Асимптотические инварианты гладких многообразий и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РССГ^Й^АЯ г — .------

^•¿ШскЬюШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.Б.ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 514.77 : УДК 515.164

БАБЕНКО ИВАН КОНСТАНТИНОВИЧ

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

( 01.01.04 - геометрия и топология )

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 1992

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета по математике № 2 ( Д.053.05.05 ) при Московском государственном университете имени М.Б.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, ГСП, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этаж ).

профессор Ю.Г.Борисович,

доктор физико-математических наук,

профессор Ю.Д.Бураго,

доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник

М.А.Штанько.

Ведущая организация - Институт математики

Сибирского отделения РАН.

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь

специализированного совета

Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук В.Н.ЧУБАРИКОВ

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. За последние 25 лет изучение вопросов асимптотического поведения различных алгебраических и топологических инвариантов оформилось в самостоятельную науку, которая, возможно, не очень точно стала называться асимптотической алгеброй. Можно сказать, что асимптотическая алгебра изучает поведение размерностей градуированных алгебр, чисел Бе.тти локальных колец и СМ/ -комплексов, рангов гомотопических групп и т.д. в зависимости от номера градуировки или размерности группы.

Наиболее бурное развитие асимптотической алгебры пришлось на минувшее десятилетие. В начале восьмидесятых был получен отрицательный ответ на ряд старых вопросов - проблем Серра, Серра-Капланского, Кострикина-Шафаревича, Говорова, Милнора и некоторых других. Примечательно, что эти проблемы бющ решены практически одновременно ( мевду ними оказались глубокие взаимосвязи ) и отрицательно. Можно с уверенностью сказать, что в последнее десятилетие интерес к асимптотическим проблемам в алгебре, топологии и геометрии существенно возрос, и наиболее отчетливо это видно на примере выделения асимптотической алгебры в самостоятельную ветвь алгебры.

В геометрии асимптотические тенденции ясно прослеживаются на примере эволюции вопроса о числе замкнутых геодезических на рималовом многообразии. Классическая задача геометрии - существование замкнутых геодезических на замкнутом римано-вом многообразии (А1 - восходит к работам Адамара,

Пуанкаре и Бирнгофа и имеет почти столетнюю историю. Первоначально этот вопрос звучал так: " На любом ли замкнутом

ршановом многообразии (А) существует нетривиаль-

ная замкнутая геодезическая? Каково наименьшее гарантированное число геометрически различных замкнутых геодезических существует на ?"

В таком виде вопрос о замкнутых геодезических существовал до середины 60-х годов, точнее,до появления работы Гро-молла и Мейера ^, в которой были сформулированы топологические условия, выделяющие достаточно широкий класс многообразий, имеющих в любой метрике бесконечно много замкнутых-геометрически различных геодезических. Небольшой недостаток этих условий заключался в их труднопроверяемос'ти, но восемь лет спустя он был преодолен ( хотя и с некоторой потерей общности ) Сулливаном и Випо. С публикацией работы Громолла и Мейера вопрос о замкнутых геодезических трансформировался следующим образом: " Всегда ли на замкнутом многообразии ( в метрике общего положения ) существует бесконечно много замкнутых геодезических? " Длительными усилиями ряда авторов на этот вопрос был наконец получен положительный ответ. Окончательный результат, видимо, принадлежит Радемахеру '.

В начале 80-х, еще задолго до того, как был найден ответ на последний вопрос, постановка задачи изменилась в очередной раз: " Пусть даже на многообразии много замкнутых геодезических, но насколько их там много ?" Примеры показывают , что

1) Cromoll D. ,1'еуег \7. Periodic geodesies on compact Tliemami-isn manifolds, J.Diff.Gaom. 1969,V.3, « 3, ^.433-510

2) Podendher 21. B. On the averace indecec of closed suodesicp.

J.Oiff.Geon. 1989,V.29, Л I, ?.63-33

на многообразиях может быть "по-разному" бесконечно много замкнутых геодезических в зависимости от топологии многообразия. Более формально этот вопрос можно сформулировать следующим образом. Пусть - число ( возможно

равное бесконечности ) замкнутых геодезических длины не более Ь . Как ведет себя эта функция Ь ? , точнее, какие нижние универсальные асимптотические оценки, зависящие от топологии ( а возможно и от геометрии ) Л/ можно найти для этой функции ? Проблема изучения функции и представляет собой современное состояние проблемы замкнутых геодезических.

На протяжении всей своей истории проблема замкнутых геодезических была и остается "полигоном" для создания и применения новых методов топологии и вариационного исчисления в целом. Так и для данной работы изучение функции .

которая рассматривается в третьей главе, было лишь одним из побудительных мотивов определения новых гомотопических инвариантов неодносвязннх многообразий. Изучение топологии неод-носвязннх многообразий имеет длинную историю, продвинутые результаты , и врядли актуальность этой проблематики подлежит сомнению. Появление новых результатов в этом направлении всегда вызывало внимание и интерес.

Цель работы: определение абсолютных асимптотических объемов гладких многообразий и доказательство их гомотопической инвариантности, исследование свойств этих инвариантов; детальное изучение одного из видов абсолютных объемов - так называемого абсолютного гомологического объема, исследование связей этого инварианта с введенными в работе гомологическими инвариантами многообразия - алгебраическим объемом и алгебраической массой, которые определяются по кольцу

целочисленных когомологии; изучение связей абсолютных асимптотических объемов с-некоторыми проблемами "геометрии в,целом", в частности, изучение связей абсолютного гомологического объема с систолическими константами многообразия и с асимптотическими оценками числа замкнутых геодезических на многообразии; вычисление некоторых абсолютных асимптотических объемов для двумерных многообразий.

Общая методика работы. Разработанные в диссертации методы можно классифицировать как методы асимптотической геометрии. Это направление современной геометрии начало формироваться в последние годы и находится в стадии становления. Работу отличает использование синтетических методов, сочетающих в себе.технику алгебраической топологии и геометрии выпуклых тел с одной стороны и методы теории чисел с другой.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. В диссертации развивается теория новых гомотопических инвариантов гладких многообразий, названных абсолютными асиштотическиш объемами многообразия. Изучаются связи таких инвариантов с другими гомотопическими инвариантами многообразий. В диссертации также доказана гомотопическая инвариантность систолических констант и изучены их связь с абсолютным гомологическим объемом. Построенная теория применяется , в частности, к классическому вопросу о числе -замкнутых геодезических на многообразии. В этом направлении получены универсальные асимптотические оценки числа замкнутых геодезических, старший член которых зависит только от топологии многообразия и его объема. Описан большой запас многообразий, имеющих положительные абсолютные асимптотические объемы.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Конструкции, результаты и методы настоящей работы могут найти применение в топологии неодносвязных многообразий и различных вопросах "геометрии в целом".

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах по топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ, на семинарах по геометрии и топологии в ЛОМИ АН СССР, на .геометрическом семинаре Института математики СО АН СССР, на семинарах по геометрии и топологии Пенсильванского ( Шиверсити Парк ) и Нью-Йоркского ( Стони Брук ) университетов, на Ломоносовских чтениях в МГУ, на совместных заседаниях общемосковского топологического семинара им. П.С.Александрова и Московского математического общества. По результатам диссертации были сделаны доклады на международных конференциях по алгебре ( Новосибирск,1989 и Барнаул,.1991 ) и на меядународной конференции "Геометрия в целом" ( Обервольфах, 1991 ).

Публикации. Основные результаты.диссертации опубликованы в работах автора [г] - [б] , приведенных в конце автореферата. Все работы выполнены без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых в общей сложности на 14 параграфов, а также из. списка цитированной литературы. Формулы, теоремы и прочее нумеруются в каждой главе отдельно, при ссылках на утверждения и формулы других глав впереди добавляется римский номер главы. Общий объем диссертации 188 страниц. Библиография содержит 50 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЕ

Во введении диссертации обсуждается проблематика работы, и приведен исторический обзор результатов, инициировавших данное исследование.

Первая глава состоит из четырех параграфов. Первый параграф содержит определения роста и сопряженного роста многообразия. Здесь же определяются важные для всей работы понятия порядка и асимптотического показателя функции роста.

Второй параграф посвящен определениям асимптотических объемов гладких многообразий. Пусть ~ Г'И'-ино-

во многообразие и С - нормальная .:одгруг:па

фундаментальной группы многообразия. Рассмотрим накрытие! Л|

6

отвечающее этой подгруппе и поднятие ^ метрики £

на это накрытие. Возьмем некоторую точку О € М и рас-

~ ' Ка

смотрим £ -геодезический шар на /7^. с центром в у и радиуса Ь , который обозначим

и "С- - порядок роста группы » который

в случае полиномиального роста равен степени полиномиальности, а в остальных случаях совпадает с порядком экспоненциальности роста. Введем вспомогательную функцию

X , если имеет полиномиальный рост,

, в противном случае. Определим асимптотический объем (М,^) по подгруппе (у ,

= ^

положив

Этот предел ле зависит от ^ . Наконец, определим абсолютный асимптотический объем Д/ по подгруппе £г как

уо^М-1

В этом же параграфе сформулирован центральный результат первой главы и один из основных результатов работы в целом. Теорема 1.2.2. Для любой нормальной подгруппы абсолютный объем является гомотопическим инвари-

антом многообразия

м .

Имеется два важных случая асимптотических объемов. Первый отвечает единичной подгруппе (у— -[4} и случаю универсального накрытия. Этот объем мы в дальнейшем называем полным абсолютным объемом многообразия и обозначаем

азОЛ) .

Второй отвечает подгруппе (у = ^ЛК. у , где ^

естественное отображение :УС^М)-> Н±(М>

т.е. случаю универсального гомологического накрытия. Этот объём мы обозначаем СОн(М) и называем гомологическим абсолютным объемом многообразия.

Второй параграф посвящен изучению асимптотического объема для равномерных метрик на 2 Метрику мы называем равномерной, если 3 Кг > О такое, что

(<*-+с,4+с)в) и*.

\?(а

при любых С £ Ж .В частности, инвариантная

относительно сдвига метрика является равномерной. В этом параграфе доказано, что для таких метрик существует асимптотический объем, который является константой главного члена асимптотики функции ( дискретного ) объема шара большого

радиуса. Утверждение остается в силе, если допустить, что на действует кристаллографическая группа, и мы рас-

сматриваем ( дискретный ) объем факторпространства. Хотя эти результаты интересны и сами яо себе, но в рамках настоящей работы они носят технический характер и широко используются в глазах II и"III. Следует также отметить, что результаты § 2 не обобщаются на равномерные решетки в нильпо-тентных группах, даже в предположении левой инвариантности метрики. Уже для решеток в нильпотентных группах ступени 2 главный член асимптотики ( дискретного ) объема шара большого радиуса может отсутствовать. Соответствующие примеры обсуждаются в § III Л.

Четвертый параграф посвящен доказательству теоремы 2.2. Заключается этот параграф доказательствами ряда свойств абсолютных объемов, а именно, свойств, описывающих поведение абсолютных объемов при взятии произведения многообразия, а также при отображении одного многообразия в другое и в случае накрытия многообразий. Здесь же доказывается, что если многообразие допускает понижающее размерность отображение в полиэдр, которое при этом индуцирует изоморфизм фундаментальных групп, то все абсолютные асимптотические объемы такого многообразия равны 0 . Это свойство, в частности, показывает, что абсолютные асимптотические объемы не определяются только фундаментальной группой, а зависят от топологии многообразия в целом.

Определения абсолютных асимптотических объемов можно без труда перенести на произвольные компактные полиэдры, рассматривая на них кусочно регулярные метрики. Интересно, что в случае произвольного компактного полиэдра абсолютные асимптотические объемы перестают быть гомотопическими инвариантами. Локальная

однородность пространства ( как в случае многообразий ) играет здесь существенную роль. Примеры гомотопической неинвариантности , которые можно наблвдать уже в размерности I , обсуждаются в начале четвертого параграфа.

Вторая глава посвящена изучению гомологического абсолютного объема гладких многообразий.

В первом параграфе вводится и изучается универсальная константа ZF^ , являющаяся решением экстремальной задачи геометрии выпуклых тел. Кратко эта задача формулируется так: " Какой наименьший объем может иметь выпуклое центрально симметричное тело в JR^. , если любой описанный вокруг него параллелепипед имеет объем не меньше, чем ЗГ" ?" Сюда же относится вопрос об экстремальных телах. В § I излагается полученное автором полное решение этой задачи при in. — Z » для /2-^3 имеются лишь нижние оценки , наиболее

о)

сильные из которых получены недавно А.Пелчинским и С.Сареком ; Введенная константа используется далее в оценках гомологического абсолютного объема.

Второй параграф посвящен определениям и свойствам полных объема и массы поливекторов в линейном пространстве с мерой. Если в ¡[¿. задана мера Хаара, то для любого d в /\к мы определяем его полный объем V^) и полную массу Ш(оС) . Если при этом в ^ задана некоторая целочисленная структура, т.е. определено вложение ZcjT , причем фундаментальный параллелепипед имеет единичный объем, то естественно

определяются целочисленные полные объем и масса V и In. (о(). _________________________ Z

3) Pelczynski А., Szarek S.J. Од the parallelepipeds of minimal volume containing a convex sjrmmetric body* in (Н*"

ITnth.Proc.Camb.Phil.Зое. IyJO M.3 ,P.1-24

В третьем параграфе для ориентируемых многообразий мц определяем их алгебраический объем и массу. Естественное отображение <К^{М)-—определяет отображение в якобиан

где I - отображение гошогий, индуцированное вложением коэффициентов, а

первое число Бетти. Это отображение индуцирует отображение гомологий

и мы полагаем о[ (М)— • Здесь СИ] - фунда-

ментальный класс многообразия, а Иг - его размерность. Применяя к рассматриваемой ситуации конструкции § 2, получим алгебраические объем и массу У(М) ,М.(М) . многообразия

м

. Сходным образом определяются алгебраические объем и масса (М) , М-у (М) по модулю 2 в неори-

Яг

ентируемом случае. Основным результатом второй главы является Теорема 11.3.2. Если Л/ ориентируемое многообразие размерности пь > то имеют место неравенства

^/А?)^ » сон(М)> • % ,

где — Ъ.(М) - первое число Бетти, У/> - объем единичного шара в К. , - универсальная константа, введенная в § I. Если для некоторого многообразия М Уы(М)=0 , то СОН(М) = 0 , где * = 2 дам ориентирумого М и - Для неориентируемого.

Из этой теоремы, в частности, для'двумерных многообразий мы получаем следующие следствия. Если М — - сфера с П- ручками, то

и если

- бутылка Клейна с ft- ручками, то

*>„№£) = о ,п.>0.

Четвертый параграф посвящен изучению полного абсолютного объема многообразий с почти абелевой фундаментальной группой. Как и в случае гомологического абсолютного объема, для таких многообразий можно определить алгебраический объем, который снизу оценивает полный абсолютный объем многообразия. Следует отметить, что для многообразий с почти абелевыми фундаментальными группами полный абсолютный объем более тонкий инвариант, чем гомологический абсолютный объем. Так, для бутылки Клейна CO. (K,Z)-0 , а ¿О (Н,*)—ft .

гУ

Б пятом параграфе рассматриваются различные систолические константы гладкого многообразия, и доказывается их гомотопическая инвариантность. Далее, мы доказываем теорему о систолической мягкости многообразия, которая для ориентируемых многообразий дает обращение известной теоремы Громова о систолической жесткости Более точно, доказывается, что если для естественного отображения fМ—(М), l) ■ • ™ б*(М)=0 .где [М]& - . фундаментальный класс М с коэффициентами в ориентирующем пучке. Точно также, если для ] Д^—> hC (Н±(М',!-) j i) {*([№]&)= о , то 6у(М)=0 . И если для^

i(M)=o , то eQ(M)=GjMha

¿OGroa

ov М. Filling riemannian manifolds» J.Diff.Geom. ISB^ V.I8, 1Г.I , P. 1-14-7

где 1М] - обычный фундаментальный класс г! с коэффициентами в Ж или в зависимости от ориентируемости М В заключении этого параграфа получены нижние оценки средней гомологической систолы ^^(М) - через другие инварианты многообразий. Имеют место неравенства

. т.

Здесь ^ - £/М)

I а , где верх-

няя грань берется по всем отображениям ■ ^ : Д^— индуцирующим эпиморфизм фундаментальных групп, ¿/<2^ абсолютная степень отображения.

к-и-

В шестом параграфе рассматривается связь гомологического

с*

абсолютного объема сфер с ручками оЛ и площади минимально-

£ _ _______ п-лл,

'п.

'п.

го погружения в свой якобиан Т , где минимум

площадей вычисляется на гомотопическом классе естественного вложения. Если 'Т)^ - нижняя грань площадей таких погружений, то имеет место неравенство

чЖ)

Третья глава диссертации состоит из четырех параграфов и посвящена применениям асимптотических объемов и функций сопряженного роста. В первом параграфе изучается геометрия группы Гейзенберга с точки зрения асимптотических объемов. Среди левоинвариантных метрик на группах Гейзенберга V)

ч/га-

1 имеются две выделенные метрики, это дифференциальногеометри-

ческая метрика р и так называемая метрика Карно-

J9-r- О

Каратеодори р . Обозначим х (к) - равномерную

л J К <7 (t

решетку в Щ , являющуюся прямым обобщением равномерных

ù С/ъ- р

решеток j (К) в трехмерной группе Гейзенберга 7л

Дискретный объем ( т.е. число точек решетки ) 1

шара с центром в е б > (и) и р - радиуса t ведет

себя как ^ с . Причем, если есть г.

или к , то существует главный член асимптотики. В первом

параграфе показано, что в классе левоинвариантных метрик на

существует сколь угодно малое возмущение J^ ( или

J> г ) такое, что для возмущенной метрики наблвдается ос- ■

цилляция главного члена функции объема. В работе построена

двупараметрическая деформация метрики р ( f ), состоял К J

ящая из осциллирующих метрик.

Существование таких метрик показывает, что асимптотическая геометрия нильпотентных решеток ( даже в случае трансля-ционно инвариантных метрик ) может сильно отличаться от асимптотической геометрии абелевых решеток, и, в частности, что теорема I.3.I не может быть обобщена на нильпотентные решетки..

Во втором параграфе изучается сопряженный рост дискретных групп Гейзенберга ^fxj . Для этих групп функцию сопряженного роста | J J-^W > f)j . где j>

некоторая левоинвариантная метрика, удается исследовать не с точки зрения грубой эквивалентности, какой является рост, а выделить главный член асимптотики. Коэффициент в этом члене является некоторым асимптотическим объемом. Интересно, что асимптотическое поведение функции Jfl (£■', , f)l свя-

зано с асимптотическим поведением одной числовой суммы. Для

, OJ — O

обозначим (и)) наибольший общий делитель модулей координат этого вектора. Тогда интересующая нас числовая сумма

будет И си) , где \/(£) - семейство областей, £06

расширяющихся асимптотически по линейному закону. Второй параграф можно рассматривать как технический, он содержит результаты, используемые в следующем параграфе для оценок функции числа замкнутых геодезических.

Пусть >А/(¿^ М - функция, равная числу замкну-

тых геодезических длины не более . Ь на римановом многообразии (М,$>) • Третий параграф посвящен нижним асимптотическим оценкам этой функции для многообразий с почти абелевы-ми фундаментальными группами и для трехмерных многообразий полиномиального роста. Для этих целей мы используем технические результаты §§ 1.3 и III.2, а также результаты главы II. Очевидную оценку снизу для -Мдает функция сопряженного роста I |~| ({, ^ М, |

Теорема III.3.4. Пусть М^ - трехмерное многообразие полиномиального роста с римановой метрикой ^ . Тогда существует предел

Если — О , то существуют ( конечные ) пределы

о: С»)

причем, если ТйХМ) допускает эффек-к 1 - ■•

тивное расширение, то , и сущест-

вует предел

¿-»ео

Если Г}^ = О , то существует предел

причем О5ф.) = 0 тогда и только тогда, когда )

конечна.

В заключительном четвертом параграфе даны вычисления полного абсолютного объема для любого двумерного многообразия. Эти вычисления могут быть сведены в формулу

Г Ч* >°

' , % < о

где £ = ¿(Л1*) - эйлерова характеристика. При этом оказывается, что в случае # ^ О экстремальные метрики есть в точности метрики постоянной кривизны.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Бабенко И.К. Проблемы роста и рациональности в алгебре и топологии // УМН, 1986.- Т. 41, вып. 2.- С. 95-142.

2. Бабенко И.К. Замкнутые геодезические, асимптотический объем и характеристики группового роста // Известия АН СССР, сер. мат., 1988.- Т. 52, № 4.- С. 675-711.

3. Бабенко И.К. Асимптотический объем торов и геометрия выпуклых тел // Матем. заметки, 1988.- Т. 44, № 2,- С.177-190.

4. Бабенко И.К. Объемная жесткость двумерных многообразий // Матем. заметки,' 1990.- Т. 48, й I.- С. 10-14.

5. Бабенко И.К. Асимптотические инварианты гладких многообразий // Известия АН СССР, сер. мат., 1992.- Т. 56 , № 4.-&ЯОТ