Аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Лагерра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

004610946

На правах рукописи

Пирметова Сайда Ямудиновна

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА СМЕШАННЫХ РЯДОВ ПО ПОЛИНОМАМ ЛАГЕРРА

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2010

004610946

Работа выполнена на кафедре математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Шарапудинов Идрис Идрисович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Хромова Галина Владимировна

кандидат физико-математических наук, Бурлуцкая Мария Шаукатовна

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова

Защита состоится "28"октября 2010 года в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан " V2010 года.

Учёный секретарь диссертационного совета ДМ 212.243.15

кандидат физико-математических наук, /V- у^

доцент в.В. Корнев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время получила бурное развитие теория ортогональных многочленов. Прежде всего такое развитие обусловлено необходимостью их применения при решении целого ряда практических и теоретических задач, а также приложениями их в теории кодирования, вычислительной математике, математической статистики и других областях. Например, они применяются при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих эти уравнения, в ряды по ортогональным полиномам; при решении прикладных задач, связанных с обработкой и сжатием информации.

В настоящей работе вводятся в рассмотрение и исследуются аппроксимативные свойства новых рядов по полиномам Лагерра, которым мы дали название "Смешанные ряды", следуя работам Шарапудннова И. И. [4]-[9]. Смешанные ряды по полиномам Лагерра имеют столь же простую конструкцию, что и ряды Фурье по указанным полиномам, но обладают значительно лучшими, чем ряды Фурье аппроксимативными свойствами вблизи начала координат. В частности, новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных. Следует отметить также, что, например, смешанные ряды по полиномам Лагерра при а = О

обладают тем свойством, что частичные суммы этих рядов кратно интерполируют исходную функцию в точке 0. Это свойство имеет важное значение при решении ряда прикладных задач. В ряде важных задач приближения функций, смешанные ряды обладают лучшими аппоксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам. Смешанные ряды по полиномам Лагерра не являются исключением в данном смысле.

Актуальными задачами, рассмотреными в данной работе, являются: изучение аналога неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра и получение оценок

функции Лебега частичных сумм смешанного ряда.

Объект исследования.

Работа посвящена исследованию смешанных рядов по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0;оо), изуению их частичных сумм и аппроксимативных свойств этих сумм, кроме того, рассматривается функция Лебега частичных сумм Фурье-Лагерра.

Цель работы.

1) Построить смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на бесконечной равномерной сетке и изучить их свойства.

2) Исследовать частичную сумму смешанного ряда.

3) Получить оценку отклонения частичной суммы смешанного ряда от дискреной функции, заданной на равномерной сетке и принадлежащей пространству

Общие методы исследования.

В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов.

Научная новизна.

Результаты данной работы являются новыми и состоят в следующем: рассматривается частный случай смешанных рядов по полиномам Лагерра Ь%(х) при а = 0; рассмотрены также аппроксимативные свойства частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра; изучен аналог неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда; изучено поведение функции Лебега частичных сумм смешанного ряда £°+г(/, х) на полуоси [0; оо)

Теоретическое значение и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы в вопросах теории приближений и численного анализа, при построении смешанных рядов по различным классическим полиномам. Они могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов. Смешанные ряды по полиномам Jlareppa успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных. Следует отметить также, что, например, смешанные ряды по полиномам Jlareppa L%(x) при а — 0 обладают тем свойством, что частичные суммы этих рядов кратно интерполируют исходную функцию в точке 0. Это свойство имеет важное значение при решении ряда прикладных задач.

Апробирование работы.

Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (2003-2007 гг.);

- на Саратовской зимней математической школе (2008 г);

- в Дагестанском Научном Центре (2008 г).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах [1]-[3]. Работа [1] входит в список изданий, рекомендованных ВАК РФ при защите кандидатских диссертаций.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 83 наименования. Общий объем работы 118 страниц компьютерного набора.

Содержание работы.

Во Введении даётся обоснование актуальности темы, приводятся постановки рассматриваемых задач и кратко излагаются основные результаты.

В Главе 1 приводятся результаты исследований, посвящённых данной тематике, и необходимых для дальнейших исследований. В методическом плане проводимое здесь исследование опирается на работу И.И. Шарапудинова [8].

Диссертация посвещена исследованию аппроксимативных свойств смешанных рядов по полиномам Лагерра. Подобные ряды по классическим ортогональным полиномам впервые были введены и изучены в работах научного руководителя Шарапудиновым И.И. Было показано, что смешанные ряды по классическим ортогональным полиномам, включая и случай полиномов Лагерра, могут быть успешно использованы для одновременного приближения дифференцируемых функций и их производных. И тем не менее, ряд важных вопросов, касающихся аппроксимативных свойств смешанных рядов по полиномам Лагерра, остались не исследованными. В частности, сюда относятся задачи, связанные с оценкой отклонения частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра от дифференцируемых функций, принадлежащих к классу соболевского типа / £ Wrc , где через W£ р обозначается класс г раз дифференцируемых функций / = /(ж), заданных на [0;оо), и таких, что абсолютно

непрерывна на произвольных отезках вида [0; Л], (А > 0), а

Особое внимание уделяется случаям р = 2 и р = ос

В §§1 — 2 приведены основные свойства полиномов Лагерра из классической теории ортогональных многочленов, и, кроме того, полученные позже при исследовании смешанных рядов по полиномам Лагерра.

Полиномы Лагерра определяются с помощью формулы Родрига

1 Нп

где а - произвольное действительное число. Известно, что если а > —1, то полиномы Лагерра образуют ортогональную систему на [0, оо) с весом р(х) = хае~х, т.е.:

оо

р{х)Щ{х)1&{х)<Ь = ¿птС

О

где

В §3 приведены аппроксимативные свойства сумм Фурье-Лагерра; а также приведен детальный анализ причин, побудивших нас ввести новые смешанные ряды по полиномам Лагерра, которые обладают при 0 < х < А, где А - произвольное фиксированное число, значительно лучшими, чем ряды Фурье по тем же полиномам аппроксимативными свойствами.

В §4 показывается, как строятся смешанные ряды по полиномам Лагерра для произвольного а, удовлетворяющего условию

-1 < а < 1. Через И^ (0,оо) (р > 1) обозначается подкласс функций / = /(ж) из £р,р, непрерывно дифференцируемых г — 1 раз, для которых абсолютно непрерывна на произвольном

сегменте [а, 6] С [0, оо), а € £р,р. Тогда смешанный ряд функции / € Жр р по полиномам Лагерра Ь%(х) имеет вид

где

+ ./"(/,я),

Я?- !(/,*) = Е[/м(о)-

1^=0

оо

- Г(* + а + 1) Г(1/ - г + а +1) ¿-^ Г(Л + г - ^ + 1уг'к

к=0

оо

Ж

*=0

В первой главе диссертации рассматривается вопрос, связанный со сходимостью смешанного ряда к исходной функции /(х). Условия сходимости смешанного ряда выражает следующая теорема: Теорема 1.4.1 Щсть -1 < а < 1, г > 1, А > 0, / £ Тогда смешанный ряд

к=0

сходится равномерно относительно х € [0, Л] и для произвольного х е [0, оо) имеет место равенство

Я®) = ££_!(/,*)+ -?(/,*).

В §5 первой главы приводятся также аппроксимативные свойства частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра.

Для -1 < а < 1, / Е У/гСг р положим

к=О

^+г(/) - = + •/£„(/,х),

где Е?_ 1 (/, ж) - полином степени г — 1, определенный выше. Тогда имеем

где

к=п+1

£"+г(/,х) представляет собой алгебраический полином степени п + г. Будем рассмотривать £"+г(/) = £°+г(/,х) как аппарат приближения гладких функций.

В §6 приведена задача о приближении функций / £ И^ а+тп_г) посредством операторов ££+г(/), где тп>г.

Теорема 1.6.1 Пусть т > г > 1, / £ т_г)» Л > О,

О < а; < А. Тогда

I/("}(я) - < ^+г-т(/(т),£21р(,а+т-г))7°(х),

где £2,р(-,а+гп-г)) - наилучшее приближение

функции = в метрике пространства £2,р(.>а+т-г)

алгебраическими полиномами степени п + г — т,

7£(®Г < с(а,г, Л) ^ а+1 ? '.

В §7 рассматривается частный случай смешанных рядов по полиномам Лагерра Ь"(х) при а = 0. В этом случае имеем:

>/=0 оо

к=О

Операторы £°+г(/) в этом случае имеют вид

= £/м(о)£ + Е тгкгШ*)-

В Главе 2 рассмотрена задача об аппроксимативных свойствах частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра при а = О, т.е. £°+г = £°+г(/,х) на классах ]УГ(0,оо), состоящих из функций / = /(х)> непрерывно дифференцируемых на полуоси [0; оо) г раз и удовлетворяющих условию

е-в/2|/<г)(х)|<1 (0 < х < оо).

В §2 приведены основные свойства полиномов Лагерра из классической теории ортогональных многочленов, необходимые для дальнейших наших исследований.

В §3 главы 2 приведены основные результаты, касающиеся вопроса об изучении аналога неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра. Точнее, для / € И/г(0, оо) установлено следующее неравенство

и

е-1/2;Е_(г_т)/2+1/41/(т)(;Е) _ (£о+г(/)Х))(т), <

где

1:(х) = ~1 г'2-1'^-**

£ Щх)ьт

*=о +

(И-

это функция Лебега частичных сумм смешанного ряда £-п+Л1>х)> х е [0;оо).

В работе изучено поведение функции Лебега 1Тп(х) на полуоси [0; оо). Отметим, что поведение функции Лебега в значительной степени зависит от положения точки х на полуоси [0; оо).

Поставленная в главе 2 задача решена при 0 < х < оо. Перейдем к более точным формулировкам полученных результатов. Для этого нам понадобятся следующие множества (в = ¿>п — Ап + 2г + 2, г > 1):

(?1 = [0,3/в) С2 = [3/5,5/2) вз = ¡5/2,38/2) (?4 = [Зз/2,оо)

Получены верхние оценки функции на множествах Ок(к = 1,2,3,4). В главе 2 установлены следующие результаты

Теорема 2.3.1. Пусть в = з„ = 4п + 2г + 2, г > 1, х 6 С?1. Тогда умеет место следующая оценка

Гп(х)<с(г)пг/2+1/4Ы(п + 1).

Теорема 2.3.2. Пусть я = вп = 4п + 2г + 2, г > 1, х е С?2. Тогда умеет место следующая оценка

Гп{х) <с(г)аГг/2-1/41п(п + 1).

Теорема 2.3.3. Пусть в = зп = 4п + 2г + 2, г > 1, х е С3. Тогда имеет место следующая оценка

1„(х) < с(г)х~%~*

Теорема 2.3.4. Пусть я = в,, = 4п + 2г + 2, г > 1, я е (?4. 7ог<?а имеет место следующая оценка

£(*) < с(г)п-г/2+5/4е-г/4.

В заключительном параграфе данной главы установлено, что оценка функции Лебега частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра при х = 0 не улучшаема по порядку, т.е. установлен следующий результат

Теорема 2.4.1. Пусть х — 0, тогда имеет место следующая оценка

Гп(0) г* с(г)п?+<1п(п + 1) (п = 1,2,...).

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору И.И. Шарапудинову за постоянное внимание, помощь и ценные советы в работе над диссертацией.

( \ Х'А

Список работ автора по теме диссертации

[1] Пирметова С.Я. Аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Лагерра на классах гладких функций [Текст]/С.Я. Пирметова// Известия Саратовского университета. Серия Математика. Механика. Информатика. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2008. - Т.8. - Вып. 2. - С. 3-11.

[2] Пирметова С.Я. Аналог неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра [Текст]/С.Я. Пирметова// Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы, посвященной памяти академика П.Л. Ульянова, Саратов, 28 янв.-4 фев. 2008. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. - С.142-143.

(31 Пирметова С. Я. Оценка функции Лебега для сумм Фурье-Лагерра [Текст]/С.Я. Пирметова// Вестник Дагестанского государственного университета. - Вып.1. - Естественные науки. -2010. - С. 19-26.

Список литературы

(4] Шарапудинов И. И. Приближений функций с переменной гладкостью суммами Фурье по ортогональным полиномам /И.И. Шарапудинов// Международная конференция "Теория проиближений и гармонический анализ". - Тула. - 26-29 мая 1998. -С. 275

[5] Шарапудинов И. И. Исправленные суммы Фурье по ортогональным полиномам и их аппроксимативные свойства. /И.И. Шарапудинов// Воронежская зимняя математическая школа. "Современные методы теории функций и смежные проблемы". - Тезисы докладов. - 27 января - 4 февраля 2001. -Воронеж, 1999. - С. 289-290.

|б] Шарапудинов И.И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам. /И.И. Шарапудинов// Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 10-й Саратовской зимней школы. 28 января - 4 февраля 2002. - С. 228-229.

[7] Шарапудинов И.И. Аппроксимативные свойства операторов Уп+2г{1) и их дискретных аналогов /И.И. Шарапудинов// Матем.заметки. - 2002 - Т.72. - Вып.5. - С.765-795.

[8] Шарапудинов И.И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам /И.И. Шарапудинов// Теория и приложения. -Махачкала: ДНЦ РАН. - 2004. - С. 276.

[9] Sharapudinov I.I.On the best approximation and polynomials of the least quadratic deviation / I.I. Sharapudinov// Analysis Mathemat-ica. - 1983. - V. 9. - P. 223-234.

Подписано в печать. Бумага офсетная. Печать офсетная. Формат 60*84 1/16. Усл. печ.л- 1,5. Заказ № 0986. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии "Радуга-1" г. Махачкала, ул. Коркмасова, 11 "а"

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Смешанные ряды по полиномам Лагерра.

1.1 Основные свойства полиномов Лагерра.

1.2 Дальнейшие свойства полиномов Лагерра.

1.3 О рядах Фурье-Лагерра.

1.4 Смешанные ряды по полиномам Лагерра.

1.5 Операторы

1.6 Операторы £"+г(/) и классы И^

1.7 Смешанные ряды в случае а = 0.

ГЛАВА II. Аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Лагерра С^(х).

2.1 Введение.

2.2 Вспомогательные результаты.

2.3 Аппроксимативные свойства операторов £®г+г(/) на классах \¥г(0, оо).

2.3.1 Оценка функции Лебега 1тп{х) на

2.3.2 Оценка функции Лебега 1гп(х) на Сг.

2.3.3 Оценка функции Лебега 1гп{х) на

2.3.4 Оценка функции Лебега 1гп{х) на

2.4 Оценка снизу функции Лебега 1гп(х) при х = 0.

В настоящее время получила бурное развитие теория ортогональных многочленов. Прежде всего такое развитие обусловлено необходимостью их применения при решении целого ряда практических и теоретических задач, а также приложениями этих многочленов в теории кодирования, вычислительной математике, математической статистики и других областях. Например, они применяются при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих эти уравнения, в ряды по ортогональным полиномам; при решении прикладных задач, связанных с обработкой и сжатием информации. В настоящей работе (главе 1) вводятся в рассмотрение и исследуются аппроксимативные свойства новых рядов по полиномам Лагерра, которым мы дали название "Смешанные ряды", следуя работам Шарапудинова И.И. [34]-[45]. Смешанные ряды по полиномам Лагерра имеют столь же простую конструкцию, что и ряды Фурье по указанным полиномам, но обладают значительно лучшими, чем ряды Фурье аппроксимативными свойствами вблизи начала координат. В частности, новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных. Следует отметить также, что, например, смешанные ряды по полиномам Лагерра Щ{х) при а = О обладают тем свойством, что частичные суммы этих рядов кратно интерполируют исходную функцию в точке 0. Это свойство имеет важное значение при решении ряда прикладных задач. В ряде важных задач приближения функций, смешанные ряды обладают лучшими аппоксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам.

В главе 1, показывают, что смешанные ряды по полиномам Ла-герра не являются исключением в данном смысле. Актуальными задачами, рассмотреными в данной работе, являются: изучение аналога неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра и получение оценок функции Лебега частичных сумм смешанного ряда.

Объект исследования.

В работе используются смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0;оо), изучаются Pix частичные суммы, аппроксимативные свойства этих сумм, поведение функции Лебега частичных сумм Фурье-Лагерра при х Е [0;оо).

Цель работы.

1) Построить смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0; оо) и изучить их свойства.

2) Исследовать частичную сумму смешанного ряда.

3) Получить оценку функции Лебега 1тп{х) для смешанных рядов по полиномам Лагерра.

Общие методы исследования.

В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов.

Научная новизна.

Рассмотрены новые смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональные на полуоси [0; оо), и исследованы их аппроксимативные свойства на классах гладких функций. В частности, показано, что новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных.

Практическая ценность.

Полученные в работе результаты могут быть использованы в вопросах теории приближений и численного анализа, связанных с применением ортогональных многочленов; при исследовании смешанных рядов по различным классическим полиномам. Они могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.

Апробирование работы.

Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (2003-2007 гг.);

- на Саратовской зимней математической школе (2008 г.);

- в Дагестанском Научном Центре (2008 г.);

- на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного университета (2010 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, одна из которых [21] входит в список изданий, рекомендованных ВАК РФ при защите кандидатских диссертаций.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 83 наименования. Общий объем работы 118 страниц компьютерного набора.