Некоторые вопросы теории приближений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

си

У

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

КУЛИКОВА Татьяна Юрьевна НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ

01.01.01. - математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 517.5

Научный руководитель -кандидат физико-математических наук, доцент В. М. ФЕДОРОВ

МОСКВА - 1999

Содержание

Введение 3

Глава I. Аппроксимация в пространствах с весами Якоби, Лагерра и

Эрмита 9

§1. Определения и формулировка основных результатов....................9

§2. Свойства дифференциального оператора..................................15

§ 3. Свойства операторов обобщенного сдвига..................................26

§ 4. Операторы сдвига, задаваемые рядами Фурье по ортогональным системам. Неограниченность некоторых операторов........................31

Глава II. Аппроксимация на прямом произведении сфер 42

§1. Определения и формулировка основных результатов....................42

§ 2. Вспомогательные утверждения..............................................47

§3. Свойства дифференциального оператора Лапласа-Бельтрами..........50

Глава III. Аппроксимация на торе 54

§1. Определения и формулировка основных результатов....................54

§2. Свойства оператора дифференцирования..................................57

§3. Свойства операторов обобщеного сдвига..................................60

Глава IV. Аппроксимация полиномами по системе Уолша 63

§1. Определения и формулировка основных результатов....................63

§ 2. Свойства оператора обобщенного сдвига..................................66

Глава V. Теоремы аппроксимации в абстрактной модели 68

§1. Определения и формулировка основных результатов....................68

§ 2. Доказательство теоремы о прямоугольнике................................75

§ 3. Доказательство теоремы об угле............................................82

§ 4. Свойства смешанных логарифмических классов..........................87

§5. Доказательство теоремы о гиперболическом угле........................90

Список литературы 99

Введение

Одно из основных направлений теории приближений - это выяснение связи структурных свойств функции со скоростью убывания последовательности ее наилучших приближений многочленами. Систематические исследования этого вопроса ведутся с начала XX века, причем эти исследования проводятся в двух направлениях. С одной стороны, находится скорость стремления к нулю величин наилучшего приближения при тех или иных условиях на функцию /. Такие теоремы получили впоследствии название прямых теорем теории приближений. А с другой стороны, изучаются структурные свойства функции в зависимости от ее наилучших приближений. Эти теоремы называют обратными теоремами теории приближений.

Впервые прямые теоремы о приближении непрерывных функций на отрезке действительной прямой получены Д.Джексоном [56], а первые обратные теоремы получены С. Н. Бернштейном [6]. В этих работах речь идет о приближении функций одной переменной в равномерной метрике.

В диссертации прямые и обратные теоремы рассматриваются для случая среднеквадратичного приближения функций двух переменных с интегрируемым квадратом, заданных на прямых произведениях различных измеримых пространств.

Приведем сначала некоторые одномерные результаты, имеющие отношение к этим вопросам.

Рассмотрим пространство L^{X) функций с суммируемым квадратом, заданных на некотором измеримом пространстве X с мерой, в котором имеется счетная полная ортонормированная система. Через En(f) будем обозначать наилучшее среднеквадратичное приближение функции / полиномами порядка ниже п по этой системе.

Структурные свойства функций одной переменной удобно описывать в терминах классов Hr, г = га + о", т (Е Z+, а <Е (0, 1], называемых классами С. М. Никольского. Это классы функций, имеющих т-ую производную, удовлетворяющую интегральному условию Липшица порядка <т (при а < 1):

\\f(x) - f(x + h)\\L2{x) < Mfh% или условию Зигмунда (при сг = 1):

II f(x) - 2f(x + h) + f(x + 2/0||ад < Mjh.

Подобные классы в периодическом случае рассматривались А. Зигмундом [60].

В случае среднеквадратичного приближения тригонометрическими полиномами 27г-периодических функций из классов Никольского, прямые и обратные теоремы аппроксимации были получены Н. И. Ахиезером [1]. Из этих результатов следует, что условие

En(f) = 0(n~r) (1)

является конструктивной характеристикой класса Нг.

В непериодическом случае условие (1) уже не является конструктивной характеристикой соответствующего класса Никольского. Поэтому для того, чтобы в этом случае получить замкнутые теоремы аппроксимации, структурные свойства функций надо описывать в терминах не обычного сдвига, а обобщенного. Обычную производную также удобно заменить на обобщенную операторную производную.

Приближение функций в интегральной метрике в одномерном непериодическом случае (т.е. в случае, когда X —< а,Ь >, —оо < а < Ъ < +оо, с весом Якоби, Лагерра или Эрмита) рассматривалось многими математиками, в частности Е. В. Ржавинской [32] и В.М.Федоровым [46] для полуоси с весом Лагерра, С. 3. Рафальсоном [30] и В.М.Федоровым [47] для всей действительной оси с весом Эрмита, Г.В.Жидковым [14], С. 3. Рафальсоном [31], Б. А. Халиловой [50], М. К. Потаповым [25, 26] и Е. В. Ржавинской [33] для отрезка с весом Якоби.

В случае, когда X - это единичная сфера в многомерном евклидовом пространстве, а структурные свойства функций описываются дифференциальным оператором Лапласа-Бельтрами, конструктивная характеристика Н-класса установлена С. М. Никольским и П. И. Лизоркиным [57]. Ранее в некоторых частных случаях эта оценка была получена С. Павелке [58].

В случае, когда X - это интервал (0, 1), а в качестве базиса в LP(X) выбрана система Хаара, прямая теорема аппроксимации (теорема типа Джексона) установлена П.Л.Ульяновым [45].

В многомерном случае L2{X i x...xlj), где Xi, i = 1,... d, - измеримые пространства с мерой, можно рассматривать различные методы наилучшего приближения - в зависимости от того, какому множеству принадлежат гармоники приближающих полиномов. (Мы ограничимся случаем d = 2, хотя все результаты можно легко перенести на случай произвольного натурального d.) В диссертации мы рассматриваем приближение прямоугольником, углом и гиперболическим углом.

Наилучшим приближением прямоугольником в пространстве ¿2,А,<5 называется величина

Enin2(f) = min У/- РП1П2\\,

"гг I п2

где минимум берется по всем полиномам, спектр которых лежит в прямоугольнике еП1п2 = {(fc, 0 € Ъ\ : 0 < к < щ, 0 < I < п2} .

Наилучшим приближением углом в пространстве ¿2,а,<5 называется величина

Уп1П2(1) = min ||/ - РЩП21|,

Pniri2

где минимум берется по всем функциям РПгП2(х 1,жг) g ь2,а,s со спектром в угле

Упщ2 = {(М) € Ъ\ : к > щ, 1>п2].

Наилучшим приближением гиперболическим углом с параметром р = (/)1,/э2), р% > 0, ¿ = 1,2 порядка N £ в пространстве л,<5 называется величина

4Г2)=тт||/-Р||, где минимум берется по всем полиномам со спектром в множестве

= {(к, I) е Ъ\ : кР11Р2 < А^} .

Обобщение //-классов на случай л,5 тоже можно проводить по-разному. Мы будем рассматривать анизотропные и смешанные классы - Н^Г1'Ги 8Н^Г1,Г2\ Анизотропные классы определяются ограничениями на модули гладкости функций по всем переменным по-отдельности, эти классы имеют конструктивную характеристику в терминах наилучших приближений прямоугольником. Смешанные классы определяются ограничениями на смешанные модули гладкости и характеризуются в терминах приближения углом.

Анизотропные //-классы были определены С.М.Никольским [20], хотя ранее подобные классы функций рассматривались С. Н. Бернштейном [7] практически одновременно с одномерными //-классами у Зигмунда, но только в равномерной метрике. Смешанные классы в непериодическом случае были определены С.М.Никольским [21], а в периодическом подобные классы рассматривались Н. С. Бахваловым [4].

Прямые и обратные теоремы о приближении прямоугольником в интегральной метрике были получены А. Ф. Тиманом [43, с. 288], [44].

Впервые приближение полиномами со спектром в угле рассматривал Я.С.Бугров в [10, с.45-47]. Им было найдено приближение углом для функций, имеющих ограниченную в интегральной метрике обобщенную смешанную производную. Прямые и обратные теоремы о приближении углом в метрике ЬР функций из смешанных классов Никольского получены М.К.Потаповым в [27, 28], причем сам термин "приближение углом" был впервые введен в [28]. В [29] М.К.Потапов при помощи приближения углом установил вложения и совпадения некоторых классов функций, смешанный модуль гладкости которых обладает теми или иными свойствами. Все эти результы относятся к приближению функций, периодических по каждой переменной. Для пространств непериодических функций с весами Якоби, Лагерра и Эрмита характеристика классов Никольского в некоторых частных случаях получена Б. А. Халиловой [51] и Е. В. Ржавинской [33] в метрике ¿2, К.В.Руновским [34] в метрике Ьр. Приближение углом функций, заданных на прямом произведении многомерных сфер впервые рассматривал В. М. Федоров [49].

Приближение полиномами с гармониками в гиперболическом угле впервые рассматривал К.И.Бабенко [2, 3]. В этих работах речь идет о приближении периодических функций из некоторых классов, определяемых ограничениями на смешан-

ные производные определенных порядков, в равномерной метрике и в метрике Ь2. Основные известные результаты для приближения гиперболическим углом получены, в частности, Б. С. Митягиным [18], С. А. Теляковским [40], С.М.Никольским [21], Я. С. Бугровым [11, 12], Н. С. Никольской [19], В. Н. Темляковым [41, 42].

Отметим, что мы рассматриваем не классы Никольского, а их обобщения - логарифмические классы Н(Г1,Г2\ь,1,ь>2) и 8Н^Г1,Г2\и) (см. определения в соответствующих главах). Это делается потому, что прямые и обратные теоремы о приближении гиперболическим углом оказываются замкнутыми в этой шкале пространств.

Несколько слов о структуре диссертации. Настоящая работа состоит из введения и пяти глав. В первом параграфе каждой главы даются необходимые определения и приводятся формулировки основных результатов этой главы.

В первых четырех главах рассматривается приближение в функций в конкретных пространствах. Основными результатами этих глав являются теоремы о приближении прямоугольником, углом и гиперболическим углом в соответствующих пространствах. В главе V рассматривается абстрактная модель, т.е. пространство функций с интегрируемым квадратом, заданных на прямом произведении произвольных измеримых пространств с мерой. Полученные в этой главе теоремы о приближении прямоугольником, углом и гиперболическим углом используются в главах I - IV для получения соответствующих теорем в конкретных пространствах.

Расскажем подробнее о результатах каждой главы.

В главе I рассматривается пространство -£/2,а,<5 функций /(ж^жг), заданных на множестве < а, Ь > х < с, о! >, где < а,Ь > и < с, с? > - конечные или бесконечные промежутки на прямой, с нормой

||/|| = ^ ! Р(х1,Х2)\(Х1)5(Х2)(1Х1<1Х2

где А(ж1) и 6(х2) ~ веса Якоби, Лагерра или Эрмита. В пространстве & фиксируется ортонормированная система полиномов (о.н.с.) ^2)} и задаются операторы обобщенного дифференцирования - и Б2 - и обобщенного сдвига -и Т/^ (индексы 1 и 2 означают, что операторы действуют по первой и по второй переменной соответственно).

В §2 главы I доказывается лемма о ряде Фурье операторной производной, которая представляет из себя условие на коэффициенты Фурье функции /(ж!,ж2) по рассматриваемой о.н.с., необходимое и достаточное для существования обобщенной операторной производной .О™1!}™2/ порядков гп\ и т2 по Х\ и ж2 соответсвенно. В качестве вспомогательного утверждения доказывается самосопряженность всех рассматриваемых операторов на их областях определения.

В §3 приводятся выражения для коэффициентов Фурье функции

1,ж2), ¿ = 1,2 через коэффициенты Фурье функции /(жх,^) по соответствующей системе. Эти выражения имеют вид

сы(Т$/) = /Зк(Н1)сы(/),

где /^(Д) - некоторые непрерывные функции, называемые коэффициентами оператора обобщенного сдвига. В этом параграфе получены также некоторые свойства функций которые вместе с леммой о ряде Фурье операторной производной

(§2) позволяют доказать теоремы аппроксимации, применяя абстрактную модель главы V к случаю пространства £2,а,<5-

В §4 главы I рассматриваются некоторые другие операторы обобщенного сдвига, задаваемые через коэффициенты Задание операторов обобщенного сдвига через коэффициенты рассматривалось в ряде работ, например [55]. С помощью операторов сдвига, построенных в этом параграфе, теоремы аппроксимации распространяются на все возможные параметры весов Якоби и Лагерра {а,(3 > — 1), в то время как сдвиги, рассмотренные в §§1-3 не всегда могут быть использованы для описания структурных свойств функций, поскольку при а,/? < —1/2 эти операторы становятся неограниченными. Эта неограниченность также установлена в этом параграфе.

В главе II рассматривается приближение функций, заданных на множестве Ях х ¿2, где - единичная сфера в ¿¿-мерном действительном пространстве К.^, ¿ = 1,2. В пространстве £2(61 х ¿>2) фиксируется базис из сферических гармоник, а также опредедяются операторы обобщенного сдвига и операторы обобщенного дифференцирования Лапласа-Бельтрами. Для всех этих операторов сферические гармоники являются собственными функциями.

В §3 главы II доказывается лемма о ряде Фурье операторной производной в пространстве 1*2 (¿>1 х й^), аналогичная соответствующей лемме для пространств с весами Якоби, Лагерра и Эрмита. Доказательство этой леммы опирается на утверждение о самосопряженности оператора Лапласа-Бельтрами на области его определения. Для доказательства этого утверждения потребовались технические леммы, которые мы выделили в отдельный параграф (§2).

В главе III рассматривается пространство Ь\ = ^([0;2тг]2) функций /(ж!,ж2), XI Е Л, г = 1,2, 27Г-периодических по каждой переменной, квадрат которых суммируем на [0; 2тт\2. Для описания структурных свойств функций из этого пространства используются операторы дифференцирования (по Леви) и два варианта обобщенного сдвига - обычный сдвиг /(ж!,ж2) /(ж1 + ^ь и сдвиг, задаваемый средними Стеклова. Специфика данного случая состоит в том, что элементы базиса в Ь\ не являются собственными функциями операторов дифференцирования и обычного сдвига. В результате этого, для того, чтобы изложенная в главе V абстрактная модель была применима для получения теорем аппрокси-

мации в пространстве в нее необходимо было внести некоторые изменения. В частности, пришлось допустить "повороты" гармоник при задании операторов обобщенного дифференцирования и сдвига через ряды Фурье по ортогональным системам, а также вместо коэффициентов оператора сдвига работать с коэффициентами операторов разностей.

В главе IV рассматривается пространство Ь2([0] 1)), в котором приближение функций осуществляется полиномами и квазиполиномами по системе Уолша. В отличии от пространств, рассмотренных в главах I - III, в L2([0] 1)) мы не рассматриваем дифференциальных операторов, поэтому логарифмические классы и SH(rur2\v) здесь определены не для всех возможных значений параметров, а только для ri,r2 G (0; 1]. Но при этих ri,r2 порядки наилучших приближений прямоугольником, углом и гиперболическим углом совпадают с соответствующими порядками приближения по системе полиномов Лежандра на отрезке (частный случай результатов главы I), хотя полиномы по системе Уолша являются кусочно-постоянными функциями, а полиномы Лежандра - функции гладкие.

В главе V рассматривается пространство L2(Xi х Х2), где Xj - произвольные измеримые пространства с мерой. В Ь2(Х\ х Х2) вводятся так называемые муль-типликаторные операторы обобщенного дифференцирования и обобщенного сдвига, задаваемые своими коэффициентами через ряды Фурье по фиксированной в L2(X 1 х Х2) полной о.н.с. На коэффициенты этих операторов накладываются ограничения таким образом, чтобы эта абстрактная модель была применима к конкретным ситуациям, рассмотренным в главах I - IV.

В §2 и §3 получены конструктивные характеристики анизотропных и смешанных логарифмических классов в терминах приближения прямоугольником и углом соответственно. Из этих результатов, в частности, следует, что один и тот же класс может быть выражен в терминах разных мультипликаторных операторов обобщенного дифференцирования и обобщенного сдвига. Этот факт используется в §4 для доказательства теоремы о приближении гиперболическим углом для функций из смешанных логарифмических классов. Поэтому переход к абстрактной модели, использующей мультипликаторные операторы, существенно необходим для доказательства теорем о гиперболическом угле.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [62, 63, 64, 65, 66, 67, 68].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю канд. физ.-мат. наук, доц. В. М. Федорову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Глава I. Аппроксимация в пространствах с весами Якоби, Jlareppa и Эрмита.

§ 1. Определения и формулировка основных результатов.

Пусть на промежутке < а, b > , которы�