Об аппроксимативных свойствах классических средних и арифметических средних с пропусками тригонометрических рядов Фурье и их сопряженных рядов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДШИЕ.

ГЛАВА I. ОБ АППРОКСИМАТИВНЫХ СВОЙСТВАХ НЕКОТОРЫХ СРЕДНИХ

СОПРЯЖЕННЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ. II

§ I. Предварительные замечания. II

§ 2. Об аппроксимативных свойствах средних Валле-Пуссена сопряженного тригонометрического ряда

Фурье

§ 3. Об аппроксимативных свойствах средних Абеля сопряженного тригонометрического ряда Фурье

§ 4. Об аппроксимативных свойствах средних ряда 6Ш'

ГЛАВА 2. ОБ АППРОКСИМАТИВНЫХ СВОЙСТВАХ НЕКОТОРЫХ СРЕДНИХ

КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ.

§ I. Предварительные замечания.

§ 2. Об аппроксимативных свойствах средних Чезаро И, -кратного сопряженного тригонометрического ряда Фурье

§ 3. Об аппроксимативных свойствах средних Абеля П -кратного сопряженного тригонометрического ряда Фурье

ШВА 3. О СУММИРОВАНИИ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЧАСТИЧНЫХ

СУШ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ.

§ I. Предварительные замечания.

§ 2. Суммирование средних сЦтг('х ; ^ ряда в пространстве У.

§ 3. Суммирование средних ^ ряда б^Щ в пространстве У

Настоящая работа посвящена изучению аппроксимативных свойств некоторых средних тригонометрического ряда Фурье в одномерном и многомерном случаях. Эти вопросы изучены в связи со свойствами гладкости функций.

Подобными вопросами занимались многие авторы и в этом направлении получен ряд важных результатов.

Пусть и ряд оо у- + 21 ( Ч ^^Х А6П кху является ее тригонометрическим рядом Фурье. Обозначим через бЩ сопряженный к ряд рр

6[Д = (акмп кх-вк сс&кос).

В вопросах сходимости ряды и для различных функций ведут себя различно и не всегда обладают "хорошими" свойствами. Например, хорошо известно ( [I], стр. 412-421), что существует интегрируемая функция со всюду расходящимся рядом Фурье.

Поэтому, оказалось целесообразным рассмотреть различные методы суммирования применительно к расходящимся рядам Фурье. Основные из этих методов - методы Чезаро и Абеля. Определения средних Чезаро и Абеля даны в § I первой главы настоящей работы.

Г.Алексич [24] и А. Зигмунд [32] исследовали вопрос о скорости стремления (X; ^J к ^Х) , где ^(рС) определена соотношением (1.1.12).

А.Д. Щербина в работе [23] указал необходимое и достаточное условие для того, чтобы $) ~ —О я при Ц—"ОО , где среднее Валле-Пуссена }^ определено соотношением (1.1.9), а ^ - соотношением (1.1.10).

Некоторые авторы занимались вопросами суммируемости подпоследовательностей частичных сумм рядов Фурье. В частности, З.Зальц-вассер [31] исследовал вопрос поведения выражений вида п Ы к в смысле сходимости почти всюду.

Д.Ньюмэн [26] и А.С.Байарстанова [2], [3] исследовали вопрос поведения выражений вида к-0 2 в смысле сходимости по норме пространств С и //.

В настоящей диссертации доказаны результаты, тесно связанные с вышеупомянутыми вопросами.

Приведем краткий обзор основных утверждений данной работы. Диссертация состоит из трех глав. Теоремы, следствия, леммы нумеруются внутри глав - номер главы, номер параграфа, номер теоремы (соответственно, следствия, леммы). Первые параграфы в каждой главе уделены предварительным замечаниям.

В первой главе исследуются некоторые аппроксимативные свойства средних ип и продифференцированного ряда ^ (за обозначениями см. § I первой главы). Они связаны с работами Г.Алексича [24], А.В.В$имова [б], А.Зигмунда [32], Л.В.Жижиашвили [7], П.Л.Ульянова [21], А. Д. Щербина [23].

Имеет место то

Теорема 1.2.1. Пусть р'^ или /Э-+со (1%С]. а) Если множество !г, Гп£ N, О-^/п^Ь ограничено, р $) Если же £ип (П'Гп)

ОО , ТО

До

ТГт)^. казательство этой теоремы дано в § 2 первой главы. В § 3 первой главы доказана следующая теорема (уточняющая известный результат А.И.Пдесснера и И.И.Привалова (см., соответственно, [27] и [16])): Теорема 1.3.1. Если />£/7, + со], и является гладкой в к , то для г>хо>0

1 ¿(хНП(хН)-2Дх) с

1Р а-г)я 1 м

Из этой теоремы получается ряд следствий. Приведем некоторые из них.

Следствие 1.3.2. Если , то с

Следствие 1.3.3. Цусть . Тогда

В § 4 первой главы доказан результат, аналогичный теореме 1.3.1 для средних Чезаро. Именно, справедлива

Теорема 1.4.1. Предположим, что является гладкой в . Тогда а) если , то

I^Щ?3**1 л

1 Ш | ЬУ (Н * П-"] Л I ; б) если же , о( е[з, то

1р

Полученные оценки в определенном смысле окончательны. Из теоремы 1.4.1 получаются следствия, аналогичные следствиям теоремы 1.3.1.

Вторая глава диссертации посвящена вопросам аппроксимативного поведения средних Чезаро и Абеля кратных тригонометрических радов

Фурье.

Во втором параграфе этой главы доказана теорема, которая обобщает результат Л.В.Жижиашвшш [7] на случай многих переменных. Эта теорема уточняет другой результат Л.В.Жижиашвили ([6], стр. 185, теорема 35) и соответствующее утверждение М.А.Субханку-лова ([19], теорема 8.5.1).

Итак, в обозначениях второй главы (см. § I второй главы) справедлива

Теорема 2.2.1. Если Щ*),^-, +оо]

Г П-1

Д, / .Иг/ П'С

П Ц>п1е,о<1( то . , 1ООь(4;р/и

ХД ^К^е] + П ■ J

Из этой теоремы получаются некоторые следствия. Например, Следствие 2.2.1. Если V \ ьп/ при 50-^0(о= то ип

ПгГоо 0,

Возникает вопрос: насколько существенны требования (I), в смысле, нельзя ли заменить О через О в (I)? В £том направлении первый результат получил Дк.О.Бэзингер в [25] для случая двух переменных и метода (С, 4) . Следующая теорема дает окончательный ответ на поставленный выше вопрос:

Теорема 2.2.2. Существует функция такая, что

Ы; при

Б—Ои

ГП^~>оо \ /

3 + оо

ОС»^,.,^], о^>0 = 0 = (0у«,0).

В § 3 второй главы для метода суммирования Абеля приведены результаты, аналогичные результатам § 2. Теорема 2.3.1 обобщает результат М.А.Субханкулова ([19], (8.5.5)) на случай многих переменных.

В третьей главе диссертации рассмотрены вопросы суммируемости подпоследовательностей простых и кратных рядов Фурье.

В § 2 этой главы доказана следующая

Теорема 3.2.1. Пусть • Тогда у п

5Н ре^у Пт со Р

2Ч.-,2т1 т обозначения см. § I третьей главы). Из этой теоремы вытекает следующее Следствие 3.2.1. Если при то У О при ¡п-> оо •

Здесь тоже возникает вопрос о существенности требований (2). Ответ на этот вопрос для ¿&с(С-% ТГ) дает следующая

Теорема 3.2.2. Существует функция ^ 6 С(['% V*], для которой У при

ХбШ] и вместе И п. с тем ъм-т^о при /71-*■ оо.

В одномерном случае утверждения следствия 3.2.1 и теоремы 3.2.2 были доказаны А.С.Байарстановой в работах [2], [3].

В конце второго параграфа приведен результат относительно т.н. "смешанных" средних (с индексами и ^ ), доказательство которого мало чем отличается от доказательства теоремы 3.2.1.

В § 3 третьей главы в многомерном случае исследован вопрос о поведении "средних Зальцвассера" для пространств С и I. Именно, доказана

Теорема 3.3.1. Для У имеем biHM —о при т—* оо.

В конце этого параграфа приведена теорема 3.3.2, аналогичная теореме 3.3.1.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1214].

В заключении автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, члену-корреспонденту АН ГССР, профессору Л.В.Жижиа-швили за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

1. Бари H.K., Тригонометрические ряды. Москва, 1961.

2. Байарстанова A.C., Суммирование подпоследовательностей частных сумм рядов Фурье. Сиб. мат. журн., XX, № 6, 1979, 11851197.

3. Байарстанова A.C., Суммирование подпоследовательностей рядов Фурье. Вестн. Моск. ун-та, сер. I, математика, механика, № I, 1980, 29-33.

4. Дзядык В.К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. Москва, 1977.

5. Ефимов A.B., Приближение сопряженных функций суммами Фейера. УМН, 14, J6I, 1959, 183-188.

6. Жижиашвили Л.В., Сопряженные функции и тригонометрические ряды. Тбилиси, 1969.

7. Жижиашвили Л.В., Обобщение одного результата А.Зигмунда. Со-общ. АН ГССР, 102, № 3, 1981, 553-555.

8. Жижиашвили Л.В., Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Тбилиси, 1983.

9. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т. I. Москва, 1965.

10. Зитаунд А., Тригонометрические ряды, т. 2, Москва, 1965.

11. Лекишвили М.М., 0 приближении периодических функций средними СС, cxj . Мат. сб., 121 (163), № 4 (8), 1983, 499-509.

12. Леладзе Д.В., О сопряженных тригонометрических рядах. Сообщ. АН ГССР, 112, № 2, 1983, 241-243.

13. Леладзе Д.В., 0 сопряженных тригонометрических рядах. Сообщ. АН ГССР, 115, гё 3, 1984, 497-500.

14. Леладзе Д.В., О суммировании тригонометрических рядов Фурье. Сообщ. АН ГССР, 116, )(3 2, 1984,

15. Никольский С.М., Приближение функций многих переменных и те оремы вложения. Москва, 1977.

16. Привалов И.И., Интеграл Коши. Саратов, 1919, 61-104.

17. Степанец А.И., Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев, 1981.

18. Стечкин С.Б., 0 приближении периодических функций суммами Фейера. Труды ШАН, /ХП, 1%1, 48-60.

19. Субханкулов М.А., Тауберовы теоремы с остатком. Москва, 1976.

20. Тиман А.Ф., Теория приближения функций действительного переменного. Москва, I960.

21. Ульянов П.Л., 0 приближении функций. Сиб. матем. ж., 5, 1964, 418-437.

22. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г., Неравенства. Москва, 1949.

23. Щербина А.Д., Об одном методе суммирования рядов, сопряженных рядам Фурье. Мат. сб., 27, № 2, 1950, 1957-1970.

24. Alexits G., Sur l'ordre de grandeur l'approximation d'une fonction par les moyennes de sa série de Fourier, Mat. Fiz. Lapok, 48, 1941, 410-422.

25. Basinger J.O., Cesâro summability of the conjugate series and the double Hilbert transform. Proc. Amer. Math. Soc., 56, 1976, 177-182.

26. Newman D.J., Summability methods fail for the 2K- th partial sums of Fourier series. Proc. Amer. Math. Soc., 45, №2, 1974, 300-502.

27. Plessner A.I., Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen. Mitt. Math. Seminar Universität Glessen, 10, 1923, 1-36.

28. Biesz M., Sur la sommation des séries de Fourier. Acta Sei.Math.(Szeged), 1, 1925, 104-113.

29. Salem R., On strong summability of Fourier series. AJM,77, 1955» 393-403.

30. Young W.H., On the mode of oscillation of a Fourier series and its allied series. Proc. Lond. Math. Soc., 12, 1913, 433-452./

31. Zalcwasser Z., Sur la sommabilite des series de Fourier. Studia Mathematica, 6, 1936, 82-88.

32. Zygmund A., On the degree of approximation of functions by theil? Fejer means. Bull. Amer. Math. Soc., 51, 1945, 274-278.