Функторы, близкие к нормальным, и топология монад в категории компактов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Г {-' п п и ■-> ч3 /

московский ордеж ленша ордена октябрьской революции

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОЮ ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Ы.В.ЛОМОНОСОВА

механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.12

ЗАРИЧНЫЙ ШХШ МИХАЙЛОВИЧ

ФУНКТОРЫ, БЛИЗКИЕ К НОШЛЬШ, И ТОПОЛОГИЯ МОНАД В КАТЕГОРИИ КОМПАКТОВ

01.01.04. - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-ыатеы&ткческих наук

Москва 1992

Работа, выполнена во Львовской государственном униьормг • имени И.Франко

(фицмалыше оппоненты: доктор физкко-ыатематичоских наук,

профессор А.В.Архангельский доктор фиэико-катеыатическнх наук А.Ч.Чигогидэе

доктор физико-математических нгзук, ведущий научный сотрудник Е.В.Щешш

В^дуцая организация: Математический институт Сибирского отделения Российской АН

Защита состоится " " Щ-ОСШ 1992 г. в /6 ^ мае. на заседании специализированного совета Д.053.05.05 при Московской государственно« университете им. Ц.В.Ломоносова по адресу: 113699, ГСП, Москва, Ленинские горы, ШУ,

уехшшко-математический факультет, аудитория 144)8.

С диссертацией иохно ознакомиться в библиотек« механико-мнтеиатического факультета МГУ.

Лрторрфврат разослан " {'¿¿{РлУ 1992' г.

Ученый секретарь специализированного совета Д,053.05.05 при Ы1У

доктор физико-математических наук

В.Н.ЧУБАРИК0В

ОЫЦАЯ характеристика работы

¡• Актуальность теш. Вскоре после определения основных по-тий теории категорий началось проникновение её методов в то-логкю. В настоящее время в отдельную область топологии виделась категорнад топология, объектами исследования которой ляются аксиоматически определённые категории, наследующие д свойств категории топологических пространств То р

Многие классические конструкции общей топологии определя-1 функторы в категорий "Гор или некоторых.её подкатего-ях. Примерами ; злится операции тихоновского произведения , ятия гиперпространства, перехода и пространству непрерывных нкций, вероятностных мер и т.п. Систематическое исследование нкторов в категории компактов • С о /*ьр начато

В.Щепинш ' ; в основном это мотивировалось задачами то->логии неметризуемых компактов, в частности, неыеуризуемых ¡солютных экстензоров. Теория несчетшх обратных спектров В.Щеина позволяет сводить исследование определённого класса ¡мпактов к исследованио соответствушего ему класса отображ®-[й (см. понятие адекватной пары в ). Таким образом, для ис-юдования различных топологических конструкций на компактах ¡обходимо распространить эти конструкции также и на отобрания, т.е. задать функтор в категории Сопър

Связующим звеном между теорией абсолютных экстензоров и юрией функторов является понятие Р -иньективного объвк-I! компакт X называется Г" -инъекгивныы для функтора "-■ Со^р ' Со^-р , содержащего тождественный функ->р в .качестве подфунктора, если для любой компактной пары

(А, Ъ) и любого отображения ; 3 ----'— > X суце-

?вует продолжение : А ------> РХ X • Оказалось ,

> Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчетных об-

ратннх спвхтров // УШ1. 1976. т.31, вып.б, с.191-226. 1 Щепин Е.Б. Функторы и несчетные с зпени компактов // УМН. 1961. т.36, вып.Л. С.3-62.

что классы компактных абсолютных экстензоров в размерностях О и 1 совпадают с классами Р~ -иньективных объектов, где функтор Г равен, соответственно, функтору вероятностных мер Р и функтору гиперпространства ( экспоненты) езо-р . * .

Потребности спектрального анализа обусловили наделение Е.В.Щепиным класса нормальных функторов (определение см. ниже) и введение важнейших геометрических объектов топологии неметриэуемых компактов - нормальных функтор-степеней, т.е. пространств вида Г С К*) , где Р - нормальный функтор и К* - несчетная степень метризуемого компакта К . Исследование геометрии неметриэуемых функтор-степеней, в частности, автогоыеоморфиэмэв нормальных функтор-степеней, оказалось тесно связаным с исследованием внутренних свойств нормальных и близких к ним функторов. Основная возникающая здесь задача: охарактеризовать конкретные функторы и классы функторов в Сот-р

Возвращаясь' к понятию Г -иньективного объекта, отметим, что участвующие в этом определении Р -эначные ото

бражения, т.е. отображения вида : X -* У , вообще

говоря, не могут служить морфизиами некоторой категории "ком пактов и Г -значных отображений". Для этого необходима до полнительная структура на ^ , а именно структура монада 1Г ~ ( ^ , -у , ул) в смысле Эйленберга и Ь^ура . Эта структура играет важную роль в теории сопряженных функторов и (в случае категории С^опь-р ) определяет канонические ситуации сопряженности ^

Сон-р^ <--Согър <-1 Согър

3) Федорчук В.В. Об открытых отображениях // УМН. 1982. т.37 вьш.4. С.187-188.

4) ВИепЬеге 8., Иооге Л. Ас1;)о1пЪ £апсЬогв ппЛ ^грХео// ПЛ. Л. тъъ. 1965. М.э, и 3. Р.381-398.

- & -

где Сc>r.i_p - категория Эйленберга-Цура (категория

ТГ -алгебр), a íonvp^ - категория Клейсли (категория свободных: ТГ -алгебр) монады ТР • Категории X' -алгебр для конкретных монад Т* характеризовались многими авторами (см..например, ' ). В связи с понятием попади Т на категории Сог>ьр возникают две общие задачи: продолжения функторов на категорию Co^jo у и поднятие функторов на категорию Соки^ТГ*

Многими авторами рассматривалась задача сохранения функторами различных классов пространств, определяемых геометрическими условиями, в' частности, абсолютных окрестностных экстензоров и бесконечномерных многообразий (см. обзор ). Результаты, полученные при этом, находят применения в теории вг -пространств (см., например, ), поскольку действие компактной группы (г на пространстве X естественным образом индуцирует действие Сг на пространстве FX . Бункториальность позволяет получить отсюда результаты о сохранении классов АЫЕ (п) - пространств, поскольку последние характеризуются как П -обратимые образы бесконечномерных многообразий, моделированных над Q или .

В) Wyler О. Algebraic theory of continuous lattices// I.ect. Notes Math. 1981. V.B7I. P.390-413.

6) Swirszcz 'f. Monadic fimctora and convexity//Bul.l . Acad.Pol. Set. Ser. sci. mat., aatrori. phys. 1974.V.22, HI. P.39-42.

7) Федорчук В.В. О некоторых геометрических свойствах ковари-антных функторов // УЫН.1984. 'Г.39, вып.5. C.I69-209.

В) Torunczyk Н., West J. The fine structure of 3l/a1//

Px-oc. Intern. Goni. on Geom. Top. Warsaw, I97S.P.439-449.

9) Дранишников A.H. Абсолютные экстензоры в размерности rt

и и* -мягкие отображения, посылающие размерность // УЫН. 1964. Т.39, вып.5. С. 55-95.

10) Чигогидзе А.Ч. Характерна ация польских ЛЕ^О-простренвтв // Вестник МГУ. Сер. I.1967. »5. С.32-35.

Цель работы. Исследование нормальных и б^-.зких к ним функторов в категории компактов и других подкатегориях топологических пространств, в частности, получение характе-ризациоккых теорем для функторов. Исследование монад в категории компактов, функториальные части которых являются слабо нормальными функторами.

Цетолы'исследовани •. Используются методы топологии не-метризуешх компактов, развитые Е.В.Щепиным, метода теории категорий, методы теории менгеровских многообразий и А£Г(п}-пространств, развитые М.Бествикой и А..'1.Дранишниковым.

Научная новизна. Получены следующие новые результаты, являющиеся основными в работе:

1) Доказана изоиорфность'степенно^ цультипяикатквного нормального функтора. Ранее этот результат был получен для функторов, сохраняющих класс конечных компактов (Е.В.Щепин)

2) Поручена характериэация класса функторов (т -сим-мтрической степени как открытых (эквивалентно, бикоицута-тивных) нормальных функторов конечной степени.

3) Получено полное описание продолжений функторов конечной степени на категории Клейсли монад, порожденных функторами гиперпространства и вероятностных мер, а также продолжений функтора гиперпространства на категории Клейсли монады гиперпросгр&нсгва (категорию компактов и многозначных отображений).

4) Для монад ЧГ , порожденных нормальными функторами, полностью описана ситуация существования поднятия функторов конечной степени на категорию ТГ -алгебр. Получоно полное описание закона дистрибутивности в сшсле Ьека. для нормальных монад.

5) Доказано, что нуль-мягкость огч>бракения умножения

/I X • 'Г ------* ТХ для слабо нормальной монаде

ТГ " <-Т, у , У*) влечет огкрытопорояоденность контакта X

а мягкость отображения Iь' при > харак-

теризует степенную монаду.

6) Получено описание геометрии отображений умножения J* X для открытопорожденных компактов X и монад суперрасширения IL » гиперпространств роста <& и полных сце пленных систем IN

7) Доказшш свойства сохранения функторами конечной степени следующих классов простри jctb и отображений:

а) U V ^ _ компактов и С7 "V ^ -отображений} б)отобра~ *ений AN&. -компактов, индуцирующих изоморфизмы гомотопических групп размерности уь ; в) *ъ —подвижных компактов (ранее било известно свойство сохранения 4 -подвижности, Ю.Олендэхи); сигма-компактных и польских ANR. -пространств и tL - С ZT - ) многообразий.

8) Построены функторы прообраза вдоль универсального отображения из категории метрнэуемых компактов в категорию п. -мерных ы -пространств и (п-±) -гомотопических классов отображений.

9) Отрицательно решена проблема X.Торуньчика и Дж.Вэста о компзктификациях функтора бесконечного итерированного гиперпространства.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Общемосковском топологической крулке им. Л.С.Алексавдрова (I9b5 г.), на У Тираспольском симпозиуме по общей топологии и её приложениям ( 1985 г.), на семинаре по топологии под руководством проф. В.В.Зедорчука (МГУ, I963-I99I), на кафедральном семинаре по обцей топологиии в МГУ (I963-I99I), на семинаре по топологии под руководством проф.Архангельского A.B. (¡¿ГУ,1968г.), на УГ Симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Львов, 1990), на совместных заседаниях Московского математического общества и семинара им.П.С.Александрова (19831991 гг.), на Бакинской международной топологической конференции (1987г.), на семинаре по геометрической топологии под руководством д.ф.-м.н. Ы.А.Штанъко и д.ф.-м.н. Е.В.Щепина (ЫИАН, 1964 г.), на топологическом семинаре Института математики Варшавского университета (1969).

I

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семнадцати работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на 22 параграфа, и списка литературы, включающего 116 наименований. Полный объем диссертации - 201 страница.

' СОДЕЙШИЕ РАЬ-ОТЫ

Первая глава посвящена общей теории нормальных функторов. Функтор Р" Сок-ьр -—> называется нормальным ^ , если Р непрерывен, мономорфен, эпиморфен, сохраняет вес, пересечения, прообразы, точку и пустое множество. Функтор Р называется слабо нормальным, если он удовлетворяет ьсем перечисленным свойствам, кроме, быть может, свойства сохранения прообразов. Б этом исходном определении Е.В.Щепина не все свойства являгстся независимыми.

1.1.2. Теорема. Функтор тр — Со является

нормальным, если и только если Р непрерывен, эшшор-фен, сохраняет вес, одноточечные множества и пустое множество, и сохраняет пределы диаграмм вида

А -------^ Г 1------ X

где и - вложение, а - отображение на.

Нормальные функторы и их естественные преобразования образуют (малую) категорию . Доказано, что су-

ществует эли-моно-разложение в категории (тео-

рема 1.1.6); это разложение не единственно (пример 1.1.9).

В § 2 исследуется свойство мультипликативности (сохранения произведений) для нормальных функторов, которое играет важную роль в задачах сохранения функторами классов пространств Дугундаи и абсолютных окрестностных ретрактов. Мультипликативные нормальные финитные (т.е. сохраняющие класс конечных множеств) функторы охарактеризованы Е.В.Щепи-ным; ему же принадлежит вопрос об освобождении от условия финитности.

Следствие 1.2.4 утверждает, что мультипликативный нормальный функтор является степенным. На самом деле, в § 2 доказано более сильное утверждение. Функтор Г называется профицитно степенным, если для любой точки а, £ РХ конечной степени п. ^ i функтор Р^ , поржденный л, изоморфен степенному функтору С-)п (функтор РЛ

определяется как наименьший подфунктор Р/ функтора Р , для которого а. £ F'X Р X ); функтор Р _ называется слабо бикоммутативныы, если для любых л£ £ Р X ^ , С I, Л , существует £ £ Г{Х 1 * Кг ) , для которого

С4) = , £•= £ .

1.2.3. Теорема. Нормальный профинитно степенной слабо бикоымутативный функтор является степенным.

Характеристическим отображением коммутативной квадратной диаграммы

56 =

ж,

X--—>2

3

у -з-^у

называется отображение ^ - ) •' X > У*_р 2.

Диаграмма называется бикомыутативной, если отображе-

ние ^ С сюрьективно. функтор называется бикоымутатив-ныы, если он сохраняет класс бикоымутативных диаграмм, и называется открытым, если он сохраняет открытость отображения. Е.ВЛЦешш доказал ^ , что всякий открытый нормальный функтор бикоммутативен. До настоящего времени неизвестно, совпадают ли свойства открытости, и бикоммутативности для нормальных функторов. Однако, для функторов конечной степени такое совпадение имеет место.

1.3.2. Теорема. Для нормального функтора Р конечной степени к. > 1 следующие условия якьивалентнь:

I) Г - открытый функтор;

2) - бикомцутативный функтор;

3) существует открытое естественное преобразование

£ • ¿"Г Р ^

4) Р АЛЯ некогоРой подкрути

в' <=• • к,

Напомним, что через обозначены функторы

(5 -симметрической степени. Соединение теоремы 1.3.2 с результатами Е.В.Щешна позволяет подучить еще одну характери-эацки функторов ^Р^

1.3.5. Теорема. Для нормального функтора Р конечной степени я > 4. следующие условия эквивалентны:

1) пространства Г С Р> ) и Р ( I"''1) совершенно капгта-нормальнц;

2) пространство р^Х^1 х Г)^1 ) совершенно каппа-нормально;

3) р ^ Б Р^ для некоторой подгруппы (т^^.

Здесь, калиа-нормальность компакта означает, что все его

канонически замкнутые подмножества имеют тип ¿г л

о

Нормальной функтор-етепеныо называется пространство Еида ГС^) I гДе Р - нормальный функтор и К не три-зуемый компакт. В $ 4 опровергнуты некоторые гипотезы Е.В.Ще-пина (си. проблемы 12-15), касающиеся поведения степени точки при авто гомеоморфизмах нормальных функтор-степеней при Теорема 1.4.5 дает характеризацию функторов (- ) "" при и, < со как нормальных функторов конечной степени, сохраняющих свойство топологической однородности.

Через Я * К обозначается диаграмма

к к к. к к —^—к ^ к

1 I

К* к----—* к.

в которой через лл и обозначается проекгироряния

(индексы указывают на номера сомножителей, куда производится проектирование). К -характеристикой функтора Г , обозначается У- ^ СР) , называется множество натуральных чисел, яеляицихся мощностями слоев характеристического отображения диаграммы Р ( К ) { если указанное отображение обладает бесконечным слоем, то считают, что м б У ^ (1г ) . Понятие К. -характеристики играет раину*) роль в изучения автогомеоморфизмов нормальных фактер-стоненей. Отвечая на вопрос Е.В.Щепина,мы строим в } 4 нормальный функтор Р" , для которого

Vю'

Результаты главы 2 посвящены теории монад, порожденных слабо нормальными функторами. Напомним, что монадой на категории $ называется тройка ТГ ~ С Т, , ) , состоящая из эндофунктора Т : ^ -*• ^ и естественных преобразований ^ ■ 4 <£ Г , : Т г —> 'Г, для которых у « Ту - {~ • Ту , ^ " / Т г ~ " Т/' * Если ~ Ся^Р • а функториаль-нал часть Т~ ион ада является (слабо) нормальным функтором, то монлда ТГ называется (слабо) нормальной. С каждой монадой Т связаны две категории: категория Уйлонберга-Дура ^ { категория 1Г -алгебр) и категория Клейсли ( категория свободных Т' -алгебр),

я гагате функторы

ц: -----> у ] . ^ -----^

т

В § I Для каждой слабо нормальной монада Т' ~ (Т, у, и) гводены тензорные произведения ^

® • ТХ *ТУ---* Т(Х*У) у 3 ; Т*Х * Т* Г

г г

-------> ТЧ Х >< V) ,

ссойстеа которых существенно используются при исследовании слабо нормальных монад»

Основными результатами §2 являются теоремы 2.2.2 и 2.2.3, утверждающие, что, если функториальная часть Т слабо нормальной монады является функтором конечной степени или функтором с конечными носителями, то Т - степенной функтор.

В § 3 приводится полное описание ситуации существования поднятия функторов конечной степени на категорию ТГ -алгебр для нормальной монада ТГ

2.3.7. Теорема. Пусть Г -нормальный функтор конечной степени к ^ 4. , допускающий поднятие на категорию Сот.р^ ТГ -алгебр нормальной монады Т - (Т, у] , /О . Тогда либо Р = (-) * либо т - проективная монада.

Здесь монада ТГ называется проективной если существует иорфизм монады ТГ в тождественну» монаду Л .

Дистрибутивным законом монады Т^ - > Ч1 > над монадой Т^ = С'Т^ , , у<х) называется естественное преобразование Л •' Т Т--»•Т Т > которого:

(I) Х'Т^г ' * )

(г) л - ~ {

(3) X» Т^^лат, {

(4) л, • /ч т4« т; - "т* ^ с«-

п) ■?1х1агвк Д. Рго;Зус1;1.уе аюпайв вп! ехЬеп91опв о! {шк^огя// Ма«1. Сег^г. А1с1. 1983. Я 195- РЛ-12.

12) Ввгг И., №е11в СГЬ. Торозва, 1;г1р1ев ал<1 1;Ьеог1ев.-Нет/ Хогк е.а.« Зрг1пвег, 1905.

В § 4 доказана

2.4.2. Теорема. Пусть Т. = ( Т, , щ »fi ) , < " i, Z , Ti ^ I , - нормалыше монады в категории Сожр

и существует дистрибутивный закон монады 7Г над монадой rf . Тогда 7Г - степенная монада.

2, £

Поскольку для степенной монады И* дистрибутивный закон Т^ над 1Гг существует и определяется формулой prt ( АХ(») - Т< рг.Са), Л6 Т^ rz X . то эта теорема дает полное описание дистрибутивного закона для нормальных монад.

В § 5 рассмотрена задача продолжения функторов на категории Кпейсли слабо нормальных монад. Категория Клойсли монады гиперпространства (Ц = Сех^о 4 , и. ) совпадает с категорией компактов и многозначных отображений.

2.5.3. Теорема. Нормальный функтоР ^ конечной степени продолжается при a >s 1 на категорию Клейсли

Со м-р ¡н ,если и только если F" — для некоторой подгруппы с: S ,L .В послед-

нем случае продолжение единственно.

Аналогичный результат имеет место для монады, порожденной функтором вероятностных мер Р (теоремы 2.5.5 и 2.5.6). Расклассифицированы такке продолжения функтора гиперпространства еа^р на категорию Ссжр ^ (теорема 2.5.10).

В 5 6 приведена характеризация класса проективных нормальных монад.

2.6.1. Теорема. Нормальная монада ТГ " Ст, ч > J4) является проективной, если и только если функтор гиперсим-неррического куба ех^о 3 продожлется на категорию Сог^р

В § 7 строится монада IL , порожденная функ-

тором суперрасширения X . (де Гроот Приведе-

J.van. Supercompactnens and tollman врасев//М0?,1977.

на характериэация категории 1Ь -алгебр и свободных * -алгебр.

к

По принятой в теории категорий терминологии, для монады Г= (т, 7 , /О отображение удХ : ТгХ —+ ТХ называется умножением на ' X . Глава 3 посвящена геометрии умножения _/<■ X для (слабо) нормальных монад. Пример монады гиперпространства ¡Н показывает, что открытость отображения ¿и X , вообще говоря, не накладывает никаких ограничений на X . Ситуация меняется, если свойство открытости усилить до 0 -мягкости.

3.1.4. Теорема. Пусть Т ^ (Т, 7 , /< ) похвальная монада. Если для компакта X отображение

¿А X X -~* ТХ 0 -мягко, Ти компакт X

является открытопорожденным.

Нормальная монада 1Г , для которой отображение Д Xг мягко для некоторого Ъ > , является степегаюК (теорема 3-1.6). В то же время, ослабление условия нормальности до слабой нормальности расширяет список монад с "хорошей" геометрией умножения ул X . Типичным результатом § 2 является следующее утиерждение.

3.2.6. Теорема. Для континуума X следующие условия эквивалентны:

1) X открытопорожден;

2) отображение у" X - : А X *■ XX мягко.

При дополнительных ограничениях на X отображения ух X Для монад, порожденных функторами гиперпространств включения (т и полных сцепленных систем N

14) Моисеев Е.В. О пространствах замкнутых гиперпространств роста и включения // Вестн.ШУ. Cep.I. 1968, JP6.C. 14-17.

15) Иванов A.B. О пространствах полных сцепленных систем // Сиб. мат. ж. 1966. Т.27, Мб. C.95-II0.

3.3.9. Теорема. Для континуума Л веса Тг следующие условия эквивалентны:

1) X открытопороаден и однороден по характеру;

2) отображение /^Х : (т*-Х —-> ¿гХ гомеоморфно проектированию рч •' I г * ---»- Xх ;

3) отображение X •' X —* Д/Х гомеоморфно проектированию > * —> I гг

Отображение ; —всегда имеет

точки однократности. Над дополнением ко множеству точек однократности оно гомеоыэрфно локально-тршзиальному Гг -расслоению (теорема 3.3.13)} это расслоение тривиально только при V ~ со (теорема 3.3.16).

• В § 4 получены эквивалентные аналоги некоторых результатов §§2 и 3. '

Переходим к обзору результатов главы 4.

А.Н.Дранишников * доказал, что каждый нормальный функтор Р" с конечными носителями С Р е Л/" У^ ) , сохраняющий О. -многообразия, сохраняет также ЬСп-

пространства, определяя, таким образом, отображение

Г : 1СЛ(61) -------> иС1- (Р'О.) • Пространство' 1_,СпСК) , состоящее, из ¿X" -подмножеств пространства X , наделяется топологией гомотопически а. -регулярной сходимости К.Куратовского . В 5 1 доказана непрерывность отображения Р : ((2) —> LC'г('F<2) в этой топологии (теорема 4.1.3). Доказано также сохранение такими функторами Р свойства быть локально к. -ко-связным. замкнутым подмножеством метрнзуемого АМК. -компакта (теорема 4.1.7)

Через ( обозначается универсальный менгероьский

компакт (см.*'' ). Отображений : X ' ~ "X назцнается

16) Дранишников АЛ. Ков&риантныв функторы и в й со летне экстензоры в размерности Ц //УШ. [ЭД).Т.40,вмп.6.С, 1Ьб-186.

Г?* Е) 1С*1Ыпе Я, Шяепз1с;1 №(>сгу,- Яагэалч, 1"М, 1992.

ул а-резольвентой А -компакта X , если X -ул^ -многообразие и отображение оС является гь -обратимым полиэдрально п- -мягким. При этом п -обратимость означает, что для любого отображения ^ . V—у- X ,

где ¿¿т У < ГЬ , существует ^ ' ■ V'--> X , для

которого оС » д' ~ . Полиэдральная п -мягкость

означает, что для любой полиэдральной пары (А , Ь)г ¿СмД ^ пт и любой коммутативной диаграммы

Л х'

9

л -X

существует ф : Ь--^ К такое, что Ф ( А ~~ 'Р

и оС'ф^У' (см.18>).

4.2.5. Пусть ^ е Л^ 5и Р сохраняет класс метризуемых А А/Я -компактов. Тогда для любой ^-резольвенты оС - X ' -X компактного полиэдра X

отображение '• РХ —РХ индуцирует изоморфизм гомотопических групп размерности п- .

В связи с этой теоремой отметим следующее. Для функтора Р конечной степени из упомянутой выше георемы А.Н.Дранишникова о оохраниении I С Л -пространств (она допускает также послойный вариант) и теоремы С.Смейла вытекает только изоморфизм гомотопических групп размерности а* и,-£

Иа теоремы 4.2.7 и теоремы о классификации ± -мно-

гообразий * вытекает, что функтор Г^ , сохраняющий

18)Дранишиков А.Н. Универсальные менгеровские компакты и универсальные отображения /7Ыат.сб.19В6.Т.129,»1.С.121-139

19)ВевМпа Ы. 0ЬагаоЬег1й1пв к-Д1пепа1ола1 ип1л'ег8я1 Мем/»ег ' оотраока,- Мето1га ИМЯ. Н.Э0О, 1903.

класс метризуемых AN К -компактов, сохраняет свойство отображения индуцировать I) изоморфизм гомотопических групп размерности $ п. (теорема 4.2.10) и 2) нулевой гомоморфизм гомотопических групп размерности < ьь (теорема 4.2.12)

А.Ч.Чигогидэе построил п- -мерный аналог теории тейпов - теорию >ь -пеГшов. Каждый нормальный функтор, сохраняющий класс метризуемых ANR -компактов, пропускается через категорию п, -тейпов (лемма 4,3.1). Отсюда вытекает, что такие функторы с конечными носителями сохраняют класс U V -пространств, U V -отображений и отношение U V ' -эквивалентности метризуемых компактов (теоремы 4.3.3 и 4.3.4).

Доказано также сохранение моральными функторами с конечными носителями свойства п -подвижности в смысле Сорсука f* л it -подвижности пар в смысле Кодеры и Ва-тандбе ( теоремы 4.3.7 и 4.3.9). Ранее имелись результаты только для п. " Í. и функторов (гипер) симметрической степени ^ .

г б)

Из результатов А.Н.Дранишникова вытекает свойство сохранения функторами односвязности A NR. -компактов. Пример 4.3.5 показывает, что функтор симметрического квадрата ¿P ' не сохраняет свойство тривиальности тейповой группы

-•Г< ■_

20) Чигогидэе А.Ч. Теория п -шейпов // УМН. 1989. Т.44, вып. 5. С. 117—140.

21)

Во г пи): К. Theory of Simpe .-'.Varozawa, F.YIÍ, 1975.

22) Ко dama Т., 'tfatftnabe Т. Anote on Borsuk's n-novability// Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. ucl. mat., antron. ph?e. 1974. 7.23, Л 3. Р.28Э-294.

Olgdzki J. On symmetric pr<?'lucta//Fimd. Hath. 1968. T.I3I, IT 3. Р.М5-Г9o.

§§ 4-6 'посвящены функторам, бл-зким к нормальным, и действующим в категории некомпактных пространств. А.Н.Дра-нишников 1 построил отображение j-<.tb ——Q , являющееся универсальным в классе отображений /: X —> У, где ¿¿¿лч, X < к. - . Операция взятия прообраза вдоль • универсального отображения является аналогом операции произведения в категории >ь -мерных пространств, что позволит А.Н.Дранишшкову сформулировать ( и доказать) теоремы о стабильности и триангуляции для у* -многообразий. Однако, операция произведения функториальна и, следовательно, естественен вопрос о функториальности операции прообраза вдоль универсального отображения. Несложные рассуждения показывают, что не определяет функтора из категории метризуедах компактов М Соп^р в категорию Тор • Введем категорию ( - Но*чх>Ьп, объектами которой являются п. -мерные ^-пространства, а мор-физмами - Сгь-1)- гомотопические классы отображений (отображения -f, $ : X -^ V называются (п.- d) -гомотопными, если для каждого отображения Л ■• А ------X,

где cLcrn- А < п. - £ , гомотопны композиции i, и

г0)).

4.4.6. Теорема. Существует функтор «f» : М Со^р -——-> С Ho^i^0 такой, что

fH* ДЛя каждого компакта Ver- Q00 .

Доказательство этой теоремы основано на существовании и единственности универсального отображения •' -—> <Я*° (теорема 4.4.5; через (соответственно, О!*0 ) оОозна-чен иньективный предел последовательности пространств гомео-ыорфных J^-п. (соответственно, Q. ) и Z. -вложений ). Отметим, что вопрос о единственности универсального отображения -f ^'-J^n. -----^ & поставлен А.Н.Дранишнико-

вым.

Аналогичные результаты имеют место и для универсальных отображений f '■ ^ 00 -(теоремы 4.4.8 и 4,4.9).

Каждый нормальный функтор F" допускает каноническое продолжение на категорию тихоновских пространств

. Через 4 (соответственно, &(Q) ) обозначается псевдовнутренность (соответственно, псевдограница) гильбертова куба О.

4.5.1. Теорема. Пусть Г £ и РО (3.

Тогда (Р<3,Рл) , его., Р С В (а))

= (а, 5(а)).

Следствием -того результата является свойство сохранения функторами ¿> -компактных и польских А Я (Ж)-пространств, АЕС^) -пространств, а также, для функторов с непрерывными носителями, и <27 -многообразий, ЬС ^-пространств.

Обозначим через бд-и,4^, *с ^ О , категорию банаховых С -многообразий, моделированных над бесконечномерными сепарабельными банахоьыми пространствами. Через V •' Влц11 >■ обозначается забывающий функтор. Поднятием функтора Г ■ —> называется такой функтор р/ , что 1/Р =■ FU.

Гомеоморфность всех сепарабельных банаховых пространств пространству 3 и теорема 4.5.1 делают содержательной задачу о существовании поднятия нормальных функторов на категорию Залг.*

4.5.7. Пусть F - нормальный функтор с непрерывными носителями, допускающий поднятие на категорию В«-п. ь , £ ^ 4 . Тогда Р = С- ) ^ для некоторого

§ 6 посвящен проблеме Х.Торуньчика и Дж.Вэста ^ о

24) Чигогидзе А.Ч. О продолжении нормальных функторов // Вестн. МГУ. Мат. Мех. 1964. № 6. С..23-26.

25) Toruriozyk II., ffeat J. К Hilbert вра.:е Unit for the Iterated hyperspace ' mctor//?roo. Ллег. Math. Яоо, 1983. V.S9, H 2. Г.329-333.

коыпактификациях функтора пополненного бесконечного итерированного гиперпространства егпр ' . Напомним конструкцию этого функтора. Для метрического компакта X через есс-р X обозначается метрический прямой предел системы

л X V ^ е.хрХ ^ у -а )( —^ азарХ -—^ &=ср А----...,

а через ех^р++ X обозначается пополнение пространства еос^о + X . Полученные функторы есс^з+ , ex*p + i~ :

М Cohu-p ---Тор обладают следующим свойством^ :

для каждого ивановского континуума X пара

(веср^+Х, ехр^Х) гоыеоморфна ларе ( 6*, 2Г ) ,где

- линейная оболочка стандартного вложенного, гильбертова куба Q ^ б . Теорема 4.6.5 содержит отрицательное решение проблемы Х.Торуньчика и Дк.Вэета о существовании функториальной компактификации р функтора со следующим свойством: CFK, + = (Q 3 ) для каждого континуума Пеано X

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах;

1. Заричный М.М. Сохранение АЛ/£(Ш) -пространств и бесконечномерных многообразий некоторыми ковариантными функторами //ДАН СССР.' 1463. Т.271, N>3. С.524-528.

2. Заричный Ы.М. О свойствах нормальных функторов.- В кн.: Тирасп. симп. по общей топол. и ее прил. - Кишинев, Штиинца, 1965. С.96-97.

3. Заричный Ы.М. О монадичных функторах конечной степени.-

В кн.: Вопросы геометрии и топологии. Петрозаводск. 1966.24'30.

4. Заричный Ы.М. Итерированные суперрасширения. - В кн.: 0<&цвя топология. Отображения топологических пространств, и.: Иэд-во МТУ, 1966.-С.45-59.

5. Заричный M.M. Категория нормальных функторов Ц Вестн. Львов, ун-та. Сер. мех.-мат. 1966, вып.25. С.52-56.

6. Заричный М.М. !фльтипликатйвный нормальный функтор - степени ой // Мат. заметки. 1967. T.4I, »I. С.93-100.

7. Банах Т.О., Заричный М.М. О компактификациях функтора итерированного гиперпространства // Изв. вузов. МатЛ967. M 10. G.3-6.

6. Заричный М.М. Монада суперрасширения и ее алгебры // Укр. мат. ж. 1907. Т.39, » 3. С.303-309.

9. Заричный М.М. функторы в категории компактов, сохраняющие однородность // Вестн. Львов, ун-та. Сер. мат.-мех. I960, вып. 30. с.30-32.

Ю. Заричный М.М. О мягкости умножений в суперрасширениях. В кн.: Общая топология. Пространства и отображения. М.: Изд-ва МГУ, 1969. 1.70-76.

11. Заричный М.Ы. Профигатная мультипликативность функторов и характеризация проективных монад в категории компактов // Укр. мат. ж. 1990. Т.42, 1С 9. С. I27I-I275.

12. Заричный М.Ы. Абсолютные экстензоры и геометрия умножения монад в категории компактов // Мат. сборник. 1991. Т. 182, )? 9. С. I26I-I280.

13. Зарич'-чй U.M. функторы, порожденные универсальными отображениями. В кн.: Математика. Научн. труды. Рйга; ЛУ , I991. С.95-102.

14. Zarichnyi М.М. On covarlant topological functors, 1 ff Quest, and Anew. Gen. Top. 1990. T,8, H 2. F.3I7-369.

15. Zarichnyi M.K. On eoTar±aat topological functors, 11 // Quest, and Anaw. Oen. Top. 1991. V.9, Я I. P.I~32.

16, flarichayi U.U. Sbape, homotopioal and embedding properties of functora of finite degreeSirapooionul VI Mraap. Top. Qsa. Appl. Chi^inau, 1991. P.205-206.

17. 2ftriohnyi K.H. Distributivity law for normal triples in the category of conpacta and lifting of functors to the categories oi algebrpfl/ZOominent. Math. Univ. Carol. 1991. T.32, N 4. P.785-790.

........