Асимптотические свойства распределения максимального периода пребывания марковской цепи в фиксированном множестве состояний тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

/ /1

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ^ .'7

Ч / /

V ХУ

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ и

- ЙШВШТМАТШШП .

На правак рукошсп

Новая Сергей Врьавпч

УДС 519.214:519.217.2

. /ШШттсш сво2сзвА рдсщдадаш шшишшго повод ЙЙШШЯ1МШ03СК0Й ЦЕНЗ В ОТСШЭАШШ ИВСШЯВЗ СОСЯШШ

0Ii.01.05 — теория вероктаостей и ■цагаатачеспая сгагасппа

Авгорафера? йа сонсканиэ учёной атвпени' паадддата . фязшго-натематичвокия паук

Иопоскбирок — 1988

Работа выполнена в Институте математики Сибирского^ Оэд§лр.ния Лкедешш Ыаун СССР .

Научный руководитель — к.ф.-и.н» С.А.Утев Сфяцкальнав оппоненты: д„ф,-цли9 профессор

В.Ф.Колчин , к.ф.-м.н,, доцент Л.Л.Мирошнйков Ведущая организация — Киевский государственный

университет иы. Т.Г.Шевченко

Зажгла состоится "__г. в 16 часов

на заседании Специализированного совета 1С 002,23.01 ло-за-щэт-е диссертаций на соискание учёной степени кандидата физи-ЕОгка^ематаческих йаук Института математики СО Ш СССР . Ащ&С' института? 630090, Новосибирск-90, Университетский пр„ 4 .

С диссертацией можно ознаношться в библиотеке института.

Автореферат разослан ___1988 г.

Учёный секретарь

Специализированного совета К 002.23.01 к.ф.-м.и.

.Ю.Л.Васильев.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ

Актуальность темы. В диссертационной работа исследуются асимптотические свойства распределения максимального периода праоьгоания марковской цепи в фиксированном множества состояний. Соответствующую-случайную величину можно также трактовать как максимум длин серий "успехов", гдз под "успохом"* погашается попадание цего; в фиксированной множество состояний.

ПредельннЛ закон для 1такст«уда длин серий "успзхов" Î

ti * ■

Построенного по посдздователыюст« нвзазксиеядс одинаково распределенных случайнш: величинр установил В.Л.Гончароз (Нэп. 'кII СССР, Сер мат.,1944 ). В более общих постановках задали

заяов получали il.B.Rajarehi (J.Appl.Pro'oab., 1974),

'AvFöides (Trane. 8th Prague Cmf. Inform. Th.,' Statist. De« ci-Go Funo«, Random Processes, - Prague , 1979 ) , В,В.

А.И.Черняк ( Теор.Вевоятн.Матвм.Статист., 1983 ) о ''-jï.ToIicfii :-задача для схем раэмзщэния частиц по ячейка»? рассмо-

'WJiih Ь ^оногрзяяш В.Й.Кэлчана, Б.А.Сзвастьянова, Е.П. 'Ico'oa ('"Наугсз." Д976 ), а яакзе в работа А.НЛ]зунова (Tpoi'^ij" •litMi'&cкого им-ta АН СССР, I9S5 ).

^йсмслькоа вишаште уделялось изучению свойств после» доЬа'телкгсстк 11„ \ , вшолнязхшля с вероятностьо единица.

Аналог закона оодыгаис чисел был устйковлэи A.Hoayi ( »iocdo-îTsiax Kiado", 1970 )„ Первые утверкдднкк типа закона повторло" 'го логарифм получили B.Eraös, P.Re'véss ( Colloq.Math.Soo.J., Bolysi, 1975 ) „ Дальнейшее развитяэ это направлений исследования получило s работах таких авторов, как b,J.Ouibac, Д.. M.OdXyslco (S.Hahr.verw.Gebiete, 13'аО ) § C.C.Сатарова ( J\oia. âH 'СССР, 1981) ? n.KuBolifcsch ( 3?robab.Statist.Infer,, 1982 ), L.Gordon,M. P .Schilling S.Y/ateraion ( Probab.Th.Rel.Picldn, 1986 ), S.OEalrijA.PÖlöee, J.Kotnlos(Stud.Sei»tlath.Hung., 1937), 'Однако-до недавнего вреыет предельней закон и утверждения Tïma закона повторного логарифма но были получеш в си» туацйй-, когда множество состояний цепи счётно, шоясогзо "ус-iioàatt Ы обязательно "одноточечное. Представляет интерес так-sô скорость сходимости изучаемых распределений к предельно;:;/ âairo.'iyv

Цель работ. Основной целью диссертационной работ являлась Еоеле.цсванио асшттотических свойств распределения ¡лак-стального периода пребывания марковской цепи в фиксированном ИЕожесгва состояний, в тон тале: доказательство утверждений яа закона повторного логарифма; установление сходимости изу-^аешх распределений к дваядаэкспоненциальному закону; получение оценок скорости сходимости в этой предельной теореме, а ганке асимптотических разложений.

Научная новизна. Получены обобщения на случай марковских цанвй ео счётным шогоствоы состояний и произвольным шожест-воа "успеха"3 утверждений типа закона ковгорнего логарифма к ¥00раг£2 с сходимости поучаемых распределений к дваадаэкспоне-5Щаалыюцу егкону, Впервые найдена оценка сиоросгя сходошсти в »той предельной теореме, а также асимптотические разложения.

Аплробаиия работы. Результат диссертационной работы представлялись на 4-й Международной Вильнюсской конференции по яеории вероятностей и математической' статистике- /Вильнюс Д985/, на -научно-исследовательском семинара нафедрн прикладной ста-вдегнки Киевского государственного университета /Киев,1985/ и неоднократно на заседаниях научно-исследовательского 'семинара лаборатории теории вероятностей и математической статистики Нпскпута математика СО Ш СССР /Новосибирск,1986 - 1988/.

Публикации. По теш диссертации автором опубликованы работа [I - 43.

Структура и объём.работы. Д5ссертация состой? из виздегтя, трёх глав и списка литература из 52 наименований» Объёи . работа — 133 страницы навинопчсиого текста,, а гои числе список литература — 6 с траншу

СОДШАШЗ РАКШ

Пусть "ff. t <->£} ocsb послодозагельаоегь случайных.

величин,, принамашрх значения' {О g î} С 8 даяшейпом» ваз правило, случ-зйша величии! буду 5? шгерпрзгировв^ься

как индикатора СЗЖ Полояш.

è ~ так{¿.яг: пюм £{S. } Ш

Случайная вшша ë . . esïb иакшиун д.таи copirtl ©дш-зщ (^успехов*)-'!! исшгаюивс -:§4 ш, если pase» .

матршш"Ь смгугщет СЗ), тшваяьшЯ период tçeis3snas иа» рзовской цепи 9- фшшровяшоя шожзсяве сосяоягой». Изучешю ' асгаагеотеческш: свойств распрэдеявная «щучайвшс величин

и посвящена деесертацяошшя работа, После обгона соЕрткжгз-го состояния вопроса низо будут привздонн основкнэ рссультс та глав I Ж п кратно охарактеризованы способа нх до. вазаяельства. ■ . . •

В большинство опубликованных на настояний ыомокт рабо?

изучение распроделешш с^учайкшс величин ' ê велось по слэ-

!t

дующая дэуы основным направлениям; /а/ войск предельного закона 5 /б/ доказательство утверждений яша закона повторного яогарафма, '

В предполоавшш,, что 1 I., с > 4 }• • есгь последовательность Вараудаш с парамзтром р „ предельное распределение ве^ йкдан '¿,, было на!!деио Е.Л.Гончаровым С1944) , показавши,

чет для всякого целого ^ при !г •* со выполняется

Г V .

( - С4~р)р ) *оС1) ,

г

)

и -С ас}' сугь делая и драсГная чаек* =с , В рабо5в В.В.Ашсныова, А.Й.Чзрняка (29*25 рассштрана белее общая ситуащш

= X. е -О сзз

рдэ *С X., I > 1} — неприводимая' марковская цепь с конеч-

кцц шоаосгвои состояний и матрицей перзхсдшгх версят-вое?ай 11 II¿^ от , кнонесгво "успеха" есгь некоторое нодыноаесгво состояний» Аналог соотношения С 25 для ра-есиагрмваеиой ситуации вытекает из теоремн £ статьи В«В. ¿ияскшва и А.И.Чернява.

йзучекя© свойств последовательности 1 & ) , выполняю-

щгхся с версштностьы едшшца, началось с А.Раньи С1970 ) „ установившего, что если ■[ $. , £ * ^ } есть последовательность

Звриулла с параметром 1/2 , то

Р( *й п ^ 4. ) = 1

Первые -утверждения тапа закона повторного лога бн»

ли полученн П.ЭрдпвеМо П.Ревесои С5975) гакйе для случая симметричной сзсеш Вернулли. Дальнейшее раззкгае эгэ гапраа« лекзэ полутемо в работах Д.Дх.Хйбаса,, А.й.0дазко С1Э8СО 0 С.С.Самаровой <-19815 , Д.Гордона0 &§.@шшнга» Н.С.Вагоркща С1986 > и других. Приведем результат С.С.Самаровой,, рассказ?-рившзшэй случай С 3 > , где -С , £ > } — оргодктасгкш

марковская цепь со счэтнш ннокзстаом состояний 0 шю~

гестпо 9? одноточзедоз.

корена А» Пусть всо компонокиз вектора фштшшх

всроотносгей 5? пололителыш и сущэегвувг последовательность чисел 1 К-^ , на!} гахап, что

<Р1

<И> - £7Г. I гГ "М-'

4, ^ > -И.

а -и с 0<? с г., ^ €

и

л - ~ >

гдо р !} см пераходаю перэягкосэтг за « шагов. Тог-

да для всякого 'заяуралького т с вероятностью одэдшца ен= полняэтся

-атШ С t - / ) 153 О С4)

Л-«о - м ^

- ?

где Щп - ц-е^е^п. *

^ (ад ss fajyi ¡ логарифмы ézj берутся во

оснований d /р^^ s символ обозначает операцию т-

крагного логарифмирований. ■ , ;

В случае необязательно одноточечного и конечного

Ja® аналог закона бодьицг чисел установил НЛГузалэт CÍ983) , Перейдём к обзору основных результатов настоящей работа,

В глава X. продельный закон и утверждения типа закона, повторного логарифма найдены в ситуацкн <3> , "це {X¿,íí>¿} — однородная ыариовская цепь со' счзтяш ынокествоу. состояний 5 мксггесгао Sfc 3£ ' yatso ко-ст бить йчёпши. В этой :глазе предполагается, что цепь } низет тояыш одни

класс сучессаешшх состояний, состоящий из c/¿> <L ццвланес-ehs подклассов С , и выполнены условия

CFi) (Q С. Ф 0

CF25 О " < Л < d ,

где А — иансишяьное собственное число иатра-

^' и ■s i{ P¿J U и <s. S7> Pcv~ сеР6* вероятности цепи ■

(РЗ) если ¿ е С0< , то

j € Л Ср

íp¿Jca^ - dsi. | С*>

И = -a u ' <г оэ ,

как Tojibiîo fi - сн я и, с иг<?й/ d> С компоненты вектора инвариантного распределения цзгеО» если lé U , ^ , ю <■*> выполнено дяя всех а

* iewfid j

<Р4) отвачакцнй À прашй собственней вектор Ш тагга= щ XJ положителен? ar, > О .

.'•..•■ jéJt J

Теорема 1. Пусть

' ty " <% it f

рдэ логарифм €cg бзругея по основой® û /л » Тогда о вероятность» одашща ■'■.-:

С6Ь

.v • ,

где и . ' стотаёяйяйшо ниягай я зерхЕкД пр&двш ЩЛ1 г» взрйгшш'. 'y>cfo CB-XjyV^ Ж ' ,

.^'zïïàjh*-*-'., : :

В тих. случаях» когда суарсгвуег. предел (Ом to'céï -q, *

■..-'■' -fi <3 J - У

из, C65 слсдусгг б взрожшосуь??едшгда ■

• . • • {if ci . • .. • г» " • tr_

Рссуд'магг в прздполокении» чзо-вгэ вйроятноагд pu no-, лоянтелыш, независимо бшг получен Л.Взряксйисоа

£985) о В случае одноточечного множества из (?) ва~

яекав® результат С.С.Самаровой <4> ,

Теорема 2 главы Г у^варэдает» что для всякой последовательности { У1Ск) натуральных чисел вероятность

р с п и < * > * }

равна нулю шш единице в зависимости о? того, сходится или расходится рад .23 • Теорема 2 позволяет получать

*** СА ?

верхние и нижние в»и.-границц для последовательности Х^^З ,

уточняя и обобщая результат теорем 3 , 4 диссертации С.С£й-шровой (5981). В частности, соотношение <5) может бить подучено в качестве следствия теоремы 2 .

Предельный закон для последовательность • { } устанавливаем теорема 3 \ равномерную ограниченность экспоненци-ашшх моментов случайных величин { 'л~]} — теорема 4 о Результаты главы I позволяет также строить по наблюдениям X, ,»•., а ы сильно состоятельную асимптотиче-

§т несмещенную оценку шксимального собственного чис-

ла А матрица ' И ри Н и е-Л "

Нетод доказательства теорем £ - 2 основан на применении лемм Бореля-Кантелли и восходит к работе П.Зрдоша, П.Ре-зеса (1975} . Возможность применения лемм Бореля - Кантелли ©беспечивает двусторонние оценки вероятностей РС 2 установленные в теореме 5 параграфа 2 ,

Вторая глава диссертационной работы посвящена вопросу о скорости сходимости распределения случайных величин к

предельному закону. Глава состоит из параграфов 4,5.

В параграфе 4 рассмотрена ситуация С3> , где {Х.,1*4.}

— однородная марковская цепь с состояниями 3?* {О,Л/ 5 , а {IN } . Тот факт, что ± , сущест-

венен для предлагаемого в § 4 метода, в основа которого легат использование свойств процессов восстановления, построенных по сериям независимых одинаково распределённых положительных случайных величин.

Пусть U - Ц р }{ А , "s — случайная ве-

Г С i С J € si

личина с распределением Р ( ~ d ) = Р 00 >

Р С 5 = с ) = 5 V L"2 р . Сг »О

4 ГOil О

feopeua б утверздаеи1, что при и оо i р С'п < "

Г8)

Оценка (8) близка к неулучшаеной, о чём свидетельствует следующий пример; еслиЭГ«={0;4}, то, как показано в главе Ж, правильный порядок скорости сходашсти есть 0(иТ*&г1<г) . . ¡Три доказательстве тзореш 6 существенно испол. зуэтся

-независимость случайных величин - т.-Т. . , где Т

'■ I, с-А ' '

— номер ¡¡'-ого по счёту нуля ("неудачи"} в последователь-

ности { Х^, L 4 } •

Использовать свойства проц*. jcob восстановления при изучении распределения случайных величин t ^ автору преддо-

жил Л.А.Боровков. Закон больших чисел для процесса восстаноь-ления . построенного но последовательности {, с .

при-выводе предельного закона применяли В.В,Аниспмов{ А.И.Черняк. Основная идея доказательства теораш б состоит в тоя, что в определённой сшсле справедливо представление

& МС1-Р

В- параграфе 5 случайная величина ¿ ^ задана по

стационарной последовательности £ ® ¿ , £ i У m-ss&sca-

вазе случайных величин. Предполагается, что 'при bcsjs дрсздаго-чгда больших функцая :

строго убвваот. Предзармйаьнуй оценку '-разности -

Д С'ЛУ = ❖f^p ■■" i ' Р < к., < -

. ..- ¿¿-й ц, i . , и.

г- ©vcp "и. С 'ft -ki - ^í-fe + p ) У I

устанавливает теорена ?. Прк дополнительно;.! .продподозкашх

£ í C'fe^cfctí) со ¿e <с?> справедлива оценка

Д СП.) = О Ttt^C&l'H.)***) <п-*<*0

где 5"« t -fr таж {4+-t ; im} <теорема 3у .

В качестве приложения полученных результатов рассмотрена ситуация . .

dLíV.~<V¿+íy Сю) ■

ЗД0 — последовательность независимых случай-

ных величин с непрерывкой общей функцией распределения.

Случайная величина é , определяемая равенствами (I),

(10) , есть максимум длин отрезков неубывания случайной ломаной с узлами зпочках (1;У.),,.., (пН;У ") * ¿симптотячес.-

h + d

кае свойства последовательности -í f } , выполняющиеся с

•• п.

герояиюстьа единица, изучались з работах В.Г.Питтела C-I9SI) , Н.Ревсса (5933} , К. Гриля CÍ907} . Оценку* скорости сходимости распределения величин ¿ ^ к предельному закону устанавливает следствие S.í 'i при п !-> со

^Р .1 р с < -fe. ) ~ -

- ftKpQ- + l) I » О (>4<:&!.ю5)

В -ociíobo доказательства теореш 7 лежат двусторонное оценки вероятностей Р С &5' , установленные в теор-дэ 9.

Эти оценки оказывается достаточно точны и позволяют не только получить, предельный закон, но и оценить скорость сходимости к не!ду.

'В главе Ш асимптотические разложения вс. шчик Р С ¿ -"Í^CQ п~] ¿J ) получены в предположении, что последовательность {%. t ¿ i i }■ является марковской цепью с двумя состоя-

шиши и переходными вероятностями = сх « Р00 -

Глава Щ состоит из параграфов 6 - 8 . Утвервдение основной теоремы £0 имеет вид

-сс < 3 < + оо

- е П.1 У. ; у) | * с

где & , У вй^«

у « С 2 - «-/О .

По поводу величин V- отметин, Что как функция первого аргумента ^ есть полином степени ¿' ? как функция второго аргумента ^ с к, у) подиной степени к I.

Следствие 6Л. При уь оо

^Р ¡РС^-Сй^и-Д < 0) - •

-со «г ./ «г*1-со *

шз

Из СИ) следует, что но только первый, !.-> и второй члены асимптотического разлоаешш нз зависят от начального распределения цепи..

Доказательство теоремы €и технически трудоёмко к поэтому проводится в несколько этапов. На первом из них (теорема ЯО выделяется "главная часть" вероятности Р(£

при эг-оу eeasasos убивааэ при it- =*> т с экспоненциальной «коров5ЬЗ> о ¿кагор творена li дяз еяема Бэрнуллн приведён 1. кккгз В.йеляара яВзеданлв з ?еор:ет вероятностей я её нрило-;,эшшп„ глДЖ,§ 7. Цель второго этапа — получит»- асимпто-уйчвсгщв разлояеная шяивдлшого корня -t некоего полинома

.riemmi н+2 „ определимого "глазную часть" вероятности РО <-Й)о Третий этап составляют выкладки технического характера, цель которых — специальным образом перегруппировать ;.анеа полученное представление вероятности Р С 2 yjt "к. в

"■яде ыпогократкой сутш. На четвёртом, заключительном« этапе устанавливается равномерная оценка теоремы !0 .

Автор признателен Л.Я.Савельеву, привлёкшему его внимание к рассматриваемой тематике.

" Работы автора по теме диссертации.

7. Иовах C.S. 0 длине наибольшей серии успехов в марковских цепях // 4-я Международная Вильн юс.конф.теор.вероятн.мат. статист.: Tea докл. - Вддыпос,1985. - Т.2. - С„ 26? - 263, С. Ilovak S.Yu. On the length .of the longest increasing run // i-st Congr. Bernoulli Soc. Math. Statist. 2гоЬаЪ, Th. -Tashkent, .1986. - V.2. - P.766. H. Нован С.Ю. О времени пребывания' однородной марковской це-яи в конечном подмножестве состояний // Теор.Вероятн.При-мен. - 1985. - Т.31,В? 2. - С. 412 - 413. ' 4. Новак С.Ю. Об отрезках времени постоянного пребывания однородной марковской цепи в фиксированном подмножестве состояний //Сиб.Матем.Нурн.- 1988. - Т.29.Р I,- С.129 - 140.

Подписано к'почата 23.12.88 ОН 0990?

фор^аэ бумаги S) х № Ï/JS Обьёа 0t2v О s68 уч.-азДбЛ. Заказ X Тирак 100 ,бйз.

Отвчашю па рогаярыяве JJuoznsyr« иагзнагакк СО ДН СССР

630090, Новосибирск-90, 'Упивероимтекий пр., 4.