость, свободно порожденная этой конфигурацией.

Плоскость называется вполне свободной, если она свободно порождена конфигурацией, отношение инцидентности в которой пусто. Плоскость называется свободной, если она свободно порождена конфигурацией, содержащей единственную прямую и П-точек, чтЗ , кз которых !г-2, инцидентны прямой из конфигурации, а две инцидентны этой прямой.

Плоскость называется папповой (дезарговой), если в ней выполняется всюду аксиома Паппа (аксиома Дезарга).

В

Если £< Р V А, (Р, Л ), > - конечн-л конфигурация, то число 2\РУиI - Цг-1 , где 1Р1/'М - мощность множества элементов из Р , I I _ мощность отношения инцидентности, называют рангом конфигурации <к/ и обозначают через Z(Xy). Если плоскость ^ свободно порождена конечной конфигурацией X/ , то рангом плоскости называют число 2 () . Будем говорить, что.свободная проективная плоскость имеет счетный ранг, если свободна порождена счетной, конфигурацией без инци-денций.

Гомоморфизмом конфигурации на конфигурация £ назовем отображение, которое сохраняет отношение инцидентности: если инцидентны элемента в Х?1 , то инцидентны и их образы в .

В главе I изложены основы подхода к проективным плоскостям как к алгебраическим система!.:. В качестве иллюстрации этого подхода в § 2 этой главы приводится изложение теоремы А.П.Ширшова Со представлении операций тернзра, координатизируше-го плоскость б смысле Холла £30, 32, ¿4] , через частичную операцию, определенную в плоскости. Эта теорема применяется в главе 4.

В главе 2 изучаются подпло скости свободно порожденных плоскостей.

В § I построена конструкция 2.1 проективной плоскости

. свободно порожденной произвольной невырожденной незамкнутой подконфигурацией ¿Е . ста конструкция позволяет выразить всякий элемент из плоскости в виде

подходящего неассоциативного слова от элементов из . Каждая из конструкций из [29, 33, 37, 39, 46, 66] , предлагавшихся для свободных и вполне свободных плоскостей может быть по-

лучена в кач-зстве следствия конструкции 2.1.

Е ; 2 этой главк рассматриваются применения ото й конструкции. Приведена конструкция 2.4 влэкения вполне свободной

£ п. плоскости с конечным числом порождающих в свободную плоскость с четырьмя однотипными порождаюдими (этот результат принадлежит А. И. Ширшову [65] ). На основе этого вложения построено вложение свободной плоскости нечетного ранга в свободную плоскость с четырьмя однотипными порокдащими. Как показала Л.И.Копейкина (Головина) [7] всякая свободная плоскость либо вполне свободна . ибо имеет нечетный ранг, а всякая вполне свободная плоскость является свободной. Поэтому указанные вше конструкции дают результат К.Холла [30] о влокении свободной-проективной плоскости конечного ранга в свободную плоскость с четырьмя однотипными порождающими.

Б этом не параграфе приведена конструкция 2.5, позеэллэ-цая получить положительный ответ на вопрос А.К.'^ирпова о вложении свободной плоскости счетного ранга в свободную плоскость с четырьмя однотипными порождающими, а именно справедлива ТЕОРЕМА 2.3. Пусть С, - четырехэлементное множество,

- вполне свободная проективная плоскость, свободно порояценнчя множестьок однотипных элементов Су , Ь- - счетное множество элементов, построенное согласно конструкции 2.5. Тогда ¿г (С1) содержит подглоскость, которая является

•у

вполне свободной проективной плоскостей, свободно порожденной множеством однотипных элементов (г .

Заметим здесь, что ^.Холл [30, с.243] по поводу бесконечно по рожденных псдплоскостей отмечал, что "еззмокно, чю порож-даюцис- элементы плоскости могут быть настолько разбросанными и настолько взапмосвязанными, что мокет случиться, что невоз-

можно будет найти точки на единственной прямой и две точки вне ее, которые бы порождали плоскость без всяких соотношений между этими порождающими".

Б этой связи представляет интерес теорема 2.4, показывающая, что во всякой вполне свободной плоскости существуют бесконечные подконфигурации, которые свободно поро;кдают эту плоскость.

В 1972 г. Н.Джонсон [37] показал, что для любых натуральных чисел й к ft таких, что т,п z-8 , существует гомоморфизм свободной проективной плоскости ранга т на свободную проективную плоскость ранга Л- .

Спираясь на результаты главы 2 в § I третьей главы доказана

ТЕОРЕМА 3.1. Всякая не более, чем счетная проективная плоскость является гомоморфным образом свободной проективной плоскости с четырьмя однотипными порождавшими.

Таким образом, плоскость $ может отображена гомоморфно в том числе и на свободную проективную плоскость счетного ранга. ■

В § 2 этой главы, используя этот факт, доказывается более сильное утверждение.

ТЕОРЕМА 3.2. Всякая невырожденная свободно порожденная плоскость может быть гомоморфно отображена на произвольную конечную или счетную плоскость.

Будем говорить, что плоскость П- -аппроксимируется

плоскостями из некоторого класса К , если для любого элемента р из и для любых различных элементов из , инцидентных элементу р , существует такая плос -кость ^ из класса К и такой гомоморфизм V5 плоскости ^

II

на плоскость ^ , что образы УС^), , ¥(рп) элемен-

тов рп попарно различны в . В случае, когда

К - класс конечных плоскостей:, будем говорить, что финитно П. -аппроксимируется. Если это не вызывает недоразумений, то 2-аппроксимируемость будем называть аппроксимируемостью.

В § 3 третьей главы доказана

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть ^ - произвольная конечно-поровденная проективная плоскость, порядок которой не меньше натурального числа !г , К Z , и - произвольная невырожденная незамкнутая конфигурацил. Тогда проективная плоскость , свободно по рожденная конфигурацией 01- , (П-+-1) -аппроксимируется плоскостью .

Из этой теоремы следует, в частности, что всякая свободная плоскость финитно аппроксимируема.

3 заключение этого параграфа приводится ответ на вопрос Н.Джонсона [37] : "Существует ли такая проективная плоскость, что в ней есть собственная порождающая подконфигурация что собственный гомоморфизм плоскости определяется однозначно гомоморфизмом порождалией кон4игурации?" Показано, что справедливо

ГШ£Д/-0лЕшЕ 3.3 [70] . Во всякой невырожденной проективной плоскости 'р существует такая собственная порождающая подконфигурация Щ. , что для любой невнрэуденкой проективной плоскости , являющейся гомоморфным образом плоскости , и любого гомоморфизма V5 плоскости на р, образ У(д£.) конфигурации '$1 является порокдакхпей подконф-игурашей плоскости ^ , а ограничение У1эа. имеет единственное продолке-ние до гомоморфизма на .

Б главе 4 рассматриваются различные алгоритмические воп-рось! для различных классов проективных плоскостей.

Б § I главы 4 изучаются некоторые свойства много основных моделей, введенных в [9, 61, 62] .

Используя результаты этого параграфа, в § 2 приводятся постановки некоторых алгоритмических проблем: проблемы равенства, проблемы инцидентности. Учитывая, что используемая операция в плоскости частична, эти задачи имеют различные постановки и, кроме этого, возникают новые задачи: проблема допустимости, проблема конструируемо с ти плоскости. Так, например, проблемой <Ш -допустимости для нормальной многоосновной системы ш назовем задачу о суаествовании эффективной процедуры, позволяющей по каждому слову от образующих системы Ш- , выяснить, будет или нет ото слово принимать значение в "Ш- . Проблемой инцидентности для проективной плоскости ф называется вопрос о существовании эффективной процедуры, позволяю-ией для любых двух элементов Ли/ выяснить, инщдентны или нет элементы О- и б в ф> . Плоскость называется конструируемой:, если для плоскости алгоритмически разрешима проблема ф> -допустимости и при этом разрешима проблема инцидентности.

ь этом параграфе доказана

ТЕОРЕМА 4.1. Для любой проективной плоскости следующие условия эквивалентны:

1. для плоскости алгоритмически разрегима проблема равенства;

2. для плоскости алгоритмически разрешима проблема ;нцидентности;

3. для плоскости р> алгоритмически разреаима проблема

-допустимости;

4. плоскость р является конструируемой.

С указанными в теореме 4.1 задачами оказались тесно связанными проблема равенства и проблема допустимости для тернара, координатизирушего эту плоскость.

Справедлива

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть 'р - проективная плоскость, -тернар этой плоскости, построенный согласно конструкции теоремы 1.1. Тогда проблема -допустимости (проблема равенства для алгоритмически разрешима тогда и только тогда, когда алгоритмически разрешима проблема Ш- -допустимости (проблема равенства для Ш- ).

В качестве следствий из этой теоремы и результатов Г.Симмонса [59] и А.Макинтайра [44, 4о] получены ответы на вопросы А.И.Ишршова:

ТЕОРЕМА 4.4. Для конечно-порожденных палповых проективных плоскостей алгоритмически разрешима проблема равенства.

ТЕОР0.4А 4.5. Существует конечно -порожденная дезаргова проективная плоскость, для которой проблема равенства алгоритмически неразрешима.

Заметим, что суцествование конечно-порожденной проективной плоскости, для которой проблема равенства алгоритмически неразрешима, было показано в [28] . Однако эта плоскость не обязана быть дезарговой.

Пусть - проективная плоскость. Проблемой вхождения в подплоскость назовем задачу о наховдении эффективной процедуры, позволяющей для любого элемента IV из плоскости ^ и любой конечной подконфигурации £ из Р определить, входит или нет элемент ш* в подплоскость, порожденную в 'Р конфи-

гурог.ией . Проблемой пересечения годплоскостей назовем задачу о нахождении эффектипнсй процедуры, позволяющей по лхбш двум вскс^-нъм конфигурациям и определить конфигурацию , кэторзя порождает в подплоскость, являющуюся пересечением подплосхзстеГ., порожденных и ЛХ .

А.^Лальцо:? [9] показгл, что для некоторых алгебраических систем проблема равенства, проблема вхождения, проблема пересечения подплоскосте-"' и задача об аппроксимации тесно связаны менду собой.

Ь § 3 четвертой главы доказываются

ТЕОРЕМ! 4.6. Пусть - проективная плоскость,

свободно порожденная конечной невырожденной незамкнутой конфигурацией . Тогда для задача о вхождении элемента в подплоскость алгоритмически разреднма.

1Е0РЕДА 4.7. Для каждой конечно-пороченной свободно го-рогдекной проективной плоскости задача о пересечски:: пс.¿плоскостей алгоритмически разрешима.

Б заключение автор считает необходимы,! вспомнить добрыми плевами своего учителя Анатолия ЙллзрионоЕнча ширсова и вкра-■сает благодарность за поддержу Юрию Леонидовичу Гргову.

Литература

1. Аргунов Б.И. Конфигурационные постулаты в проективных плоскостях и их алгебраические эквиваленты //Мат. сб. 1950. Т.26, № 3. С.425-456.

2. Белоусов В.Д. О структуре дистрибутивных квазигрупп //Мат. сб. 1960. Т.50, 3. С.267-298.

3. Здоеин В.В. Гомоморфизмы проективных плоскостей ,1 //Сиб. мат.ж. 1956, Т.27. С.35-44.

4. Гварамия А.А. Квазимногообразия многосортных алгебр //Тез. сообц. Междунар. мат.конгресса. Секция 2: Алгебра. Варшава, 1983. С.20.

5. Гильберт Д. Основания геометрии. М.: Гостехиздат, 1948. 492 с.

6. Зотов А.К., Рыжков В.В. К понятию изотопии и -арных отношений и алгебраических операций //Комбинаторика и квазигруппы. Кишинев: Штиинца, 1976. СЛ20-128.

7. Копейкина (Головина) Л.И. Свободные разложения проективных плоскостей //Изв. АН СССР. Сер. мат. 1945, Т.9, £ I. С.495-523.

8. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные ф.ушции. М.: Наука, 1965, 392 с.

9. Мальцев А.И. Избранные труды. Т.1. М.: Наука. 1976. 484 е.; т.2. М.: Наука. 1976. 388 с.

10. Никитин А.А. Почти альтернативные алгебры //Алгебра и логика. 1974. Т. 13, № 5. С.501-533.

11. Скорняков Л.А. Натуральные тела веблен-веддербарно-вой проективной плоскости //Изв. АН СССР. Сер. мат. 1949. Т.13, № 5. С.447-472.

12. Скорняков Л.А. Альтернативные тела //Укр. мат.журн. 1950. Т.2, № I. С.70-85.

13. Скорняков JI.А. Правоальтернативные тела //Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. Т. 15, tf 2. C.I77-I64.

14. Скорняков Л.А. Проективные плоскости //Успехи мат. наук. 1951. Т.6, № б. C.II2-I54.

15. Скорняков Л.А. Т-гомоморфизкн колец //Мат. сб.1957. Т.42, № 4. С.425-440.

16. Скорняков Л.А. Гомоморфизмы проективных плоскостей и Т-гомоморфизмы тернаров //Мат. сб. 1957. Т.43, if 3. С.Исэ-294.

17. Ширшов А.И. О тернаре проективной плоскости //Алгебра и логика. 1985. Т.24, К 3. С.365-370.

18. Abbiw-Jacksoa D. Polarities in free planes //?roc. London Ла-th. Soc. Ser, 3. 2965. Vol. 15, N I. P. 26-33.

19. Albert A. On nonassooiative division algebras // Trans. Aner. Math. Soc. 1952. Vol. 52. ?. 296-309.

20. Alt op Vi-. Free planes and с ollineati ons //Can. J. Math. 196З. vol. 20, ;i 6. p. 1397-1411.

21. Basr R. Homogeneity of projective planes // Aner. J. Math. 1942. Vol. 64. P. 137-152.

22. Baer R. i.'ets and groups // Trans. Ansr. .".lath. Soc. 1939. Vol, 46. P. IIO-I4I.

23. Bruck. R., Kleinfald E. The structure of alternative division rings // Proc. Anisr. Math. Зое. 1951. Vol. 2.

p. s78-390.

24. Bruck R. , fiyser K. The nonexistence of certain finite projective planes // Can. Math. J. 1949. Vol. I. A'. '33-93.

25. Cohn P. The word problen for free fields // J. Syrab. Logic. 1973. Vol. 38, N 2. P. 309-314.

26. Cohn P, The v.-or.l probler. for free fields: a correction. and an addenda^ // Ibid. 1975. Vol. 40, II I. P. 69-74.

27. Derabov.ski P. Freie und offene projektive Ebenen // Math. Z. I960. Vol. 72. P. 410-433,

28. Foldes S., Singhi N. A non-constructive projective plana // Geom. dedic. 1980. Vol. 9, N 4. P. 497-499«

29. Givagnolly A. Sulla rappresetazione di un piano libero aediante una classe di simboli // Kend. mat. e applic. 1966-1967. Vol. 25. Ii 3-4. P. 427-432.

30. Hall ..!. Projective planes // Trans. Amer. i.Iath. Soc. 1943. Vol. 54. P. 229-277.

31. Hessenberg G. Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen // Math. Ann. 1905. Vol. 61, P. I6l-172.

32. Hughes D., Piper F. Projective planes. N.-Y.1 Springer-Verlag, I982.

33. Iden 0. Free planes, I //.Math. Z. I967. Vol. 99, N 2. P. 117-122.

34. Iden Q. Free planes, 2 // Uath.. Z. 1963. Vol. 104, N 2. P. 93.

35. Iden 0. Free planes, 3 // Math. Z. I969. Vol. 112, N 4. P. 239-29 5.

36. Iden 0. Free planes, 4 // Hath. Z. 1971. Vol. XI9, N 2. P. III-II4.

37. Johnson N. Homomorphisms of free planes // Math. Z. 1972. Vol. 125, N 3. P. 255-263.

33. Kim K,,Housh F. A universal algebra approach to free projective planes // Aequat. .Math. 1978. Vol. 18, ü 3. P. 399-400.

39. Kim K., Roush F. A universal algebra approach to free projective planes // Aequat. .Math. 1979- Vol. 19, KI. P. 48-52.

40. Kleinfeld E. Right alternative rings // Proc. Ansr. Math. Soc. 1955. Vol.4. P. 939-944.

41. Kleinfeld E. Rings of (f.fo-type // Portug. Math. 1959. Vol. 18. P. I07-II0.

42. Lippi M. Sugli elementi uniti nelle collineazioni dei piani liberi e dei piani aperti, I // Atti Accad, jJaz. Lincei Rend. Cl. Sei. Fis. Mat. Natur. 1966. Vol. 40.

P. 253-237.

43. Lipshitz L>. The undecidability of the word problem for projective geometries and modular lattices// Trans. Amer. Math. Soc. 1974. VoL. 193, N I. P. 171-180.

44. Macintyre A. The word problem for division rings // J. Svrab. Logic. 1973. Vol. 38, N 3. P. 428-43&.

45. Macintyre A. Combinatorial problems for skew fields, I. Analogue of Britton's learca and results of Aäjan-Rabin type // Proc. London Math. Soc, 1979. Vol. 39. N 2. P. 211-236.

46. Magari R. Su una classe di simboli atta a rappresentare gli eleraenti di un piano grafico e su un theorena di ridizione a forma normale // Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sei. Mat. Natur. 1962. Vol. 33, N 1-2. P. 37-44.

47. Moufang R. Zur Structur der projektiven Geometrie der Ebene //Math. Ann. 1931. Vol. 105. P. 536-6OI.

43. Moufang R. Die Einführung der idealen Elenente in die ebene Geometrie mit Hilfer des Satzes vom vollständigen Vierseit // Math. Ann. 1931. Vol. 105. P. 759-778.

49. Uoufang R. Alternativkörper und der Satz vom vollständigen Vierseit // Hamburger Abhandlungen. 1932.

Vol. 9. P. 207-222.

50. i.Ioufang R. Die Schnittpunktsätze des projektiven speziellen Fünfeckenetzes in ihrer Abhängigkeit voneinander. (Das A-Hetz) // Math. Ann. 1932. Vol. 106. P. 755-795.

51. Uoufang R. Ein Satz über die Schnittpunktsatze

der allgemeinen FififeckenetEes // Math. Ann. 1933. Vol. 107. P. 124-139.

52. Mouftaig R. Die Desarguenschen Sätze vom Rang 10 // Math. Ann. 1934. Vol. 108. P. 296-310.

53. Moufang R. Zur Structur von Alternativkörper // Math. Ann. 1935. vol. 110. P. 416-430.

54. Pickert G, Projektive Ebenen. Berlin; Heidelberg! now York: Springer-Verlag, 1975. 372 p.

55. Sandler R. Collineation of free planes // Trans. Amer. Math. Soc. I963. Vol. 107, III. P. 129-139.

56. Sandler R. Collineation groups of free planes II // Proa. Amer. Math. Soc. I965. Vol. 16. P. I8I-I86.

57. Sandler R. On finite collineation groups of Fc // Can. J. Math, I969. Vol. 21. P. 217-221.

58. Sandler R. On sons questions of O.Iden // Math. Z. 1969. Vol. III. P. 255-256.

59. Simmons H. The solution of a decision problen for several classes of rings // Pacif. J. Math. 1970. Vol. 34, H 2. P. 547-557.

60. Singer J..A theorem in finite projective geometry and some applications to number theory // Trans. Amer.

Math. Soc. 1938. Vol. 43. P. 377-385.

61. Schmidt A. Die Zulässigkeit der Behandlungen sortiger Ttorien raittels der üblichen einsortigen Prädi-

2ü

taten Logic// Math. Ann. 1951. Vol. 123. Р. 137-200.

62. Schmidt A. Ober deductive Theorien mit mehreren Sorten von Grunddingen // Math. Ann. 1938. Vol. 115.

P. 485-506.

63. Vehlen 0. and V.'edderburn J. Nondesarguasian and non-pascalien geometx-ies // Trans. Aner. Math. Soc. 1907.

64. Zorn M. Theorie der alternativen Ringe // Abh. Math. Humburgischen Univ. 1930. Vol. 8. P. 123-147.

Работы автора по теме диссертации:

65. Ширшов А.И., Никитин A.A. К теории проективных плоскостей //Алгебра и логика,1981.Т.20,№ 3. С.330-356.

66. Никитин A.A. О гомоморфизмах свободно порожден-чых проективных плоскостей //Алгебра и логика. 1981.

Г.20, № 4. С.419-426.

67. Никитин A.A. О свободно порожденных проективных плоскостях //Алгебра и логика. I9S3. Т.22, № I.С.61-78.

66. Никитин A.A. О некоторых алгоритмических проблемах для проективных плоскостей //Алгебра и логика, 1964. Т.23, К- 5. С.512-529.

69. Никитин A.A. К теории свободно порожденных плоскостей //Тез.докл. ХУ1 Всесоюзная алгебраическая конф. Часть I. Ленинград, 1951. С.117.

70. Никитин A.A. Об олном вопросе Джонсона//Тез. докл. ХУЛ всесоюзная алгебраическая конф. Часть 2. Минск, I9S3. С.173.

71. Nikitin A. A. Algorithmic questions of the theory of projective planes // Abstracts. Colloquium on algebra, combinatorics and logic in computer science (September, 12-16, 1983). Gyor, Hungary, 1983. P. 143.

72. Nikitin A. A. Algorithmic problems for the theory of projective planes // Abstracts. International Congress Of Mathematicians I August, 3-II, 1986). Berkeley, USA,1936. P. 94.

73. А.И.Ширшов, А.А.Никитин. Алгебраическая теория проективных плоскостей. Новосибирск: РИО НГУ, 1987 . 83 с.