Структуры на расслоенных многообразиях и вопросы редукции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Ь Ь •

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

ШАПУКОВ. Борис Никитович

СТРУКТУРЫ НА РАССЛОЕННЫХ МНОГООБРАЗИЯХ И ВОПРОСЫ РЕДУКЦИИ

01. 01. 04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1991

Г ?э г А

Работа вшолиена на кафедре геометрии Казанского государственного университета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Белорусский государственный университет

Защита состоится 26 июня 1991 г. в 14.00 на заседании разового специализированного" совета ДР 053.29.99 в Казанском университете по адресу:

420008, Казань, ул.Ленина, 18, корпус 2, ауд. 217

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского университета

профессор Епизникас В. И., доктор физико-математических наук, профессор Лумисте Ю.Г., доктор физико-математических наук, профессор Остиану Н.М.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета профессор

, л-.:.';,,; | I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Постановка проблемы и ее актуальность. Теория расслоений -дна из наиболее быстро развивающихся областей в современной ма-'ематике. Здесь сходятся интересы геометрии, анализа, теории [ифференциальных уравнений, теории'групп и др. Методы расслоенных пространств интересуют механиков и физиков.

Если говорить о дифференциальной геометрии, то с развитием ■еория расслоенных пространств связана коренная перестройка всей ¡труктуры дифференциально-геометрических понятий, новое понима-ше классических результатов, значительное расширение области ^следований. В' центре внимания оказалось понятие связности. Уже ).Картан, используя метод подвижного репера, оперировал,по суще-;тву, с расслоенным пространством. Конструкция параллельного пе-зенесения слоев вдоль заданной базисной кривой была затем сущест-зенно обобщена В.В.Вагнером в рамках теории составного многообра-шя. Отображение "локальных пространств" было им осуществлено с юмощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Ориги-1альное развитие идеи Э.Картана получили в работах Г.Ф.Лаптева. 5 их основе лежиг метод внешних форм, алгоритм дифференциального гродолжения и теория геометрических объектов как теория представ-1ений групп Ли. При этом инфинитезимальная связность в расслоении геометрических объектов задавалась шлем объекта связности. Изящ-[ая геометрическая трактовка понятия связности, данная Эресманом, [спользуег понятие горизонтального распределения. В расслоениях :о структурной группой на это распределение обычно накладывается ¡ще условие (^-инвариантности.

Упомянутые работы определили бурное развитие дифференциальной 'еометрии начиная с 50-х годов, перестройку всего ее аппарата.

Обстоятельный обзор исследований в этом направлении до 1970 г. сделан Ю.Г.Лушсте. Различные вопросы теории гладких расслоений затем неоднократно освещались в серии "Итоги науки и техники, ВИНИТИ. Проблемы геометрии".

Говоря о теории расслоений, следует иметь ввиду еще один ее аспект. Речь идет о геометрии самих расслоенных многообразий, о тех дифференциально-геометрических структурах и операциях, которые возникают на них естественным образом. Например, рассматривая касательное расслоение риманова многообразия, можно определить не только инфинитезимальную (. или внутреннюю) связность этого расслоения, но ( и не единственным способом) связность на пространстве расслоения - внешнюю связность.Аналогичные результг ты получены в последнее время и для расслоения реперов, а также для расслоений мсаего,порядка. Другой пример расслоенных многообразий дают пространства линейных элементов и, в частности, прс странства Финслера. Поеледущее развитие этого направления в работах Б.Л.Лаптева, а затем В.И.Бмзникаса, Л.Е.Евтушика и др. привело к созданию общей теории пространств опорных элементов -расслоений дифференциально-геометрических объектов, присоединенных к главному расслоению -реперов. На таких многообразиях путем естественного обобщения классических конструкций были построены внешняя связность и ковариантное дифференцирование специального типа, операция дифференцирования Ли, развита теория дифференциальных инвариантов и т. п.

Таким образом возникает проблема исследования дифференциально-геометрических свойств расслоенных многообразий произвольного вида. При этом наличие расслаивающей проекции накладывает характерный отпечаток на геометрию указанных многообразий, требует разработки специального аппарата изучения возникающих на них рас-

глоенных структур. Актуальность работы в этом направлении дикту-зтся как самой логикой развития дифференциальной геометрии, так л многочисленными приложениями теории расслоенных пространств.

Цель работы состоит в том, чтобы на основе теории С-струк-гур разработать метод исследования дифференциально-геометрических свойств расслоенных многообразий произвольного вида и применить его при изучении конкретных типов расслоенных многообразий, используя процедуру редукции к соответствующей подгруппе Ли.

Работа выполнялась в соответствии- с планом НИР Казанского университета в рамках темы "Геометрия обобщенных пространств и пространств со структурами, определяемыми алгебрами", имеющей государственный регистрационный Я 0186.0123456.

Научная новизна работы. В диссертации впервые предпринято систематическое исследование дифференциально-геометрических свойств расслоенных гладких многообразий общего вида. Примененный в ней метод редукции, являющийся одним из основных методов современной дифференциальной геометрии, позволил, во-первых, с единой точки зрения изучить типы тензорных шлей, линейных связ-ностей и дифференциальных операций на расслоенных многообразиях и дать им инвариантные характеристики. Во-вторых, выяснилось, тго теории тех обобщенных пространств, которые исторически развивались на пути обобщения классической"точечной" геометрии, можно 1 целесообразно рассматривать в рамках теории (т-структур. В гретьих, развиваемый в работе структурный подход к геометрии расслоенных многообразий обнаружил тесную связь между геометрическими теориями, развивавшимися ранее независимо друг от друга. Так, «пример, теория пространств тензорных опорных элементов получя-ха новое звучание в рамках теории почта алгебраических структур. 1аконец, установленные в работе способы и условия проектируекостя

дают возможность найти связи между геометрией пространства расслоения и его базой.

Практическая значимость работы» Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они могут быть использованы прежде всего в тех разделах дифференциальной геометрии, где понятие расслоенного пространства играет существенную роль. Вместе с тем, как из вестно, дифференциально-геометрические конструкции и результаты теории расслоений находят широкие приложения {. дифференциальные уравнения, механика, теоретическая физика и др.). С этой точки зрения, как мы показали на ряде примеров, наибольший интерес представляют результаты по теории проектирования. Материалы диссертации были использованы автором при чтении спецкурсов по теории расслоенных пространств - -на механико-математическом факультете Казанского университета, на кафедре теории относительности и гравитации КГУ ( 1984-85 уч.год), в Болгарии по приглашению Пловдавского университета ( 1988 г.), в Душанбинском пединституте ( 1990 г.) .

Методика исследования. В целом в работе используется классический аппарат тензорного анализа в сочетании, где это целесообразно, с методом внешних форм. Ери рассмотрении структур высшегс порядка и дифференцирования Ли применяется теория струй Эресмане и аппарат дифференциального продолжения Г.Ф.Лаптева. Б теории векторных и тензорных расслоений использованы методы теории пред ставлений групп и ассоциативных алгебр. Там же мы ввели способ индексации, носящий далеко не формальный характер.

Следует также отметить, что при определении вводимых нами понятий мы стремились к их глобальной формулировке. Вместе с reí при конкретных расчетах мы работаем, как правило, в фиксирование поле реперов, определенном локально, на некоторой параллелизуеш

области. Выбор этого поля обычно специализируется в зависимости от возможностей рассматриваемой структуры.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации неоднократно обоудцались на геометрическом семинаре Казанского университета ( рук. проф. А.Б.Норден), на итоговых научных конференциях КГУ. В 1980, 1985 я 1986 годах некоторые результаты работы докладывались на Всесоюзном геометрическом семинаре им. Г.Ф.Лаптева при ВИНИТИ АН СССР. По мере выполнения работы ее результаты докладывались также на У - IX Всесоюзных конференциях по современным проблемам геометрия, на Всесоюзной научной конференции "150 лет геометрии Лобачевского" ( Казань, 1976 г.), на У и У1 Прибалтийских геометрических конференциях, на конференции " Теоретические и прикладные вопросы математики" ( Тарту, 1985 г.), на Международной конференции по геометрии и приложениям (, Болгария, г.Смолян, 1986 г.)

Итоги диссертации в целом были изложены.на семинаре по классической дифференциальной геометрии МГУ. ( рук. проф. А.М.Васильев - май 1986 г.), на Всесоюзном геометрическом семинаре имени Г.Ф.Лаптева при ВИНИТИ ( рук. проф. Н.М.Остиану, проф. В.В.Рыжков - декабрь 1986 г. ). Работа была обсуждена также на семинаре по векторному и тензорному анализу МГУ (. рун. акад. С.ШНовиков,

проф. О.В.Мантуров, проф. Л.В.Сабинин, проф. А.Т.Фоменко - октябрь 1987 г.)

Публикации по теме диссертации. Содержание диссертации отражено в 27 опубликованных работах автора. Результаты первой и второй главы содержатся в статьях Cll3, Cl2l, C2Xj- C23j, f25j, а также почти полностью покрываются обзором [17] . Материал третьей главы опубликован в работах [14], [15], СГ8]-[20],С26],С27]. При этом в тезисах[19]автору принадлежит первая часть, относящаяся к про-

извольным гладким расслоениям. Четвертая и пятая главы отражены в публикациях [А - [ю], [13], [16], [24] , а также в обзоре [г?].

Структура и объем -работы. Диссертация содержит 283 страницы машинописного текста и состоит из введения 1 26 стр.), пяти глав (59 + 43 + 49 + 28 + 48 стр.), разбитых на 30 параграфов со сквозной нумерацией и списка литературы (. 174 наименования). При ссылке на формулу ( х,у) х означает номер параграфа, у - номер формулы.

II. СОДЕРЖШИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава диссертации состоит из семи параграфов и посвящена изучению особенностей тензорного анализа на расслоенных многообразиях.

В первом параграфе после сведений вводного характера сформулировано понятие расслоения орбит типа у . Всякое присоединенное (^-расслоение представляет собой семейство под-расслоений орбит, которое в области, не содержащей особых точек группы, параметризуется ее инвариантами. Это обстоятельство дает в дальнейшем возможность при изучении однородных дифференциально-геометрических структур ( д.г.структур) использовать результаты Ю.Г.Лумисте и свести дело к рассмотрение редукции соответствующего главного расслоения.

Далее, в § 2 введено существенное для всей работы понятие расслоенной (^-структуры. Дело в том, что на всяком расслоенно! многообразии Е в результате его дифференциального продолжена определяется бесконечная последовательность интегрируемых ¿. -структур

(О. = 1.2,., .). Соответствующе О.-реперы названы допустимыми. В случае, когда ЕСМ) .есть главное расслоение, указанные структуры были обнаружены Г.Ф.Лапте-

вш еще в 1969 г. Если теперь на многообразии Е задано однородное поле д. г. объекта 1Д/ порядка О. , а ^ - его стационарная подгруппа, то на этом многообразии возникает Ст -структура порядка О. , определяемая подгруппой Ли Сг'ЗС^А £- • Мы говорим в этом случае о расслоенной (^-структуре порядка О. и типа

Свойства тензорных полей и распределений на расслоенных многообразиях изучаются в § 3. Определено два класса тензорных полей: полубазовых по данному аргументу I индкксу) и проектируемых. Первые обобщают хорошо известные полубазовые -формы, вторые -проектируемые векторные поля. Дается их как глобальная, гак и локальная характеристика. Здесь же введено понятие и отмечены некоторые свойства проектируемых распределений.

В § 4 и § 5 приведены рабочие формулы и примеры возникновения внешних связностей на расслоенных многообразиях. Всюду в работе речь идет о линейных внешних связностях. Естественным образом выделяется класс приводимых связностей, редуцируемых к под-расслоению допустимых реперов. Их основная геометриче-

ская характеристика состоит в следующем:

Теорема 5.4 Подмодули тензорных полей на расслоенном многообразии, полубазовых по некоторому аргументу, замкнуты относительно ковариантного дифференцирования тогда и только тогда, когда связность приводима.

Дан ряд других, эквивалентных признаков приводимых связностей. Например, йм является абсолютный параллелизм вертикального распределения.

Другой важный класс внешних связностей исследует.ся в § 6.Это проектируемые связности. Они характеризуются тем, что для любой пары проектируемых векторных полей X я У поле 2 =

также проектируемо. Доказано, что всякая такая связность одноз-

л

начно определяет на базе линейную связность такую, что

Указано несколько эквивалентных признаков проектируемой связности. Пусть Рд - компоненты проектирующего аффинора Р« относительно заданных полей реперов на Е и на АД . Тогда^ Теорема 6.5 Связность проектируется в связность V лишь тогда, когда смешанная ковариантная производная аффинора относительно пери .(V . V ) обращается в нуль: Ус = О В частности, всякая проектируемая связность является приводимой, а ее тензоры кручения и кривизны - проектируемые тензорами. Отметим еще один результат:

Теорема 6.7 Ковариантная производная проектируемого тензорного поля в проектируемой связности есть также проектируемое тензорное поле.

При изучении проектируемых связностей выясняется, что их геодезические линии проектируются в геодезические спроектированной связности. В связи с этим в § 7 изучается класс всех связностей, обладающих этим свойством. Такая постановка вопроса обобщает классическую задачу геодезического отображения на случай субмерсаи. Имеет место

Теорема 7.I Для того, чтобы проекция расслоения была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы на Е существовал такой ковектор , что

Условие геодезического проектирования можно выразить и без участия ковектора Ч/ с по нощью объектов, обобщающих по своей кон-

струкции проективную связность и тензор проективной кривизны.

Во второй главе рассматриваются вопросы дифференциальной геометрии расслоенных многообразий с заданным горизонтальным распределением И(В) - внутренней связностью. Это эквивалентно заданию на Е структуры почти произведения ( 5Г -структуры) р : Р ~ X » одно из распределений которой совпадает с вертикальным \/(Е) . Описание свойств внутренней связности в терминах этого аффинора произведено в § 8. Здесь же дано истолкование формы кривизны с помощь® локальной группы голонсмяи.

Далее ( § 9) показано, что задание 7Г-структура на Е приводит к возникновению *25Г -структуры в тензорных расслоениях над Е • Зто обстоятельство является причиной разложения всякого тензорного поля в сумму ИГ -тензоров, горизонтальных или вертикальных по всем своим аргументам. Установлена связь медцу проектируемостью тензорного поля и Н -проектируемостью, введенной К. М. Егиазаряном.

В § 10 - 12 мы исследуем внешние связности на расслоенном многообразии с 5Г-структурой. Показано, что всякая связность определяет на этом многообразии четыре типа ковариантного дифференцирования и четыре девазгора, являющихся 5Г-тензорами. Мы выясняем их геометрический смысл.

Представляет интерес класс вполне приводимых связностей, редуцируемых к ЗГ-структур е. Они могут быть охарактеризованы также либо условием У^Р-О . либо как связности, все девиаторы которых равны нулю, либо, наконец, как связности, относительно которых как вертикальное, так и горизонтальное распределение абсолютно параллельно. Справедлива

Теорема 11.8 Внешняя связность на расслоенном многообразии вполне приводима лишь тогда, когда подмодули тензорных полей, верти-

кальках или горизонтальных но какому-либо аргументу, инвариантен относительно ковариантного дифференцирования.

Отмечены некоторые' свойства тензоров кручения и кривизны вполне приводимых связностей. Геометрический смысл 5Г-гензоров кручения и кривизны, на которые они разлагаются, выясняется с по мощью локальной неоднородной группы голо ноши.

Установлена связь между связностями проектируемыми и {-/-про . вотируемыми по K.M.Егиазаряну.

В заключительной части этой главы ( § 13) имеется ряд резуль* татов относительно метрических, в частности римановых, внешних связностей. В приведенных примерах указан естественный подход к метрическому пространству линейных элементов со связностью Картава, исходящий аз приводимой метрической связности с кручением на касательном расслоении. Здесь же дана простая геометрическая интерпретация голономной и склерономной механической системы с циклическими координатами с точки зрения риманова расслоения с У -проектируемой метрикой.

Третья глава посвящена внешней производной Ли и автоморфизмам расслоенных многообразий. Основная цель заключается в развитии структурного подхода в теории дифференцирования Ли. Мы исходим из классической формулы производной Ли с последующей ее редукцией к заданной структуре. Это значит, что на 1-параметричес-кую группу преобразований , а значит и на соответствующее векторное поле на расслоенном многообразии следует наложить условие инвариантности рассматриваемой структуры.

Именно таким образом в § 14 выполнена редукция внешней произ-

.<3

водной Ли к расслоенной L. -структуре. Показано, что расслоение сохраняют только проектируемые векторные шля. Основной результат параграфа заключен в формуле, дающей конструкцию производной

Ли для д. г. объекта IV порядка <3. , заданного на Б , в проектируемом векторном поле. Изучено действие редуцированной производной Ли на полубазовые по заданному аргументу тензорные поля и приводимые связности.

Далее, в § 15 введено понятие смешанной производной Ли. В ее основе лежит одновременное рассмотрение двух 1-параметричес-ких групп преобразований - на расслоенном многообразии и на ба-зе~и их совместное действие на объекты смешанного типа. В частности, если векторное поле ¿Г проектируемо и 2 = р*2 » то (Г а Р^ = О . Вследствие этого понятие смешанного дифференци-

I А

рования Ли оказывается удобным при описании свойств редуцированной производной Ли и ее действия на проектируемые.тензорные поля и проектируемые связности.

Автоморфизмы внутренней связности исследованы в § 16. Основные уравнения имеют вид оС 2 Р" - О . Выполнена редукция производной Ли к ЗГ-структуре, найдена нормальная форма основных уравнений, что позволило записать условия их интегрируемости и выяснить вопрос о строении расслоенного многообразия, допускающего максимальную группу автоморфизмов. Получен следующий результат:

Теорема 16.6. Расслоенное многообразие, допускающее максимальную группу автоморфизмов внутренней связности, локально аффинно и является декартовой композицией А.П.Нордена.

В § 17 определено понятие инфинитезимального поворота векторного поля X при его композиционном преобразовании вдоль замкнутого контура с помощью поочередного перенесения по кривой с начальным касательным вектором У и 1-параметрической группы преобразований Е^р . С точностью до малых второго по-

ртка . а г л А

дх «^£3лвех у .

Эта формула дает геометрический смысл производной Ли связности. Отсюда же легко получить дифференциальные уравнения как проективного, так и аффинного преобразования связности. Вопрос об аффинной подвижности расслоенного многообразия решается следующей георемой:

Теорема 17.3 Группа аффинных преобразований внешней связности, сохраняющих внутреннею связность, есть группа Ли, зависящая от 1 4 т(т+£)+ псп.+ 1) параметров. Максимальный порядок достигается в случае, когда многообразие Е локально аффинно и расслоено двумя дополнительными семействами плоскостей.

Целью § 18 является исследование тензорных шлей и связнос-тей на главном расслоении, которые инвариантны при правых сдвигах. Необходимые условия найдены К.М.Егиазаряном. Мы находим здесь также и достаточные услозия. Для этого рассматривается вертикальная каноническая связность нулевой кривизны , определяемая просто-транзитивным действием структурной группы на слоях. Доказано, что производная Ли вертикального тензорного поля относительно фундаментального поля совпадает с ковариангной производной относительно вертикальной канонической связности . Это обстоятельство позволяет прийти к следующему результату: Теорема 18.7 Тензорное поле на главном расслоении с С-инвариантной внутренней связностью О-инвариантно тогда и только тогда, когда все его вертикальные проекции ковариантно постоянны

относительно вертикальной канонической связности. В частности, такое тензорное поле И -проектируемо. Аналогичный признак получен для С-инвариантной внешней связности. В частности, такая связность является Н -проектируемой. Наконец, до кг зано, что ковариантное дифференцирование &-инвариантных тензор ных полей сохраняет иг свойство (^-инвариантности лишь тогда,

лйгда внешняя связность (^-инвариантна.

В § 19 результаты предыдущего параграфа применяются к случаю главного расслоения Ф^ : Р(М,6) (0(М,у) над расслое-, нием орбит типа Ц . Здесь даны необходимые и достаточные условия -проектируемостя тензорных полей и связностей с гла-«

вного расслоения на присоединенное расслоение орбит.

Частный случай, когда РСМ,б) есть расслоение -реперов, рассмотрен в § 20. Характерной особенностью этого случая является возможность построения полного лифта векторного поля, Проек-твруя его на присоединенное пространство опорных элементов, мы показываем, что редуцированная производная Ли в поле полного лифта сводится к известной формуле, полученной в свое время Б,1.Лаптевым, а затем в неголономном репере Л.Е.Евтутиком и В.И. Близнинасом.

Целью четвертой главы является изучение внутренних ( слоевых) и порожденных ими с помощью вертикального лифта внешних 0~ структур на векторных расслоениях.

Предварительно, в § 21 дана характеристика линейной внутренней связности с точки зрения свойств параллельного перенесения слоев. Доказано, что всякая регулярная внешняя ¿вязкость на векторном расслоении однозначно определяет его внутреннюю связность, вообще говоря, нелинейную. Далее, в § 22 показано, что всякая внутренняя (у -структура векторного расслоения при наличии внутренней связности может быть продолжена с помощью вертикального лифта до изоморфной ей внешней (з-структуры. Дифференциал вертикального лафга позволяет сделать то же самое для представлений алгебр.

В § 23 изучаются внутренние алгебраическзе структуры, порожденные представлена ей С/1 ассоциативной алгзбры ■Сч, на ело-

ях векторного расслоения. В этом случае мы говорим об Д.-модул] ном расслоении. Некоторые типы таких структур изучал Н.Д.Алекса! дров. Пусть С/С - коммутаторная алгебра представления. Тогда указанная структура определяется группой Ли ее обрат!

мых элементов. Характеристику класса внутренних связностей, совместных с этой структурой, дает следующая

Теорема 23.3 Для того, чтобы внутренняя связность была (5-свяг ностью -модульного расслоения, необходимо и достаточно, чгос операторы представления ОС бшш относительно этой связнос ти ковариантно постоянны: ^ А ~ О

Наряду с указанной целесообразно рассматривать взаимную алге браическуп структуру, определяемую алгеброй С2. . Случай полной взаимности, когда ОС- > наиболее интересен и имее место, например, для полуцростнх алгебр. Доказано, что в этом случае Л -модульное расслоение вполне приводимо, т.е. разлагается в прямую сумму -неприводимых шдрасслоений

где ts - кратности изоморфных слагаемых. При этом подрасслое-ния (М, СЗ^ ) абсолютно параллельны относительно внутренней ^ -связности. Аналогичное разложение имеет место при рассмотрении взаимной структуры и соответствующей ей {£2-связности.

Содержание § 24 составляет исследование внешней почти алгебраической структуры, возникающей на пространстве векторного расслоения из внутренней алгебраической структуры с помощью вертикального лифта. Она определяется алгеброй й = 37* + С/1 , где ТГ - представление алгебры дуальных чисел в виде структуры почти произведения. При условии 01 = ОС полезно одновременное рассмотрение двух взаимных структур и соответствующих внешних почти

лгебраических связностей. Каждая из них вполне приводима и ха-актеризуется ковариантным постоянством аффиноров, принадлежащих ■заимной алгебре. Они индуцируют некоторые связности на тех не-[риводимых подрасслоениях, о которых говорилось в § 23.

Результаты пятой главы можно рассматривать как приложение гредццущих результатов в конкретном случае тензорного расслоения. )днако, здесь существуют свои специфические структуры, представ-¡яющие особый интерес.

§ 25,26 имеют чисто алгебраический характер. Классический

-р Р

>езультат Г.Вейля о разложении тензорного пространства 1 0 на з(_(т) -неприводимые компоненты основан, как известно, на том, 1то обертывающая алгебра тензорного представления группы ОССм) совпадает с алгеброй всех бисимметричных операторов. В связи с этим возникает воцрос о критерии, выделяющем подгруппу Ли ОлС а . Ответ дает _

Георема 25.2 Бисимметричный оператор принадлежит под-

группе 60 лишь тогда, когда он сохраняет ранги , ( к =

т-Р

I,..., р ) произвольного тензора у € I 0 по его аргументам (индексам).

Следовательно, группа б0 характеризуется инвариантностью ранговых подмногообразий М * 'С Т0 . Они являются алгебраическими многообразиями тензорного пространства и образованы тензорами со значениями рангов 2К £ К* .

Переходя затем к тензорному пространству Т^ произвольной валентности, мы обнаруживаем, что при р>0 , О обертывающая алгебра

тензорного представления группы (у{.Оя) является нетривиальной подалгеброй в I теорема 26.2).

Следствием этого является то, что ОТ. -неприводимые' , а значит и (3. -неприводимые компоненты разложения тензорного пространства не являются -неприводимыми. Предыдущая теорема также не

имеет места и заменяется ее более слабым аналогом.

Наконец, здесь же мы вводам линейный оператор Л , которы в дальнейшем играет существенную роль. Он отождествляет тензор

валентности ( р ,) с вектором в цространстве размерности Л :

р+в, ^ ыси\ С*«

Иг . В стандартном базисе у - ^ с1) у с<1) . Для бивекторов этот прием известен под названием бавекторного отображ ния.

Часть результатов § 27 служит иллюстрацией итогов § 23 црим< нительно к тензорным расслоениям. В качестве алгебры Ф. мы имеем здесь групповую алгебру р,^ , натянутую на прямо!

произведение симметрических групп. Внутренние связш

сти, совместные со слоевой алгебраической структурой, выступают теперь как бисиыметричные связности и характеризуются коварианч ным постоянством слоевых операторов симметрии. Однако, в расслоении существует и более тонкая слоевая тензорная структз £а, определяемая тензорным представлением . При этом оказывается, что внутренние связности тензорного расслоена; совместные с тензорной структурой, при их ограничении на подгруг пу 0О совпадают с так называемыми тензорными связиостями, кот рые.были предметом многочисленных исследований. В терминах опера тора 0 мы даем инвариантный признак, характеризующий этот класс связностей.

В § 28 методом, указанным в § 24, мы исследуем внешнюю почти алгебраическую структуру на тензорном расслоении. Пока зано, что редукция внешней почти алгебраической связности к тензорной структуре приводит к связности Б.Л.Лаптева. Для нее получен следующий инвариантный признав:

Теорема 28.4 Вполне приводимая связность V на пространстве тензорного расслоения является связностью Б.Л.Лаптева тогда и только тогда, когда

апример, в случае касательного расслоения это дает класс всех полне приводимых связностей, совместных с касательной структурой.

§ 29 посвящен особенностям внешнего дифференцирования Ли на екторных и тензорных расслоениях. Линейная структура расслоения ,ает возможность выделить подалгебру Да линейных векторных полей I вследствие этого существенно упростить формулу для производной [и. В случае тензорного расслоения возможна дальнейшая редукция с структуре, определяемой алгеброй и затем к тензорной

¡труктуре. Сцраведлива

Георема 29.5 Для того, чтобы 1-параметрическая группа ЕгрСШ сохраняла тензорную структуру на расслоении Т^СЛЛ) , необходило и достаточно,- чтобы .

Внешняя производная Ли приводится в этом случае к известной формуле, полученной Б.Л.Лаптевым.

Наконец, целью § 30 является нахождение полного лифта базисной связности в тензорное расслоение, что дает еще один пример внешней связности на I ^(М) . Используя результат Мока, который нашел поляна лифт связности в расслоение реперов первого порядка, мы сводим задачу к ее Ф^ -проектированию с

на

присоединенное подрасслоение орбит в силу следующего результата:

с*-»

Теорема 50.4 Если связность полного лифта V в расслоение реперов Ф^ -проектируема, то ее образ есть полный лифте той же базисной связности в расслоение орбит типа у . ,

Это дает возможность найти необходимое н достаточное условие существования полного лифта связности в соответствующем подрассло-енид орбит и дать формулы для вычисления ее компонент.

III. ОСНОВНЫЙ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЩ^ВЫНОСИМЫЕ -НА-ЗАЩИТУ

I. В диссертации сформулировано понятие расслоенной (5—струн— '

туры и доказано существование бесконечной последовательности интегрируемых расслоенных -структур на всяком, гладком расслоенном многообразии.

2. Выделены специальные классы тензорных шлей и линейных св^ зностей на расслоенных многообразиях, даны их инвариантные хараз теристики.

3. Найдены способы и условия проектируемом:и тензорных полей и связяостей на базу расслоения. Указаны приложения теории прое! тируемости к задачам дифференциальной геометрии, механики и теоретической физики.

4. Развит аппарат внешнего дифференцирования Ли и метод его редукции к заданной расслоенной структуре. Введено понятие смешанного дифференцирования Ли и даны его приложения к вопросам проекгируемости.

5. Исследованы внутренние (слоевые) алгебраические (^-структуры на векторных расслоениях, определяемые представлением ассоциативной алгебры с единицей и установлена их связь с внешними почти алгебраическими структурами. Получено разложение этих расслоений на неприводимые компоненты в случае полуцростой алгебры.

6. Доказано, что естественное действие симметрических групп гюроадает алгебраическую структуру в тензорных расслоениях. Дана инвариантная характеристика внутренних и внешних связностей, допускающих редукшно к алгебраической и затем к тензорной структур

7. Решена задача нахождения полного лифта базисной связности в подрасслоеше орбит заданного типа тензорного расслоения. Найдены необходимые н достаточные условия существования лифта.

17. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шапуков Б.Н. Об одном тензорном пространстве // У Всесоюзн. нф. по соврем, пробл. геометрии. Тезисы докладов. - Самарканд, 72. - С. 237.

2. — . О представлении группы GLCn,fR) в пространстве тен-ров второго порядка // Тр. семин. каф. геометрии - Казанск.

-т, 1974. - вып. 7. - С. 152 - 164.

3. — . Линейные связности векторного расслоения // Тр. гео-тр. семинара - Казанск. ун-т, 1975. - вып. 8. - С. 118 - 131.

4. — . Некоторые типы линейных связностей векторного расслоил // Л Всесоюзн. конф. по совр. пробл. геометрии. Тезисы док-дов. - Вильнюс, 1975. - С. 258.

5. — . Теория кривизны векторного расслоения // Тр. геометр, мднара - Казанск. ун-т, 1976. - вып. 9. - С. 118 - 137.

6. — . К геометрии тензорного расслоения // Всесоюзн. научн. нф. "150 лет геометрии Лобачевского". Казань, 1976. Тезисы док-цов - М., ВИНИТИ, 1976. - С. 213.

7. — . О структуре ^тензорного пространства //Тр. геометр, минара - Казанск. ун-т, 1978. - вып. 10. - С. 97 - 107.

8. — . О структуре почти произведения на векторном расслое-

а //У Прибалт, геометр, конф. Тезисы докладов - Друскининкай, 78. - С. 96.

9. — . О структуре почти произведения на векторном расслое-а // Тр. геометр, семинара - Казанск. ун-т, 1979. - вып. II. -

100 - НО.

»

10. — . Структура тензорных расслоений, I //;Изв. вузов, г. - 1979. - й 5. - С. 63 - 73.

11. — • Связности на дифференцируемом расслоении // У11 Все-

союзн. конф. по совр. пробл. геометрии. Тезисы докладов - Минсз 1979. - С. 225.

12. — . Связности' на дифференцируемом расслоении // Тр. г< метр, семинара - Казанск. ун-т, 1980. - вып. 12. - С. 97 - III,

13. — . Структура тензорных расслоений, II // Изв. вузов. Мат. - 1981. - Л 9. - С. 56 - 63.

14. — . Производная Ли в расслоенных пространствах // Тр.: ометр. семинара - Казанск.ун-т,1981. - вып.13. - С. 90 - 101.

15. — . Автоморфизмы расслоенных пространств // Тр.геомет; семинара - Казанск. ун-т, 1982. - вып. 14. - С. 97 - 108.

16 .--. Производная Ли в векторных и тензорных расслоения:

// Тр.геометр.сешш. - Казанск.ун-т,1983. - вып.15. - С.84-93.

17. — . Связности на дифференцируемых расслоениях // Итои науки и техн. Проблемы геометрии - М., ВИНИТИ АН СССР, 1983. -Т. 15. - С. 61 - 93.

18. — . Производная Ли на расслоенных многообразиях // У1 Прибалт, геом.конф. Тезисы докл. - Таллинн, 1984. - С. 136.

19. — Ибрагимова Р.Х. Автоморфизмы расслоенных цростра] // У1П Всесоюзн. конф. по совр. пробл. геометрии. Тезисы докл/ дов - Одесса, 1984. - С. 56.

20. — . Производная Ли связности и инфинитезимальный пово] // Дифференц. геометрия. - Саратовск. ун-т, 1985. - вып. 8. -С. 74 - 78.

21. — . Проектируемость в дифференцируемых расслоениях // Теорегич. и црики. вопр. ыат. Тезисы докл. конф. - Тарту, 1985. T.I. - С. 205.

22. — . Проектируемость тензорных полей и связностей в ра< слоении // Тр. геометр, семинара - Казанск. ун-т, 1986. - вып.; - С. 84 - 100.

23. — . Геодезическое проектирование связностей в расслое-яях // Меадунар. конф. по геом. и прилож. Тезисы докладов -лолян ( НРБ ), 1986. - С. 41.

24. — . Лифт связности на тензорных расслоениях // Изв. ?зов. Мат. - 1986. - № 12. - С. 70 - 72.

25. — . О геодезическом проектировании связностей // Тр.ге-¡етр. семинара - Казанск. ун-т, 1988. - вып. 18. - С. 140 - 153.

26. — . Инвариантные тензорные поля и связности на главных сслоениях // IX Всесогозн. геометр, конф. Тезисы сообщений -шинев, 1988. - С. 357 - 358.

27. — . Смешанная производная Ли и проектируемость // Тр. ометр. семинара - Казанск. ун-т, 1989. - вып. 19. - С. 121-127.

Сдано в набор 8.05.91 г. Подписано в печать 25.04.91 г. Форм.бум. 60 х 84 1/16. Печ.л.1. Тираж 100. Заказ 291. Бесплатно.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5