Дифференциальные инварианты расслоения римановых многообразий со связностями и их симметрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РГ6 од

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА 2 I НИШ а,ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

'ЩДЛ'ГОТИЧЕСКПП ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

На правах рукописи

КУЗЛКОНЬ Виктор Михаилович

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ РАССЛОЕНИЙ РОМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИИ СО СВЯЗНОСТЯМИ II ИХ СИММЕТРИИ

01.01.04 — геометрии II топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена на кафедре высшей математики Одесского технологического института пищевой промышленности им. М. В. Ломоносова.

Научный р у к о в о д и т е л ь:

доктор физико-математических наух;, профессор РАХУЛЛ М. О.

О ф и ц п а л ь н ы е оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор КИРИЧЕНКО В. Ф.,

доктор физико-математических наук, профессор ЛЫЧАГИН В. В.

Ведущая организация: Московский государственный университет ИМ. М. В, Ломоппг.гтп

на заседании специализированного совета И UbS.Ul.UZ по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук и Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина но адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета по адресу: 119882, Москва, М. Пироговская ул., 1.

Защита состоится «

час.

Автореферат разослан «

Ученый секр

визированного совета, доцент КАРАСЕВ Г. А.

Основная задача дифференциальной геометрии состоит в нахождении и описании дифференциальных инвариантов геометрических структур. Необходимым аппаратом- здесь является исчисление струй. Понятие струи (даета) было формализовано Ш.Эрсманом. Это понятие интенсивно использовалось в теории геометрических структур высшего порядка (В.В.Вагнер, Г.Ф.Лаптев, Л.Е.Евтушек, М.О.Рахула), а в последнее время в теории особенностей гладких отображений (М.Голубицкий, В.Гийешш) и геометрической теории нелинейных дифференциальных уравнений (А.М.Виноградов, В.В.Лычагпн, 1£.По-маре).

Понятие дифференциального инварианта псевдогруппы было введено Софусом Ли в конце прошлого века. В неявной форме это понятие использовалось в большинстве работ по дифференциальной геометрии и дифференциальным уравнениям, В настоящее время интерес п дифференциальным инвариантам особенно возроо в связи с их использованием в квантовой теории поля (Е.Ваттен), в проблемах геометрического квантования(В.В.Лнчагин) я в теории нелинейных дифференциальных уравнений (А.М.Виноградов, В.В.Лычагин, Л.В.Овсянников),

Целью работы является построение тензорных инвариантов расслоений со связности, нахождение алгебры дифференциальных инвариантов расолоешй локально-евклидовых многообразий и их геометрическая интерпретация, полное описание алгебры Ли контактных симметрий дифференциальных инвариантов второго порядка для многообразий малых размерностей.

Научная новизна и основные задачи,„решенные.в диссертации И выносимые на защиту. В данной работе:

1) разрабатываются и сравнивается различные методики нахождения дифференциальных инвариантов отображений многообразий со связностяыи;

2) разработанные методики применяются для вычисления дифференциальных инвариантов расслоений локально-евклидовых многообразий;

3) найдены тензорные инварианты и дана ах трактовка в случае многообразий малых размерностей; '

4) вычислены размерности алгебр дифференциальных инвариантов произвольного порядка

5) дано явное йоотроенив полной функционально независимой

системы дифференциальных инвариантов 2-го порядка и указан их геометрический смысл;

6) вычислена полная алгебра Ли контактных симметрии дифференциальных инвариантов второго порядка для локально-евклидовых многообразий малых размерностей.

Теоретическое значение. Результаты работы люгут быть использованы в дифференциальной геометрии при исследовании геометрических структур и дифференциальных инвариантов, а также в теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными и математической физике.

Методика_исследовштй, Работа носпт теоретический характер. В работе использованы методы теории связностей в расслоенных пространствах, геометрии пространств струй, контактной геометрии и теории псевдогрупп.

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере получения докладывались и оСсуядалпсь на;

3) семинаре кафедры геометрии Киевского государственного университета (1978);

2) УП-ЗХ Всесоюзных конференциях во современным проблемам геометрик (Минск, 1979 г., Одесса, 1384 г., Кишинев, 1988 г.);

3) конференция по теоретическим и прикладным вопросам математики (Тарту, 1080 г.);

4} семинаре кафедри геошгргй и токология Одесского государственного университета (1<Ж г.);

5> научно-иселедовамльеком ссагащре по классической дифференциальной геометрий в ИГУ код рукожздетЕСУ проф. А.М.Васильева (1982 г.); '

6> 4 и 5-ой Ееесошшх Екояах-скззягрзх по дифферендаально-геометрическик кетода« в пелипеКгшх вроЗяешх фнэпки в механики (Одесса, 1990, 1591 гг,)$

7) Республиканской ваучно-мвтодйческоЕ конференции, посвященной 200-летию НД,ЛЬбачевского (Одесса, 1992 г.);

8} научном семинаре кафедрк тесиэтряи Московского государственного педагогического укягорситсга под руководством проф. В.Ф.Кириченко (1992 г,);

9) заседаниях геометрического семинара л научных конференциях Одесского технологического института пищевой промышленности (1976-1992 гг.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 ' работ, из них работы [ 2-9 ] выполнены самостоятельно, работа [1] в соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на десять параграфов со сквозной нумерацией, списка литературы и изложена на 137 страницах машинописного текста, Список цитируемой литературы содержит 60 наименований отечественной и зарубежной литературы.

Краткое содержание диссертации. Первая глава посвящена об-суздению понятия инварианта геометрической структуры. Определяется понятие относительной ковариантной производной пар отображений, объединяемых субмерсией о инфинитезимальной связностью в коммутативную диаграмму, Относительная ковариантная производная используется затем для определения тензорных инвариантов высших порядков отображений многообразий со связностями.

В вводится общее понятие инварианта геометрической структуры. Общность этого подхода позволяет любое гладкое отображение рассматривать как некоторую геометрическую структуру. Инварианты этой геометрической структуры мы будем называть инвариантами рассматриваемого гладкого отображения. Приведем основные определения.

Пусть Я - гладкое многообразие и ^ - множество всех геометрических структур рассматриваемого типа на многооб-

разии М , Группа £ диффеоморфизмов многообразия /V} действует на ¿¡^ :

4: Ал—- : V г— д-* т

где Л / - прямой образ структуры / относительно диффеоморфизма .

Определение 1. Пусть гЛ : X-М - естественное расслоение. Будем называть X - инвариантом (или просто инвариантом) структуры типа на Д/ любое аквивариантное отображение /" —'~/м(Х)* т»в» такое, что дтаурамма р ш

коммутативна. Здесь Гм (X) - множество сечений расслоения X.

Приведенное определение обобщает определение инвариантов, • кроме того, оно ближе к новейшим категории исследованиям. В смысле этого определения внешний дифференциал ^ является инвариантом гладкого многообразия, а тензор кривизны М - инвариантом римановой метрики.

Мы называем X - инвариант тензорным, если расслоение «5Г: X-""" М является векторным, так как X обычно оказывается тензорным произведением других естественных векторных расслоений.

Для определения инвариантов гладкого отображения </■' —N мы рассматриваем многообразие X Д/ с группой диффеоморфизмов &м,И=См х Сл/ и расслоение X-М * »естественное относительно этой группы. Пусть - множество гладких отображений из М в Д/ (т.е. это множество всех интересующих нас геометрических структур на многообразии МХМ ). тогда - действует на ^ : \/(0)€&м>ц

Определение 2. Будем называть X - инвариантом отображе-ния/б^ д, любое - отображение —

для которого следующая диаграмма

от Я

■ТкИ.

коммутативна ^м>ы •

Ясно, что изучение / - инвариантов во многом определяется многообразием Л' и чем, грубо говоря, многообразие X меньше, тем богаче соответствующая теория инвариантов. Нашей задачей является разработка методов, позволяющих редуцировать слишком большое многообразие К - струй Х~ $К(\Л, М) к некоторому тензорному расслоению, используя дополнительные структуры на М и /V . Оказывается, что наличие связностей дает . возможность построить тензорные инварианты отображений.

Обычного определения коварпантной производной сечений векторного расслоения нам недостаточно, так как расслоение

Я"-.3*1ню—

не является линейным и, кроме того, мы хотим ковариантно дифференцировать не только сечения, но и более общие отображения в пространство расслоения. Поэтому в & 2 мы определяем и изучаем относительные ковариантные производные пар отображений, объединяемых в коммутивную диаграмму вместе с субмерсией с иншинитези-мальной оВязностыо, Основная конструкция такова: для любой коммутативной диаграммы £

5

_ В

где & - субмерсия со связностью, М - произвольное многообразие, ¿и Ъо - гладкие отображения, определено сечение V (Б/5„) векторного расслоения

7*МЯ5*{УЕ)-

которое мы называем относительной ковариантной производной,

В 3 приводятся нужные для дальнейшего свойства расслоения струй и изучается структура аффинного пространства на слоях расслоения

Э Ш)—'шл (1)

Теорема 1. Каноническая проекция (1) имеет естественную отруктуру аффинного расслоения, ассоциированного с векторным расслоением

где - каноническая проекция,

- проекции произведения М X N на М и N соответственно, $ М - К -ая симметрическая тензорная степень кокасательного расслоения Т*М .

Езли теперь на аффинном расслоении (1) имеется связность, то можно построить следующие тензорные инварианты отображения

¿••м—-А/. А,

Определение 3. Пусть • г!""—/V - гладкое отображение, ' инвариантом порядка К будем называть относительную ко-вариантнув производную сечения.

ГШ)

ГШ)

Из приведенной вше теоремы следует, что ¿Г является о М - значной 1-формой на М .

Во второй главе изучается структура расслоенного пространства ассоциированного с главным расслоением реперов порядка К со связностью и вычисляются тензорные инварианты отображений многообразий со связностями высшего порядка.

В § 4, который является подготовительным, получены структурные формы расслоения струй.

В £ 5 изложено построение тензорных инвариантов отобраяе-ния многообразий со связностями высшего порядка.

Сначала определяется расслоение связностей порядка К

скт)—

которое является расслоенным йространством, ассоциированным о главным расслоением реперов ( К+-1 )-го порядка

„ Г'М—-м

со слоем

С (К) , снабженным действием дифференциальной группы . Точка в С"(к) задается набором чисел

причем Гц ■ ■ £ симметричны по индексам Ув , а дей-

ствие дифференциальной группы определяется известной формулой

Рассмотрена общая конструкция, позволяющая с помоцьп связности на главном расслоении реперов (К-"/ )-го порядка К М—"— М уменьшать порядок расслоенных пространств , ассоциированных с главным расслоением $к —"""ДО . Сказана следующая

Теорема 2. Пусть £ - расслоенное пространство, ассоциированное с главным рясслоениези -М * и в8

К /м " задака связность (Ь . Тогда на Е существует • каноническая (зависящая только от связности <5 и некоторых построений на типовом слое Р ) структура расслоенного пространства, ассоциированного с главным расслоением М Н . Последовательно применяя этот результат получаем Следствие 3. Пусть Е - расслоенное пространство, ассоциированное с главным расслоением К М---- М • и на

есть связность. Тогда на £ существует каноническая'структура расслоенного пространства, ассоциированного с главным расслоением Ц М—<— реперов первого порядка.

Эта конструкция применяется к расслоению струй 1

3 (М М)-~-Мх1\1' ассоциированному с главным расслоением ' ..

А^М'Л—р^м-^м £>"Л/ А/ А именно, связности на 1ч » • ' I и К /V —/у дают на •

¿}к(М, Ю структуру расслоенного пространства, ассоциированного

С Я М ^ К А/ ♦ а это и есть искомая тензорная структура. Из-за

громоздкости подробное описание тензорной структуры на ¿/"УА^Л/^

не приводится, а вместо этого проводится подробное исследование' •.

случаев К =0,1,2, „ 1

■ Интересно, что получающаяся на ¿7 /1ч, N1 тензорная отрук-'

тура согласована с проекциями ~ • '

й*(М.Н)—-Лкщ,**"-

что позволяет ввести на , •

такую связность, что тензорные инварианты могут быть получены методами 3.

Теорема. 4. Вели в главных расслоениях реперов над .многообразиями М и М заданы связности с компонентами н Г/ „ соответственно, тогда тензорные инварианта иметл гад

'о ^

с" Г А Мг А '

«7 : = Щ5Г ¿ь '

Г* сА -1А +гЛ *

О ' //,4 "У/,^ 'ЬВгЛ,^ ^ <¡.<¿1

[гл ГА ГС-+*ГА Гс 1 £ь<1&2-1йз

■ В третьей главе применяются результаты первых двух глав к исследованию конкретных отображений. Именно, здесь вычисляются (к -значные инварианты (функции) расслоений локально-евклидо-.вых многообразий размерностей 2 и 3. Также обсуждается вопрос выделения базиса инвариантов второго и третьего порядка. Исследуется геометрический смысл найденных инвариантов, приводятся примеры,

В § 6 рассматривается точная последовательность иммерсии ^ и субмерсии у ".

; Уп-^Чт-^У*. "«Я

где размерности рассматриваемых многообразий связаны равенством /71-П + Х , Предполагается, что на многообразиях , ]/т и заданы сишегрические аффинные связности третьего по-

рядка (или связности.в расслоении струй третьего порядка),

В рассмотрениях мы ограничиваемся случаем, когда \Jrri ~ локально-евклидово многообразие. Тогда на ]/т инвариантно можно выбрать нулевую связность и с учетом этого можно выбрать связности на многообразиях и . В этом случае удобно от общих тензорных инвариантов отображений У и ^ (теорема 4) перейти к симметрическим, которые мы обозначим соответственно для иммерсии £ и субмерсии У следующим образом:

Р1 Р1 £1

11> I у> '¿у^/-'-/

Так как эти величины преобразуется по тензорному закону, то возможно применение алгебраических методов для получения /К -

значных инвариантов рассматриваемых отображений. Нас, в основном, будут интересовать инварианты субмерсии У , В этом же параграфе рассматриваются два частных случая:

1) если /2 = 1, то иммерсия ^ определяет погружение кривой в ( /?+■/ ) -мерное многообразие. Используя тензорный закон преобразования инвариантов, получается последовательность вектоРОВ I рТ р[ . •

ч— '« -, Пи

2) если 7. - 1, то иммерсия «/ определяет локальное погружение П. -мерного многообразия в ( /2 + У ) -мерное много-. обраэие, а субмерсия У расслаивает многообразие + < ' н& • однопараметрическое семейство /2 -мерных гиперповерхностей,, одной из которых является образ . Индексы , ¿8 , ,

¡^, ... , принимающие единственное значение, опускаются, ТЬгда, используя тензорных закон преобразования, получается последовательность ковариантных тензоров

^ Фу*..... . (3) '

ЩЩТ

В § 7 рассматривается схема (2) в случае, когда одновременно П. = t=^1 . Здесь главным образом изучается геометрический смысл алгебраических инвариантов первых трех тензоров последовательности (3), а также выясняется их связь с известными инвариантами, Например, известно, что дважды ковариантный тензор из (3) с компонентами (Ф^у ) имеет два инварианта (относительно оргональной группы):

(4)

Рассматриваются матрицы■ вводятся величины

И С(5)

Предложение 5. В обозначениях (5) инварианты (4) имеют следующий вид:

7-Х. -

Предложение_6. Инвариант X, есть кривизна кривой семейства, инвариант Х^ равен квадрату кривизны ортогональной траектории семейства кривых.

В £ 8 последовательность (2) изучается в случае Я а 2, 2 = 1, т.е. изучается расслоение трехмерного пространства на .семейство поверхностей. Рассматриваются матрицы Р-^у) • и вводятся величины

А*ицъ-ьо, С-Н&У-

и О

Находится закон преобразования этих величин. Величины и оказываются соответственно средней и гауссовой

кривизнами поверхности, проходящей через данную точку. Запишем дважды ковариантный тензор из последовательности (3) в виде

Предложение 7. Тензор имеет три ортогональных инва-

рианта

I, - * ФЪн-(АШ-В,

Кроме того, имеется один совместный инвариант тензора <Ф и вектора ^ ; :

се»

и

Инварианты (7) и (8) образуют минимальный полиномиальный базио первых двух тензоров из (3).

Предложение 8. Разность Т/, - Тг равна квадрату кривизны ортогональной траектории семейства поверхностей,

Таким образом, с помощью полученных на»,я тензорных объектов возможно совместное изучение иммерсии л субмерсии по схеме (2), благодаря чему выявляется сйязь геометрических овойотв расслоения (семейства поверхностей) с классической теорией поверхностей.

В главе 17 рассматриваются диф^зреишшьшм инварианты

псевдогруппы £ расслоения ¿Ж '■ -., порожденной •

движениями евклидова-многообразия я парепаратотризация* •

кп многообразия |^ . Алгебра М згой псевдогруппы порождена векторныш поляг.я

" йараялашшв переносы, \ ^¿¿Ш ^ д^г - яраашяя а плоскостях ( £¿,2/ )»•

/гг/АЛ- - •

' ^ - порепарамзтрззашш .

X лт с ■ -

В $9 описаны продоляешот этой псевдогруппы 6 в' расслоение пространств струй (\/п ,]/<) , паГдены размерности орбит и тем самым число функционально незагасшк пясзрзаятов пе вше И -го порядка

V«-С

А число уЦ /К) инвариантов порядка ровно К . ■

*)*№-Р (*-<)* Сл -

Чг^-/

Первые нетривиальные дифференциальные-' инварианты появляются пря

К = 2, В этом случае В работе приведено описание,дифференциальных инвариантов I,,..., Тл.у ..., , образутапих базио пространства инвариантов второго порядка.

Для многообразий малых размерностей показано, что эти ин-

варианты совпадают о инвариантами построенными в гл.Ш,

В заключительном § 10 этой главы мы решаем обратную задачу, А именно, вычиоляеы алгебры контактных симметрий полученных - дифференциальных инвариантов и указываем случаи, когда эти алгебры восстанавливают лащу псевдогруппу G . Так для инвариантов I, , Х2 расслоения --- V< и I* и 1Ч Для

у>-^ показано, что псевдогруппа точечных симметрий

совпадает с псевдогруппой Q , Отметим,"что алгебры контактных симметрий, как правило, шире псевдогруппы Q . Так, например, следующий результат дае^ полное описание производящих функций конта::тшх симметрий дифференциальных инвариантов Ji , в случае двуыерннх евклидовых многообразий.

Теорема 9. Полные алгебры Ли контактных симметрий инвариантов и J2 расслоения ^-— ^ с локальный координатами струи первого порядка (ХиХг, U, Д, Рл ) являются бесконечномерными и поровдаигся векторными полями и Х/л соответственно, с производящая функциями вида

* J . ß . / . м ,н

- произвольные гладкие функции.

Автор внразает глубокую благодарность научному руководителю профессору Майдо Оскаровичу Рахуле sa его внимание к работе.

Публикации по теме диссертации

1. Кузаконь В,Ы,, Рахула М.О, Инварианты расслоения локально-евклидовой поверхности, "Украинский геометрический сборник", 1978, вып. 21, 44-50.

2. Кузаконь В,М,,1нвар1анти с!м"1 поверхонь в евклидовому

• простор!. В1оник Ки1вського ун1верситету. Математика 1 меха-н!ка, вып. 21, Шв, 3979, 58-61,

3. Кузаконь В.М, Метрические инварианты семейства поверхностей. УП Всесоюзная конференция по современным проблемам геометрии, Тезисы докладов, Минск, 1979, 102.

4. Кузакопь В. М. Об инвариантах отображений многообразий со связностянп. Тезисы конференции «Теоретические и прикладные вопросы математики», Тарту, 1980, 67—69.

5. Кузакопь В. М. Тензорные инварианты отображений многообразий со свнзностямп высшего порядка. Одес. техпол. ни-т ппщ. пром-ети. Одеесса, 1982, 25. Бпблногр. 10 назв. (Рукопись доп. в ВИНИТИ 8 док. 1982 г., № 5975-82 Доп.). Реферат 2Л 573 ДЕП в РШ «Математика» 2, 1983.

6. Кузакопь В. М. Редукция струп отображении к тензорной структуре. VIII Всесоюзная научная конференция но современным проблемам геометрии. Тезисы докладов. Одесса, 1984. С. 84.

7. Кузакопь В. М. Симметрии дифференциальных инвариантов расслоения локально-евклидовой поверхности. Одес. технол. ип-т нищ. пром-стп, Одесса, 1988, 9 е., Бпблпогр. 2 назв. (рукопись дек. в Укр ИИИТН 08.01.88, (6 176 -Ук-88) 514.757 7Л689ДЕП.

8. Кузакопь В. М. Симметрии некоторых дифференциальных операторов. IX Всесоюзная геометрическая конференция. Тезисы докладов, Кишинев, 1988. С. 168—169.

9. Кузакопь В. М. Дифференциальные инварианты субмер-спй евклидовых многообразий. Республиканская научно-методическая конференция, посвященная 200-летпю со дня рождения TI. И. Лобачевского. Тезисы докладов. Ч. 1. Одесса, 1992. С. 73-74.

Поди. I! псч. 8.00.93. Объем 1 п. л. Зак. 330. Тир. 100 Типография МПГУ им. В. И. Лепил а