Асимптотические свойства решений уравнений двухфазной фильтрации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

- g ГОСУ$$СТВЕНШЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ' ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

i Oui

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 532.540.013:517.946

АМАНДУС Наталья Егоровна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1993

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете .

Научные руководители: доктор физико-математических каук

член-корр. РАН Монахов В.Н., доктор физико-математических наук профессор Антонцев С.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Хуснутдинова Н.В., кандидат физико-математических наук Бочаров О.Б.

Ведущая организация: Алтайский государственный

университет

Защита диссертации состоится О&Г?Х&Ь^ЦЯЛ993 г. в У 5" час. на заседании Спв ил ализировашюго совет« К.063.98.04 в Новосибирском государственном университете пс адресу: 630090 Новосибирск 90, ул. Шрох'оза, 2. ъп

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

/

Автореферат разослан "&0" С&КггиЙ'О^и^ 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физ.-мат. наук..

- э -

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие современные математические модели механики сплошной среда приводят к изучению нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными. Как правило, это системы составного типа, обладающие рядом особенностей. Этими особенностями рассматриваемых систем уравнений обусловлены, с одной стороны, специфические свойства их решений, а с другой - отсутствие общих методов и подходов к их изучению. В то же время, априорноз (до решения) знание качественных свойств решений совершенно необходимо для построения алгоритмов их численных расчетов, для правильного понимания рассматриваемых физических процессов. К такому классу моделей относятся и широко распространенные модели фильтрации несмешивающихся жидкостей, которые используются для расчетов при проектировании и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений.

Целью работы является исследование корректности и изучение свойств решений некоторых начально-краевых задач теории фильтрации несмешивающихся несжимаемых жидкостей.

Состояние вопроса. В работах С. К. Аятонцева, В. Н. Монахова и А. Н. Коновалова были даны основные постановки краевых задач двухфазной фильтрации. Для многомерного нестационарного процесса в [1] доказано существование обобщенного в слабом смысле решения, выяснены условия отсутствия в течении зон с остаточными значениями насыщенности (регулярная задача). Здесь же исследован., дифференциальные свойства регулярной задачи; в случае, когда коэффициент при старшей производной является выпуклой функцией, показана гладкость решений вырождающейся задачи и получены условия существования сильного решения. Кроме этого доказана конечная скорость распространения возмущений и конечное время стабилизации решений.

Исследованию плоский регулярной задачи посвящены также работы С. Н. Кружкова и С. М. Сукорянского.

Позднее в работах С. Н. Антонцева была доказана теорема

единственности в целом по времени для вырождающейся задачи, асимптотика при |r| -qo регулярной и вырокдаюцейся задач в плоском случав (последний результат носит условный характер, так как существование фбобщенного решения не доказывается), устойчивость решений по начальным и граничным данным.

Наиболее полно изучены задачи.двухфазной фильтрации в одномерном случае, приводящие к одному вырождающемуся параболическому уравнению. В работе [2] впервые доказана разрешимость и непрерывность первой краевой задачи и задачи Коши, а затем в работах Н. В. Хуснутдиновой были изучены также сходимость к автомодельному решению и конечная скорость распространения возмущений.

В последнее время для одномерной фильтрации изучаются и другие постановки краевых задач, например, задача с сосредоточенной емкостью, задачи с заданным перепадом давления. Для этих задач в работах ряда авторов доказывается разрешимость • и исследуются некоторые свойства решений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

I. Доказана разрешимость регулярной и вырождающейся задач Ковш в трехмерном и плоском случае и исследовано асимптотическое поведение решений втих задач для трехмерных областей.

II. Исследована корректность краевой задачи для области из Rn (П—2) с вырождением другого типа (коэффициент при старшей производной в параболическом уравнении на решении обращается в ноль и бесконечность). Изучены свойства решений: гладкость, устойчивость по начальным и граничным данным. ■

III. Дано теоретическое обоснование предельного перехода по малому капиллярному давлению от модели Маскета-Леверетта к модели Баклея-Леверетта в неограниченной области в плоском случае. Дана оценка близости решений двух моделей по капиллярности.

IV. Доказана разрешимость одномерных краевых, задач с условием симметрии для потоков: 1) с заданным перепадом давления, 2) с заданным расходом одной из фаз на эксплуатационной

скважине. Показано, что при стремлении капиллярного давления к нули решение этих задач сходится к решению модели Баклэя-Леверетта.

V. Исследована асимптотика при ^оо одномерных краевых задач .двухфазной фильтрации в вырождающемся случае.

Методика исследования. Доказательство теорем существования проводилось с помощью построения некоторых вспомогательных задач с последующим предельным переходом. Для изучения качественных свойств решений использовались методы интегральных оценок и барьерных функций. При обосновании и выводе научных положений были использованы известные онедай решений линейных и квазилинейных эллиптических и параболических уравнений, а такие методы теории вырождающихся параболических уравнений и нелинейных краевых задач, развитые в работах 0. А. Ладыженской, 0. А. Олейник, С. К. Кружкова, С. Н. Ан-тонцева, В. Н. Монахова, Н. В. Хуснутдиновой и других авторов.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут служить обоснованием для применения соответствующих моделей и численных методов к решению практических задач двухфазной фильтрации.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научной студенческой конференции в г.Новосибирске (1985), на Всесоюзной школе "Оптимальное управление, геометрия и анализ" (г.Кемерово, 1986), на VII Всесоюзной школе по качественной те ,рии дифферегциальных. уравнений ' гидродинашжи (г.Барнаул, 1989), на семинарах "Краевые задачи механики сплошной среды" в Институте гидродинамики СО .РАН под руководством профессора В. Н. Монахова, на семинарах лаборатории фильтрации Института гидродинамики СО РАН под руководством профессора С. Н. Антонцева.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [I - IV].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 52 на-

именований. Общий объем -135 страниц машинописного текста.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится краткий обзор работ, близких к теме диссертации, приводятся исходные уравнения моделей (Мас-кета-Леверетта, Баклея-Леверетта) и излагаются основные рвч зультаты.

В основе теории фильтрации двух насмешивающихся жидкостей в пористой среде лежат следующие аналоги законов Дарси и уравнения неразрывности для каащой из фаз:

imp а.

-Ct = Kt(vpt + ptg), i + divp^j = О, i = 1,2. (1)

Здесь , pt, р{, st - соответственно фазовые объемные pao-ходы (скорости фильтрации), давления, плотности и относительные насыщенности (31 + = 1 ), g - ускорение силы тяжести, т(х) - пористость среды, Х( = К (x)S4 (3t) - симметричные тензоры фазовой проницаемости (¿0(х) - тензор фильтрации для однородной жидкости; = , где - ■ абсолютная фазовая проницаемость, коэффициент динамической вязкости фаз). Предполагается, что жидкости несжимаемы и их давления отличаются на величину капиллярного скачка

Рг ~ р1 = Pc(x'3i<2)

Модель, описываемая уравнениями (1), (2), называется моделью Маскета-Леверетта , частным одномерным случаем которой является модель Раппопорта-Лиса, и представляет собой замкнутую систему относительно неизвестных функций Dt, р(, э{. По определению, насыщенности меняются в пределах

О i 8° £ S{ £ 1-3° < 1 (l"J), и при достижении значения = движение i-й фазы прекра-

щается.

Описание процесса фильтрации без учета капиллярных сил (уравнение (2) заменяется на р^ рг) принято называть моделью Баклея-Леверетта.

Если выбрать в качестве искомых функций насыщенность Э(Х^) и приведенное давление

1 ЙРл К

а

система (1) - (2) редуцируется к следующей эквивалентной квазилинейной системе, состоящей из равномерно-еллиптическо-го уравнения для р и вырождающегося при 8=0,1 параболического уравнения для 3:

ст(Г)|| = й!V (Й0(х)а7а + + /0) е -с11у б1 ; (4)

<11лг + /) = -<Ич 3 = 0, (5)

где

а(х,в)

*л

й За

, К » К0Й, А - й, + йй.

В первой главе изучается задача Коши для системы (4), (5) в области 0Т = {геЕп,?е[0,Т].пгг} с начальным условием

г(х,0)=а0(х). (6)

В §1 главы I рассматривается разрешимость задачи Ноши для системы (4), (Ь) с ограниченным интегралом енергии (решение принадлежит классу К0 функций таких, что О £ 3 £ 1 ,

£ Ц, Лтр|гат = И в области {(а?,П-: х е Еч,

[ е[0,Т], п а 2}). Реальный физический процесс, соответствующий . такой постановке - вытеснение нефти водой в достаточно

большой области при условии покоя на бесконечности.

В §2 устанавливается асимптотика решений при |Г|->оо, а именно: |э(Х,*) - 6| 5 С\Х\~1 , 6=3°, 7 > О в регулярном случае и - |з(;г,£)| £ С|,х|, 7 > О в вырождающемся.

В §3 расширен класс решений задачи Коши: рассматриваются функции, не принадлежащие классу ;1Л0 (задачи с неограниченным интегралом энергии). К такому классу относится физическая задача вытеснения нефти водой с условием равномерного потока на бесконечности.

В §1 главы II вместе с задачей (4) - (б) (задача I) рассматривается задача Коши с условием (6) для модели Ваклея-Леверетта, которая в терминах 8,р состоит из уравнений(5) и

= 01у (Я,ур + /0). (71

Задачу (5) - (7) будем называть задачей II.

Для задачи I при достаточной гладкости на коеффициенты, начальные данные и при

а) |||гЛ? < (К0С,§), 5 |||аИ, К = К0(х)Ыв)г

б) 60 £ а0(х) £ И0(£)«пв £ М, 60> 0, 61 <1;

получены в малом по t оценки, не зависящие от величины 'капиллярного давления. При этих предположениях доказана разрешимость задачи II и дана оценка близости решений

- ||(з1-з11);(р1-р11)||2 Е£Се . (8)

* я

(здесь £ - малый параметр при капиллярном давлении рс (х,а)=бр°(х,з), где 1 /Шр°(х,а)£М).

Во втором параграфе рассматриваются две краевое задачи для одномерной фильтрации в одномерном анизотропном грунте: 1) Задача с заданным перепадом давления. На нагнетательных контурах Х-21) задаются симмет-

ричные относительно эксплуатационного контура (Х-1) краевые условия

Р<*»*)1,.г = Р8<*> (11)

и начальное условие

а(х,0) = 3(21-2,0) = 30(ЛГ), 1е[0,1]. (12)

В силу симметрии потоков задача сводится к изучению краевой задачи в Ц,=[0,I]х[0,Т] с условиями (9) - (12) и

2) Задача с заданным градиентом давления одной из фаз. Задаются условия (9), (10), (12) и

РЛ-г = 01')

Для задач 1) и 2) доказывается_разрешимость и сходимость решений при е-»0 (ро(з) определено в (8)) к решению соответствующей краевой задачи модели Ваклея-Леверетта.

Глава III посвящена исследованию корректности краевой задачи (4), (5), (6),

р= pQ(X,t), 3 = aQ{X,t), (£,i)e Г£т;

(Kvp + /)Й = -Q{x,t), {KQav3 + K^vp + fQ)h = bQ(x,t), (x,t)c Г1Т

(<>U = Г1 + Гг , ft - нормаль к Г)

с неограниченным коэффициентом Дри старшей производной таким, что а(г,а)|8_0=оо, а(8рх)|в->1=о (либо а|в_0=о. о^.,3"0)

и /a(|,a)d§ £ U. Доказывается существование, единственность о

и принадлежность решения классу Гельдера в случае степенного вырождения.

а(х,з)=а(г)8~а(1-8)р, 0<а<1, р>о, 1 /Ms a (x)stí (7')

(либо а(х, (1—8)~а) без дополнительных ограничений

нр данные задачи внутри области fi^, а также - устойчивость по начальным и граничным данным.

В §1 главы IV исследуется поведение решений первой краевой задачи с ограниченным коэффициентом при старшей производной и двумя вырождениями на решении (a(S),=0, 0£a(8)£Jí). Доказываются теоремы о сходимости к решению регулярной стационарной задачи как при заданном суммарном расходе, так и при заданном перепаде давлений; устанавливается промежуточная асимптотика, зависимость скорости сходимости решений от скорости сходимости Q(t) и краевых условий.

В §2 рассматривается задача с неограниченным a(s), определенным выражением (7') при afi (ДГ) = oonst , а именно:

a(a)ls=0 = a(3)ls=i-° {шб° a(s)l8=o=0' a(3)ls=i=oo) в

и Ja(|,e)d| s V. Доказывается существование и единственность о

первой краевой задачи и исследуется асимптотика при t->a>.

Третий параграф главы IV посвящен изучению одномерной вырождающейся задачи с краевыми условиями

3(0,Í) = а, it), 3(1,í) = as(t),

где S1 (Í) и S2(t) таковы, что при t-»a> принимают значения ос-/ таточной насыщенности. Доказывается, что решение такой задачи сходится по экспоненте к некоторым промежуточным решениям в области Ц,=[0,7-0]х[Т,<»], где 6 - любое из интервала

(0;1 ), а Т=Т(6).

В заключение автор выражает искреннюю благодарность научным руководителям Монахову Вале!; дну Николаевичу и Антон-цеву Станиславу Николаевичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Антонцев G.H., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. - Новосибирск:"Наука", 1933 - 315с.

2. Алексеев Г.В., Хуснутдинова Н.В. О разрешимости первой краевой задачи и задачи Коши для уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости. - Динамика сплошной среды, вып.7, Новосибирск, 1971, р.33-46.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Амандус Н.Е. Задача Коши для уравнений двухфазной фильтрации. - В сб.: Некоторые проблемы и задачи анализа и алгебры, - НГУ, Новосибирск, 1985.

. II. Амандус Н.Е. Задача Коши для уравнений двухфазной фильтрации с неограниченным интегралом енергии. - В кн.: Динамика неоднородных жидкостей, - Институт гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1985, с. 3-11 (ДОС, вып. 72).

III. Амандус Н.Е. Предельный переход по капиллярному давлению в уравнениях двухфазной фильтрации. Всесоюзная школа "Оптимальное управление, геометрия и анализ", тезисы докладов, Кемерово, 1986, с. 57-

IV. Амандус Н.Е. Краевая задача двухфазной фильтрации с кбогракичешп;:.; кссфф;:ц::с::тс!.! дкфФузкя. Тезисы до^пядов VTT Всесоюзной школы по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики. Барнаул, 1989, с.5.