Асимптотические свойства метрик неположительной кривизны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 514.76

Полтерович Иосиф Викторович

Асимптотические свойства метрик неположительной кривизны

01.01.04 — геометрия и топология

Диссертация

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук

В. М. Бухштабер

^И /¿и—— (И в Полтерович)

Москва 1998

Содержание

Введение................................................4

1. Структуры на бесконечности пространств постояной отрицательной кривизны 13

1.1. Понятие структуры на бесконечности .... 13

1.2. Гиперболические пространства и их асимптотическая геометрия............. 15

1.3. Пространство А и его свойства........ 16

1.4. Формулы расстояния на плоскости Лобачевского ....................... 22

1.5. Асимптотическая геометрия плоскости Лобачевского .................... 23

1.6. Следствия основного результата....... 26

1.7. Пространства постоянной отрицательной кривизны..................... 28

2. Асимптотические конусы гиперболических групп 29

2.1. Понятие гиперболической группы ............29

2.2. Граница гиперболического пространства . . 31

2.3. Асимптотические конусы и характеризации гиперболических групп.........; . . . 33

3. О характеризации плоских метрик на двумерном торе 38

3.1. Характеризация метрик и уравнение Якоби . 38

3.2. Поля Якоби и симплектическая геометрия . 40

3.3. Диффеоморфизмы окружности и условия Грина....................... 44

3.4. Завершение доказательства основной теоремы 47

3.5. Торы с семейством замкнутых геодезических 53 Литература............................................54

Введение и основные результаты

Классическая глобальная геометрия изучает свойства геометрического объекта в целом. В последние годы, благодаря результатам М. Громова ([18],[19],[20]) появилось ее новое направление — асимптотическая геометрия, изучающая структуру пространств на бесконечности. Описание этих структур открывает необычный взгляд на геометрические объекты, позволяет обнаруживать их ранее неизвестные характеристики.

Па интуитивном уровне, структура на бесконечности метрического пространства (X, ¿х) отражает то, как оно выглядит из «бесконечно удаленной точки» . Более математически, но по прежнему нестрого, это можно представить себе следующим образом. Для всякого положительного е рассмотрим метрическое пространство Х£, как множество совпадающее с X, но с расстоянием, равным ¿хЕ = £(1х-Устремим е к нулю, и рассмотрим «предельное пространство» Хо = \\т£^Х£, гДе предел метрических пространств понимается в некотором специальном смысле. Поясним это на примере евклидова пространства X = Жп. В этом случае для всякого е > 0 пространство Х£ очевидным образом изометрично X. Поэтому, при £ —>- 0 мы имеем «постоянную» последовательность метрических пространств Х£, и

«в пределе» получаем Xq =■ Rn.

М.Громовым были предложены два строгих способа задания структуры на бесконечности — через асимптотический подконус и асимптотический конус метрического пространства (см. Определения 1.1.2 и 1.1.3). Следующее понятие является по сути усилением первого из них. Будем говорить, что пространство (Т, dу) можно изометрически вложить на бесконечности ([33]) в метрическое пространство X, если найдется последовательность положительных чисел £i —> 0, такая что для каждой точки t G Т существует такая бесконечная последовательность {х\}, г — 1,2,.., точек в пространстве X, что для любых ¿i, ¿2 £ Т имеет место соотношение

lim е* • dx{x\ , х\ ) = dT{ti,t2)

г—>оо

Рассмотрим некоторые примеры.

Если метрическое пространство X имеет конечный диаметр (т.е. его функция расстояния ограничена), то на бесконечности в него изометрически вкладывается лишь одна точка. Если X = то в него можно изометрически вложить на бесконечности любое пространство, являющееся подмножеством Мп (в частности, само MJ1) — и только такое пространство. Мы снова получили, что структура на бесконечности евклидова пространства совпадает с ним самим.

Следующий пример, несмотря на его простоту, очень важен. Пусть X = Ъ — множество целых чисел с метрикой dz(m:n) = |m — п|. Легко видеть, что всякое пространство, изометрически вкладывающееся в него на бесконечности есть подмножество вещественной прямой R, при этом сама прямая тоже вкладывается на бесконечно-

сти в Ъ. Таким образом, дискретная группа Ъ на бесконечности становится «непрерывной» . Этот феномен наблюдается и для многих других дискретных групп — как отмечает сам Громов, он и послужил основным стимулом для изучения асимптотических инвариантов бесконечных групп: дискретным объектам сопостовляются непрерывные, более подходящие для геометрических рассмотрений.

Отметим, что геометрический подход к теории групп интересен не просто сам по себе, но и позволяет получать нетривиальные алгебраические результаты. Примером такого утверждения может служить следующая известная теорема Громова: группа имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда она содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса ([18]). В доказательстве этого факта впервые используется понятие «предельного пространства» , из которого впоследствии возникло определение асимптотического конуса.

Построенная Громовым теория гиперболических групп ([19], [10]) полностью основана на геометрическом подходе. Гиперболические группы являются черезвычайно широким классом конечно-порожденных групп (как отмечают Э.Гис и П. де ля Арп ([Ю]), в некотором смысле «наудачу взятая группа, вероятнее всего,— гиперболическая» ). Так, любая свободная группа гиперболична. Одним из главных источников примеров гиперболических групп служат компактные многообразия отрицательной кривизны — их фундаментальные группы гиперболические ([10]). Гиперболические группы и многообразия отрицательной кривизны объединяет еще одно существенное обстоятельство — они являются важнейшими классами гиперболических метрических пространств (см. Определение 1.2.1 и За-

мечание 2.2.5).

Как было показано Громовым ([19],[20]), любой асимптотический конус и подконус гиперболического пространства есть вещественное дерево (см. Определение 1.2.2). Более того, если всякий асимптотический подконус метрического пространства есть вещественное дерево, то оно гиперболическое (см. [10], [19], [22]).

Однако свойства быть вещественным деревом совершенно недостаточно для явного описания пространства — разные деревья могут быть совершенно непохожи друг на друга. Оказывается, что структуры на бесконечности полных односвязных многообразий постоянной отрицательной кривизны (или, как их еще называют, пространств Лобачевского) и гиперболических групп можно описать в виде некоторого пространства функций. Этому посвящены первые две главы диссертации (как было показано в работе А.Г. Дюбиной и автора ([33]), результаты для многообразий постоянной отрицательной кривизны переносятся и на общий случай переменной отрицательной кривизны).

Ключевая конструкция строится следующим образом (см. [33]). Обозначим через А множество функций / : [0,pf) [0,1], 0 < pf < оо, таких что 1) /(0) = 0; 2)функции / «кусочно-постоянны справа» т.е. для всякого t Е [0, pf) существует £ > 0, такое, что f\[t:t+e] = const. Определим на А расстояние: ¿¿(/ъ /2) = (р^ — s) + (р— s), где

5 = SUP{ij/l(i') = Ш) Vf < t}.

есть момент разделения функций /1, /2 (см. [34]).

Перечислим основные главные результаты глав 1 и 2 (см. [33],[34]). В первой главе мы показываем, что А, является полным однородным вещественным деревом с конти-

нуальным числом ветвления, и что любой асимптотический конус полного односвязного многообразия постоянной отрицательной кривизны изометричен А. Пространство А изометрически вкладывается на бесконечности во всякое такое многообразие. Из этого вытекает, что любое вещественное дерево мощности не более чем континуум изометрически вкладывается на бесконечности в полное од-носвязное многообразие постоянной отрицательной кривизны. Кроме того, доказывается, что любое вещественное дерево есть асимптотический подконус такого многообразия.

Во второй главе дается явное описание асимптотических конусов гиперболических групп и приводится характери-зация гиперболических групп в терминах их асимптотических конусов. Как известно, гиперболическая группа либо 1) конечна; либо 2) содержит циклическую подгруппу конечного индекса; либо 3) содержит свободную подгруппу с двумя образующими (в последнем случае группа называется неэлементарной). Используя понятие границы группы (см. раздел 2.2), можно переформулировать это утверждение в следующей форме: граница гиперболической группы либо 1) пуста; либо 2) состоит ровно из двух точек; 3)имеет мощность континуум. Мы показываем, что подобную ха-рактеризацию можно дать и через асимптотические конусы — для данной гиперболической группы они все либо 1) состоят из одной точки; либо 2) изометричны прямой; либо 3) изометричны пространству А.

Изучение свойств пространства «на бесконечности» оказывается мощным инструментом для решения некоторых совершенно классических задач.

Примером одной из таких проблем служит знаменитая

гипотеза Хопфа о том, что п-мерный тор, не имеющий сопряженных точек, является плоским. Напомним вкратце историю вопроса. В 1942-м году Морс и Хедлунд показали, что двумерный тор без фокальных точек (см. Определение 3.2.5) евклидов ([29]). Они предположили, что условие «нефокальности» можно ослабить и достаточно потребовать отсутствия сопряженных точек. Это утверждение было доказано в 1948-м году Э.Хопфом ([24]), и им же была выдвинута гипотеза о справедливости такого результата в любой размерности. Лишь почти полвека спустя, в 1994-м году, Д.Бураго и С.Иванов ([15]) доказали ее, используя современную «асимптотическую» технику.

Вопрос о характеризации плоских метрик на торе через свойства решений уравнения Якоби можно рассматривать в контексте более общей проблемы — характеризации интегрируемых метрик в локальных терминах.

Существует гипотеза, что риманова метрика на двумерном торе интегрируема тогда и только тогда, когда она является метрикой Лиувилля. Метрики Лиувилля обобщают метрики вращения, частным случаем которых служат плоские метрики.

Интегрируемость метрики, по определению, эквивалентна интегрируемости геодезического потока на рима-новом многообразии М с такой метрикой. Геодезический поток описывает инерциальное движение материальной точки массы 1 на М вне поля действия всевозможных внешних сил. Если он интегрируем, то по теореме Лиувилля соответствующая система уравнений Гамильтона интегрируется в квадратурах и фазовое пространство расслоено на гладкие многообразия, инвариантные относительно потока и диффеоморфные двумерному тору, на ко-

торых поток определяет условно-периодическое движение (см. [3]).

Имеется глубокая связь между свойством интегрируемости метрики на поверхности М и топологической структурой этой поверхности. Известно, что если род М больше единицы, то может существовать бесконечно дифференцируемый на ТМ первый интеграл уравнений движения, не всюду зависимый (и, следовательно, почти всюду независимый) от интеграла энергии; однако, если заменить условие бесконечной дифференцируемости на более сильное условие аналитичности, то такого интеграла не существует ([7]). Этот факт показывает, насколько важно изучать интегрируемые метрики на многообразиях, гомеоморфных Б2 или Т2.

Простейшим и наиболее исследованным случаем интегрируемых метрик служат плоские метрики. Теоремы Морса-Хедлунда и Хопфа содержат достаточные условия того, что двумерный тор является плоским. Мы приводим другое достаточное условие евклидовости тора. Оказывается, что при некотором дополнительном предположении достаточно проверить отсутствие фокальных точек лишь на одной геодезической.

Основной результат главы 3 формулируется следующим образом ([35]).

Пусть геодезический поток на торе Т2 имеет инвариантный тор Ь2 с иррациональным числом вращения, гомологичный нулевому сечению касательного расслоения над Т2. Тогда если на Т2 существует геодезическая, отвечающая некоторой траектории на Ь2 и не содержащая фокальных точек, то исходный тор является евклидовым.

Ключевым моментом в доказательстве этого утвержде-

ния является изучение поведения якобиевых полей на бесконечности — так же, как и в доказательстве гипотезы Хопфа, фундаментальную роль играет аргумент асимптотического типа.

Заметим, что условия теорем Морса-Хедлунда и Хопфа являются также и необходимыми, так как на плоском торе не существует фокальных, а, следовательно, и сопряженных точек. Условия приведенного выше утверждения также необходимы для того, чтобы гауссова кривизна тождественно равнялась нулю на торе, поэтому основной результат главы 3 можно понимать как еще один, отличный от ранее известных, критерий евклидовости двумерного тора.

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на семинаре в Институте теоретической физики Технического Университета Клаусталь-Целлерфельда (Германия) в 1994 году, на семинаре по эргодической теории под руководством академика РАН Я.Г.Синая (МГУ) и на конференции памяти П. С. Александрова (МГУ) в 1995 году, на семинаре «Геометрия и динамика » в Школе математических наук Тель-Авивского Университета (Израиль) в 1997 году. Результаты диссертации также неоднократно обсуждались на семинаре «Вычислительная геометрия и топология» кафедры Высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ, проходящем под руководством д. ф.-м. н. В. М. Бухштабера.

Я глубоко благодарен своему научному руководителю, доктору физико-математических наук Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постоянное внимание к работе. Знакомству с основами асимптотической геометрии я обязан профессору А.И. Шнирельману. Я многому научился у

него в процессе совместной работы. Мне хотелось бы выразить свою признательность А.Г.Дюбиной за приятное и полезное сотрудничество. Я также очень благодарен академику РАН Я.Г. Синаю, профессорам М.Л. Вялому, Ю.С. Ильяшенко, Ф. Полену и Л.В. Полтеровичу за обсуждения результатов диссертации и поддержку на разных этапах ее подготовки.

Глава 1.

Структуры на бесконечности пространств постояной отрицательной кривизны

1.1. Понятие структуры на бесконечности

Пусть X — метрическое пространство с функцией расстояния dx■ Приведем возможные математически строгие интерпретации понятия структуры на бесконечности пространства X. Вначале напомним данное во введении определение изометрического вложения на бесконечности. Определение 1.1.1. ([33]). Будем говорить, что пространство (Г, dт) можно изометрически вложить на бесконечности в метрическое пространство X, если найдется последовательность положительных чисел е{ —¡- 0, такая что для каждой точки t (Е X существует такая бесконечная последовательность {х\}, г = 1,2,.., точек в пространстве X, что для любых ¿1,^2 £ Т имеет место соотношение

lim £i ■ dxixl.xl) = dT(tut2)

00

Пространство T называется геодезическим (см. [19],[10]), если для любых двух точек ii,^ £ Т на расстоянии

а = dx(ti: ¿2) ДРУГ от друга, существует изометрическое вложение д : [0, а] -» Т, такое что <7(0) = ¿1, д{а) = ¿2-Определение 1.1.2. Асимптотическим подконусом ([19],[10]) метрического пространства X, называется геодезическое метрическое пространство (Т, dr), любое конечное подмножество которого можно изометрически вложить на бесконечности в X.

Напомним, что неглавный ультрафильтр со есть конечно-аддитивная мера, определенная на всех подмножествах I С N, такая что и>(1) равно 0 или 1 для любого /, и ш(1) = 0 если / конечно (см. [20], [25]). Предел по неглавному ультрафильтру S(cu) для всякой ограниченной функции S : N —> Е однозначно определяется следующим условием: для любого £ > 0

u;({i £ I\\5(i) - 5{си)\ <е}) = 1.

Определение 1.1.3. ([20]). Зафиксируем точку xq £ X и рассмотрим множество последовательностей / : N —X, таких что dx(xQ, f(i)) < const/ • i. Каждой паре последовательностей /ь/2 можно сопоставить функцию ¿>/ь/2(г) = dx{fi(i)-> /2(0)/^ Будем считать последовательности fi,/2 эквивалентными, если предел ¿>/ь/2(<^) = 0. Множество Т классов эквивалентности, снабженное расстоянием drili 9) = является метрическим пространством,

называемым асимптотическим конусом пространства X по отношению к неглавному ультрафильтру и: Т = ConwX.

Отметим, что всякий асимптотический конус есть полное метрическое пространство ([23]); СопшХ наследует у X свойства однородности и геодезичности (см. [30],[25],[26]).

Заметим, что любой асимптотический конус геодезического метрического пространства является также и его

асимптотическим подконусом. Действительно, пусть Т — асимптотический конус пространства X по отношению к какому-нибудь ультрафильтру оо. Очевидно, что любую пару его точек можно изометрически вложить на бесконечности в X. Перейти от двух точек к произвольному конечному набору позволяет следующее простое замечание: для любых двух множеств /, «7 С М, таких что оо(I) — = 1, из аддитивности меры оо вытекает, что

ио(1Г\3) =а;(М\((М\/)�