Модули без кручения над полупервичными кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ .2>

§ I. Полусовершенные , полупервичные и полуцепные кольца . • &

§ 2. Колчан полусовершенного кольца . 15"

ГЛАВА П. ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ НЕТЕРОВЫ КОЛЬЦА, КАЖДЫЙ ПРАВЫЙ ИДЕАЛ КОТОРЫХ ИМЕЕТ ДВЕ ОБРАЗУЮЩИЕ

§ 3. Колчан полупервичного кольца .,,.

§ 4-. Строение полупервичных полусовершенных нетеро-вых колец, каждый правый идеал которых имеет две образующие .2%

ГЛАВА Ш. МОДУЛИ БЕЗ КРУЧЕНИЯ НАД ПОЛУПЕРВИЧНЫМИ КОЛЬЦАМИ.

§ 5. Вычисление модулей.

§ 6. Модули без кручения над первичными кольцами.

§ 7. Модули без кручения над полупервичными кольцами.

Ли тера тура.

Важную роль при изучении различных классов колец играет изучение модулей над ними (под кольцом в настоящей работе понимается ассоциативное кольцо с единицей , а под модулем, если не оговорено противное , унитарный правый модуль). Одним из естествен -но возникающих классов колец такого типа является класс полупростых артиновых колец. Эти кольца в силу теоремы Веддербарна-Арти-на характеризуются тем , что над ними все модули полупростые.

Введенные Кете однорядные артиновые кольца [2б]характеризуются тем , что над ними все модули разлагаются в прямую сумму однорядных модулей , т.е. модулей , обладающих единственным композиционным рядом , все факторы которого изоморфны между собой.

Согласно [l7] модуль называется цепным, если структура его подмодулей линейно упорядочена. Прямая сумма цепных модулей на -зывается полуцепным модулем. Говорят , что кольцо - полуцепное справа (слева) , если оно является полуцепным правым (левым) модулем над собой [l7j . Полуцепное кольцо - это полуцепное справа и слева кольцо.

Накаяма [29] показал , что над полуцепным артиновым кольцом все модули полуцепные. Л.А. Скорняковым доказано , что и наоборот , если над кольцом все модули полуцепные , то это артиново полуцепное кольцо [17].

Отметим также , что Ю.А. Дрозд 8 и Уорфилд [зо] независимо показали , что кольцо является полуцепным тогда и только тогда , когда над этим кольцом все конечнопредставимые модули полуцепные.

Часто при рассмотрении модулей над кольцом изучаются не все модули , а некоторые конкретные классы модулей (например, модули без кручения). Так при описании целочисленных представ лений колец возникают так называемые модули представлений или, что то же, модули без кручения в смысле Басса [22] . Многие работы посвящены изучению целочисленных порядков,, неразложимые модули представлений над которыми изоморфны правым идеалам порядка. Эта тематика ведет начало от работы Басса [21] , в которой рассматриваются модули без кручения над коммутативной об -ластью целостности , каждый идеал которой имеет две образующие. В работе [15] результат Басса перенесен на случай модулей представлений некоммутативных порядков. З.й. Боревич и Д.К. Фаддеев [i],[2] рассмотрели представления порядков с циклическим индексом. Этот класс порядков совпадает с классом порядков , рассмотренных в [26] .В работе [9] вводится класс бассовых порядков, содержащий, в частности , все наследственные порядки и порядки, каждый правый идеал которых имеет две образующие и показано , что над такими порядками все неразложимые модули представлений изоморфны правым идеалам порядка. В той же статье получено описание бассовых порядков над полным локальным дедекиндовым кольцом. В работе [9] показано , что всякий бассов порядок над полным локальным дедекиндовым кольцом эквивалентен в смысле Мо -риты прямому произведению наследственного порядка и порядка , каждый идеал которого имеет две образующие.

Как следует из [16] порядки над полным локальным дедекиндовым кольцом являются полусовершенными кольцами. Кроме этого, с точки зрения общей теории колец , целочисленные порядки являются полупервичными нетеровыми с двух сторон кольцами.

Целью настоящей работы является изучение нетеровых с двух сторон полусовершенных полупервичных колец , каждый правый (левый) идеал которых имеет две образующие и модулей без кручения в смысле Басса над нетеровыми полусовершенными полупер яичными кольцами размерности Крулля I, у которых каждый правый и каждый левый идеал имеет две образующие.

При описании этих колец используются понятие колчана (или схемы) полусовершеиного кольца , введенного в [ю] , которое обобщает понятие колчана Габриеля конечномерной алгебры над полем [24].

При изучении модулей представлений над порядками в упомя -нутых выше работах существенно используется специфика теории целочисленных представлений.

В настоящей работе для описания модулей без кручения в смысле Басса используется вложение такого модуля в полупростой мо -дуль над кольцом частных полупервичного нетерова с двух сторон кольца. Применяя затем автоморфизмы этого полупростого модуля и проективного накрытия модуля без кручения , задачу описания конечнопорожденных модулей без кручения сводим к задаче приве -дения матриц элементарными преобразованиями над вполне опреде -ленными кольцами.

Перейдем к изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из введения , трех глав и семи параграфов. В первой главе приводятся необходимые сведения о полусовершенных коль -цах , в частности , приводится понятие колчана полусовершенного кольца и доказывается теорема, характеризующая разложение нетерова с двух сторон кольца в прямое произведение колец в терми -нах его колчана [il]. Вторая глава посвящена описанию нетеровых полупервичных полусовершенных колец , каждый правый идеал имеет две образующие. Обозначим через fir(J)(/ир(УУ) минимальное число образующих правого (левого) идеала J кольца А и положим ju*rU<)^max /игМ) (flfd) = max pLg(J))

1. Боревич З.И., Фаддеев Д.К. Представления порядков с циклическим индексом. - Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, т.80 (1965), с. 51 - 65.

2. Боревич З.И., Фаддеев Д.К, Замечание о порядках с циклическим индексом. ДАН СССР, 1965, 164, № 4, 727-728,1

3. Данлыев X. 0 полупервичных кольцах, каждый правый идеал которых имеет две образующих. -Ш Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. Тарту, 1976, с.35 36.

4. Данлыев X. 0 модулях без кручения над полупервичными кольцами ХУП Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений, ч.2., с.154, Минск, 1983.

5. Данлыев X. 0 полупервичных полусовершенных кольцах, каждый правый идеал которых имеет две образующие. УМЖ, т.35, №5(1983), с.563 - 567.

6. Данлыев X. 0 модулях без кручения над полупервичными кольцами. Киев, Ин-т матем-ки АН УССР. Препринт 83.31 (1983), 30 с.

7. Ж.Дискмье. Универсальные обертывающие алгебры, М., "Мир", 1978, 407 с.

8. Дрозд Ю.А. Об обобщенно однорядных кольцах. Матем. заметки т.18, №5 (1975), с.705 - 710.

9. Дрозд Ю.А., Кириченко В.В., Ройтер А.В. 0 наследственных и бассовых порядках. Изв. АН СССР. Серия матем., т.31, №6 (1967), с.1415 - 1436.

10. Кириченко В.В. Обобщенно однорядные кольца. Мат. сборник АН СССР, 1976, т.99, №4, с.559 - 581.

11. Кириченко В.В. Кольца и модули. Учебное пособие. Киев. КГУ. 1981, 63 с.

12. Ламбек И. Кольца и модули. М., "Мир", 1971

13. Назарова Л.А., Ройтер А.В. Конечнопорожденные модули над диадой двух локальных дедекиндовых колец и конечные группы, обладающие абелевым нормальным делителем индекса р. Изв. АН СССР, серия матем., т.33, №1 (1969), с.65 - 89.

14. Назарова Л.А., Ройтер А.В. Представления частично урорядо-ченных множеств. Зап. науч. семинаров ЛОМИ, т.28 (1972), с.5-31

15. Ройтер А.В. Аналог одной теоремы Басса для модулей представлений некоммутативных порядков. ДАН СССР, 168 (1966), с. 1261 -1264.

16. Ройтер А.В. Делимость в категории представлений над полным локальным дедекиндовым кольцом. УЖ, т. 17, №4 (1965), с. 124 -129.

17. Скорняков Л.А. Когда все модули полуцепные. Матем. заметки, т.5, (1969), с.173 182.

18. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. М., "Мир", т.1, 1977 (688 е.).

19. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М., "Мир", 1972.20. 'йш-бстЛЬг М. Jfa cfrsneair'cn о/ moc&c&i tzsic? Ш. / У Г/95$1 p.67-77

20. Л<Ш. И. $Ьг&?'огь ^ize twcP тос£гс£е4.Jiasi*. -tZm&L. ГПоХА JoGf&SL, a/? 2 C9S2),319.327.

21. Лещ M Pcacyfcz Ф'/тгшёсегъ шгсГ Лото€ср'са£cf п^гщ Уъяуг*

22. Яаы rt On -t&e c^a-u/'ty qf ^ог&п^Гесп temperPIcOA. g., <?2 CS963)/<?~ f724. f. MaStieP Mfwwt&ffaxeWcmcm//?fcu /fia&i.; £ f/pz?), 7/-/05.