Бесконечномерные многообразия и расслоения в топологии некоторых функторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КМ. и.В.ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.12

Радул Тарас Николаевич

БЕСКОНЕЧЮЖРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИИ В ТОПОЛОШ! НЕКОТОРЫХ ФУНКТОРОВ

01.01.04 - госмэтряя и ТОПОЛОГИЯ

Автореферат диссертация на соискание ученой Степана кандидата (£нзико-матвматическаг наук

Цосква - 1992

Л

/V

У

л

РдсЬта шшолнэна на кафедре общей топологии и геомэгр;й»

6

-'ехшгако - математического факультета МГУ Ц.В.Ломоносова Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор В.В.Фодорчук Официальные ошонэнты - доктор физико-математических

наук, профессор В.И.Кузьишов кандидат физико-математических наук, доцент М.Ы.Заричный Ведущая организация - Математический .институт ¿'ш.В.А.

Стеклова РАН

Защита диссертации состоится -11 1992 г.

в 16 час.05 »дин. на заседании специализированного совета по математике Д.053.05.05 при Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова по адресу: 1^9899, ГСП, Москва, Ленинские Горн, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ( Главное здание, 14 втая) Автореферат разослан "¿7" октября ,1992 г. Ученый секретарь

спе циализированного4совета

■ (

Д.053.05.05 При МГУ'д.Ф.-^н. В.Н.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТБМЫ. Многие классические конструкции общей топологии имеют функториальный характер: они определены не только для пространств, но и для отображений. Одним из важнейших примеров служит операция тихоновского произведения, поровдащая степенной функтор, а также функтор умножения в категории Тор и различных ее подкатегориях. К Хаусдорфу восходит понятие экспоненты (гиперпространства) топологического пространства; экспонента является функториальной на категории бикомпактов Comp .

Систематическое исследование функторов в категории Сокр начато Е.В.Щегашым. В частности, в [1] им введено понятие нормального функтора. Кроме степенного функтора и фун-ктЬра экспоненты, нормальными функторами являются также функтор вероятностных мер, симметрической степени и-другие.

В обзоре [2] В.В.Федорчук поставил следующую общую проблему, относящуюся к теории функторов в категории Тор и ее подкатегориях: как ведут себя те или иные геометрические свойства пространств и отображений при воздействии нв них различными ковариантными функторами? Этот вопрос содернит в себе следующий вопрос: насколько функторы улучшают те или иные свойства пространств и отобракений? С этой точки зрения В.В.Федорчуком и другими авторами исследованы многие нормальные функторы.

[I] Щэготн Е.В. Функторы и несчетные степени компактен// УМН.

1981.т.3G,вып.3.с.3-62. [2J Федорчук В.В. О некоторых геометрических свойствах коиа-рикнтниг функторе)!!//УM!i. 1904.т.39,nun.b.с. HVj-2

Аналогичные вопрос® естественно возникают и для более широких классов функторов. Важным функтором, действующим на категории Comp (но не являщимся нормальным в смысле Е.В.Щепина) является функтор суперрасширения \ [3]. А.В.Иванов [4,5] показал, что функтор суперрасширения, а также функтор полных сцепленных систем N существенно улучшают геометрические свойства пространств и отображений. Е.В.Моисеев определил и исследовал [G] еще один близкий к суперрасширенил функтор - функтор гиперпространств включения G.

Наряду с изучением геометрических свойств функторов проводятся исследования категорных свойств функторов. Одним теории категорий является понятие монвда, введенное С.Эйлен-бергом и Дж.Муром в связи с теорией сопряженных функторов [7]. В последнее время активно исследуются монады в различных подкатегориях категории топологических пространств и категории их влгебр.

В категории бикомпактов Comp к монадам приводят, в частности, функторы гиперпрострвнства [8].вероятностных мер

[3] J. de Groot. Supercompactnesa and superextensions. Proc. 1 Intem.Syrop.on Ext .Teory.VEB,Berlin, 1969.89-90.

[4] Иванов A.B. Суперрасширения открыто-порожденных бикомпактов// ДАН СССР.1981.Т.259, J(2.С.275-278. .

[5] Иванов A.B. Решение проблемы Ван Милла о характеризации бикомпактов, суперрасширения "которых являются абсолютными ретрактами// ДАН СССР. 1982. т. 262, )(3. с. 526-528.

[6] Моисеев Е.В. О простроанствах замкнутых гиперпространств

- Б -

[9], суперрасширения [10], полных сцепленных систем [II] и

др.

Результаты диссертационной работы сеяззны с общей задачей исследования геометрических и категориях свойств ковари-антных функторов, действующих на категории Comp .

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучить свойства пространств и отображений, возникающих в топологии следующих функторов: .гиперпространств включения, его нормального »налога и функтора вероятностных мер, делая в основном упер на изучение пространств и отображений, являющихся бесконечномерными мн<. гообразиями и расслоениями.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Используются метода общей тополо гии, бесконечномерной и категорной топологии, развитые в работах отечественных и зарубежных авторов.

роста и включения// Вест.МГУ.Сер.мат.-мех.1988.ЖЗ.с.54-67.

[7] Ellenberg S.,Moore J.С. Adjoint functora and triples// 111.J.Math.1965.v.9.ЖЗ.P.381-398.

[8] Wyler 0. Algebraic theories of contlnuoa lattices// Lec. Notea.Math.1981.y.871.P.390-413.

[9] Swlrszcz T. Monadic functors and convexity// Bull.Acad. pol.scl.1974.v.22,*1.P.39 42.

[10] Заричный M.M. Монада суперрасширения и ее алгебры// Укр.мат.журн.1987.т.39.с.303-309.

[11] Радул Т.Н. О внутренней харак'геризации алгебр, порок-денных некоторыми функторами в категории Ссяр . В кн.6 Симпозиум по теории колец, алгобр, модулов.Льнов. I.99CJ г.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные ноше результаты работы: а/ Показано, что функтор гиперпространств включения определяет монаду в категории Сопр и описано категорию алгебр втой монада в терминах: решеток Лоусона и предбаз специального вида.

б/ Введено понятие отображения Уитни для пространства гиперпространств включения и доказано, что это отображение является (З-расслоением, если X - метризуемый -континуум.

ГУ

в/ Определен нормальный аналог в функтора гиперпрост-

(V

ранств включения и доказано, что пространство ' вХ является гильбертовым кубом тогда и только тогда, когда X -континуум Пеано.

г/ Изучены подпространства вида Р(4) пространства Р(Х) вероятностных мер над компактом X , порожденные борелев-ким подмножеством А с X . Доказано, что пространство Р(о{) гомеоморфно самому , в ) гомеоморфно

• гда п{ и л{ абсорбирующие универсальные множества для (-ого мультипликативного и аддитивного боре-девских классов соответственно. Кроме того доказано, что пары (?№),£(£)> , (Р(Я).Р(^)) , (Р(Я).Рр(а)) гомеоморфам паре , чем, в частности, дан ответ на

вопрос В.В.Федорчука об описании пары (Р(3),Рр(а)).

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕОНАЯ ЦЕННООТЬ. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в категорной и бесконечномерной топологии.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на 6-ом Тираспольском симпозиуме по общей топологии, на семинаре кафедры общей топологии и геометрии в МГУ, на семинаре под руководством профессора В.ВЛчдорчука.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых дан в конце автореферата. СТРУКТУРА И ОББЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы и списка литературы, содер кащего Б6 названий. Общий обьем работы - 77 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ.РАБОТЫ Первая глава посвящена свойствам функтора гиперпространств включения и его нормального аналога. В §1 исследуются категорные свойства функтора гиперпространств включения. Напомним, что монадой на категории 0 называется тройка Т=(Р,т>,м) , где F:0 -»С - вндофунктор, в т):10 -» F (единица) и м:Р -» F (умножение) - естественные преобразования, ДЛЯ КОТОРЫХ /J»nP=fJ»ÎV)=1p И /J«ÎJÏ4joÎVj .

Т-алгеброй монада Т называется пара (Х,И) , где X - объект 0 , а ? - морфизн из FX в X , для которого ?ог)Х=1д и . Морфизмом Т-алгебрн

) в Т-алгебру (Z'') называется такой морфизм f:X -» х' , что . Категория Т-алгебр и их

р

морфязмов обозначается С .

Назовем семью А с ехрХ гиперпространством включения, если для любого В с етрХ такого, что В з А , выполняется В € А . Подмножество exp X , состоящее из всех замкнутых гиперпространств включения, мы обозначаем через GX для бикомпакта X .

Если f:X-*Y отображение, то отображение <?(/): GX ■* GY определяется следующим образом: G(/)(^)={B s елрУ| В f{A) для некоторого А е А) , А € GX >. Таким образом определяется функтор гиперпространств включения.

В §1 доказано, что функтор G дополняется до монада G на категории Сотр . В следующих двух теоремах дается описание категории Сотр

Гаорема 1.1.10. Следующие утверждения эквивалентны: 1. Пара (X,?) является G-влгеброй; '¿. X - решетка Лоусона, для которой z=3up<>exp(lnf ); 3. В X существует бисугоркомпактная предбаза S, для' которой ? .

Теорема I.I.I2. Пусть ) и (Х*,«') - G-алгеб-

ры. Слэдущие условия эквивалентны:

1. /:(*,«) - (X ,к') - морфизм G-алгебр;

2. / - полный гомоморфизм решеток X и х' ;

3. fz(X,S) -* (X,s') - выпуклое отображение;

Кроме того в §1 содержится внутреннее описание свободных G-алгебр.

В §?, дан критерий открытости структурного отображения G-алгебры К :GX -> X . Основным результатом §2 является:

Теорема 1.2.4. Если (X,?) - G-влгебра, X является мет^изуемым континуумом, а ? - открытое.отображение, то ? - тривиальное расслоение со слоем гильбертов куб.

Непрерывное отображение ы пространства еосрХ в огр-эзок Ю,ш(Х)] для метрического континуума X называется отображением Уитни, если удовлетворяются условия:

а) если А с В и A t В , то о>(А) < <*(В) ;

б) w({x})=0 для навдого х е X .

Отображениям Уитни 1 освящено очень много работ. Отметим два из них. В [12] введен класс допустимых отображений Уитни и показано, что, если отображение Уитни ":ехрХ -> [0,"(Х)]

является допустимым для континуума Пеано К , то для любого í е (О,«(.!)) пространство ) гомеоморфно

гильбертовому кубу. В [13] показано, что, более того, отображение (о-шЦ)) будет тривиальным расслоением со слоем гильбертов куб.

Поскольку ■на токе существует естественная струк-

ра частичного порядка, то мы мояем определить отображение Уитни для ОХ . Отображение <о:СХ -* И назовем отображением Уитни для ОХ , если оно удовлетворяет следующим условиям: а) если Лей и А ? В , то <->(Л) < б) и(пХ(х)) = О для всех х е X . Изучению таких отображений посвящен §3. Доказано существование и открытость отображений Уитни для а . Исчерпывающую информацию о- ге-омотрии отображений Уитни дает:

Теорема 1.3.6. Пусть X - метризуемый континуум, а [-/;П - отображение Уитни. Тогда "(-1-1) является тривиальным расслоением со слоем гильбертов куб.

Функтор б не является нормальным функтором в емнеле Е.В.Щэпина [I] - для него не выполняется свойство сохранения прообразов. В §4 вводится нормальный аналог функтора гиперпространств включения - функтор 5 . Этот функтор является

[12] Goodykoontz J.T.,Nadler S.B. Whitney levels In hyper-spacea of certain Peano contlnua/ZTrana.Amer.Math.Soc. 1982.v.274, №2.P.671-694.

[13] Kato H. Concerning hyperapacea of certain Peano continua and strong regularity of Whitney mapa//Paclf.'J. Math.1985.v.119,M.P.159-167.

- 10 -

подфунктором &хр2 и определяется следующим образом: ОХ = {Л е ехр Х|для каждого В с ехрХ такого, что В о => А € А и В с 1)^1 выполняется В е «4}.

Теорема 1.4.4. Пространство гомеоморфно гильбер-

товому кубу тогда и только тогда, когдв X является континуумом Пеано.

Вторая глава диссертации посвящена геометрическим свойствам функтора вероятностных мер Р .

Для Оорелевского подмножества А бикомпакта X В.В.Федорчук предложил рассматривать пространство Р(4)= € Р(Х)И*\Л)=0Ь

В §1 второй главы показано, что Р(4) токе является борвлевским множеством, более того Р(А) с И£ для каждого А с , где - ?-нй борелевский мультипликативный

класс. М.Бествина и Е.Могильский [14] построили абсорбирующие множества и л^ для мультипликативного и аддитивного борелевских классов соответственно. Пространства п и а являются модельными пространствами для бесконечномерных многообразий.. Основными результатами §1 являются:

Теорема 2.1.9. Пространство Р(п£) гомеоморфно пространству о^ для каждого счетного ординала ? .

Теорема 2.1.10. Пространство Р(л{) гомеоморфно пространству о{+1 для каждого счетного ординала ? .

[J4] Bestvlna M.,Mogilsld J. Characterising certain incomplete infinite-dimensional absolute retracts/ZMich.Math.J. 1986.V.33.P.291-313.

- 11 -

В §2 исследуется вопрос, для каких пар (JC.vl) пара (Р(Х),Р(4)) гомеоморфна паре (Q,a). Ответ на этот вопрос содержится в следующих теоремах:

Теорема 2.2.3. Пусть X - бесконечный компакт и множество- А с х не более чем счетно с непустой внутреннос-

t

тьо. Тогда пара „(Р(Х),Р(Х\Л)) гомеоморфна паре (Q,a).

Теорема 2.2.6. Пусть X - бесконечный компакт, а А - Z^-множество в X. Тогда пара (Р(Х),Р{Х\А)) гомеоморфна паре (Q,s) .

В §3 вводится понятие т2-абсорбенты, которое дает возможность топологически охарактеризовать пару (Q,s:u). О использованием этого понятия доказываются следующие утверждения:

Теорема 2.3.6. Пара (P(Q),Pp(a)) гомеоморфна паре (Q.zw) ■

Отметим, что аналогичный результат независимо получил Т.О.Банах.

Теорема 2.3.7. Пара (P(Q),P(£)) гомеоморфна паре <Q.£W) •

Теорема 2.3.8. Пара ' (P(q),P(£u)) гомеоморфе паре

В (4 исследуется геометрия отобрваания барицентра bgi Р{К) - К для выпуклого бикомпакта X . Бикомпакт называется барицентрически мягким, воли мягко отобрапённе барицентра

Теорема 2.4.3. Бикомпакт Р(Х) является барицентрл-чвски мягким тогда а только тогда, когда I мвтризуеи.

Этот результат дает отрицательный ответ на вопроо В.В.Федорчука. Также показано, что из барицентрической мяг-

кости бикомпакта Я следует открыто-порозденность К .

Пользуюсь возможностью выразить глубокую благодарность

профессору В.В.Федорчуку за руководство работой, внимание и

поддержку.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЬМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Радул Т.Н. Монада гиперпространств включения и ее алгеб-ры//Укр.мат.журн.1990.т.42,*6.с.806-81I.

[2] Радул Т.Н. Отображение Уитни для пространства гиперпространств включения//Мат.з аменси.1992.т.52,в.3.с.II7-122.

[3] Радул Т.Н. О модифицированном функторе гиперпространств включения//Изв. вузов. Мат. 1990. т. 343 ,М2. с. 63-65.

[4] Радул Т.Н. О парах пространств вероятностных мер, гомео-морфных паре (£},£Ш).В кн. 6 Тираспольский симпозиум по общей топологии.-Кишинев.Штиница,1991.