Арифметические свойства конечных линейных групп с коэффициентами в дедекиндовых кольцах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

СМКТ-НСТВТШТСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГЗ од

На правах рукописи

с. ( ¿,1. 1->-

малинин Дмитрий Александрович

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП С КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ДЕДЕКИНДОВЫХ КОЛЬЦАХ.

01.01.06 — математическая логика,алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

санкт-петербург — 1993

Л

Работа выполнена в лаборатории алгебры Санкт-Петербургского отделения Математического института им.В.А.Стеклова РАН.

Научный руководитель:член-корреспондент АН СССР,

доктор физико-математических наук, профессор Д.К.ФАДЦЕЕВ Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Н.Л.ГОРДЕЕВ кандидат физико-математических наук, доцент А.В.РУКОЛАШЕ Ведущая организация:Самарский государственный университет

Защита состоится___1994 г. в

часов на заседают Специализированного совета К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургской государственном университете (адрес совета: 198904, С.-Петербург, Ст. Петергоф , Библиотечная пл., д.2, цатематико-механичеюгий факультет С.-ПГУ).Защита будет проходить по адресу: 191011,С.-Петербург, наб.реки Фонтанки,д.27,3-й стаж,зал 311, (помещение ПОШ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. A.M. Горького Петербургского университета, Университетская набережная, 7/9-

1993 г.

Р.А.Шмидт

Автореферат разослан_

Ученый секретарь специализированного.совета, кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТКИ. Задачи, 'связанные со свойствами модулей представлений конечных групп. возникающие при расширении базового кольца окаляров, над которым реализуются оти представления, являются в определенном смысле . традиционными. Идеи и методы классических работ И.Шура, М.Дойринга и Э.Нетер.в которых рассматриваются представления груш и алгебр над расширениями поля скаляров., явились основой для развития нескольких направлений в теорий представлений групп и порядков над различными классами колец, среди которых существенную роль играют дедеюшдовы кольца. Обобщениями классической теоремы Дойринга-Нетер занимались Г.Цассенхауз, И.рвйнер, Х.Роггепкамп, А.Бялыняцки-Еируля, Д.Эстс и Р.Гуралник. При исследовании неразложимых и неприводимых, представлений конечны! групп вагную роль играют теореуы о Конечности числа таких представлений. Значительное место в этих исследованиях занимают работы ленинградских цатематиков Д.К.Фаддэева,. З.И.Борэвича, А.В.Яковлева и- их учеников. А.В.Ройтер я Л.А.Назарова уточнили классическую теорему Жордана-Цассенхау-за о конечности числа представлений конечных груш для случая неабелевых р-група О, доказав, что для подходящего корня е из 1 число б ) - представлений, не вквизалентныг заданному точному абсолютно неприводимому представлению О, изоморфных над ®(е), делится на р. Многочисленные вопросы

теории целочисленных представлений конечных груш над расширениями области скаляров связаны с результатами о целочисленные групповых кольцах, модулях Галуа и индексах Шура,которые получены К.Роггенкаяпсы,В.Плескенш,А.Вейссои, Ю.Риттероы, Да.Клиффоц, А.Зрелихом и другиш математиками.: Наконец, ряд интересных проблем возникает, когда расширение области скаляров связано с квадратичной формой, заданной па, рассматриваемом !«3-«одуле. Это, прездо всего, классическая

I

теорема Шпрангора об анизотропности квадратичных форм прн| расширении полей почетной степени, ряд теореы шпрингеровского типа для квадратичных форы л ах ешнорных

I

родов. К отоиу направлена^ относятся е известная проблема; Китаокя о группам целочиоланшх нзсштрай положительно! определенных квадратичных ёораз, которая амеет значение для • классификации квадратичных рошток. В случае полозительного | решения проблема Китаокн имеет придонная к одномерным : некоммутативным когомологшш Галуа, в&йдошше Бартельсш.Она | связана,крош того,с некоторыми ари$ыетичешашв задачами.

Существует ряд направлений в теории арифметических груш, в частности, при исследовании коготлогий | ариДметческих груш и когомологий ©аррелла-Тейта, которые 1 тесно примыкают к проблематике, о которой вдет речь. |

Эти различше по существу .задачи и направления отражают | теоную связь мевду теорией, целочисленных представлений I конечных груш и . алгебр над дедекиндовши кольцами, !

алгебраической теорией чисел, -квадратичными формами и теорией Галуа.

ЦЕПЬ РАБОТЫ. Диссертация посвящена рассмотрению двух задач из теории целочисленных представлений конечных групп, объединенных общим подходом к их решению.

Вопрос о конечности числа неэквивалентных над кольцом И абсолютно неприводимых представлений конечной неабелевой р-группы С связан с описанием кручения в ядрах редукции по модулю простого идеала р дедекиндова кольца Бей. В случав, когда Б — максимальный порядок конечного расширения поля Ор рациональных р-адических чисел и р — его простой идеал, делящий р, свойства всякой конечной подгруппы 0(р)е0Ьп(Б) матриц, сравнимых с единичной по модулю р, сущестйенно зависят рт индекса ветвления е идеала у и при е>р-1 не подчиняются разумным условиям жесткости, формулировка которых может быть получена как обобщение классических результатов Минковского. Это обстоятельство можно использовать для построения бесконечного числа попарно нееквивалентных целочисленных (в подходящем расширении И кольца Б) представлений группы С, кавдое из которых содержится в О(р') для простого идеала р' максимального порядка С некоторого конечного расширения Ор , такого, что СсИ. Более того, конструкция, используемая нами, ■ пригодна для построения точных абсолютно неприводимых представлений групп С произвольно заданного класса нильпотентности,

содержащихся в С(р'). В качестве II можно выбрать кольцо

целых элементов поля ®р(€р°°) .полученного присоединением к С^

1 р з

всех примитивных корней из 1 степеней р ,р ,р .... .

С другой стороны,соображения, использующие определенные свойства кручения в ядре редукции СЬ^Б) (тойр) , применимы при исследовании другой арифметической задачи — проблемы Кигаоки. С етой проблемой связана вторая часть диссертационной работы (§§4-7). в которой описываются конечные арифметические подгруппы СсСЬ;г(0) о коеффициентами в дедокиздовых подкольцах О числового поля К, устойчивые при естественной действии автшорфигшов птого ноля. Целыо етой части работы является характернаоция некоторых классов групп б и полеС к, в которых возиоаяа кх реализация.

ШГОДЫ ИССЛЕДОЕШИИ. Наш ыотод описания свойств конечных целочисленная Iдат иатрцц, всашкаяащ цде расширении кольца скаляров, оодовш ьа щхаюниыя гворел целочисленных представлений и р-адлчсс^х представлииЗ конечных груш в сочетании о различайся нотодами теории Галуа н теории представлений конечких: груш; над полжет, кок классическими, восходящими к Минковскаму, Клиффорду, Шуру и Циссенхвузу, так к современными, сеязшяпдш с дссташешмаш лешшградокшс шл'сивтт:ов к о рсвульиагеин £.1. Супруценко. При построение бескспочкои есра'д целочашашг (в кольца целых елеиентов пол« С »)) исет-вайсш-шг пр.-.дс• авленнй р-групг сспольгуатся геерзаа 5 сорог

Шоды для индуцированных представлений и техника комбинаторных вычислений. Для решения задачи об описании конечных лзшеЯннх групп 0,' устойчивых при действии Галуа, над некоторыми дедекялдовшл подкольцамп числового поля К применяется метод работ 16], позволяющий, в частности, редуцировать эту задачу к случаю' коммутативных груш Используются та:сг:о йотоди алгебраической теории чисел, теории Галуа и теории матриц, необходимые для исследования алгебр-; КС кок модуля Галуа. При доказательство результатов, связанных с ограниченная! па размерность отой алгебры, применяется теория Клп£фордз об ограничении представлений группы на ее нериаяьяав дэлатолк. При доказательство количественные результатов об ошсшзао!яи группах С в § 4 используэтся пз::отор"з еооОроязЕы я астгго'пгаесотэ оценки из аналитической теорззг чгсел.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты, полученные в работе — новые. 3 диссертации впервые рассмотрены конечные арфштнчосгаэ группа е дэЗствком Галуа для нового класса полей, над которыми спи реализуются.

АПР0ВАЦЮ1 РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались в Новосибирском университете в 1936 г., на семинарах ЛОМИ в 1936, 19В8 г.г., на Мездународном коллоквиуме в Тарту, посвященном 150-летка со дня рождения Ссфуса Ли и -200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского в 1992 г., на Международной математической конференции, посвященной 200-летию со дня

рождения Н.И.Лобачевского в Белорусской университете в Минске в 1992 г., но Первой летней школе Ыездународного центра "Софус Ли"в Москве в 1993 г.

ПУБЛИКАЦИИ. Оеяовые результаты диссертации опубликованы в работах Е1-7]-

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, сеш параграфов с библиографии из 77 названий. Объем диссертационной работи — 164 страницы.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Получошшо в ней результаты могут быть использованы в теории целочисленных представлений над дедекшщовши кольцами н при одассифнкацяа положительно определенных квадратичных решеток.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Введение содэрЕпт обзор результатов, пришкаадих к • проблематике диссертации н краткую характоризацив результатов, полученных в работе.

§1 носит вспомогательный характер, в кем доказан, ряд . утверждений о диагонализируомости некоторых классов матричных групп над целостным:* иольц&мз исходя из арифметических и теоретико-групповых ограничений. Крона того, в § 1 приводятся необходимо для дальнейшего результаты о группах иетрнц.

В §2 рассматриваются цолочаолвшша представления произвольных неабаловых р-групп 0 ' над цакснмальнвш

порядками локальных нолей. Приведена явная конструкция бесконечной ссрчл попарно целочисленно ( над кольцом целых элементов О ноля Q (¡^и) ) неэквивалентных абсолютно нзприводшых представлений, которые реализуются в GLn(0). причем каздое пз них пранадлвют ядру редукции по модулю . некоторого идеала р кольца О, содержащего р. Фактически вопрос о реализации грушш G редуцируется к описанию представлений групп класса пяльпотентности 2.

В §3 рассматриваются целочисленные (в максимальных порядках ^-адачоеких локальнж полай) представления некоторых . р-групп заданного класса нильпотентности п доказывается бесконечность точных попарно неэквивалентных абсолютно неприводимых предстазлошй таких груш над кольцом целых элементов ' падл Эр(5р«>) » отн результаты остаются справедливыми и npsi рассмотрении большего поля реализации, чем О (с ), по в известном смысло поло 0(5«)

г г "г

ноумеяызоемо, ибо опо доляао содержать корни степеней ¡j^t пз 1 достаточно высокой степени, зависящей от индекса ветвления, который з своз очередь определяется классом нильпотентности заданной грушш.

Пусть К/0— конечноо расширение поля рациональных р-адическях чисел, пусть, далее, 0R, е и р — его максимальный порядок, индекс ветвления и простой идеал кольца соответственно. Пусть р-aOrr , ЯеС^ ,

. .sC!0={In} — нижний центральный ряд р-групш

и для всех еей единичная матрица 1п сравнима с ё (шос1рш). Тогда Ы1п(иос1р<1у) для всех матриц .Из

матричных г! т о оре тико-групповых соображений еле дует, что условие еш1(р—1) влечет тривиальность группы , 1=1,2,...,1.Оказывается,что ето условие не может быть усилено.

Пусть 0° — группа класса нильпотентности 1,порожденная образующими а, ...и соотношениями

Ь^И.^Ь^Ъ,. 1,3=1. 2.....I;

аЬ}=Ъ?а, , 1=2, Э....Д5

ап=1, где п=р*21>р?-'. Пусть — примитивный корень степени р из 1. Характер

)=|р. А(Ь4)=1, 1=2,3.....1 сбелевой подгруппы НсО°,

порожденной Ь1»Ь^, ... ,Ьг н разложение (¡°-1 ■Н+ап-*Н+ап-':11+.. „+аИ на смогшие клеосы по Б определяют

о

индуцированное представление А группы 0 . Пусть

О = Е °и

(е{^ — матричные единицы). Ок=с11е£(1 .к,К2.....ип~1).

Пусть О — кольцо целых влеыентов поля А=а(£р«), КсЛ и е > е0=е0(г).

Теорема 3.1. Представление группы 0° еоть

К я С

точное абсолютно нвцряводкмоо представление в матрицами, сравнимыми о 1п(гаофр),и щж различны* К,в2е0 эти представления попарно нееквивалептны в ¿1^(0).

Теорема 3.4. Пусть 0° — конечная подгруппа, заданной выписанными выше образующими и соотношениями, и пусть ш --■целое положительное число. Тогда существует конечное расширение К/0р с кольцом • целых элементов О^ и точное абсолютно неприводимое представление С в (О^) матрицами, сравнимыми с I (тофр), где ? — простой идеал 0К, делящий р, с индексом ветвления е, такое, что матрицы из группы сравнимы с 1п(пюйр<ш) и еи~7=1(р-1).

В §4 рассматривается, как и в оставшейся части работы, проблема Китаоки. Этот параграф разделен на 3 чг|сти. Первая из них содержит существенную для дальнейшего лемму 4.0, которая позволяет редуцировать проблему Китаоки к случаю абелевоЗ группы в целочисленных матриц окслоиодтц р , устойчивой при действии Галуа':

Леша 4.0. Пусть К -- коночное нормальное расширение о . с грушей Галуа Г и пусть — конечная Г-устоНчивая

, подгруппа, коеффздиенты всех матриц которой порождают рассматриваемое поле К, отличное от Тогда для любого нечетного простого числа р, разветвленного в К, найдется абелева Г-устойчквая подгруппа СдсСЬ^Од) показателя р, на которой Г действует нотоздеотвенно; если р=2 — единственное разветвленное в К число и 1=^ « К , то существует естественный гомоморфизм а -> образ Ц которого

содаркит абелеву Г-устойчнвую группу показателя 2 ! с нетождественным действием Г.-

В §4,11 доказан результат,дащнй полоютельпий ответ на вопрос Китаоки в случае полей, не содержащих нетривиальных корней из 1, связашшй с ограничениями на размерность матричной реализации 0 и на ветвлеггае в базовой поле (теорема 4.1), а также рассматриваются некоторые .приложения этого результата. В §4, III дается обобщение теоремы 4.1 для случая относительных расширений числовых полей, а тагаш доказываются количественные результаты вероятностного типа о "частоте" возникновения групп G рассматриваемого вида, которые опираются на известную теорему Ван дер Вардепо в случае абсолютных расширений числовых полей к на аналогичную теорему Ковш в случае относительная расширений.

В Q? строится бесксначная серия неразветвлешых расширений вполне вещественных числовых поло^, кмевдих заданную группу Галуа, что шесте с результатами Китаоки позволяет строить примеры, данцие отрицательный ответw на вопрос, предлозсешнЙ'КитаокоЯ.

В §G рассматриваются циклические и абелевы расширения

числовых полей, которые содержат примитивные корни из 1

подходящей степени. Приводится явная конструкция всех

конечных абелевых линейных групп с коэффициентами в

о

расширенном поле, . устойчивых при естественном действии группы Галуа, и в ряде случаев удается доказать целочисленность полученных реализаций. Показано, как результаты можно обобщить для случая разрешимых расширений

Гвлуа.

§7 разделен на 3 части.В §7,1 даются обобщения, связанные с концепцией групп А-типа , введенной Китаокой, и с обобщением проблемы Китаоки для немакеималыил порядков, причем часть результатов непосредственно связана с 1сонструкцией из §6. Кроме того, уточняется структура конечных групп целочисленных матриц G, устойчивых при действии автоморфизмов группы Галуа, в -нильпотентных расширениях ' некоторых р-круговых полей. Доказывается следующий результат:

Пусть Р=0(5), 1~2, 3 или 4 и Е —р-расширение ноля Р с группой Галуа Г, где р — простой делитель t, £ — примитивный корень степени t из 1. Пусть G с GLn(Os) конечная Г-устойчхшая р-группа.

Првдлоненяе 7.2.

При сформированных предположениях GcGLn(op) или Е содержит примитивный корэш» 5' степени pt из 1.

3 § 7, II рассматривается конечные абелевы группы G экспоненты р с Г-действием. При етом коэффициенты G допускаются в расширении Е/Р с произвольной группой Галуа Г. Вводится система линейных уравнений, в терминах решений которой мокно охарактеризовать указанные группы G. В §7,111 при помощи втой системы уравнений получен критерий реализуемости конечных линейных групп, устойчивых относительно действия Галуа Г, в качестве целочисленных

Г-устойчивых групп .

» I I

Пусть 0Е , Ор , — иолулокалыше кольца, полученные локализацией максимальных порядков <3., и О^

нормальных над ¥ числовых полей Г с Е с Ъ соответственно, относительно конечного ынояоства простых идеалов

соответствующего кольца,содержащего все разветвленные над Р

*

простые идеалы. Пусть .....— базис кольца 0£ над

Ор, Ъ — дискриминант отого базиса. Если ^ — матрица простого порядка р, которая кресте со своими сопрязаннши g7,y<;Г при действии группы автоморфизмов Г={ поля Е над Р пороадает конечную группу 0 окспонепти р.

Положим Ь=Е(5г55, .где ^ .....— все

собственные знвчения матрицы ¿, и рассмотрим некоторое продолжение автоморфизмов о^ па поле Ъ, сохраняя для о{ прежние обозначения.Для подходящего набора из t собственных значений ^• .зависящего от примитивных идешотейгов алгебры ЕС,имеет место следующее утверждение: Предложение 7.6.

Пусть С — конечная Г - 'устойчивая абелева подгруппа бЬ (Е) експоненты р, порозденная матрицами е'которая неприводима при сопряжении в СЬ (Р). Группа 0 монет быть

«э 1

сопряжена в ОЬ^Ш с подгруппой йЬП(С»Б) тогда и только тогда, когда все определители

Ле1

V

14. "к-1*1

лРлГ

. .V!

> ¿2 <2 ¿2 — к-1

' «ар г91 я*

"о

••V

ч

делятся на V Б а кольце С^.

Показано, как полученный критерий применяете;! дли решения проблемы Юшкнш в случаях абеожчнш расширыша числовых полей, не содержащих нетривиальны! корней ни 1 разветвленных в нечетных простых р , а также при р-2. Ь результате получена теорема 7.7, позволяющая дьть полоаителышй ответ на вопрос Китаоки в случае ибсоддаш* рпипирвний числовых полей, в которых на ветвление в р--2 иавогснн определенные ограничения: Теоргма 7.7.

1} Пус.'ь К — коаэчнсб расширение Галуа ноля рациона шшг члсол О, доскришшзпт которого не долится на 2. о9 -»гаксш'альшй порядок в К, С г- конечная подгруппа 01... и^), уотсФкгоал относительно естественного действия автамф»гдюг, из группы Галуа Г поля К. Если С содержит матрицы, на ыи, коефйщиенты которых принадлежат кольцу I, то К содержит отличпий от ±1 мораль из 1.

2) Пусть К — ноле, получетов присоединим: к О ¡т'ричних. :?СЕ-ф;>:цггентсв вгег иетргш й с П, г^е 0 — группа,

угог-лстрсрлгщвя гслсглг,:; 1)- "лсгп'лш'нэн? ш:лн К

нсжет бчть четш, но долится хотя бы на одно нечетное ■тгоотоо число. Тогда К содержит отличный от + 1 корень из 1. 3) Пусть СсОЬп(Ок) — конечная Г-устойчивая подгруппа, где К — нормальное поле с группой Галуа Г, полученное присоединением к О всех матричных коэффициентов матриц из .С. Пусть простые числа р#2 неразветвлены в К, К*© и в Нега^Од), С0сН — естественный гомоморфизм и подгруппа, определенные в лемме 4.0, и пусть с0 — примитивный центральный пдемпотент алгебры Кв^. Допустим, выполнено одно из следующих условий:

(1) Для любого е0 € КС^ 2е0 принадлежит полной матричной алгебре Ми(Ой) над кольцом нормирования разветвленного простого идеала $> кольца хотя бы для одного р.

(2) 1-я группа ветвления Х{(т>) идеала р. отлична от единичной группы при 1,равном индексу ветвления е идеала

(3) существует четное число, 1 , для которого груша

Тогда поле К содержит 1=^.

.Условие (2) означает, что 1 принимает максимальное допустимое значение 1=е=—при р=2 . Это условие является частным случаем условия (З).поскол^у ветвление в поле К всегда дикое и е — четное число. Бартельс доказал утверждение,аналогичное теореме 7.7,3) при условии (2) для случал вполне вещественных абелевых расширений К/В .

Работы автора по теме диссертации.

1.Малшин Д. А. О целочисленных представлениях р-х-рупл под локальными полями // ДАН СССР. 1989. Т. 309. К 5. 0. 1060—1063.

2. Малинин Д.А. О задаче Бартельса-Китаоки // дан ссср. 1990. Т.315. N 2. С. 299-302.

3. Малинин Д.А.. Диагонализируемость нильпотентных групп над кольцами'// Международная математическая конференция, посвященная 200-летию со дня роадения Н.И. Лобачевского (4—8 дек. 1992), Тезисы докладов. Часть 1. — Минск. 1993. С. 19.

4. Halinln D.A. Isometrics of positive definite quadratic lattloes // ISLO• Hathematical College Works. Abstraota. Lie lobaoheyeky Colloquium. Tartu. Ootober 26—30. — Tartu. 1992. P. 21—22.

5. Malinln D.A. Integral representations oi p-groupa and Heraitlan iorrcs // ISIO liathematioal College Works. Abstracts. Lie-LobaohevBky Colloquium. Tartu. October 26—30. — Tartu. 1992. P. 22—23.

6. Малинин Д.A. О целочисленных представлениях конечных .нильпотентных групп // Вестник Белорусского государственного ун-та. Серия 1. 1993, N 1. С. 27--29.

Малинин Д.А. Конечные линейные группы о действием Галуа // Третья международная конференция по алгебре. 23—28

чш-уста 1993 г. Сборник тезисов. — Красноярск. 1993. 0.

?? 1. '

Подписано к печати 22.-М. 91<. Формат 60 х 84 1/16 . Запоя Усл. печ. л. Тирг-к {90 Отпечатано на ротапринте из-

дательства "Еолорускжт о.щиклопедия" имени Пет'руся Бровки /г. Мпаск, ул. ".Скормим,. 1о-А/ „ '