Аппроксимативные свойства обобщённых рациональных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

1. Непрерывность ^-выборок на обобщённые рациональные функции в пространствах Lp, 0 < р < оо.

§1.1. Положительные результаты. ч

§1-2. Отрицательные результаты.

1.2.1. Случай пространств Lp[0; 1],0 < р < 1.

1.2.2. Случай пространств Li[0; 1].

§1.3. Замечания.

2. О липшицевых ретракциях на многообразия и на множества 7£ТО;П.

§2.1. Липшицевы ретракции на многообразия.

2.1.1. Геометрические свойства липшицевой по-верхности.

2.1.2. Доказательство теоремы 2.2.

2.1.3. Доказательство теоремы 2.1.

§2.2. О липшицевых ретракциях на множества рациональных функций.

2.2.1. Геометрические свойства Т^-од- ■ •

2.2.2. Доказательство теоремы 2.3.

2.2.3. Замечания.

3. Равномерная непрерывность ^-выборок на обобщённые рациональные дроби.

§3.1. Положительные результаты.

3.1.1. Общая теорема.

В диссертации рассматриваются вопросы, связанные с устойчивостью операторов обобщённого рационального приближения.

Напомним несколько стандартных определений геометрической теории приближений. Пусть (X, d) - метрическое пространство, А С X; положим р(х, А) := infa€^ d(x, а). Назовём оператором метрического проектирования многозначное отображение, сопоставляющее каждой точке х Е X множество Ра(х) = {a £ А : d(x,a) = р(х,А)}. Может случиться, что для некоторых точек х Е x выполнено Ра(х) = 0- Любую точку а Е Ра{х) мы называем элементом наилучшего приближения для х. Множество А называется чебышёвеким в X, если #Ра(х) = 1 для любой точки х Е X.

Теория приближений началась с работы П.Л. Чебышева 1859 года [1], в которой была показана единственность элемента наилучшего приближения множеством Vm алгебраических полиномов степени не выше т и множеством алгебраических рациональных дробей, т.е. множеством функций

Пт,п = jr(r) = ^ Е С[0; 1] : и Е Vm, w Е j в пространстве С[0; 1]. Заметим, что вопросам существования в 19 веке не уделяли должного внимания. В [1] был опи сан оператор метрического проектирования на 1Zm^n (теорема об альтернансе). Существование наилучшей дроби было доказано в работах Уолша [2] и Н.И. Ахиезера [3]. Кирхбер-гер [4] показал, что в пространстве С\0; 1] (однозначный) оператор метрического проектирования на множество Vm непрерывен и локально Липшицев; С.Н. Бернштейн [5] установил, что этот оператор не является равномерно непрерывным на единичном шаре С[0; 1] при т > 1. В 50-60 годы Кли, Н.В. Ефимов, С.Б. Стечкин заложили основы геометрической теории приближений. Благодаря работам Л.П. Власова, Вулберта, А.Л. Гаркави, Зингера, Коллатца, Линденштраус-са, Е.В. Ошмана, Раиса, Ривлина, Рудина, Фелпса, С.Я. Ха-винсона, Чини, Шапиро и других она получила дальнейшее развитие. Одним из первых её приложений к задачам классической теории аппроксимаций стала теорема Н.В. Ефимова и С.Б. Стечкина [6] о том, что 1Z-m,ni Ti 1 не является че-бышевским множеством в Lp[0;l],l < р < оо. Джексон [7], М.Г. Крейн [8], С.Я. Хавинсон [9], А.Л. Гаркави [10] и другие исследовали единственность элементов наилучшего приближения в метрике L\. Вопросами единственности в пространствах lpi 0 < р < 1, занимался Д. Камунтавичюс [11]; эта тематика получила дальнейшее развитие у Н.К. Рахметова [12].

Основным объектом исследования в диссертации являются обобщённые рациональные дроби. Пусть X - некоторое функциональное пространство, V, W - его подпространства. Назовем обобщенными рациональными функциями (дробями) элементы следующего множества r(v,w) = {r = ^:v eV,w ew,r ex}.

Заметим, что если V = W = Vni то R(V1 W) = TZm,n- Если W =< 1 > - подпространство констант, то R(V, W) = V - подпространство в X. Таким образом, множества 7Zmjn и подпространства входят в класс обобщённых дробей. Мы рассматриваем подобные множества в различных функциональных пространствах и данное определение придётся подправлять.

Важнейшими для теории приближений являются следующие вопросы: существование, единственность элемента наилучшего приближения и устойчивость оператора метрического проектирования.

А.Н. Колмогоров в работе [13] получил критерий элемента наилучшего приближения для подпространств в С (К). Г.Ш. Рубинштейн [14] установил критерий наилучшей обобщённой дроби, а Чини и Леб [15] указали достаточное условие для её единственности. Ньюмен и Шапиро [16] и Бём [17] дали достаточные условия того, что для любой / Е С {К) существует обобщённая дробь наилучшего приближения. В работах Брозовского [18] и Шашкина [19] были получены результаты о чебышевском ранге обобщённых дробей и аналог теоремы Мэрхьюбера.

Браесс, Н.С. Вячеславов, А.К. Рамазанов, М.А. Назарен-ко и другие исследовали вопрос о возможной мощности метрической проекции на множества алгебраических дробей (см. например [20], [21], [22]) в пространствах Lp, 1 < р < оо.

Устойчивость оператора метрического проектирования (в различных ситуациях) изучали также Ньюмен и Шапиро [23], Вулберт [24], Л.П. Власов [25], П.В. Галкин [26], А.В. Колушов [27], Бьернестал [28], B.C. Балаганский [29] и другие. Мэли и Вицгаль [30] доказали, что для непрерывности оператора метрического проектирования Рцт п '■ С[0; 1] —» > 1 в точке / G С[0; 1] достаточно, чтобы степень числителя или знаменателя наилучшей несократимой дроби была максимальна, а Вернер [31] показал, что это условие является и необходимым (если / Е С[0; 1] \ 7ZmiTl). Аналог этого утверждения для обобщённых дробей получил Чини [32]. А.В. Колушов [33] исследовал дифференцируемость по направлению оператора метрического проектирования на

7гга>пвС[0;1].

Из результатов Бернштейна [5], Мэли и Вицгаля [30] и Вернера [31] следует, что оператор наилучшего приближения, вообще говоря, не является устойчивым. В связи с этим естественно исследовать устойчивость операторов почти наилучшего приближения (^-выборок).

Определение. Пусть (X, d) ~ метрическое пространство, А - его подмножество, е > 0. Отображение Ф : X А называется мультипликативной (аддитивной) £~выборкой из X на А, если для всех х £ X выполнено d(Ф(х),х) < (1 + е)р(х, А) (соответственно 4(Ф(х),х) <р(х,А)+е).

Из определения мультипликативной t-выборки следует, что ограничение Ф на А — тождественное отображение. Выборка называется непрерывной (равномерно непрерывной, липшицевой), если Ф — непрерывно (равномерно непрерывно, липшицево). Отметим, что при г = 0 получается определение выборки из метрической проекции. Ниже мы поясним, какова связь между аддитивными и мультипликативными выборками. Понятие "почти наилучшее приближение" впервые встречается в работе Вулберта [24].

Пусть X - линейное нормированное пространство, Y С X - конечномерное выпуклое замкнутое множество. Для е > 0 и х £ X положим Р(е,х) = {у £ Y : \\х — у\\ < p(x,Y) + е). В связи с интересом к некорректным задачам устойчивость многозначных отображений х н-> Р(е,х) изучали В.И. Бердышев [34], [35], О.А Лисковец [39], [40], А.В Мари-нов [37], [36], В.А. Морозов [41], Р. Вегман [42] и другие. В.И. Бердышев и А.В. Маринов [34] — [37] получили различные оценки величины хаусдорфова расстояния h(P(£\, х\), Р(£2-, #2))

Если X - линейное нормированное пространство, Y - его подпространство, то для любого £ > 0 существует непрерывная мультипликативная ^-выборка из J на У (это вытекает из классической теоремы Майкла [43]). Из результатов В.И. Бердышева [34] , А.В. Маринова [36] и П.В. Альбрехта [38] следует существование липшицевых аддитивных е-выборок на конечномерные подпространства с константой Липшица порядка j при £ —> 0. П.В. Альбрехт [38] исследовал дифференцируемость ^-выборок на подпространства и получил оценки констант Липшица ^-выборок, имеющие правильный порядок по £ (при £ 0) в классических пространствах. Из упомянутых результатов следует, что существуют е-выборки более гладкие, чем оператор метрической проекции. В работе И.Г. Царькова [44] показано, что оценки модуля непрерывности ^-выборки, полученные в [36], точны по порядку размерности и доказано, что в пространстве С[0; 1] существует ограниченное выпуклое замкнутое множество Y и число £ > 0 такие, что при любом S > 0 не существует равномерно непрерывной аддитивной ^-выборки из окрестности Us(Y) = {ж : p(x,Y) < J} на Y. Е.Д. Лившиц [45] исследовал существование непрерывных г-выборок на множества сплайнов с нефиксированными узлами.

Исследуемая в диссертации задача оказывается связанной с таким активно развивающимся разделом топологии, как выборки из многозначных отображений. В последние годы в работах Ван де Вела [46], Хорвата, Реповша и П.В. Семёнова [47] и других активно изучаются выборки из многозначных отображений, при контролируемом отказе от выпуклости и при различных обобщённых выпуклостях.

Укажем известные обзорные работы по тематике диссертации: в [48] описываются различные результаты по нелинейным аппроксимациям и, в частности, по приближениям обобщёнными дробями; в [49], [50] имеется обширная библиография по проблеме устойчивости оператора метрического проектирования; с современным состоянием теории непрерывных выборок из многозначных отображений можно ознакомиться в [51]. В монографии [52] содержатся доказательства многих, упоминавшихся нами, результатов по рациональным аппроксимациям.

В диссертации мы будем исследовать устойчивость е-выборок на множества обобщённых рациональных дробей в классических функциональных пространствах. Опишем более подробно известные результаты по этой тематике. С.В. Ко-нягин показал в работе [53], что справедлива

Теорема А. Пусть К - связный метрический компакт, X = С (К), а V, W - подпространства в X. Если 7Zv,w — : v 6 V,w £ IV, w ф 0 на К} ф 0, то для любого £ > 0 существует непрерывная аддитивная е-выборка из X на 1Zy,w

В работе И.Г. Царькова [54] получена

Теорема В. Пусть т Е Z+,n Е N,1 < р < со, тогда при достаточно малом s > 0 любая аддитивная е-выборка на 71т^п в Lp[0; 1] разрывна.

С.В. Конягин в [55] анонсировал следующее утверждение: при любом г G (0; 2) не существует равномерно непрерывной е-выборки из С[0; 1] на Т^од- В работе А.В. Маринова [56] была получена оценка константы Липшица локально-липшицевой выборки на множества обобщённых дробей в

С[0; 1].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 65 наименований. Нумерация теорем, лемм и выносных формул своя в каждой главе; при этом, теорема 3.1 означает первую теорему в третьей главе. Полный объём диссертации - 92 страницы.

1. Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций. 1859 в кн.: Чебышев П.Л. Полное собр. соч. т. 2, М.-Л. Изд-во АН СССР, 1947. С. 151 235.

2. Walsh J.L. The existence of rational functions of best approximation// Trans. Amer. Math. Soc., 1931, V. 33, N. 3, 668-689.

3. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации// М.-Л. Гостехиздат, 1947.

4. Kirchberger P. Uber Tschebyschefsche Annaherungs-methoden// Inaugural-dissertation. Gottingen, 1902.

5. Бернштейн C.H. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Ч. I// М.-Л. Гостехиздат, 1937.

6. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Аппроксимативная компактность и чебышевские множества// Докл. АН СССР, 1961, Т. 140, N 3, С. 522-524.

7. Jackson D. A general class of problems in approximation// Amer. Journ. of Math., 1924, V. 46, P. 215-234.

8. Ахиезер Н.И., Крейн М.Г. О некоторых вопросах теории моментов// Харьков. ГОНТИ, 1938.

9. Хавинсон С.Я. О единственности функции наилучшего приближения в метрике пространства L\f / Изв. АН СССР. Сер. матем., 1958, Т. 22, N. 2, С. 243-270.

10. Гаркави A.JI. О единственности решения L-проблемы моментов// Изв. АН СССР. Сер. матем., 1964, Т. 28, N. 3, С. 553-570.

11. Kamuntavichius. D. A criterion for the existence of finite-dimensional Chebyshev spaces in the spaces L^j/Litovsk. Mat. Sb., 1990, V. 30, N. 1, P. 44-55.

12. Рахметов H.K. О конечномерных чебышевских подпространствах в пространствах с интегральной метрикой// Матем. Сборн., 1991, Т. 182, N. 11, С. 1613-1634.

13. Колмогоров А.Н. Замечание по поводу полинома П.Л. Чебышева, наименее уклоняющегося от заданной функции// Успехи, матем. наук, 1948, вып. 23.

14. Рубинштейн Г.Ш. О равномерном приближении функции с помощью обобщённых рациональных функций// Успехи матем. наук, 1960, Т. 15, N 3, С. 232-234.

15. Cheney E.W., Loeb H.L. Generalized rational approximation// J. Soc. Indust. and Appl. Math., ser. B, 1964, V. 1, P. 11-25.

16. Newman D.J., Shapiro H.S. Approximation by generalized rational functions// "On Approximation theory." Basel-Sttutgart, Birkhauser Verl., 1964, P. 245-251.

17. Boehm В. Existence of best rational Tchebysheff approximations// Pacif. J. Math., 1965, V. 15, N 1, P. 19-28.

18. Brosowski B. Uber die Eindeutigkeit der rationalen Tschebyscheff-Approximationen// Numer. Math., 1965, V. 7, N 2, P. 176-186.

19. Шашкин Ю.А. О наилучшем приближении рациональными функциями// Докл. Болг. АН, 1966, Т. 19, N 1, С. 5-7.

20. Braess D. On rational L2 approximation// J. of. Appr. theory, 1976, V. 18, N. 2, P. 136-151.

21. Вячеславов H.C., Рамазанов А.К. О степени рациональных функций наилучшего приближения в Ьр(Шт)// Ма-тем. заметки., 1993, Т. 53, вып. 2, С. 37-45.

22. Назаренко М.А. Некоторые свойства рациональных аппроксимаций, Дисс. канд. физ.-мат. наук, Москва, 1997.

23. Newman D.J., Shapiro H.S. Some theorems on Chebyshev approximation// Duke Math. J., 1963, V. 30, P. 673-681.

24. Wulbert D.E. Continuity of metric projections. Approximation theory in a normed linear lattice. Thes// Univ. Texas Сотр. Center. Austin, 1966.

25. Власов Л.П. Непрерывность метрической проекции на выпуклые множества// Матем. заметки, 1992, Т. 52, N 6, С. 3-9.

26. Галкин П.В. О модуле непрерывности оператора наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций// Матем. заметки, 1971, Т. 10, N 6, С. 601-604.

27. Колушов А.В. Задача корректности наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций// Ма-тем. заметки, 1978, Т. 23, N 3, С. 351-360.

28. Bjornestal В.О. Local lipshitz continuity of the metric projection operator// Banach Center Publications, 1979, V. 4, P. 43-54.

29. Балаганский B.C. Слабая непрерывность метрической проекции на подпространства// Труды Инст. Матем. и Механ. УРО РАН, 1995, Т. 2, С. 80-87.

30. Maehly Н., Witzgall Ch. Tschebyscheff-Approximationen in kleinen Intervalen. II, Stetigkeitssatze fur gebrochene rationale Approximationen// Numer. Math., I960, V. 2, N 5, P. 193-309.

31. Werner H. On the rational Tschebyscheff operator// Math. Z., 1964, V. 86, N 4, P. 317-326.

32. Cheney E.W. Approximation by generalized rational functions// Approximation of functions. Ed. Garabedian H.L., Elsevier publish, сотр., Amsterdam-London-New York, 1965,101-110.

33. Колушов А.В. Дифференциальные свойства оператора наилучшего приближения рациональными дробями// Матем. заметки., 1989, Т. 45, N. 2, С. 40-50.

34. Бердышев В.И. Непрерывность многозначного отображения связанного с задачей минимизации функционалов// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980, Т. 44, N 2, С. 483-509.

35. Бердышев В.И. Варьирование нормы в задаче о наилучшем приближении// Матем. заметки. 1981, Т. 29, N 2, С. 181 196.

36. Маринов А.В. Оценки устойчивости непрерывной селекции для метрической почти-проекции//Матем. заметки, 1994, Т. 55, N 4, С. 47-53.

37. Маринов А.В. Константы Липшица операторов метрического ег-проектирования в пространствах с заданным модулем выпуклости и гладкости// Изв. РАН, Сер. Матем, 1998, Т. 62, N 2, С. 103-130.

38. Альбрехт П.В. Об операторах почти наилучшего приближения, Дисс. канд. физ.-мат. наук, Москва, 1994.

39. Лисковец О.А. Метод £-квазирешений для уравнений I го рода// Дифференц. уравнения, 1973, Т. 9, N 10, С. 1851-1861.

40. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск. НиТ, 1981.

41. Морозов В.А. Метод квазирешений на некомпактных множествах// Докл. АН СССР, 1982, Т. 263, N 5, С. 1057-1061.

42. Wegmann R. Bounds for nearly best approximations// Proc. Amer. Math. Soc., 1975, V. 52, P. 252-256.

43. Michael E. Continuous selections, I// Ann. of Math., 1956, V. 63, P. 361 382.

44. И.Г. Царьков. Об г-выборках// Докл. РАН, 1996, Т. 349, N 6, С.747-748.

45. Repovs D., Semenov P.V. Continuous selections of nonlow-er semicontinuous nonconvex-valued mappings//Diff. incl. and Opt. contr., 1998, V. 2, P. 253-262.

46. Гаркави А.Л. Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах// Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР. Математический анализ. 1969, С. 75-132.

47. Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах// Успехи ма-тем. наук, 1973, Т.28, N 6, С.3-66.

48. Балаганский B.C. Власов Л.П. Проблема выпуклости че-бышевских множеств// Успехи матем. наук, 1996, Т. 51, вып. 6, С. 125 188.

49. Repovs D., Semenov P.V. Continuous selections of multivalued mappings// 1998, Math, and its Appl., 455, Kluwer. Dordrecht.

50. Lorentz G.G., v. Golitshek. M, Makovoz. Y Constructive approximation. (Advanced problems)// Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Berlin. Springer, xi. 1996.

51. Конягин С.В. О непрерывности операторов обобщенного рационального приближения// Матем. заметки, 1988, Т. 44, вып. 3, С. 404.

52. Царьков И.Г. Свойства множеств, обладающих непрерывной выборкой из оператора Ps // Матем. заметки, 1990, Т. 48, вып. 4, С. 122-131.

53. Конягин С.В. О равномерной непрерывности операторов рационального приближения// Теория приближений и задачи вычислительной математики. Днепропетровск, 108 (1993)

54. Маринов А.В. Липшицевы селекции оператора метрического ^-проектирования на обобщённые рациональные дроби// Совр. методы теор. функций и смежные пробл. (тезисы докл. Воронежской зимней матем. школы), 2001, С. 183-184.

55. Cohen F.R. Cohen R.L. Mann B.M. Milgram R.J. The topology of rational functions and divisors of surfaces// Acta Math., 1991, V. 166, N. 3/4, R 163-221.

56. Бари H.K. Тригонометрические ряды. M., Физматгиз, 1961.

57. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М., Наука, 1973.

58. Посицельский Е.Д. О липшицевых отображениях в пространствах выпуклых тел// Оптимизация, 1971, выпуск 4(21).

59. Рютин К.С. Равномерная непрерывность операторов обобщённого рационального приближения// Совр.пробл. теор. функций и их прилож. (тезисы докл. 10-й Саратовской зимней школы), 2000, С. 120-121.

60. Рютин К.С. Липшицевость ретракций и оператор обобщённого рационального приближения// Фунд. и прикл. матем., 2000, Т. 6, N 4, С. 1205-1220.

61. Рютин К.С. Непрерывность операторов обобщённого рационального приближения в пространствах Ьр// Совр. пробл. теор. функций и их прилож. (тезисы докл. 11-й Саратовской зимней школы), 2002, С. 177-179.

62. Рютин К.С. Равномерная непрерывность обобщённых рациональных приближений// Матем. заметки, 2002, Т. 71, вып. 2, С. 261-270.

63. Rjutin K.S. On continuous operators of generalized rational approximation in Lp spaces// East journal on appr., 2002, V. 8, N. 2, P. 151 159.