Смешанные ряды по полиномам Мейкснера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

на правах рукописи УДК 517.5

ГАДЖИЕВА ЗУЛЬФИЯ ДЖАМАЛДИНОВНА

СМЕШАННЫЕ РЯДЫ ПО ПОЛИНОМАМ МЕЙКСНЕРА

Специальность 01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САРАТОВ 2004

Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа Дагестанского юсударственного педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Идрис Идрисович Шарапудинов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Галина Владимировна Хромова,

кандидат физико-математических

наук, доцент Сергей Петрович Сидоров.

Ведущая организация: Московский государственный

университет

Защита диссертации состоится "¿г^Х 2004 г.

в /Г час.3?0 мин. на заседании диссертационного Совета К 212.243.02 Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. \

Астраханская, 83, Саратовский государственный университет.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Саратовского гос} дарственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан •'¿¿У" 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета,

кандидат физико-математических наук, / *

доцент В.В.Корнев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

В настоящее время теория многочленов, ортогональных на дискретных сетках, стала бурно развиваться . Это было вызвано, прежде всего, потребностью их применения при решении многих теоретических и практических задач, многочисленными приложениями этих многочленов в математической статистике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье-Уолша, дискретного преобразования Фурье и т.д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМ; при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих в эти уравнения, в ряды по ортогональным многочленам. Эти задачи, в свою очередь, приводят к вопросам приближения функций, заданных на дискретном множестве (сетках) и их конечных разностей. В настоящей работе (главе!) вводятся в рассмотрение новые ряды по полиномам Мейкснера, которым, следуя работам Шарапуди-нова И.И.[55]-[59], мы дали название "Смешанные ряды" и исследуются их аппроксимативные свойства. В ряде важных задач приближения функций, смешанные ряды обладают лучшими аппроксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам. Исследования, проведенные в 1-й главе, показывают, что смешанные ряды по полиномам Мейкснера также не являются исключением в указанном смысле. Другая задача, рассмотренная в главе 2 настоящей работы, посвящена исследованию вопросов приближения непрерывных функций, заданных на полуоси [0, оо) и дискретных функций, задан-

РОС

ЛЬНАЯ 3' к А

ных на сетке суммами Фурье-Мейкснера. Здесь, в свою очередь, возникают вопросы об оценке функции Лебега указанных сумм.

Объект исследования.

В работе исследуются смешанные ряды по полиномам Мейкснера, ортогональным на равномерной сетке, изучаются их частичные суммы и аппроксимативные свойства этих сумм. Также рассматривается функция Лебега частичных сумм Фурье-Мейкснера.

Цель работы.

1) Построить смешанные ряды по полиномам Мейкснера, ортогональным на бесконечной равномерной сетке и изучить их свойства.

2) Исследовать частичную сумму смешанного ряда.

3) Получить оценки сверху отклонения частичной суммы смешанного ряда от дискретной функции, заданной на равномерной сетке и принадлежащей пространству ¿2)Р-

4) Получить оценки сверху отклонения конечных разностей частичной суммы ряда от дискретной функции.

5) Получить оценки сверху функции Лебега сумм Фурье-Мейкснера.

Общие методы исследования.

В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов.

Научная новизна.

Вводятся новые - смешанные ряды по полиномам Мейкснера, ортогональным на бесконечной равномерной сетке, и исследуются их аппроксимативные свойства. Главным преимуществом этих новых ("смешанных") рядов, по сравнению с рядами Фурье, является то, что их частичные суммы явля-

ются хорошим аппаратом для одновременного приближения дискретных функций из и их конечных разностей (разностных производных).

Практическая ценность.

Полученные в работе результаты могут быть использованы в некоторых вопросах теории приближений и численного анализа, при построении смешанных рядов по различным классическим полиномам. Они могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.

Апробирование работы.

Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на ежегодных научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (1999-2003г), на Воронежской зимней математической школе (2003г), на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ (2003г), на б-й Казанской международной летней школе -конференции (2003г), в Дагестанском научном центре (2003г), на Саратовской зимней математической школе (2004г)

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения , двух глав и списка литературы, содержащего 60 наименований. Общий объем работы 103 страницы компьютерного набора.

Краткое содержание работы.

В диссертации рассмотрены некоторые вопросы приближения непрерывных функций, заданных на полуоси [0, оо) и

дискретных функций, заданных на сетке = {0, к, 2/г,...}, (к > 0) суммами Фурье по функциям Мейкснера

цп{х) = ßn(x, h) = m° h(x)e ~x>2, (1)

образующим ортонормированную систему на множестве Qh с весом

ф) = ф, a, h) = 1 - в"*)", (2)

т.е.

(1 - e"fc) Y, е-*фЖ,Лх)тЬ (*) = (3)

Здесь т^(х)(п — 0,1,...) - ортонормированные полиномы Мейкснера, которые определяются равенством

<(*) = {К(д)Г1/2К(х),

где

К(я)=(п+Пауп г(« + 1),

а многочлены Мейкснера М"(х), в свою очередь, определяются равенством

р{х)

в котором кп -фиксированное число, q ф О,

Pix) = „От, а, 9) = - «Г К (2')

Af{x) = f(x + 1) - f(x), Ап = A(An_1). 6

Они представляют собой дискретный аналог классических полиномов Лагерра L*(x). При а > — 1 многочлены М"(х) (п = 0,1,...) ортогональны на сетке = Z+ = {0,1,...} с весом р(х).

Перейдем теперь к более подробному описанию содержания диссертации. Она состоит из введения и двух глав.

В первой главе вводятся в рассмотрение новые -смешанные ряды по полиномам Мейкснера и исследуются их аппроксимативные свойства. Остановимся на более подробном описании результатов этой главы.

Пусть а > -1, 0 < q < 1, функция р(х) — p(x,a,q) определена равенством (2'). Для двух функций dag, заданных на множестве Zf = {0,1,...} мы определим скалярное произведение

(d,9b= £ d{x)g{x)p{x). (4)

xez+

Гильбертово пространство всех дискретных функций вида d : Z+ —> R, для которых

\\d\\p = (d,d)f<™

мы обозначим 12.р. Если d € h,P, то мы можем определить коэффициенты Фурье-Мейкснера

dk = d(x)p{x^^)mk(x^)- (5)

iez+

Система m°(i, является базисом пространства ¿2,^, поэтому, если d £ ¿2,р, то

оо

= (в)

к-0

Рассмотрим частичную сумму ряда (6) порядка п

SZn(d,x) = j:d%mt(x,q). (7)

jfc=0

Определение смешанных рядов основывается на разложении r-той конечной разности исходной функции в ряд по полиномам Мейкснера и последующем r-кратном суммировании полученного разложения. Остановимся более подробно на этом определении.

Пусть г > 1, ОД = {-г, -г + 1,..., 0,1,...}, О < q < 1, а > — 1, р — р(х) = р(х; a, q). Рассмотрим дискретную функцию d — d(x), заданную на il (г) и такую, что на множестве £2(0) она принадлежит пространству Тогда функция d(x) = d(x — г) определена на Z+ и принадлежит пространству ¿2,р- Вместе с d(x) пространству /<2>р принадлежит также функция b(x) = Ard(:r) = Ard(x — г). Поэтому мы можем определить коэффициенты Фурье-Мейкснера этой функции

d^k = J2b(t)mak(t,q)p(t) = z+

52&rd(x)mak(t,q)p(t). (8)

z+

Общий член смешанного ряда по полиномам Мейкснера

dak

получается в результате умножения числа на по-

лином Мейкснера вида Mk^(x,q). Отсюда и название смешанный ряд. Прежде, чем перейти к точному определению смешанного ряда, мы сформулируем следующий результат, установленный в главе 1.

Теорема 1.4.1.Пусть г >1, Q(r) — {-г, -г+1,..., 0,1,...}, 0 < q < 1, а. > —1, р = р(х) = p(x;a,q), d — d(x) - дискретная функция, заданная на Î2(r) и такая, что на множестве Г2(0) она принадлежит пространству l2tP, d{x) — d(x — г). Тогда

хМ

d(x) = Y, г+

где

(<?/(<? - 1 ))Г"У ^ Г(к + а +1)

Т{и - г + а + 1) Г(* + г - и + 1)'

Правую часть равенства (9) мы будем называть смешанным рядом по полиномам Мейкснера. Отметим еще раз, что этот ряд составлен по полиномам Мейкснера <?), ко-

торые при а — г < — 1 не являются ортогональными. И тем не менее аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Мейкснера (х, (¡) , в ряде важных задач, оказались лучше, чем соответствующие аппроксимативные свойства рядов Фурье по полиномам Мейкснера М£(х,<7).

Для изучения аппроксимативных свойств смешанных рядов по полиномам Мейкснера, мы рассмотрим частичную сумму ряда (9), которую обозначим через £%+г д(с1). Мы будем рассматривать С"+т ч{6) = £*+тч{(1. х) как аппарат приближения дискретных функций из ¿2,р- Прежде всего отметим следующее важное свойство операторов С^+ГД((1)\

Д^я — г) — Д"£"+Г)9(й, х — г) — V,

>а

т—1>,п,д

(ДЧ х) =

где 0 < и < г — 1.

Аппроксимативные свойства операторов С^+Г д((1) и их разностных производных выводятся путем оценивания правой части равенства (10). Мы здесь более подробно рассматриваем случай а — 0. Обозначим через

Рп

наилучшее приближение функции Агс1 алгебраическими полиномами рп = рп(х) степени не выше п в пространстве к,д — ¿2,Р, где р = р(х, 0, <7) = д~х. В главе 1 установлено следующее утверждение

Теорема 1.6.1 .Пусть г > 1, 0 < < 1, с1 £ Тогда имеют место соотношения

(! - я) £ ^Т^Г ~ х)Т

= £ ( " к=п+1 + 1)г

1/2

2

<

В качестве следствия этой теоремы выводится поточечная оценка отклонения полинома С°п+г ч{(£) от функции /. Точнее, установлено

Следствие 1.6.2. Если х € {-г, —г +1,..., -1,0,1,2,...}, то при соблюдении условий теоремы 1.6.1 справедлива оценка

д'/2

(1 - о)_г_1

Перейдем теперь к вопросу о приближении функций, заданных на сетке {0, 5, 26,...}. Пусть О < N - произвольное число, 5 = 1 /«V, Г^г = {0,8,25,...}. Здесь мы рассмотрим функции вида / : -> И. Полагая = мы получим дискретную функцию, заданную на Г2 = {0,1,...}, которую мы предположим принадлежащей /г,р • Рассмотрим функцию = + г) = /(М + г6), заданную на множестве 0.(г) = {—г, —г + 1,..., 0.1,...}. для которой мы можем построить смешанный ряд по полиномам Мейкснера Введем следующие обозначения

= (п)

■Л£+г,*(/.*) = - г). (12)

Тогда {г е П*)

/ 1 \ г~>/ 00

а—г+и

-М.

(*), (13)

Далее рассматриваем аппроксимативные свойства операторов = «). Положим

1 ¿¿Лк + г)'-»-/*'

Е-= 5; -

*=«»+! (А + г) *

. -<* 1

Г-1** +

1/4 :

(14)

(15)

(16)

оо г дг, \ г~1/—а

= £ + (17)

Где ¿п = гпах{[\/1\, п+1}. Имеет место следующий результат.

Теорема 1.7.1.Пусть £ € 0,1 \ {0}. Тогда справедлива оценка

в которой фигурируют величины (1 < г < 4), определенные равенствами (Ц)-(17).

Заметим, что числа представляют собой коэффи-

циенты Фуръе-Мейкснера функции 5~г&гс1 — 5~гАТ6/(х5) по полиномам Мейкснера М£(х,е~6) = М^!ЛГ(£) (£ = 8х, х = 0,1,...), другими словами Мтв^к - это коэффициенты Фурье-Мейкснера г-той разделенной разности функции /(ж), заданной на сетке = {0, (5,26,...}, Д£/(£) - конечная разность порядка у с шагом 5. При этом, оценка (18) получена для t € \ {0}. Что касается точки £ = 0, то в этом случае имеет место равенство

к=[ЬМЧ]

(18)

В случае а = 0 получен следующий результат

Теорема 1.7.2.Пусть t G Q-s \ (0}. Тогда имеет место оценка

N»№f(t) - ¿)| < с(г, Л)(Е® + + + Е<°),

где

tn

Е

fc=n+l (Л + *■)

[2/V

£°2 = rîM £

{k + r)'

J A=[6AT2t]

где tn = max{[l/t], n + 1}

Упомянутые выше результаты позволяют оценить сверху отклонение оператора дг(/) от функции / = f(t), заданной на сетке Qs = {0, <5,...} и такой, что функция d(j) — f{jà) 0 G O(O)) принадлежит пространству 12,р- Здесь рассмотрим вопрос о приближении операторами jV,f+rJV(/) алгебраических полиномов рт — рт(х) достаточно высокой степени m на полуоси [0, оо). Точнее, мы будем рассматривать случай, когда п — O(N), m — O(N). Подобная задача возникает, например, в следующей ситуации. Предположим, что для достаточно гладкой функции / = f(x), определенной на полуоси [0, оо), сконструирован алгебраический полином Рт — Pm{t), приближающий на сетке ils функцию / с точ-ностьтю с в следующем смысле

e-^\f{t)-pm(t)\ <е, teih,

если при этом оказалось так, что число т велико, то сразу возникает задача об "укорачивании" полинома рт = pm(t), т.е. требуется заменить полином pm(t) некоторым другим полиномом pn,m = Pn.m{t), степень п которого существенно меньше, чем т. Одновременно возникает вопрос об оценке шлрешности e~2\pnm{t) -pm(t)\) проистекающей в результате замены полинома pm{t) полиномом pn,m(t)- Мы здесь рассмотрим один из способов "укорачивания" полинома pm(t), основанный на использовании оператора Л/"°+г ЛГ(/). Поскольку d(j) = pm(jS) е h,P, то мы можем записать

(f^w) J^ (20)

где р^к (5) - коэффициенты Фурье-Мейкснера функции p(j) — ArPm{{j — 3 - по полиномам Мейкснера mk(j,e~s) (к = 0,1,...), т.е.

р°к(5)= £ Arp(j-r)m°k(j,q)p(j).

Поскольку p(t) = Arpm({t~r)5) представляет собой алгебраический полином степени т — г, то Prk(S) — 0 при к > т — г, поэтому (20) мы можем переписать так

дйи«> - дгл^, „(/,<> =

G^r (2D

частности, если ^ = 0, то правая часть равенства (21) дает нам погрешность, возникающую в результате замены полинома prn{t) полиномом JV*"+rA-(/,£). Мы оценим правую часть

равенства (21) при условии т < ХЯ, где 0 < Л - произвольное фиксированное число. Пусть

(т-г \ 1/2

ЕШ5))2] ■ (22)

к-пЛ-1 )

В главе 1 доказана следующая

Теорема 1.8.1. Пусть <5 > О, Л > О, А > О, N = 1/5, т < АЛ*", рт — - алгебраический полином степени т.

Тогда, если 0 < и < г — I, 0 < Ь < А, то имеет место оценка

1 1 \&ЧРт{1) - Д£ЛС+Г)Лг(/,г)| <

е6 - 1

г{а,г,Х,А)П1т{5)

г

X

пГ2г+2и+а+\ г-У-а <1/2,

где величина г}^т{5) определена равенством (22).

Перейдем к обзору результатов, полученных во второй главе диссертации. Рассмотрена задача о приближении дискретных функций / = /(х), заданных на сетке

Од = {0, Н, 2/г,____} посредством сумм Фурье-Мейкснера

5")ЛГ(/,х) в случае а — — Точнее, пусть к > О, через /ооЛ обозначим нормированное пространство дискретных функций / = /(х),заданных на сетке Г^, для которых определена норма ||/||й — эир |/(х)|. Мы рассмотрим задачу о приближении функции / 6 суммами Фурье-Мейкснера вида

Я,*(/•*) = = £ (23)

к—О

где N = l

/**(*) = A) = e *rnk*N{x) (24)

Сумма (23) представляет собой линейный ограниченный функционал, определенный на пространстве норма которого _ 1

КАх) ~ КЦх) = 1|5п,лг(з;)|| = sup |5„,iv(/,a;)|. (26)

ll/l!<i

Функцию \ti.,n{x) будем называть функцией Лебега для сумм Фурье-Мейкснера. Неравенство Лебега

If{x) - Sn>N(f,x)| < (1 + К A*)) En(f, h), (27)

где En(f, h) - наилучшее приближение функции f 6 /оо,л полиномами = е х/2рп(х), рп(х) - алгебраический полином степени п , приводит к задаче об оценке функции Лебега АП)#(ж) при х £ i2/, , п, N —» оо. Заметим, что формула (26) определяет функцию А^д^а;) для произвольных неотрицательных значений переменной х. Поставленная задача в главе 2 решена при 0<a:<4n-f-l-(- 2(4n + l)1/3, nh < А, где А- произвольное фиксированное положительное число. Перейдем к более точным формулировкам результатов, полученных в главе 2. Для этого нам понадобятся следующие множества (0 = 4n + 1).

Gi = [0,3/0], £?2 = [3/0,0/2],

G4 = [0-01/3,0 + 01/S], G6 = [30/2, со).

Получены верхние оценки функции \п>х(х) на множествах (к = 1,2,...,4). Что касается множеств при к = 5 и к = б, то при х € Сгь (А; = 5,6) функция \п.м(х) оценивается аналогично тому, как это сделано для случая х € поэтому этот случай не рассматривается.

В главе 2 установлены следующие результаты

Теорема 2.3.1. Пусть А > 0,п/ЛГ < Л, х € (?1. Тогда имеет место следующая оценка

< с(Л) 1п(и + 1).

Теорема 2.3.2. Пусть А > 0,п/ЛГ < А, х е (?2. Тогда имеет место оценка

АпАх) < С(А) 1п(п + 1).

Теорема 2.3.3. Пусть Л > 0, гг/Л?" < Л, х £ С3. Тогда имеет место оценка

А„,*(я) < с(А) [п1/4\цп{х, Л)| + 1п(п + 1)].

Теорема 2.3.4. Пусть А > 0,п/ЛГ < А, ж е С4. Тогда имеет место оценка

А„(х, /г) < с(А)[1п(п 4-1) + п^^х, Ь)|].

Основные положения диссертационной работы изложены в следующих публикациях:

1. Гайнсиева З.Д. Об одном дискретном аналоге частичных сумм смешанного ряда по полиномам Чебышева //Тез.докл. Воронежской зимней математической школы" Современные методы теории функций и смежные проблемы".

Воронеж, ВГУ, 2003.с.64-65.

2. Гаджиева З.Д. Смешанные ряды по полиномам Мейкс-нера. //Тез. док л. Труды математического центра

имени Н.И.Лобачевского том 19. Материалы шестой Казанской международной летней школы-конференции, "Теория функции, ее приложения и смежные вопросы". Казань. Изд-во КМО, 2003.С.67-68.

3. Гаджиева З.Д. Оценка функции Лебега для сумм Фурье-Мейкснера на [0, оо) //Тезисы докладов научной сессии преподавателей и сотрудников Даггоспедуниверситета. Махачкала, 2003.

4. Гаджиева З.Д. Смешанные ряды по полиномам Мейкс-нера. //Вестник Дагестанского научного центра 15. Махачкала,2003. с. 17-29.

5. Гаджиева З.Д. Приближение дискретных функций суммами Фурье-Мейкснера. //Тез. докл. 12-ой Саратовской зимней школы" Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов: Изд-во Гос УНЦ "Колледж", 2004. с. 50-51.

Гаджиева З.Д.

СМЕШАННЫЕ РЯДЫ ПО ПОЛИНОМАМ МЕЙКСНЕРА

Сдано в набор 17 02 04 1/16 Печать офсетная Бумага офсетная Уел печл-1,25 Заказ № 05 Тираж 100 экз

Отпечатано в Типографии «Радуга-1» г Махачкала ул Коркмасова 11 а

РНБ Русский фонд

2006-4 10449

«

г» í k \

V« % > \

•л * ?»

ВВЕДЕНИЕ

Глава I Смешанные ряды по полиномам Мейкснера

§1.1 Основные свойства полиномов Мейкснера

§1.2 Дальнейшие свойства полиномов Мейкснера

§1.3 Дискретное преобразование Фурье-Мейкснера.

§1.4 Смешанные ряды по полиномам Мейкснера.

§1.5 Операторы C^+r q(d)

§1.6 Операторы C^+r q(d)

§ 1.7 Приближение функций на сетке {0,5,2(5,.}

§ 1.8 Приближение полиномов на [0,оо).

Глава II Приближение суммами Фурье-Мейкснера

§2.1 Введение.

§2.2 Вспомогательные результаты

§2.3 Оценка функции Лебега сумм Фурье-Мейкснера.

§ 2.3.1 Оценка функции Лп^{х) на G\: случай n/N < А

§ 2.3.2 Оценка функции АП)дг(ж) на Сг

§ 2.3.3 Оценка функции ЛП)дг(гг) на G3 и G

В настоящее время теория многочленов, ортогональных на дискретных сетках, стала бурно развиваться. Это было вызвано, прежде всего, потребностью их применения при решении многих теоретических и практических задач, многочисленными приложениями этих многочленов в математической статистике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье-Уолша, дискретного преобразования Фурье и т.д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМ; при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих в эти уравнения, в ряды по ортогональным многочленам. Эти задачи, в свою очередь, приводят к вопросам приближения функций, заданных на дискретном множестве (сетках) и их конечных разностей. В настоящей работе (главе 1) вводятся в рассмотрение новые ряды по полиномам Мейксне-ра, которым, следуя работам Шарапудинова И.И.[55]-[59], мы дали название "Смешанные ряды" и исследуются их аппроксимативные свойства. В ряде важных задач приближения функций, смешанные ряды обладают лучшими аппроксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам. Исследования, проведенные в 1-й главе, показывают, что смешанные ряды по полиномам Мейкснера также не являются исключением в указанном смысле. Другая задача, рассмотренная в главе 2 настоящей работы, посвящена исследованию вопросов приближения непрерывных функций, заданных на полуоси [0, оо) и дискретных функций, заданных на сетке, суммами Фурье-Мейкснера. Здесь, в свою очередь, возникают вопросы об оценке функции Лебега указанных сумм.

Объект исследования.

В работе исследуются смешанные ряды по полиномам Мейксне-ра, ортогональным на равномерной сетке, изучаются их частичные суммы и аппроксимативные свойства этих сумм. Также рассматривается функция Лебега частичных сумм Фурье-Мейкснера.

Цель работы.

1) Построить смешанные ряды по полиномам Мейкснера, ортогональным на бесконечной равномерной сетке и изучить их свойства.

2) Исследовать частичную сумму смешанного ряда.

3) Получить оценки сверху отклонения частичной суммы смешанного ряда от дискретной функции, заданной на равномерной сетке и принадлежащей пространству 12,р.

4) Получить оценки сверху отклонения конечных разностей частичной суммы ряда от дискретной функции.

5) Получить оценки сверху функции Лебега сумм Фурье-Мейкснера.

Общие методы исследования.

В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов.

Научная новизна.

Вводятся новые-смешанные ряды по полиномам Мейкснера, ортогональным на бесконечной равномерной сетке, и исследуются их аппроксимативные свойства. Главным преимуществом этих новых ("смешанных") рядов, по сравнению с рядами Фурье, является то, что их частичные суммы являются хорошим аппаратом для одновременного приближения дискретных функций из /2,р и их конечных разностей (разностных производных).

Практическая ценность.

Полученные в работе результаты могут быть использованы в некоторых вопросах теории приближений и численного анализа, при построении смешанных рядов по различным классическим полиномам. Они могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.

Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на ежегодных научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (1999-2003г), на Воронежской зимней математической школе (2003г.), на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ (2003г.), на 6-й Казанской международной летней школе-конференции (2003г.), в Дагестанском научном центре (2003г.), на Саратовской зимней математической школе (2004г).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 60 наименований. Общий объем работы 103 страницы компьютерного набора.

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

2. Агаханов С.А., Натансон Г.И. Функция Лебега сумм Фурье-Якоби // Вестник Ленингр. ун-та. Вып. 1. 1968. С. 11-13.

3. Ахмед Н., Рао К.Г. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь. 1980.

4. Бадков В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье-Якоби // Сиб. Мат.Ж. Т.9. Вып. 6. 1968. С. 1263-1283.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука. 1987.

6. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Носков Ю.В. О практическом вычислении значений ортогональных многочленов непрерывного и дискретного аргумента // Препринт Отдела выч.мат. АН СССР. М.: 1987. Вып. 158.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. ТТ. 1,2. М.: Наука. 1973, 1974.

8. Бернштейн С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке // Полн.собр.соч. Т.2. 1954. М.: Изд. АН СССР. С. 7-106.

9. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука. 1987.

10. Гаджиева З.Д. Об одном дискретном аналоге частичных сумм смешанного ряда по полиномам Чебышева // Тезисы докл. Воронежской зимней математической школы" Современные методы теории функции и смежные проблемы" 2003. Воронеж, ВГУ, с.64-65.

11. Гаджиева З.Д. Оценка функции Лебега для сумм Фурье-Мейкснера на 0, оо) // Тез.докл.научной сессии преподавателей и сотрудников Даггоспедуниверситета. Махачкала, 2003. С,

12. Гаджиева З.Д. Смешанные ряды по полиномам Мейкснера // Вестник Дагестанского научного центра 15. 2003. Махачкала, с.17-29.

13. Гаджиева З.Д. Приближение дискретных функций суммами Фурье-Мейкснера // Тез.докл. 12-ой Саратовской зимней" Со-временые проблемы теории функции и их приложения". 2004. Саратов: Изд-во Гос УНЦ "Колледж", с. 50-51.

14. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

15. Голубое Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша, теория и приложения. М.: Наука. 1987.

16. Джамалов А.Ш. Об асимптотике полиномов Мейкснера // Ма-тем.заметки. Т. 62. Вып. 4. 1997. С. 624-625.

17. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. ТТ. 1,2. М.: Мир. 1965.

18. Касумов Н.М. Дискретный аналог полиномов Лежандра // Изв.АН Аз. ССР. Сер.физ.- техн. и мат.наук. Вып. 2. 1980. С. 9-25.

19. Кашин B.C., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука. 1984.

20. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука.

21. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука. 1967.

22. Минко А.А., Петунин Ю.И. Сходимость метода наименьших квадратов в равномерной метрике // Сиб.Мат.Ж. Т.31. Вып. 2. 1990. С. 111-122

23. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.: Госте-хиздат. 1949.

24. Никифоров А.Ф., Суслов С.К., Уваров В.Б. Классические ортогональные многочлены дискретной переменной. М.: Наука. 1985.

25. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука. 1979.

26. Перов В.П. Прикладная спектральная теория оценивания. М.: Наука. 1982.

27. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука. 1977.

28. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз. 1962.

29. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука. 1979.

30. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1986.

31. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов.радио. 1975.

32. Чебышев П.Л. О непрерывных дробях (1855). Полн.собр.соч. Т.2. М.: Изд.АН СССР. 1947. С. 103 126.

33. Чебышев П.Л. Об одном новом ряде. Полн.собр.соч. Т.2. М.: Изд.АН СССР. 1947. С. 236 238.

34. Чебышев П.Л. Об интерполировании по способу наименьших квадратов (1859). Полн.собр.соч. Т.2. М.: Изд.АН СССР. 1947.С. 314-334.

35. Чебышев П.Л. Об интерполировании (1864). Полн.собр.соч. Т.2. М.: Изд.АН СССР. 1947. С. 357-374.

36. Чебышев П.Л. Об интерполировании величин равноотстоящих (1875). Полн.собр.соч. Т.З. М.: Изд.АН СССР. 1948. С. 66-87.

37. Шарапудинов И. И. Об асимптотике и весовых оценках полиномов Мейкснера, ортогональных на сетке {0,5,25,.} // Ма-тем.заметки. Т.62. Вып.4. 1997. С. 603-616.

38. Шарапудинов И. И. Приближение функций суммами Фурье по ортогональным многочленам Чебышева дискретного переменного // М.: Деп. в ВИНИТИ. Вып. 3137-80. С. 1-44. 1980.

39. Шарапудинов И.И. Функция Лебега частных сумм Фурье по полиномам Хана // Функциональный анализ, теория функций и их приложения. Махачкала. Изд-во Даг.гос.ун-та. С. 132-144. 1982.

40. Шарапудинов И.И. Некоторые свойства многочленов, ортогональных на конечной системе точек // Изв.вузов. Математика. Вып. 5. 1983. С. 85-88.

41. Шарапудинов И. И. Весовые оценки многочленов Хана // Теория функций и приближений. Тр. Саратовской зимней школы (24 января 5 февраля 1982 г.)

42. Шарапудинов И.И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Хана // Изв.вузов. Математика. Вып. 5. 1985. С. 78-80.

43. Шарапудинов И. И. О применении многочленов Мейкснера к приближенному вычислению интегралов // Изв.вузов. Математика. Вып. 2. 1986. С. 80-82.

44. Шарапудинов И. И. Асимптотические свойства полиномов Кравчука // Матем.заметки. Т. 44. Вып. 2. 1988. С. 682-693.

45. Шарапудинов И. И. Асимптотические свойства ортогональных многочленов Хана дискретной переменной // Матем.сборник. Т.180. Вып. 9. 1989. С. 1259-1277.

46. Шарапудинов И.И. Некоторые свойства ортогональных многочленов Мейкснера // Матем.заметки. Т.47. Вып.З. 1990. С. 135-137.

47. Шарапудинов И.И. Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье // Дискретная математика. Т.2 Вып. 2. 1990. С. 33-44.

48. Шарапудинов И. И. К асимптотическому поведению ортогональных многочленов Чебышева дискретной переменной // Матем.заметки. Т.48. Вып. 6. 1990. С. 150-152.

49. Шарапудинов И.И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Чебышева-Хана // Матем.сборник. Т. 183. Вып. 3. 1991. С. 408-420.

50. Шарапудинов И.И. Некоторые вопросы теории ортогональных систем. Докторская диссертация. М.: МИАН им.В.А.Стеклова. 1991.

51. Шарапудинов И. И. Об асимптотике многочленов Чебышева, ортогональных на конечной системе точек // Вестник МГУ. Серия 1. Вып. 1. 1992. С. 29-35.

52. Шарапудинов И.И. О сходимости метода наименьших квадратов // Матем.заметки. Т.53. Вып.З. 1993. С. 131-143.

53. Шарапудинов И.И. Об ограниченности в С-1,1. средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье-Чебышева // Матем. сбор

54. Шарапудинов И.И. Многочлены, ортогональные на сетках. Теория и приложения. Махачкала. Изд-во Даг.гос. пед. ун-та. 1997 г. С. 1-252

55. Шарапудинов И.И. Приближение дискретных функций и многочлены Чебышева, ортогональные на равномерной сетке // Ма-тем. заметки. С.460-470. Т.67. Вып.З.

56. Шарапудинов И.И. Приближение функций с переменной гладкостью суммами Фурье-Лежандра // Матем. сб. 143-160. 191:1 (2000),

57. Шарапудинов И.И. Смешанные ряды по ультрасферическим полиномам и их аппроксимативные свойства // Матем. сб. 115— 148. 194:3 (2003),

58. Шарапудинов И.И. Аппроксимативные свойства операторов ЗЛг+2г(/) и их дискретных аналогов // Матем.заметки. С.765-795. Т.72. Вып.5.

59. Gasper G. Positivity and Special Functions Theory and appl. Spec.Funct. Edited by Richard A. Askey. // 1975. P. 375-433.