Бивариантные когомологии с симметриями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

1 Основные конструкции 1С

1.1 Гомологии Хохшильда.• . 1G

1.2 Циклические гомологии.

1.3 Скрещенные симплициальные группы.

1.4 Диэдральный комплекс

1.5 Кватернпонный комплекс BQ^^(A).

2 Бивариантные когомологии

2.1 Периодичности.

2.2 Свойства комплексов с периодичностями

2.3 Бивариантные когомологии.

2.4 Основные определения

2.5 Произведение.

3 Случай 1/2 е к

3.1 Редукция комплексов.

3.2 Матричная форма записи гомоморфизмов.G

3.3 Точные последовательности.

4 Эрмитов бивариантный характер Чженя G

4.1 Биваринтная эрмитова А'-теория.G

4.2 Характер Чженя.

5 Вычисления

5.1 Циклические гомологии А,{.•.

5.2 Периодические гомологии А</

5.3 Бивариантные периодические когомологии A,i

5.4 Кольцо Z(Q[VD, /=Т]).

5.5 Циклические гомологии кольца Z{Q[\fD, \/—Т]).cj

Настоящая диссертация посвящена развитию теории бивариантных когомологий с симметриями пары унитальных алгебр над коммутативным кольцом. Наибольшее внимание уделено построению теории бивариантных диэдральных когомологий и конкретным вычислениям над кольцом целых чисел.

Актуальность. Гомологическая теория алгеб]), возникшая первоначально как набор вычислительных средств в алгебраической топологии, теории групп и алгебр Ли, выделилась к концу 50-х годов в самостоятельный и быстрорастущий раздел математики. Ее становление связано с именами С. Маклейна, С. Эйленберга, Г. Хохшильда, А. Картана и многих других.

С помощью методов гомологической алгебры были получены многие важные результаты в алгебраической топологии, теории групп (применению гомологии в теории групп посвящена монография К. С. Брауна [15]), функциональном анализе (см., например, книгу А. Я. Хелемекого [13], посвященную этому вопросу), алгебраической геометрии.

В начале 80-х годов в структуре гомологической теории алгебр произошли существенные изменения. Во многом это было связано с понятием циклических (ко)гомологий, которые стали центральным объектом в новом разделе, возникшем на стыке гомологической алгебры, Л"-теории и некоммутативной геометрии. Циклические (ко)гомологии были введены А. Конном в связи с обобщением теоремы об индексе эллиптического оператора [17] и, независимо, Б. JL Цыганом для вычисления гомологии алгебр Ли [14]. Далее последовало бурное развитие "циклической" теории: было установлено, что циклические (ко)гомологии естественно возникают в связи с алгебраической А'-теорией Вальдхаузена, S1 -эквивариантнымп гомологиями топологических пространств, псевдоизотопиями топологических пространств, инвариантами плоских кривых в теории особенностей II т.д.

Наиболее ясно значение циклических гомологий и связанных с ними конструкций проявляется в рамках общей "философии" некоммутативной геометрии, представленной А. Конном в работах [18], [17]. Ее основную идею можно сформулировать следующим образом.

Известно, что различные свойства пространств (топологических пространств, многообразий и т.д.) можно сформулировать эквивалентным образом на языке функций (непрерывных, гладких и т.д.) на этом пространстве. В этом смысле объект (пространство) задается коммутативной алгеброй функций на нем. В некоммутативной геометрии роль объекта играет алгебра (не обязательно коммутативная), уже не связанная напрямую с пространством и являющаяся аналогом алгебры функций. При этом циклические гомологии оказываются одним из важных элементов теории. Выражаясь неформально, можно сказать, что в некоммутативной геометрии циклические гомологии играют ту же роль, что и гомологии де Рама в коммутативной.

Бпвариантные циклические когомологии были введены Дж. Джонсом и Кр. Касселем для исследования отображений, задающих изоморфизм в циклических гомологиях (НС-эквивалентности) и для классификаций операции в циклических гомологиях. Их построение было отчасти мотивированно паралеллизмом с КА'-теорисй Каспарова.

Циклические бивариантныс когомологии обобщают обычные циклические (ко)гомологии на случай пары алгебр А и В и являются важным техническим средством, используемом для построения изоморфизмов в циклических гомологиях и для построения отображений из А'-теории (см. [30]. [20], [41] [38]).

В работе Ж.-Д. Лодэ и Д. Квиллена [36] и, независимо, В. Цыганом [1J] был построен изоморфизм циклических гомологий и примитивной части гомологий алгебры Ли gl(A)

PrirnE*{yl(A)) = НС*1(Л). Таким образом, имея в виду известный изоморфизм

Pri,mlh{GL(A)) = 0А',|Л): О. п> 1 циклические гомологии можно рассматривать как аддитивный аналог алгебраической А'-теории (в работах Б. Фейгина и Б. Цыгана они так и называются "аддитивная А'-теория"). Другой, сходный результат был получен Т. Гудвилли в работе [23]. Им был построен изоморфизм

Кп(А, I) ® Q £ НС,, (А, I) м Q. где I -- нильпотентный идеал алгебры А.

Вычисление групп Кп алгебраической А'-теории является одной из наиболее сложных задач, имеющих многочисленные; приложения в алгебраической топологии, теории чисел и других разделах. Поэтому вычисления циклических гомологий кольца целых элементов квадратнческих расширений рациональных чисел

А, = Z(Qf/d]), Ad = Z(Q[/D,v/=T]), где (/ 6 Z, a D Е Z[?]. представляет особый интерес, как простейший случай колец с нетривиальными группами Л'-теорип.

Постановка задачи. В простейшем случае, когда основное кольцо /,■ содержит рациональные числа, циклические гомологии /,--алгебры Л можно определить как гомологии части комплекса Хохшнльдл. (см. п. 1.1.1) инвариантной относительно циклических перестановок множителей в тензорных степенях А®п. Так вводятся циклические гомологии в работах Конна [1G], [17]. При более общем подходе циклические гомологии определяются как гомологии бикомплекса СС{А) (см. ф-лу (1)) //-ая строка которого совпадает с резольвентой циклической группы Z/nZ с коэффициентами в Z/vZ-модуле А0П. Таким образом, циклические гомологии алгебры принципиально связаны с действием циклической группы, причем на каждой тензорной степени А1^" действует своя группа Z///Z. Такая структура допускает обобщения в следующих направлениях.

Рассматривая симплициальпые объекты с действием ZJmZ в //-ой размерности, мы приходим к понятию циклического объекта в произвольной категории (см. п. 1.3.1), с которым связывают его циклические гомологии. С другой стороны, вместо циклических, можно рассматривать некоторые другие семейства групп (см. п. 1.3). В частности, так определяются диэдральные объекты, то есть симплициальные объекты с действием диэдральных групп Dn в rt-ой размерности, кватерннонные объекты, соответствующие семейству кватернионных групп Q„ и рефлексивные, соответствующие семейству {Z/2Z}, действующему во всех размерностях операторами порядка 2. Аналогично циклическим, для диэдральных. кватернионных и рефлексивных объектов строятся соотвветственно диэдральные, кватерннонные и рефлексивные гомологии.

Заметим, что если алгебра А снабжена инволюцией, на тензорных степенях А®п можно ввести действие групп D„, Qv и Z/2Z введя оператор "отражения"

Уп(ао ® а! ® • • • (g) ап) = (-1)*м(п+1)а0 &> «н ® a„i © • • • 0 й2 С-5 а,.

Для вычисления диэдральных, кватернионных и рефлексивных гомологий алгебры А используются комплексы, аналогичные циклическому СС(А) (см. ф-лу (1)), обозначаемые СТ>(А), CQ(A) и СЩА). Как и в циклическом комплексе, на ?х-ом уровне у них стоят резольвенты соответствующих групп (Dn, Qn или Z/2Z) с коэффициентами в

Следующим важным этапом развития теории стало введение Дж. Джонсом и Кр. Касселем [29] бивариантных циклических когомологий пары алгебр (обозначение НС*(А, Б)). Основные их свойства были исследованы в работах [29], [30] и [31].

Как следует in названия, бпвариантные циклические когомолопш ковариантный функтор по первому аргументу и контравариантный по вто])ому. Они обобщают обычные циклические (ко)гомологии в том смысле, что имеют место изоморфизмы

НС"(А/>) = НСП(А) НС" (Л. к) = НС:П(Д), где НС- — отрицательные циклические гомологии —• гомологическая теория, двойственная циклическим гомологням, но лучше приспособленная для отображений из А'-теории (см. [23]).

Исследование бивариантных циклических когомологип было продолжено в работах Й. Кунца и Д. Квиллена (см. [24]) в контексте так называемых про-гомо логий.

Другое направление развития теории было представлено в работах Г1. Гурролы [28]. Им были построены бпвариантные кватернионные ко-гомологии и исследованы их основные свойства.

Настоящая работа продолжает линию намеченную в [29], [30], [31], [28]. В ней предложена общая конструкция бивариантных когомологий (с симметриями) пары комплексов (с периодпчностямн) (см. п. 2.3). При этом циклические бпвариантные когомологип Джонса и Касселя. кватернионные когомолопш Гурролы, рефлексивные и днэдральные когомолопш пары алгебр получаются в качестве частных случаев. В работе? исследованы основные свойства различных типов когомологий с симметриями, их взаимосвязь и связь с алгебраической А'-теорией.

Другая задача, решению которой посвящена вторая часть настоящей диссертации -— явные вычисления различных типов (ко)гомологий алгебры целых элементов квадратичоских расширений рациональных чисел, а именно

Ad = Z(QjSd]), Ad = Z(Qf/DV=T]), где' (/ 6 Z, a D E Z[i). В работе явно вычислены циклические и периодические гомологии, периодические бпвариантные! когомолелтш алгебры А^ и циклические гомологии алгебры А[). Вычисление циклических го-мологий дедекиндовых областей проводилось также в работе Ларсена и Линденштрауса [33], однако, в виду общности решаемой задачи, авторы не получают ответа в явном виде. Кроме того, результаты, полученные в [33], для расширений степени п. не дают формул для п-кручения модуля циклических гомологий. В нашем случае п = 2, и, как видно из теорем 5.5 и 5.14, строение 2-составляющей нетривиально.

Обзор основных конструкций. Следуя Лодэ и Квиллену [ЗС] определи лим циклические гомологии алгебры А над произвольным коммутативным кольцом А:, как гомологии тотального комплекса Tot СС(Л) ассоциированного с бикомплексом

-У ь' А А Л'

1 -<

-6' л

У «- ^ А

1 -t N Ь N

-Ь' А N л 1

-ь'

I г/, 2 /V /1" <

1) А N где отображения Ь, Ь', t и iV определены следующими формулами. 6(ft0 © «1 © • • • <Э ап) = Ь'(а0 © «J. © ■ • • © о,,,) + (-l)nana0 0 сц © • • • © a„]

71-1 a0 © aj a,

Et-D* 0 aг- i © аг-«г+] <S> • • • © a, i = 0 a0 © «i © • • • О «„.) = ( —l)Tton © ciq © a,i Qi> • • ■ © (in — \, Дг = 1 + t + t2 + . + Г.

Если алгебра А унитальна (т.е. обладает единицей), то, как было установлено в [3G], комплекс Tot* СС(А) квазнизоморфеи комплексу Tot^BC(A), где

ВС^(А) :

А © А + ь А в —г®2 N

А® А

А © А <ь А в где А = А/к, а п

В {ао © сц © • • ■ © a,0 = ^(-1)г1 © i'=0

1 © А * ь А в А

2) ч © «о © «1 ©----У. и г- 1

Первоначально, в работах А. Конна, циклические гомологии определялись как гомологии одномерного комплекса С*{А) (см. 1.2.4). При этом рассматривались алгебры над полем нулевой характеристики, и в этом случае комплексы Tot*CC(A), Tot* ВС {А) и С* (А) оказываются квазшпо-морфными (см. [36], [31]). Приведенное нами определение циклических гомологии при помощи бикомплекса (1) является наиболее общим и в Нестоящее время общепринятым.

В 1986-88 годах, в работах Р. Л. Красаускаса, С. В. Лапина и К). П. Соловьева [9] [10] [7] [8], для алгебры А с инволюцией ~~: А —> А были введены диэдральные гомологии HD*(A) (где е = —1,1) как гомологии комплекса Tot, CV£{A). Ассоциированный с ним трикомплекс СР£(А) имеет вид

1 -у

А\Ь)

1 + У

А*, —Ь) <-у

А\Ь)

1-г

-г

1-г

-1 -yt

А*,-//) -1 +yi

IV/) <-1 -yl

А\-Ь>) <■ N N N

1+У

А\Ь) 1 -у

А*, —Ь) 1 + у

А\Ь)

1 -г j — /

1-г

-1 + yt -i-yt N

А\Ь')

-1 + yl N

Л' где А* обозначает градуированный модуль с г-ой компонентой

Уп(ао <8>tti <3 ■ . ■(>•') ап) = (-1)2"("+1)еа0 >?> 7Г„ '".>) (I,,.-1 С-<) . . . 0 77,. а операторы Ь, //, N и t определялись выше.

Гомологии получающиеся при е — 1 называются положительными, а при е = — 1 отрицательными диэдральными гомологиями.

В [10] авторами были исследованы основные свойства дпэдральных гомологии, в том числе длинные точные последовательности, связь с эрмитовой Л'-теорией и т.д.

Построение диэдральных гомологии существенно использует инволю-тивную структуру алгебры. В простейшем случае, когда элемент 2 обратим в основном кольце, циклические гомологии распадаются в прямую сумму положительных и отрицательных диэдральных гомологии (теорема 3.1).

Следующим шагом разработки и обобщения конструкции циклических гомологий явились бивариантные циклические когомологии определяемые для пары алгебр А и В (обозначение НС* [А. В)). Они были введены

Дж. Джонсом и Кр. Кассе.нем [29] как гомологии комплекса отображений вида : Tot ВС,^{А) Tot ВС*Л\В) удовлетворяющих дополнительным условиям, смысл которых состоит в сохранении нериодичностей диаграмм бикомплекса ВС

Бивариантным циклическим гомологиям посвящены работы Кр. Кас-селя [30], [31] (в них, в частности, построен бнварпантиый характер Чженя) Ф. Нусса [39], И. Кунца и Д. Квиллена [20] и другие. П. Гуррола [28], распространил построения [30], [31] (в том числе и конструкцию бивари-антного характера Чжоня) на случай бивариантных кватернионных когомологий (см. п. 2.4).

Методика исследования. При доказательстве многих утверждений диссертации (предложения 1.1, теорем 1.3 и 1.4, теорем 3.1 и 3.4 и т.д.) существенно используется так называемая "лемма о возмущении" (теорема А.2), смысл которой состоит в следующем (обсуждение вариантов формулировки леммы и ее доказательство приводится в приложении А). Пусть для комплексов (L,dL) и (M,dM) заданы морфизмы комплексов : М —> L, V : L М и гомотопия h комплекса (M,dM), такие что

V = idL, dh + hd = У/ - id д./, /iV - fh = hh = 0. (3)

Набор данных (L, M, /, V, h) удовлетворяющий условиям (3) называется специальной деформационной ретракцией и обозначается символически

L, dL)t~—>{M, dM: h); говорят также, -что комплекс (M,dM) стягивается к комплексу (L.d1'). пли, если комплекс L — нулевой, говорят, что комплекс (М, dM) стягиваем.

Пусть 6 — возмущение дифференциала d, то есть такое отображение 5 : М* —> что d = 5 -f d снова является дифференциалом (5 + d)2 =

0, и пусть для любого х 6 М существует натуральное число п такое что (})5)п = 0 (условие локальной нильпотентности). Тогда существуют операторы dIOOl /0с, V^, (процедура их построения описана в и. А.2). такие что

V ^ будет специальной деформационной ретракцией.

Основные результаты. Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию "бивариантной" теории. Получены следующие1 основные результаты.

1. Систематически записаны деформационные ретракции между парами комплексов СС и ВС ([31]), СQ и BQ ([28]) и построены деформационные ретракции между комплексами CD и BD (теорема 1.3).

2. Разработана теория комплексов с периоднчиостями (пп. 2.1, 2.2); в частности, получены точные последовательности выражающие взаимосвязи комплексов с иериодичностями одного типа (теоремы 2.4, 2.5).

3. Определены бпвариантные когомологий пар комплексов с с иериодичностями одного типа (п.2.3); в частности, определены бпвариантные диэдральные и рефлексивные когомолопш для алгебр с инволюциями, над произвольным коммутативным кольцом (п.2.4).

4. Установлено, что бпвариантные когомолопш, соответствующие би-комплексам CDи 23D*,*,* будут изоморфны (теоремы 1.3 и 2.7), а при условии 1/2 Е к изоморфными будут бпвариантные когомолопш, соответствующие ВС* + и BQ(теоремы 3.4 и 2.7).

5. При 1/2 6 к установлен изоморфизм hd;(а, в) = не;(а, в) 0 hci(а, в) ^ hdi( а, в) ^ нс(а, в) теорема 3.G).

G. Построены точные последовательности, связывающие различные когомологий с симметриями (теорема 3.9).

7. Построен бивариантный диэдральный характер Чженя, отображающий группой бивариантной эрмитовой К--теории eK(A, В) (см. определение 4.2) в нулевую компоненту днэдральных бивариантных когомологий.

8. Явно вычислены циклические, циклические периодические гомологии и циклические бпвариантные периодические когомолопш кольца и циклические гомологии Z(Q{/Z?V-1]), где deZ.De т

Обзор содержания диссертации. Глава 1. имеющая вводный характер, посвящена построению основных примеров гомологических теорий с симметриями: циклических, диэдральных, кватерннонных и рефлексивных гомологий. Используемые для определений комплексы приводятся к наиболее простому виду. Основной результат главы (теорема 1.6j - редукция диэдрального трикомплекса к меньшему: BV(Л)

В пунктах 1.1 и 1.2 обсуждаются различные подходы к определению гомологий Хохшильда и циклических гомологий: производные функторы, некоммутативные дифференциальные формы, простейшие геометрические интерпретации. В явном виде приводится деформационная ретракция комплекса СС{А) к БС{А). В пункте 1.3 циклические гомологии рассматриваются как частный случай гомологий с коэффициентами в скрещенной симплициальной группе. Здесь же вводятся диэдральные. кватерни-онные п рефлексивные гомологии алгебр.

В пунктах 1.4 и 1.5 введенные в п. 1.3 комплексы CDf ^(А) и CQ*,*(A), определяющие (соответственно) диэдральные и кватернионные гомологии алгебры А, заменяются эквивалентными и более удобными для вычислений комплексами BVf ^ (А) (см. п. 1.4) и £>Q*,*(A) (см. и. 1.5) (это составляет утверждение теорем 1.3 и 1.4).

В главе 2 рассматривается общий случай комплексов с периодично-стями, изучаются их основные свойства и вводятся бивариантные когомологии комплексов с периодичноетями (бивариантные когомологии с симметриями) .

Будем говорить, что комплекс (C*,d) обладает периодичностью степени 'т, если задано эпиморфное отображение Р: С* —>• изменяющее градуировку на ш и коммутирующее с дифференциалом <1 (определение 2.1)/

Комплексами с периодичноетями являются, в частности, "циклические" комплексы: СС*^(А) и ВС*,*(А); "кватернионные" комплексы: С(2*,*( £Q*,*(A); "диэдральные" комплексы: (А), С'Р*^* ( А): "рефлексивный" комплекс: CR*,*(А), (см. п. 2.1). Например, периодичностью комплекса ВС*}+(А) является отображение 5 степени —2, состоящее в "вычеркивании" первого столбца (см. диаграмму (2)).

Деформационная ретракция называется совместимой с периодичноетями, если задающие ее операторы коммутируют с операторами перио-дичностей. В предложениях 2.1, 2.2 и 2.3 доказывается, что деформационные ретракции между циклическими, кватернионными и днэдральнымп комплексами, построенные в пп. 1.2, 1.4 и 1.5 совместимы с соответствующими периодичноетями.

В пункте 2.2 доказаны простейшие свойства комплексов с перподпчностямп, выраженные на языке точных последовательностей (теоремы 2.-1. 2.5); как частные случаи получаются точная последовательность Конна ациклических гомологиях, точная последовательность в диэдральных го-мологиях и некоторые другие точные последовательности.

Пункт 2.3 посвящен введению бивариантных когомологий для пары комплексов L = (L*,dIj) и М = (M*,dM) с набором перподичностей V = {Pi,., Рп}. По определению, это гомологии комплекса составленного из отображений комплекса L в комплекс М (отображения рассматриваются как морфизмы градуированных модулей) перестановочных с операторами перподичностей V: llom-p(L^A'h) = {/ : L, - М* | fP; = />■/}■

Здесь же (предложение 2.G и теорема 2.7) доказывается, что так определенные биварпантные когомологии не меняются при замене комплексов на другие, стягиваемые к исходным, если соответствующие деформационные ретракции совместимы с периодичностямп.

В пункте 2.4 общие конструкции п. 2.3 применяются к циклическим, диэдральным, кватернионным и рефлексивным комплексам, и, тем самым, мы получаем определения бивариантных циклических (обозначение НС*(А,Б)), диэдральных (обозначение HD*(A,j3), где s = 1,-1), кватернионных (обозначение HQ* (А, В)) и рефлексивных (обозначение HR*(A,Z3)) когомологий пары алгебр А, В. В пункте 2.5 в бивариантных когомологиях с симметриями вводится произведение.

Глава 3 посвящена исследованию конструкций глав 1 и 2 в случае, когда элемент 2 основного кольца обратим. Построения значительно упрощаются. Так, гомологии Хохшильда распадаются в прямую сумму положительных и отрицательных рефлексивных гомологии (теорема 3.3) циклические гомологии распадаются в прямую сумму положительных и отрицательных диэдральных гомологии (теорема 3.1). Кватерннонные гомологии стягиваются к положительным диэдральным (теорема 3.4). причем деформационная ретракция оказывается совместимой с ''кватер-нионными" периодичностямп, и, значит, соответствующие; биварпантные когомологии изоморфны (следствие 3.5). Несколько иная ситуация складывается с бивариантными диэдральными когомологиями. Согласно основному результату главы 3 - - теореме 3.G, при 1/2 Е к, имеют место следующие изоморфизмы

ЬШ;(А. В) ~ НС*(А, В) £ HDЦА.В).

Доказательство теоремы достаточно трудоемко, и ему посвящена большая часть главы 3. Оно состоит в рассмотрении всевозможных варпантов отображений / : + —> #£>+^(5) п пыдслошш тех из них. которые вносят нетривиальный вклад в когомологин.

В пункте 3.2 отображения, перестановочные с периодичноетями. описываются в виде бесконечных верхне-треугольных матриц. Пользуясь таким представлением, в теореме 3.9 и следствии 3.10 получены точные последовательности, связывающие различные бпвариантные когомологип с: спмметриями.

В главе 4 вводится характер Чженя отображающий бивариантную эрмитову А'-теорию еК(А,В) в нулевую компоненту бивариантных ди-эдральных когомологий.

В пункте 4.1 приводится построение бпвариантной эрмитовой А'-теории еК(А,В) (см. [28]) для пары алгебр с инволюциями {£ — единица основного кольца к с условием ее — 1).

Назовем е-эрмитовым А-Б-модулем А-Б-бимодуль М (то есть М — левый А-модуль и правый 23-модуль, причем правое и левое действия согласованы), снабженный невырожденной полуторолинейной формой h h(y,x) = eh(x,y). Если существует другой е-эрмитов к-В-мопулъ (M',hr), такой что для некоторого п, то (М, h) называется проективным ^-эрмитовым А-В-модулем. Проективные е-эрмитовы А-В-модулн образуют категорию e'HRep(A, В), группа Гротендика которой и называется бивариантной эрмитовой А-теорией сК{А,В) = Ко(еНПщ>,±).

Значение биварпантного диэдрального характера Чженя

Dch : еЩА.В) 1ID+(A,£), на с-эрмитовом А — В-модуле {PJi) Е e'HRcp{A.B) определяется в п. 4.2 как когомологический класс композиции отображений

Тг" о /i5 о Ар : £PW(A) - BV^(B).

Отображение инволютивных алгебр

А/>: АEnd л Г задастся левым .модульным действием алгебры А. Отображение ft строится как композиция где нзометрия, существование которой следует из определения /НВ.ср{А, В)\ М'2п(^) обозначает алгебру квадратных 2п х 2п матриц над В, а отображение Ad и действует на эндоморфизмах сопряжением с помощью и. Отображением

ТУ; : МГ(А)®71 А " (обобщенный след) задается формулой

Tr"(?«oao <g> т^а 1 <g> • • • <g> rrinan) — Tr(m0 • . тп)а0 <>у а, ■ ■ ■ ангде пц £ Ыг(к), аг £ А.

Знак tj означает, что отображение заданное на уровне алгебр А\ А2 (как f.i и Л) или на уровне столбцов ^-комплексов С'Н*(А\) —» С7^*(А2) (как Тг) распространяется на весь /5D + комплекс

Основным результатом главы 4 является теорема 4.2, утверждающая, что класс Dch(P, h) в диэдральных бивариантных когомологиях не зависит от выбора отображения и и числа п, участвующих в определении отображения р. Доказательство проводится в несколько этапов (предложение 4.3, следствие 4.4, предложение 4.5) и существенно использует следующую деформационную ретракцию, построенную Р. Маккартн [37]:

Cn,{A)t=~=;CH,{Mr(A)y, Ф,

Lr> где I р : А —> МГ(А) отображение ставящее в соответствие элементу а £ Л матрицу с единственным ненулевым элементом а на (р,р)-ом месте.

Глава 5 посвящена явному вычислению (ко)гомологнй с симметриями различных типов (циклические, периодические и т. д.). В качестве основного примера рассматривается кольцо

A j = Z(Q\/d}) 13 целых элементов квадратических расширений рациональных чисел, то есть кольцо корней уравнений л х + рх + q = О, вида Cbjd -f b, где p,q £ Z, а а,Ъ е Q.

В пункте 5.1 в матричной форме вычисляются дифференциалы циклического комплекса bc(ad). В предложениях 5.1 и 5.2 обосновывается алгоритм приведения матриц дифференциалов к диагональному виду и вычисляются соответствующие диагональные элементы. Результаты вычислений сформулированы в теореме 5.5, утверждающей, что циклические гомологии кольца Ad вычисляются по формулам

HC2n(Ad\z) ^zez, HC2n+i{Ad\Z) = Z/9lZ ©•••© Z/gnZ, при d = 4k + 1,

HC2n+1(Ad\Z) = Z/9lZ © ■ • • © Z/gnZ © (Z/2Z)n, при d = 4k -f 3 или d = 4k + 2, где gi = pr^-, i к

Vi = (dk,dk~1ak,.,dk~i Д afej+i,., Д aj), a{ = 2i - 1. j=i j=i

Круглые скобки обозначают наибольший общий делитель.

В предложении 5.6 показано, что система базисов, в которых матрицы дифференциалов имеют диагональный вид (построенные в предложении 5.3) удовлетваряет условию Миттаг-Леффлера, и, как следствие, получаются явные формулы для вычисления периодических циклических гомологии (теорема 5.7).

Пункт 5.3 посвящен вычислению бивариантных периодических когомологий пары колец Adl, Ad2 (теорема 5.8). В доказательстве используются результаты п. 5.1.

В пунктах 5.4 и 5.5 вычисления, аналогичные приведенным в п. 5.1 проделываются для кольца Ad — Z(Q[/D,\/^!]), где D € Z[i] — элемент кольца гауссовых чисел Г = Z[г].

В пункте 5.4 в зависимости от D строится базис кольца Ad как Г-модуля (теорема 5.12). В пункте 5.5 в матричном виде вычисляются дифференциалы циклического комплекса ВС (Ad)- Пусть D = di + id2.

Результаты вычислений сформулированы в теореме 5.14, утверждающей, что циклические гомологии алгебры Ad задаются формулами

НС2п(А0\Г)=ТфТ,

НС2п-1{Ап\Т) = Т/дгТ 0 • • • 0 Г/дпГ 0 (Г/2Г)В, при с?2 = 2к + 1,

HC2n^(AD\T) = Г/дгТ ® • • • 0 Т/дпТ, при {о?1, d2} = + 1,4/},

HC^(Ajrb Г/&Г 0 • • • 0 Т/дпТ 0 (Г/(i + 1)Г © Г/(г + 1)Г)П, при {dlfd2} = {2к + 1,41 + 2}, где д{ =

V i — 1 г fe

Vi = (D\ Dk~lak,., Dk-* П акч+ь ., Д Oj). ^ = 2i - 1. j=i j=i

Как и ранее, круглые скобки обозначают наибольший общий делитель.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Алгебраическая топология" под руководством М. М. Постникова, Ю. П. Соловьёва, А. В. Чернавского, на семинаре "Геометрические методы" под руководством А. Т. Фоменко, на семинаре математического факультета университета Б. Паскаля (Клермон-Ферран, Франция).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора

1 .Солодов Н. В. О циклических гомологиях некоторых колец алгебраических чисел// Вестник МГУ. Серия I. Математика, механика — 2000 г.— No 6. — С. 56-59

2.Солодов Н. В. Бивариантные диэдральные когомологии// Вестник МГУ.

Серия I. Математика, механика — 2003 г.— No 2. — С. 54-58

Кроме того, по теме диссертации опубликован препринт

Solodov N. V. Cohomologies bivariantes de type cyclique//Prepublication de l'Universite Blaise Pascal, Clermont-Ferrand (France), 2003.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Юрию Петровичу Соловьеву за постановку задачи и за неустанную и благожелательную поддержку на всех этапах работы над диссертацией.

1. Атья М., Макдоиалъд И. Введение в коммутативную алгебру.—М.: Мир, 1972.—160 с.

2. Браун К. С. Когомологии групп.— М.: Наука, 1987.— 384с.

3. Гильберт Д. Избранные труды, Т. 1.—- М.: Факториал, 1998.— 575 с.

4. Горинрв А. Р. О когомологиях двойных комплексов // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, матем., мех.— 1997.— No 5.— С. 54-56

5. Картаи А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра.— М.: Издательство иностранной литературы, I960.-— 510 с.

6. Краеаускас P.JI. Некоторые топологические приложения диэдраль-ных гомологий. Диссертация . канд. физ.-мат. наук / МГУ им. М. В. Ломоносова. Мех.-мат. факультет. М., 1987.— 89 л.

7. Красау скас Р. П., JIanuu С. В., Соловьев 10. П. Диэдральные гомологии и когомологии // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, матем., мех.— 1987.— No 4.— С. 28-32

8. Красау скас P. Л., Лапин С. В., Соловьев 10. IIДиэдральные гомологии и когомологии, основные понятия и конструкции // Матем. Сб.— 1987.— 133, No 1.— С. 25-48

9. Краеаускас Р. Л., Соловьев 10. П. Диэдральные гомологии и эрмитова К-теория топологических прострснств // Успехи Матем. Наук— 1986.— 41, No 2.— С. 195-196.

10. Краеаускас Р. ЛСоловьев 10. П. Рациональная эрмитова А'-теория и диэдральные гомологии // Изв. АН СССР. Сер. матем.— 1988.— 52, No 5.— С. 935-969.

11. Мищенко А. С. Эрмитова К-теория. Теория характеристических классов, методы функционального анализа // Успехи математических наук— т. XXXI, вып. 2(188).— С. 69-134.

12. Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры.—М.: Наука, 1996.—302 с.

13. Хелемский А. Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах— М.: Изд-во МГУ, 1986.— 287 с.

14. Цыган Б. Л. Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и гомологии Хохшильда // Успехи матем. наук- 1983. 38, No 2.— С. 217-218.

15. Brown J. Е. II. Twisted Eilenberg-Zilber theory // Celcbrazioni Archimcdce del secolo XX, Simposio di Topologia— 1967.— C. 34-37.1G. Comics A. Coliomololiie cyclique et foncteur Extn // C. R. Acad. Sei. Paris, Serie 1— 1983,— 296.— C. 953-958.

16. Connes A. Non-commutative differetial geometry // Piibl. Math. IHES— 1985.— G2.— C. 41-144.

17. Connes A. Noncoriiinutativc geometry— London: Academic press, 1994.— GG1 c.

18. Cuntz J., Quillen D. Cyclic homology and nonsingularity j j J. Amer. Math. Soc.— 1995.— 8, No 2.— C. G7-98.

19. Cuntz J., Quillen D. Excision in bivariant cyclic cohomology // Invent. Math.— 1997.— 127, No 1.— C. 67-98.

20. Eilenherg S., MacLane S. Cohomology theory in abstract groups I— Ann. of Math.— "1947.-- 48, Nol,-- C. 51-78.

21. Fiedorowicz Z., Loday J.-L. Crossed simplicial groups and their associated homology // Trans. Amer. Math. Soc.— 1991,— 32G, Nol — C. 57-87

22. Goodwillie T. G. Relative algebraic A-theory and cyclic homology // Annals of Math.— 1986.— 124. No 2.— C. 347-402

23. Gronbaek Chr. Bivariant periodic cyclic homology.— Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 1999— 110 c.

24. Gugenheim V. К. A. M. On a chain-complex of a fibration // Illinois J. Math.— 1972.— 16, No3.— C. 398-414.

25. Gugenheim V. К. A. M., Larnbc L. Perturbation theory in differential homological algebra I // Illinois J. Math.— 1989.— 33, No 4.— C. 566582.

26. Gugenheim V. К. A. M., Lambe L., Stasheff I. D. Perturbation theory in differential homological algebra II j j Illinois J. Matli.— 1991.— 35, No 3.— C. 357-373.

27. Gurrola P. Cohomologic quaternioiiique bivariante et caractcrc do Clicrn liermitien // Communication in Algebra-- 1994.- 22, No G.— C. 20392055

28. Jones J. D. S., Kasscl Chr. Bivariant Cyclic theory // A'-theory— 1989.— 3, No4.— C. 339-3G5

29. Kassel Chr. Caractcrc de Cliern bivariant // A'-Theory— 1989.— 3, No 4.— C. 367-400

30. Kassel Chr. Homologie cyclique, caractere de Cliern et, lemiiie de perturbation // J. Reine Angew. Matli.— 1990,— 408.-7 C. 159-180

31. Lambre Th. Quelquc exernples de lemmes de premiere perturbation en homologie cyclique // Coinmun. in Algebra— 1995.— 23, No 2.— C.525-541.

32. Larsen M., Lmdenstrauss A. Cyclic Homology of Dcdekind Domains// Ji'-Tlicory.— 1992.-— G, No 4. — C. 301-334

33. Loday J.-L. Cyclic homology— Grundlehrcn der Matliematischen Wis-senscliaften, 301— Berlin: Springer-Vcrlag, 1992.— 455 c.

34. Loday J.-L. Homologies diedrale et quatcrnioniquc // Adv. in Math.— 1987.— 66, No 2.— C. 119-148.

35. Loday J.-L., Quillen D. Cyclic homology and the Lie algebra homology of matrices // Comment. Math. Ilelv.— 1984,— 59, No 4,— C. 5G9-591

36. McCarthy R. Morita equivalence and cyclic homology // C. R. Acad. Sci. Paris, Serie 1— 1988.-- t. 307. C. 211-215.

37. Nistor V. A bivariant Cliern-Сonnes character // Ann. of Math.— 1993.— 138, No 3.— C. 555-590.

38. Nuss Ph. Decomposition de la coliomologie cyclique bivariante des algebres commutatives // Math. Scand. — 1992.— 70, Nol.— C. 5-2G.

39. Sierpmski W. Elementary theory of numbers- Amsterdam: North-Holland, 1988,— 513 c.

40. Zekri R. Thom element and bivariant cyclic cohomology // A'-theory— 1992.— 6, No 4.— C. 335-346.fCCV:,. МлмГ1 . V ' .