Гомологии с внутренними симметриями C*-алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 515.14

ЯССИН ГАЛЛАБ ГУДА ГОМОЛОГИИ С ВНУТРЕНИМИ СИММЕТРИЯМИ С - АЛГЕБР Специальность 01.01.04 - Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА

1993

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского Государственного университета им. М. В. Ломоносова

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических наук,

профессор Ю. П. СОЛОВЬЕВ

!

■ ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико-математических наук,

профессор А. Ф. ХАРШИЛАДЗЕ кандидат физико-математических наук, доцент С. В. ЛАПИН

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Московский педагогический государственный университет им. В. И. Ленина

Защита диссертации состоится " 1993 г.

в 16 час. 00 мин. на заседании специализированного Совета (Д. 053. 05.05) по математике при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва. Ленинские горы, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан "_& " ^ддз Г-

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО СОВЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ Д 053. 05. 05 при МГУ, доктор физико-математических

наук, децент В. Е ЧУБАРИКОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Гомологии с внутренними симметриями - од) из наиболее активно развивающихся направлений алгебраической )пологии, имеющее непосредственные применения к различным облас-

IM математики и математической физики. Это направление возникло

i 2

начале восьмидесятых годов, когда А. Конн и Б. Л. Цыган независимо >ели так называемые циклические гомологии и когомологии ассоциа-шных алгебр, оказавшиеся очень полезным инструментом в различ-IX задачах алгебр, геометрии, топологии и анализа. Достаточно ;азать, что циклические гомологии и когомологии успешно применя-■ся в теории эллиптических' операторов на слоениях, при описании |мотопического типа пространств псевдоизотопий, в теории харак-ристических классов алгебраических многообразий и алгебраичес-|й К-теории. Они используются также в некоммутативной дифферен-;алыюй геометрии и в когомологиях алгебр Ли - в двух областях .тематики, которые, в первую очередь, и вызвали к жизни цикличес-е гомологии. В 1985 г. Ю.,П. Соловьев с учениками разработал зр-товы варианты .циклических гомологий и гомологий Хохшильда - так зываемые диэдральные и рефлексивные гомологии3*?

Connes A. Cohomologie cycligue et fondeurs Exta// С. R. Acad. 5ci. Paris. 1983. T. 296. P. 953-958.

Цыган Б. JL Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и гомологии Хохшильда // УЖ 1983. Т. 38. N 2. С. 217-218. Красаускас P. JL , Лапин С. В. , Соловьев Ю. IL Диэдральные гомологии и когомологии // Вестник МГУ. Сер. матем. мех. 1987. N 4. С. 28-32. Красаускас Р. Л. , Лапин С. В. , Соловьев Ю. II. Диэдральные гомологии и когомологии. Основные понятия и конструкции // Матом, сб. 1987. Т. 1381.175). N5. С. 25-4«.

Это позволило Р. Л. Красаускасу^создать обшую концепцию гомо-

»

логии с внутренними симметриями. В работе Р. Л. Красаускас и Ю. II. Соловьев получили изоморфизм между диэдральными гомологиями дифференциальной градуированной алгеброй коцепей пространства петель односвязного топологического пространства и унитарной алгебраической К-теорией этого пространства. Это позволило им создать эффективную вычислительную схему для описания рационального гомотопического типа групп гомеоморфизмов односвязного многообразия, которая развивается по настоящее время в работах европейских и американских математиков (Тралле, Лоддер, Дунн и др.).

В 1989 г. А. Я. Хелемский рассмотрел топологические аналоги циклических гомологий и когомологий3. Это позволило ему получить ряд новых результатов о гомологическом строении операторных алгебр, в частности, характеризацию К-аменабельности в смысле Конна.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Настоящая диссертация посвящена построению гомологий и когомологий с внутренними симметриями для С -алгебр. Цель диссертации:

1. . Разработать конструкции топологических гомологий и когомологий с внутренними симметриями для С -алгебр.

1. Красаускас Р. Л. Кососимплициальные группы // Литовский матем. сб. 1987. Т. 27. N 1. С. 89-99.

2. Красаускас Р. Л. , Соловьев Ю. П. Рацион&Льная эрмитова К-теория и диэдральные гомологии // Изв. АН СССР. Серия матем. 1988. Т. 52. N 5. С. 935-969.

3. Хелемский А. Я. Банаховы циклические когомологии как банаховы производные функторы. // Ленинград, матем. журнал. В печати.

2. Вычислить диздральные когомологии для ядерных С-алгебр и для О -алгебр, не имеющих непрерывных следов.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе используются:

1. Гомологическая алгебра.

2. Алгебраическая топология.

3. Структурная теория С -алгебр.

4. Гомологическая теория операторных алгебр.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Создана конструкция банаховых индексирующих категорий, обобщающая понятие регулярных индексирующих категорий Красаускаса - Соловьева. Определены объекты с внутренними симметриями как непрерывные контравариантные функторы из банаховой индексирующей категории в произвольную банахову категорию. Определен непрерывный аналог циклической,рефлексивной и диэдральной бар-конструкций для банаховых алгебр. Введены гомологии и когомологии объекта с внутренними симметриями и описаны их основные свойства.

2. Получено описание рефлексивных и диэдральных гомологий и когомологии банаховых алгебр в терминах функторов Ext и Тог. Получена теорема о расщеплении топологизированных циклических гомологии ^-алгебры в прямую сумму положительных и отрицательных диэдральных гомологий. Получен когомологический аналог Теоремы о расщеплении.ч.

3. Построен топологический вариант относительных циклических когомологии OdHaXOBHX алгебр и получены точный последовательное-

- г, -

ти, ср.Яйьтающи* эти когпмолпгии с абсолютными циклическими когомо логиями алгебры и подалгебры.

4. Основываясь на теореме о расщеплении циклических когомо-логий в прямую сумму положительных и отрицательных диэдральннх когомо.погий, получено полное вычисление диэдральннх когомологий для ядерных С- -алгебр и для С- -алгебр, не имокмцих непрерывных следов.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в ней, могут найти применение в теории операторных алгебр, а также в приложениях этой теории и теории индекса в квантовой теории поля. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам, работающим в гомологической апгнбре, алгебраической топологии и теории операторных алгебр (МГУ, ЛГУ. МИГАН, СОРАШ.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Результаты диссертации докладывались на семинаре "Современные геометрические методы" кафедры дифференциальной геометрии V приложений МТУ под руководством профессора А. Т. Фоменко.

ПУБЛИКАЦИИ

По теме диссертации опубликована одна работа Ш.

СТРУКТУРА РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст изложен на 86 страницах, список литературы содержит 48 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава "Основные категорные конструкции, связанные с гомологиями с внутренними симметриями" содержит определения и обозначения, используемые в работе. В ней вводятся понятия индексирующих категорий, монад, регулярных индексирующих категорий, скрещенных симплициальных групп; приведена классификация простых скрещенных симплициальных групп.

Вторая глава "(Ко)гомологии с внутренними симметриями бана-:овых категорий" посвящена построению банаховых индексирующих ка-■егорий, обобщающих регулярные индексирующие категории Красауска-а - Соловьева и банаховых (ко)гомологий с внутренними симметрия-м. С каждой регулярной индексирующей категорией Л связывается анахова алгебра Л^^/МвгЛ), где МогЛ - множество всех мо-физмов категории - банахово пространство,

остроеИное на множестве Мог/1. На естественным обра-

ом вводится структура банаховой алгебры, не унитальной, но обла-ающей неограниченной аппроксимативной единицей. Если

¿дм* - ка-

эгория банаховых пространств и сжимающих операторов, то Л - ба-аховым пространством (соотв. ,- банаховым пространством) азывается ковариантный (соотв., контравариантный) функтор

А-► (соотв., Рр/>--).

Связь между Л -пространствами и /1 -модулями дается сле-гющими утверждениями:

ао

Лемма (2.1. 4). Пусть

леШ; £ Ш Ж

тда в существует структура левого банахова Л -модуля,

торая однозначно определена для

/ 6£/я, -7 и ¿Cf/' & ра-

нствами и ¡ВС"О при /я*'2.

Лемма (2.1.5). Сопоставление задает изомор'

категорий ¿Л, ¿ВЯЛ,/*—>Л -

Пусть

Г- некоторое Л -банахово пространство (соотв. , Л банахово пространство). Когомологии (соотв. .гомологии),^"" опр< ляются как полные преднормированные пространства.

Яг

где¿72 - функтор, сопоставляющий кавдому объекту о,

мерное пространство , а кавдому морфизму £ £¿Г > - '

дественный оператор в Ш .

Во втором параграфе подробно выписываются образующие и ел ношения в гомологиях и когомологиях для рефлексивной,цикличе! и диэдральной индексирующих категорий. В качестве основного мера Л - банахова пространства рассматривается топологкче< бар-конструкция для банаховой алгебры

с единицей,

£л- С);

щ

а,..... а*У-

Когомологии этого пространства обозначаются

Основным результатом второй главы является теорема о рас лении, устанавливающая связь мевду банаховыми циклическими и эдральными (ко)гомологиями.

Теорема (2. 3.1).

Имеют место следующие изоморфизмы:

1.

Эта теорема является важным техническим средством для вычисления диздральных (ко)гомологий некоторых конкретных классов банаховых алгебр, которые проводятся в четвертой главе.

Третья глава "Относительные когомологии с внутренними сим-метриями банаховой алгебры" посвящена обобщению понятия ко гомо-логий с внутренними симметриями на ситуацию, в которой рассматриваются пары ( // , & ), состоящие из банаховой алгебры /4 и ее замкнутой подалгебры

Полученная конструкция применяется к аменабельным и триангулированным банаховым алгебрам.

Напомним, что банахова алгебра

называется аменабельной, если для любого дуального банахова /4 -модуля Л/выполнено условие:

где - группа непрерывных одномерных когомологий Л .

Теорема (3.2.4). Пусть замкнутая аменабельная подалгебра банаховой алгебры

/1 .

Тогда имеет место изоморфизм

Напомним теперь определение триангулированной банаховой алгебры. Пусть - сеперабельное гильтерово пространство. Рассмотрим сеть ортогональных проекторов в , т. е. йполне упо-

рядоченное семейство проекторов, содержащее 0 и 1 и замкнутое сильной операторной топологии. Положим

еае для всех

Алгебра Л^ называется триангулированной алгеброй, ассоц рованной с сетью . Пусть Д - ультраслабое замыкание алг'еб порожденной семейством X7 ; эта алгебра называется ядром алг ры Л/р.

Обозначим через ^ радикал триангулированной алгебры, банаховых алгебр с единицей /V

' $ £ - квази - нильпотент для всех $ Л^

Теорема (3. 3. 6). Пусть - счетная сеть. Тогда каноничес проекция -индуцирует изоморфизм непрерывных

клических когомологий

где Д - ядро алгебры .

Четвертая глава "Вычисление циклических и диэдральных кс мологий для некоторых классов С -алгебр" посвящена конкрет! вычислениям.

Напомним, что банахова алгебра А называется С' -алгеб| если для каждого элемента ¿С€/4 существует соответствующий < единственный элемент <2? , называемый сопряженным к <3? , удо! творящий следующим условиям:

/

--¿у

//х//2 '

Основные результаты этой главы - теорема 4. 3. 6 и следствие . 3. 7.

Теорема (4.3.6). Пусть Л - некоторая ¿- -алгебра, не имеющая "раниченных следов. Тогда непрерывные диздральные когомологии тгебры обращаются в нуль.

Следствие (4.3.7).

Пусть -ядерная £ -алгебра. Тогда

У4

е^ - пространство всех ограниченных следов на , удовлет-ряющих условию

/г {а V-- ¿/¿г^я/, +

Работы автора по теме диссертации. Яссин Г.Г. Гомологии с внутренними симметриями - алгебр // рук. Деп. в ВИНИТИ РАЕ 1993.- 86 с.-№ Ц-оЪ-ед}. /2-62, 1