Алгоритмы приближенного интегрирования, связанные с формулами С.Л. Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Половинкина Лилия Владимировна

АЛГОРИТМЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ФОРМУЛАМИ С.Л. СОБОЛЕВА

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2006

Работа выполнена в Красноярском государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Носков Михаил Валерианович

Офицальные оппоненты: доктор физико-математических паук,

профессор Добронец Борис Станиславович

кандидат физико-математических наук, доцент Шатохина Лариса Владимировна

Ведущая организация: Пензенский государственный университет

Защита состоится 14 сентября 2006 г. в 14.00 часов на. заседании диссертационного совета К 212.098.03 при Красноярском государственном техническом университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, ауд. Г-4-17, факс: (8-3912) 43-06-92, т. 49-76-46.

■ С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан 8 июля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

К.В. Сафонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория квадратурных формул Г

f(x)dxn^2ckf(xk), (1)

{ i=1

и их многомерных аналогов - кубатурных формул

Г N

f{x)dxttj^ckf{xk), (2)

n *=1

где x = (xj,..., xn), xk = (xj,..., sj), к — l,...,n = 1, n является развитой областью вычислительной математики и математического анализа. Изучение формул вида (1) и (2) и оценок их погрешностей продолжается длительное время. О важности данного научного направления может, в частности, свидетельствовать то, что в нем работали знаменитые математики: И. Ньютон, Л. Эйлер, Ш. Эрмит, К. Гаусс, П.Л. Чебышев, С.Н. Бернштейн, С.Л. Соболев, С.Н. Никольский и другие. Интерес к задачам теории квадратурных и кубатурных формул не спадает до настоящего времени, и это доказывает большое число научных публикаций по данным вопросам, регулярное проведение научных конференций (семинаров-совещаний), посвященных этой теории.

В теории приближенного интегрирования почетное место занимают работы С.Л. Соболева [1, 2], которые были посвящены, в первую очередь, оценкам погрешностей интегрирования в функциональных пространствах.

Квадратурными и кубатурными формулами в функциональных пространствах занимались, в частности, Н.С. Бахвалов, В.Н. Белых, О.В. Бесов , И.В. Бойков, В.Л. Васкевич, Я.М. Жилейкин, М.В. Носков, H.H. Осипов, В.И. Половинкин, М.Д. Рамазанов, Г.Н. Салихов, И.М. Соболь, Ц.Б. Шойн-журов.

Несмотря на большое количество публикаций, относящихся к данному научному направлению, в нем есть актуальные задачи, требующие решения

— либо непосредственно связанные с теорией формул Соболева, либо такие, постановка которых стала необходимой только в связи с развитием данной теории. Задачами подобного рода, решения которых усиливают некоторые результаты С.Л. Соболева и его учеников, посвящена данная диссертация.

Целью работы является:

1. Исследование асимптотики погрешностей решетчатых квадратурных формул открытого типа.

2. Построение последовательностей квадратурных формул типа Грегори с положительными коэффициентами.

3. Описание условий разложимости кубатурных формул в декартовы произведения.

4. Вывод представлений интегро-дифференциальных операторов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Рассмотрены квадратурные формулы с пограничным слоем и с регулярным пограничным слоем с сетками узлов, не содержащих концов промежутков интегрирования (открытого типа). Получены асимптотические выражения для функционалов ошибок таких квадратурных формул в пространствах, сопряженных к Ь™(а, Ь), р е (1, оо]. Показано, что при данных р существуют асимптотически оптимальные и асимптотически наилучшие последовательности квадратурных формул с пограничным слоем в Ь™{а,Ъ).

2. Доказано при любом натуральном числе т существование последовательностей типа Грегори с положительными коэффициентами, точных на многочленах степени ниже т.

3. Выведены условия представимости весовых кубатурных формул в виде декартовых произведений других формул.

4. Обобщена теорема С.Л. Соболева о представлении финитных обобщенных функций, равных 0 на многочленах степени ниже т.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Методика исследования. В диссертации используются методы функционального анализа и методы теории приближенного интегрирования.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертация могут быть использованы в теоретических исследованиях по теории приближенного интегрирования, а также для конструирования и оценки погрешностей кубатурных и квадратурных формул.

Личный вклад автора. Все результаты, кроме результатов главы 2, доказанных в соавторстве, получены автором лично.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах в Красноярском государственном университете, в Красноярском государственном техническом университете; на III Всесибирском конгрессе женщин-математиков в Красноярском государственном университете (г.Красноярск, 2004); на VIII Международном семйнаре-совещании "Ку-батурные формулы и их приложения" в Восточно-Сибирском технологическом университете (г.Улан-Удэ, 2005).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13—18], одна из них - в научном журнале, включенном в Перечень ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы. Общий объем диссертации составляет 88 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИЙ

Научным результатам диссертации посвящены посвящены главы 1—3. Изложим кратко их результаты.

Глава 1 называется "Последовательности квадратурных формул с

пограничным слоем открытого типа" и посвящена исследованию формул 6

/(х) dxtt^2c*f(a + hk + >

О

/■

Jfc=0

здесь, как и везде далее, а,Ь,& — числа, В 6 (0,1), —оо < а < b < -foo, величины к — 0, п — 1, — постоянные, h — (Ь — а)п-1.

Интегрируемые функции / будут предполагаться такими, что для них конечна

\\f\\L?{a,b) = ||/м||зда,ь), р е il,»], (з)

где

\ Ур

I I /(тЧх) F dx ) . при 1 < Р < ОО,

) (4)

vrai sup {| |}, прир = оо.

хе[а,Ь]

Далее речь будем вести не о последовательностях квадратурных формул с пограничным (или регулярным пограничным слоем), а о последовательностях их функционалов ошибок. Например, вместо последовательностей кубатурных формул С.Л. Соболева с регулярным пограничным слоем будем говорить о последовательностях функционалов с регулярным пограничным слоем.

В §1 главы 1 формулируются необходимые определения и описываются простейшие свойства формул с пограничным слоем открытого типа из последовательностей. В §2 выводятся асимптотические выражения для главных членов норм в Ь™*(а,Ь) функционалов ошибок формул из этих последовательностей. Вопросы, связанные с асимптотической оптимальностью изучаются в §3.

Через Ьт будем обозначать множество функционалов, значение которых равны 0 на многочленах степени меньше т.

Определение. Последовательность функционалов {1Л} вида ъг п—1

(**,/) = / /(*) ^ ~ $>£/(<* +Л* + ©Л),

где Э е (0,1) называется последовательностью функционалов с пограничным слоем открытого типа, если 1Н 6 Ьт, и найдутся целые, неотрицательные числа ¿(0), ¿(1) ,4, 4(0), ¿(1), при этом ¡1(0) + ¿(1) < п, * ^ ¿(0)^(1) и £(0), ¿(1) < п, постоянная К > 0, функционалы II € Ьт, определенные равенствами

4+1

/,т1

о «

(&/) = / /(*) /(а + + ©/»),

-—п

1=0 4(1)

(*? > /) = / /(*) ^ - £/(Ь — jh + вh), ь-сг(1)л+в/1 ,=1

где С{+1, со,о, с^о, сод, с1(1)д" постоянные, такие, что справедливы формулы

¿=<¿(0) ^ ' и выполняются неравенства:

|с£„|<ЛГЛ, ¿ = 0,«(0), \^\<Кк, 7=0,4(1).

Определение. Если последовательность функционалов {/Л} удовлетворяет условиям предыдущего определения и соответствующий ей в этом определении функционал I € Ьт+1, то {¿Л} называется последовательностью функционалов с регулярным пограничным слоем.

Определение. Сопутствующим числом последовательности функционалов открытого типа с пограничным слоем {¿Л} называется величина

ве = (Ь-а)"11ш1{/1-т(г'1(а:),хт)}". (5)

Здесь и далее будем обозначать: Вт(х) — полиномы Бернулли степени т; д - сопряженный показатель к р, р~1 + д-1 = 1, р € (1,оо), и д = 1 при р = со.

Теорема. Если {/''} — последовательность функционалов с пограничным слоем открытого типа с сопутствующим числом ае, то

||гЛ|кГ(а,Ь) = (тО-ЧЬ-^^К-ХГ^М + аеЦ^^СИ-оС!))

при /г -* 0, р € (1, оо].

Обозначим через ЦЦ* совокупность функционалов вида

* п-1

(Л Я = / /(*) - ск/(а + кк + ОЬ), (6)

{ *=°

принадлежащих Ьт.

Определение. Последовательность функционалов {У1} вида (6) называется асимптотически оптимальной в ¿"(а,?/), если для любой последовательности функционалов {/эЛ}, рл € С/д1, выполняется

Теорема. Пусть {/Л} — последовательность функционалов с пограничным слоем, ве — ее сопутствующее число. Тогда

а) {7'1} — асимптотически оптимальна в Ь™(а,Ь), в том и только том случае, если ае — решение уравнения 1

К-!)"1^*) + ае^вщп ((-1)тВт(а;) + ае) йх = 0;

б) при любых р, а, Ь — асимптотические оптимальные последовательности квадратурных формул с пограничным слоем всегда существуют;

в) {I11} — асимптотически оптимальна в Ь™{а, Ь) при тп — нечетном или р — 2, тогда и только тогда, когда — последовательность функционалов с регулярным пограничным слоем.

Отметим, что существуют р и т такие, что никакие последовательности функционалов с регулярным пограничным слоем открытого типа не являются асимптотически оптимальными в Ь).

Обозначим через С/(ш,п) совокупность функционалов 1п следующего

вида

где а ^ XI < Х2 < ■ • • < хп ^ Ь, С1, сп — постоянные, принадлежащие Ьт.

Определение. Последовательность функционалов {¿п}, 1п е и(т,п) называется асимптотически наилучшей, если для любой последовательности функционалов {рп}, рп 6 и[т, п), выполняется

Теорема. При р б (1,оо) существуют асимптотически наилучшие последовательности функционалов с пограничным слоем открытого типа в

Наряду с приведенными выше теоремами, в главе 1 данной диссертации излагаются и другие научные результаты, относящиеся, в основном, к выражениям главных членов в Ь™*(а,Ь) функционалов из последовательностей с пограничным слоем открытого типа при определенных значениях р и т. Приводится пример двухпараметрического семейства последовательностей функционалов с пограничным слоем открытого типа {/''}, такой, что

при некоторых фиксированных значениях параметров, будет последовательностью функционалов ошибок усложненных квадратурных формул прямоугольников.

Постановка рассматриваемых в главе задач восходит к С.Л. Соболеву. Он исследовал их для случая пространств ¿^(Д,). Для пространств ЬрП\£1), аналоги теорем и были установлены в статьях [3, 4, 6] (случай, когда р = 2 также описан в монографиях [1, 2]). Для решения задач о построении асимптотически оптимальных последовательностей формул недостаточно ограничиться формулами Соболева с регулярным пограничным слоем. Оказалось полезным ввести последовательности с пограничным слоем.

Исследования решетчатых формул интегрирования для одномерного случая и квадратурных формул Соболева и их обобщений для замкнутого вида

Г

/ /(Х)С!хрх ^СкДа+Л*)

а *=0

были приведены в статьях [5, 7]. Работа такого рода оказалась целесообразной, т.к. одномерный случай допускает более полное исследование, чем многомерный. Именно в одномерном случае удалось показать, что формулы Соболева с регулярным пограничным слоем, когда тп — четно, ни при всех р образуют асимптотически оптимальные последовательности в Ь™(а,Ь)] что асимптотически оптимальные последовательности формул замкнутого типа являются одновременно асимптотически наилучшими.

Глава 2 называется "Последовательности типа Грегори с положительными коэффициентами". Она состоит из двух параграфов. В §1 доказывается существование последовательностей типа Грегори с неотрицательными коэффициентами, в §2 показывается, что данные последовательности могут быть построены таким образом, что их сопутствующее число будет равно заданной величине.

Определение. Последовательность функционалов {¿Л} С Ьт называется последовательностью типа Грегори, если 1к имеют вид

г г

Нх)в.х - м (а+м)+ /(«+ы)+

I 1=0 1=4+1

»=о J

где г, г/ — натуральные числа, а,-, Д, г = 0,постоянные.

Данное определение было введено в статье [7], там было показано, что последовательности типа Грегори являются последовательностями функционалов с пограничными слоем. В частности, они могут быть последовательностями функционалов с регулярным пограничным слоем С.Л. Соболева.

Примером последовательности типа Грегори являются последовательности функционалов ошибок квадратурных формул Грегори. У квадратурных формул Грегори достаточно высокой точности среди коэффициентов есть, хотя бы один, отрицательный.

Основные результаты главы 2 получены автором совместно с В.И. По-ловинкиным (вклад соавторов равный) и сформулированы в следующих теоремах.

Теорема. При любом т существуют последовательности типа Грегори с неотрицательными коэффициентами.

Теорема. Каково бы ни было число ае, существует последовательность типа Грегори с неотрицательными коэффициентами, у которой ае будет сопутствующим числом.

Данные теоремы обобщают в одномерном случае результаты работы [8], где вместо последовательностей типа Грегори рассматривались последовательности функционалов с пограничным слоем. Методы доказательств результатов главы 2 отличаются от методов доказательств из [8].

(Л/) = /

Глава 3 данной диссертации называется "Декартовы произведения формул интегрирования". Такие произведения используются для. построения ку-батурных формул при п — переменных интегрирования с помощью формул, соответствующих количествам таких переменных меньших п. Если известно разложение кубатурной формулы в декартово произведение, то такое разложение позволяет получать верхние оценки ее погрешностей интегрирования, опирающиеся на свойства формул меньших размерностей.

В статье [9] М.В. Носков вывел для случая постоянной весовой функции условия разложимости кубатурных формул в декартовы произведения для формул, точных на константах. Данная глава посвящена обобщению результатов [9] на весовые кубатурные формулы, не обязательно точные на константах.

Через г, ], п, /с[г] обозначим натуральные числа: ^ > 1, г ^ j, п =

А:[1]+ ... + *[)■].

Если х1 — векторы арифметического пространства Ещ размерности А:[г], х' = ..., г = 1,... ,7 = 1,7, то через (х1,..., х*) будем обозначать п - мерный вектор

(ж1,..., х>) = (х},..., х\,..., х3т).

Определение. Декартовым произведением формул

(7)

называется кубатурная формула

з

g{x)f(x) ¿хж^^, 4(1}.....4ь}/<4{ 1}. - - • .^О}).

¿=1 *{г}=1

где д(х) = д{ х1, ...,х>) = д^х1) ■...■ д^х>).

Глава 3 посвящена выводам условиям разложимости кубатурных фор-

в декартовы произведения формул вида (7). При исследовании этих вопросов существенна величина

В §1 главы 3 считается, что случай А ф 0. В этом случае выводятся условия разложимости формул (8) в декартовы произведения.

Случаю А = 0 посвящен §2.

Формулировки результатов главы 3 не связаны непосредственно с теорией формул С.Л. Соболева. Однако, статья [9], тематика которой разрабатывается в данной главе, является естественным продолжением исследований [1], [10], [12] посвященных, в первую очередь, декартовым произведениям формул с пограничным слоем и регулярным пограничным слоем С.Л. Соболева.

Глава 4 "Анизотропные аналоги теорем С.Л. Соболева о сверточ-ных интегро-дифференциальных операторах" посвящена обобщению теоремы VIII.9 [1] об интегро-дифференциальных сверточных операторах. Разностный аналог этой теоремы (см. [1], с. 334) сыграл важную роль при решении проблемы об асимптотической оптимальности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем в пространствах Ь^ (Е^).

В §1 излагаются и обсуждаются важнейшие результаты главы. Их же доказательствам посвящен §2.

Пусть А — множество векторов с неотрицательными координатами.

Если а = («1,... ,£*„), Р = ({¡1 ,...,/?„) 6 А, то а < /? означает, что а'{ < Д- при г = 1, га.

мул

Множество <2 С А будет предполагаться полным снизу. Это значит, что если для всех а € А - таких, что существует ¡3 € а ^ ¡3, выполняется ае<2-

Через А обозначим множество крайних снизу точек множества А\С}. Это значит, что не существует /3 6 (А\ф)\а, такого, что /3 ^ а. Считаем множества <3, А конечными.

обозначим операторы дифференцирования, т.е. финитные обобщенные функции — такие, что их свертка с финитными бесконечно дифференцируемыми функциями <р = <р(х) — <р(х\,..., х„) принимает значение

. Определение. Финитная обобщенная функция I называется <3 — свер-точным интегро-дифференциальным оператором, если она представима в виде

I = ^ * аеа,

а€Л .

где жа, а е А, - финитные обобщенные функции.

Замечание. Сверточные интегро-дифференциальные операторы порядка I, рассмотренные в [1] являются <2 — сверточными интегро-дифференциальными операторами с

С} = {а : а 6 А, \ а |< *}> А = {а : а. е А, \ а |= I}.

Теорема. Для того, чтобы финитная обобщенная функция I была — сверточным интегро-дифференциальным оператором, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

(г(х),ха)=0 при а£<Э.

Данная теорема обобщается далее на линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентам. -

Диссертация выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ: 0301-007-003.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему руководителю доктору физико-математических наук, профессору Михаилу Ва-лериановичу Носкову за помощь при подготовке настоящей диссертации.

Список литературы

|1] Соболев, C.JI. Введение в теорию кубатурных формул / С.Л .Соболев. -М.: Наука, 1974. - 808 с.

[2] Соболев, С.Л. Кубатурные формулы / С.Л. Соболев, В.Л. Васкевич. -Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1996. - 484 с.

[3] Половинкин, В.И. Кубатурные формулы в L^(Q) / В.И. Половинкин // Докл. АН СССР. - 1970. - Т.190. - № 1. - С. 42-44.

[4] Половинкин, В.И. Последовательности функционалов с пограничным слоем / В.И. Половинкин // Сиб. мат. журн. - 1974. - Т.15. - № 2. -С. 413-429. . ■■

[5] Половинкин, В.И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем / В.И. Половинкин // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам математической физики. Труды семинара С.Л. Соболева. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1977. - № 1. - С. 149-158.

[6] Половинкин, В.И. Асимптотически наилучшие последовательности кубатурных формул / В.И. Половинкин // Сиб. мат. журн. - 1975. - Т.16. -№ 6. - С. 1255-1262.

[7] Половинкин, В.И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори / В.И. Половинкин // Квадратурные и кубатурные формулы. Решение функциональных уравнений. Методы вычислений. - JL: ЛГУ. - 1981. - Вып. 12. - С. 7-25.

[8] Половинкин, В.И. Решетчатые кубатурные формулы с положительными коэффициентами / В.И. Половинкин // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам математической физики. Труды семинара С.Л. Соболева. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1978. - № 1. - С. 79-87.

[9] Носков, М.В. О декартовых произведениях кубатурных формул / М.В. Носков // Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск: Наука, 1980. - С. 114 - 116.

[10] Половинкин, В.И. Декартовы произведения формул прямоугольников и формул с регулярным пограничным слоем / В.И. Половинкин // Пятое советско-чехословацкое совещание по применению методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики: Материалы совещания. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1978. - С. 248-250.

[11] Носков, М.В. Приближенное интегрирование функций периодических по некоторым переменным / М.В. Носков // Теоремы вложения и их применения. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1982. - № 1. - С. 83-101.

[12] Половинкин, В.И. Асимптотические свойства декартовых произведений кубатурных формул / В.И. Половинкин, М.В. Носков // Функциональный анализ и математическая физика. - Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1987. С. 39-56.

Работы автора по теме диссертации

[13] Федоренко (Половинкина), Л.В. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем открытого типа / Л.В. Федоренко // Информатика и информационные технологии. - Красноярск: КГТУ, 1998. - С. 34-

[14] Половинкина, Л.В. О декартовых произведениях квадратурных формул / Л.В. Половинкина // III Всесибирский конгресс женщин математиков: Тезисы докладов конгресса. — Красноярск: ПФК "Торра", 2004. - С. 1819.

[15] Половинкина, Л.В. Декартовы произведения формул интегрирования / Л.В. Половинкина // Вопросы математического анализа. — Красноярск: КГТУ, 2004. - Вып. 8. - С. 158-167.

[16] Половинкина, Л.В. Последовательности типа Грегори с положительными коэффициентами / В.И. Половинкин, Л. В. Половинкина // Куба-турные формулы и их приложения: Материалы VIII Международного семинара-совещания. - Улан-Удэ: ВСГТУ, 2005. - С. 101-103.

[17] Половинкина, Л.В. Последовательности типа Грегори с неотрицательными коэффициентами / В.И. Половинкин, Л.В. Половинкина // Вычислительные технологии: Специальный выпуск, 2005. — JT« 10. — С. 84-89.

[18] Половинкина, Л.В. Анизотропные аналоги теорем С.Л. Соболева о свер-точных интегро-дифференциальных операторах / Л.В. Половинкина // Вопросы математического анализа. — Красноярск: КГТУ, 2006. - Вып. 9. - С. 80-90.

36.

Соискатель

Л.В. Половинкина

Отпечатано в КГТУ. Тираж 100 экз. Заказ &&& 660074, Красноярск, ул.Киренского, 28

Введение

1 Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем открытого типа

§ 1. Постановка задачи, определения.

§ 2. Асимптотические выражения для' главного члена норм функционалов ошибок формул из последовательностей с пограничным слоем

§ 3. Асимптотическая оптимальность.

2 Последовательности типа Грегори с положительными коэффициентами

§1. Существование формул с положительными коэффициентами

§ 2. Формулы с заданным сопутствующим числом

3 Декартовы произведения формул интегрирования

§ 1. Случай не нулевой суммы коэффициентов

§ 2. Случай нулевой суммы коэффициентов.

4 Анизотропные аналоги теорем С.Л. Соболева о сверточ-ных интегро-дифференциальных операторах

§ 1. Основные результаты ч

§ 2. Доказательства результатов.

Теория квадратурных формул ьг N f(x)dx&YsCbf(xk)> (!) а К-1 и их многомерных аналогов - кубатурных формул f N f(x)dx&J2ckf(xk), (2) I где x = (xi,., xn), (x\,.xfy, к = 1,. ,.n = 1, n является развернутым разделом вычислительной математики и математического анализа. Изучение формул вида (1) и (2) и оценок их погрешностей продолжается длительное время. О важности данного научного направления может, в частности, свидетельствовать то, что в нем работали знаменитые математики: И. Ньютон, J1. Эйлер, Ш. Эрмит, К. Гаусс, П. JI. Чебышев, С. Н. Бернштейн, С. JI. Соболев, С. Н. Никольский и другие. Интерес к задачам теории квадратурных и кубатурных формул не спадает до настоящего времени и это доказывает большое число научных публикаций по данным вопросам, регулярное проведение научных конференций (семинаров-совещаний), посвященных этой теории. Данная научная тематика является актуальной. Методы исследований формул вида (1) и (2) разнообразны и связаны со следующими характеристиками формул. а) Точностью формул. Например, со степенями многочленов (алгебраических или тригонометрических), на которых рассматриваемые формулы точны. б) Теоретико-вероятностными оценками погрешностей интегрирования. в) Погрешностями на классах функций и в порожденных этими классами линейных нормированных пространствах.

Данная диссертация связана, прежде всего, с работами С. J1. Соболева, которые были посвящены оценкам погрешностей формул интегрирования в классах функций.

Идея исследований подобного рода состоит в следующем. Если на интегрируемых функциях задана норма линейного нормированного пространства В, а функционалы ошибок погрешностей формул (1) и (2) lN порождают функционалы из сопряженного к В пространства В*, кото

Если известны верхние оценки сомножителей из правой части неравенства (5), то оно дает гарантированную верхнюю оценку погрешностей интегрирования формул (1) и (2).

Неравенства типа (5) позволяют поставить и решить ряд задач, связанных с минимизацией верхних оценок погрешностей формул прибли

3) N

5) женного интегирования, в том числе и таких, в формулировках которых учавствуют последовательности квадратурных и кубатурных формул.

В теории приближенного интегрирования почетное место занимают работы С. JI. Соболева. Их основные результаты изложены в книгах [19, 21, 20]. Монография [21] содержит обширную автобиографию.

Приведем некоторые характерные черты работ Соболева по приближенному интегрированию. а) Погрешность интегрируемых функций оценивается через их нормы в пространствах Соболева типа L™. б) Введены новые классы кубатурных решетчатых, формул с регулярным пограничным слоем, предложены алгоритмы конструирования и оценок погрешностей таких формул. в) Поставлены и рассмотрены асимптотические задачи, связанные с оценками погрешностей решетчатых кубатурных формул при неограниченном убывании шагов решеток (сеток). г) Для решения поставленных задач Соболеву пришлось применить ряд результатов из других разделов математики, не относящихся непосредственно к теории приближенного интегрирования: геометрии чисел, теорий конечных разностей, аналитических функций, обощенных функкций и др. Многие из этих результатов являлись новыми и, как и некоторые их обобщения, полученные Соболевым, сами представляют научный интерес.

Квадратурными и кубатурными формулами в функциональных пространствах занимались при жизни Соболева и после его смерти многие математики, среди которых: В. Н. Белых, О. В. Бесов, И. В. Бойков,

Я. М. Жилейкин, М. В. Носков, Н. Н. Осипов, И. М. Соболь; ученики и сотрудники Соболева: Н. С. Бахвалов, В. JI. Васкевич, В. И. Половинкин, М. Д. Рамазанов, Г. Н. Салихов, Ц. Б. Шойнжуров.

С результатами Соболева и его учеников по теории приближенного интегрирования можно ознакомиться в книгах [8] - [20], [17]. Монография [21] содержит обширную библиографию.

Ради удобства изложения, чаще будем вести речь в данной работе не в терминологии, связанной непосредственно с квадратурными формулами, а с их функционалами ошибок lN вида (3) и (4). Изложим кратко содержание диссертации.

Основные результаты диссертации таковы:

Рассмотрены квадратурные формулы с пограничным слоем и с регулярным пограничным слоем с сетками узлов, не содержащих концов промежутков интегрирования. Получены асимптотические выражения для функционалов ошибок таких квадратурных формул в пространствах, сопряженных к L™(a,b),p 6 (1,оо]. Показано, что при данных р существуют асимптотически оптимальные и асимптотически наилучшие последовательности квадратурных формул с пограничным слоем в Lpl{a,b).

При любом натуральном числе т доказано существование последовательностей типа Грегори с положительными коэффициентами, точных на многочленах степени ниже т.

Для весовых кубатурных формул выведены условия их представимости в виде декартовых произведений других формул.

Обобщена теорема C.JI. Соболева о представлении финитных обобщенных функций, равных 0 на многочленах степени ниже т.

Заключение

1. Владимиров, B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1976. - С. 1-280.

2. Женсыкбаев, А.А. Моноснлайны минимальной нормы и квадратурной формулы / А.А. Женсыкбаев // Успехи мат.наук. 1981. - Т.36. - Вып.4. - С. 171-196.

3. Крылов, В.И. Приближенное вычисление интегралов / В.И. Крылов- М.: Наука, 1967 50 с.

4. Математическая энциклопедия: Т.2 Д-Коо / Гл.ред.: И.М. Виноградов, М.: Советская энциклопедия. - 1979. -1104 стб., ил.

5. Мысовских, И.П. Лекции по методам вычислений: учеб. пособие / И.П. Мысовских. СПб.: С.Петербургски университет, 1988.472 с.

6. Никольский, С.М. Квадратурные формулы / С.М. Никольский М.: Наука, 1974,- 224 с.

7. Носков, М.В. О декартовых произведениях кубатурных формул / М.В. Носков // Теория кубатурных формул и вычислительная математика, Новосибирск: Наука, 1980. С. 114-116.

8. Носков, М.В. Приближенное интегрирование функций периодических по некоторым переменным / М.В. Носков // Теоремы вложения и их применения. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1982. № 1. С. 83-101.

9. Половинкин, В.И. Асимптотические свойства декартовых произведений кубатурных формул / В.И. Половинкин, М.В. Носков // Функциональный анализ и математическая физика. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1987. С. 39-56.

10. Половинкин, В.И. Кубатурные формулы в L^^l) / В.И. Половинкин // Докл. АН СССР. 1970. - Т.190. - №1. - С. 42-44.

11. И. Половинкин, В.И. Последовательности функционалов с пограничным слоем / В.И. Половинкин // Сиб. мат. журн. 1974. - Т.15.- №2. С. 413-429.

12. Половинкин, В.И. Асимпототическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетных т / В.И. Половинкин // Сиб. мат. журн. 1975. - Т.16-т. - С. 328-335.

13. Половинкин, В.И. Асимптотически наилучшие, последовательности кубатурных формул / В.И. Половинкин // Сиб. мат. журн. 1975.- Т.16. №6. - С.1255-1262.

14. Половинкин, В.И. Декартовы произведения формул прямоугольников и формул с регулярным пограничным слоем /

15. B.И. Половинкин // Пятое советско-чехословацкое совещание по применению методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики : Материалы совещания. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1978. С. 248250.

16. Половинкин, В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: дис. . докт. физ.-мат. наук: 010101 / В.И. Половинкин. Защищена 17.06.1978. - Л.: 1978. 241 с. - Библиогр.: с.229-238.

17. Половинкин, В.И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори / В.И. Половинкин // Квадратурные и кубатурные формулы.

18. Решение функциональных уравнений. Методы вычислений. Л.: ЛГУ. - 1981- Вып. 12. - С. 7-25.

19. Соболев, С. Л. Введение в теорию кубатурных формул / С.Л. Соболев. М.: Наука, 1974. - 808 с.

20. Соболев, С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций / С.Л.'Соболев. М.: Наука, 1989. С. 1 254.

21. Соболев, С.Л. Кубатурные формулы / С.Л. Соболев, В.Л. Васкевич.- Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1996. 484 с.

22. Федорепко (Половинкина), Л.В. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем открытого типа / Л.В. Федоренко // Информатика и информационные технологии. Красноярск: КГТУ, 1998. - С. 34-36.

23. Половинкина, Л.В. О декартовых произведениях квадратурных формул / Л.В. Половинкина // III Всесибирский конгресс женщин математиков: Тезисы докладов конгресса. — Красноярск: ПФК "Торра", 2004. С. 18 19.

24. Половинкина, Л.В. Декартовы произведения формул интегрирования / Л. В. Половинкина // Вопросы математического анализа.- Красноярск: КГТУ, 2004. Вып. 8. - С. 158-167.

25. Половинкина, Л.В. Последовательности типа Грегори с положительными коэффициентами / В.И. Половинкин, Л.В. Половинкина // Кубатурные формулы и их приложения:

26. Материалы VIII международного семинара-совещания. Улан-Удэ: ВСГТУ, 2005. - С. 101-103.

27. Половинкина, JI.B. Последовательности типа Грегори с неотрицательными коэффициентами / В.И. Половинкин, Л.В. Половинкина // Вычислительные технологии: Специальный выпуск, 2005 № 10. - С. 84-89.

28. Половинкина, Л.В. Анизотропные аналоги теорем С.Л. Соболева о сверточных интегро-дифференциальных операторах / Л.В. Половинкина // Вопросы математического анализа. — Красноярск: КГТУ, 2006. Вып. 9. - С. 80-90,