Частичные порядки групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение 3

ГЛАВА 1.Частичные порядки группы AutQ 11

§1. Минимальные частичные порядки AutQ 11

§2. Максимальные частичные порядки 21-27 нормальных подгрупп группы AutQ

Глава 2. Группы Длаба 28

§1. Линейные порядки групп Длаба I), ^я* 29

§2. Группы Длаба DH(l), £*я(I), DHi А*я 35

§3. Группы Длаба и многообразия £-групп 38

ГЛАВА 3. Мощности множеств правых порядков 43

§1. Мощности множеств правых порядков локально 43-46 индикабельных групп

Теория частично упорядоченных групп, то есть групп на которых введено отношение частичного порядка, устойчивое относительно группового умножения, является одной из обширных и интенсивно развивающихся областей теории групп. В настоящее время изучение частично упорядоченных групп ведется по следующим основным направлениям: линейно упорядоченные группы, решеточно упорядоченные группы и правоупорядоченные группы.

Исследование групп, допускающих порядок, является одной из важнейших задач теории частично упорядоченных групп, так как введение порядка возможно далеко не всегда и предполагает наличие у группы определенных свойств. Одним из важных и интересных направлений исследований частично упорядоченных групп является описание частичных порядков групп. В этом направлении Б.Нейманом (см.[1], с.306, проблема 18 (а), (с)) для упорядочиваемых групп были сформулированы следующие вопросы: 1) Если число линейных порядков на упорядочиваемой группе конечно, должно ли оно быть степенью числа 2? А если оно бесконечно, должно ли оно быть степенью числа 2? 2) Что представляют из себя упорядочиваемые группы с конечным числом линейных порядков? Пример, опровергающий гипотезу 1), был найден М.И.Каргаполовым, А.И.Кокориным, В.М.Копытовым в [2]. Группы с конечным числом линейных порядков изучались В.М.Копытовым в [3] и Н.Я.Медведевым в [4]. В.Длабом [5] показано, что существуют неабе-левы простые группы с двумя линейными порядками. В [б] В.В.Блудовым приведен пример неабелевой группы, допускающей два линейных порядка и не являющейся простой. Аналогичные вопросы рассматривались также и для правоупорядочиваемых групп. Оказалось, что группа с двумя правыми порядками является подгруппой аддитивной группы рациональных чисел (С.А.Тодоринов, Н.Л.Петрова [7], В.М.Тарарин [8]). В.М.Тарариным [8] получено полное описание групп с конечным числом правых порядков, показано, что если число правых порядков конечно, то оно является степенью числа 2 и для каждого натурального числа п найдены группы с 2п правыми порядками.

Доказательство Ч.Холландом [9] теоремы о том, что всякая решеточно упорядоченная группа имеет точное представление автоморфизмами подходящего линейно упорядоченного множества, позволило систематически привлекать к изучению решеточно упорядоченных групп технику работы с группами автоморфизмов линейно упорядоченных множеств. Группы порядковых автоморфизмов линейно упорядоченных множеств изучались Ч.Холландом в

9], [ 10], [11], А.Глассом в [12], [13], С.Макклири в [14], [15].

Современное состояние теории частично упорядоченных групп достаточно полно отражено в монографической литературе (см. В.М.Копытов [16], В.М.Копытов, Н.Я.Медведев [17], В.М.Копытов, Н.Я.Медведев [18], М.Дарнел [19], А.Гласс [20],[21].

Напомним определения и вспомогательные результаты, необходимые в дальнейшем.

Группа G называется частично упорядоченной, если на ней введено такое отношение частичного порядка <, что для любых x>y,z,t G G неравенство х < у влечет неравенство txz < tyz. Если порядок линеен, то G называется упорядоченной группой, если порядок решеточный, то G называется реше-точно упорядоченной группой (^-группой). Как обычно Р = {д £ G | д > е}. Очевидно, что Р обладает следующими свойствами:

1) Р ■ Р С Р (Р- полугруппа),

2) Pf] P~l = {е} (Р- чистое множество),

3) х~1 * Р • х С Р для любого х £ G (Р- инвариантное множество).

Верно и обратное утверждение. То есть, если в группе G есть множество Р со свойствами 1)-3), то на G можно ввести отношение частичного порядка при котором Р будет множеством положительных элементов G. Таким образом частичный порядок можно отождествить с чистой инвариантной полугруппой. Как обычно (G, Р) означает, что группа G упорядочена относительно порядка Р.

Группа называется упорядочиваемой (правоупорядочиваемой), если она может быть превращена в упорядоченную (правоупорядоченную) группу. Хорошо известно (см., например, [16], [18]), что класс всех упорядочиваемых (всех правоупорядочиваемых) групп является квазимногообразием. Группа G называется локально индикабельной, если ее каждая неединичная конеч-нопорожденная подгруппа имеет неединичный гомоморфный образ на аддитивную группу целых чисел. Класс всех локально индикабельных групп совпадает с классом конрадовых правоупорядочиваемых групп, то есть групп, обладающих полной, субнормальной и линейно упорядоченной по включению системой подгрупп, факторы которой - абелевы группы без кручения ([18], с. 187).

Решеточно упорядоченную группу G (£-группу) можно рассматривать как алгебраическую систему сигнатуры I — , е, V, А). В этой сигнатуре стандартным образом вводятся понятия тождества и многообразия I-групп. Множество L всех многообразий £-групп является полной решеткой по включению. При этом пересечением X Д У многообразий £-групп X и У является теоретико-множественное пересечение классов X и а объединение X\J У полагается равным наименьшему многообразию £-групп, содержащему как X, так и У. Говорят, что многообразие £-групп V накрывает многообразие ^-групп V в решетке многообразий ^-групп L, если К D V" и из V Э U D V следует V = U или U = V.

Как обычно, |ж| = х V х[х,у] = x~ly~lxy, Z, N - множества целых и натуральных чисел, х у означает, что х > уп для любых положительных х, у и любого п G N.

Среди всех многообразий ^-групп выделим следующие.

1) Л - многообразие всех абелевых ^-групп. Е.Вайнбергом [22] показано, что Л является наименьшим нетривиальным многообразием в решетке многообразий ^-групп L;

2) Wa - многообразие всех ^-групп, в которых выполнено тождество x~l\y\x\y\~2 V е = е. Это многообразие называется многообразием жестких групп;

3) - многообразие всех оаппроксимируемых ^-групп. П.Лоренцен в [23], Ф.Шик в [24] показали, что это многообразие в классе всех ^-групп задается тождеством (ж А у~гх~гу) Ve = e;

4) V - многообразие £-групп, которое задается следующей бесконечной системой тождеств: х A y~lx~ly) V е = е

Kl^rfl'v^l^yJIril^rinA KlIx.ylPv^l^yl^l^yinA l((M v МГЧ^.З/ЖМ V |г/|) A |[ж,г/]Г)|[ж,г/]Гп| А

1((М V М)1М]|(М V И)'1 А |[®,у]|т)|[®,у]П = е (т,п € N;n,m> 2).

Это многообразие определено Н.Я.Медведевым в работе [25]. Там же в частности показано, что V содержит все оаппроксимируемые накрытия многообразия абелевых £-групп Л и многообразие УУа жестких i-групп. Возникло предположение о том, что V является наименьшим многообразием, содержащим все о-аппроксимируемые накрытия А.

Здесь и далее используется терминология и обозначения, принятые в теории групп (см. книги М.И. Каргаполова, Ю.И. Мерзлякова [26], А.Г. Куро-ша [27]), теории решеточно упорядоченных групп (см. книгу В.М. Копытова,

Н.Я. Медведева [17]), теории групп порядковых автоморфизмов линейно упорядоченных множеств (см. книгу А. Гласса [20]).

Пусть AutQ - группа всех порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества Q рациональных чисел. Из работ Е.Вайнберга [28], Ч.Холланда [10] следует, что группа AutQ изоморфно вложима как группа порядковых автоморфизмов в группу ^4(R) всех порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества действительных чисел R, то есть существуют порядковое отображение г : Q -> R и изоморфизм (р : AutQ A(R) такие, что (а)д = ((a)r)(gip) для любых а € Q и д £ AutQ. Таким образом AutQ можно рассматривать как группу порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества действительных чисел R. Орбитой (областью транзитивности) группы G порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества fi, содержащей a Е П, называется множество (a)G = {(а)д | д 6 G}. Из леммы 1.10.10 [20] следует, что линейно упорядоченное множество Irr иррациональных чисел будет орбитой группы AutQ. Поэтому AutQ имеет в R две орбиты - множество иррациональных и множество рациональных чисел. Как отметили Ч. Холланд и Ю. Гуревич в [29], группа AutQ изоморфна группе Autlrr всех порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества Irr иррациональных чисел.

В работе [5] В. Длабом были определены группы порядковых автоморфизмов Дн-(1), £>#*(I), D*#(I), DH(l) единичного интервала I = [0,1] действительной прямой. Более точно. Пусть S - множество всех монотонно возрастающих (не более, чем счетных) последовательностей Е

Е = {£t|l < t < г, где г - ординалы, ££ 6 1} всех возможных типов т вполне упорядоченных последовательностей, обладающих наибольшим элементом и таких, что 0 < £«j £ст = sup{£t|t < а] для каждого предельного числа а, а < т и Н — произвольная подгруппа мультипликативной группы положительных действительных чисел ранга 1. Через Dh(T) обозначим множество всех монотонно возрастающих функций (.x)f из группы порядковых автоморфизмов I, таких, что для / существует последовательность Е/, Е/ = {£t|z, < г} из S такая, что (£)/ = £ для всех £, £ ^ [£ь£г], 0 < £i, £r < 1 и / - линейная функция на каждом отрезке [£i,£i+i]> причем значения правой производной (x)f функции / в точках £t содержатся в подгруппе Я. Подгруппы £>я(1), Дя*(1), £>*#(!) в группе DH(I) определяются следующим образом: неединичный элемент / соответственно принадлежит D#(I), Dh*(I), D*h{I) тогда и только тогда, когда о < £i < £r < 1, 0 < £i < £r < 1, 0 < £i < £т < 1. Аналогично определяются группы Длаба Dh, Dh, Dh*, D*h расширенной действительной прямой

R = {-oo}URU{+oo}

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Доказано, что множество всех различных минимальных нетривиальных частичных порядков каждой из групп AutQ и Autlrr конечно и получено описание каждого их минимального нетривиального частичного поряд-ка(Теорема 1.1.11);

2. Для каждой неединичной нормальной подгруппы каждой из групп AutQ и Autlrr найдено множество ее максимальных частичных порядков (Теорема 1.2.6);

3. Доказано, что каждая из групп Длаба £)#*(!), Ан* допускает в точности два различных линейных порядка, не имеет собственных нормальных относительно выпуклых подгрупп и не является простой группой (Теорема 2.1.9);

4. Вычислены мощности множеств линейных порядков групп Длаба DHl D*h (Теорема 2.2.4);

5. Найдено о-аппроксимируемое многообразие ^-групп V, содержащее линейно упорядоченные группы Длаба (D#*(I), Р), (Дн*(1), Р-1), (.Dh*,Pi), (Дн*,-^-1) и такое, что всякая жесткая ^-группа многообразия V является абелевой (Теорема 2.3.1);

6. Показано, что многообразие £-групп V не является наименьшим в решетке L многообразием, содержащим все о-аппроксимируемые накрытия многообразия абелевых £-групп А, а именно, существует такое о-аппроксимируемое многообразие Vo, что оно содержит все о-аппрксимируемые накрытия А и V0 С V, Vo ф V(Теорема 2.3.2);

7. Доказано, что мощность множества различных правых порядков произвольной локально индикабельной группы конечна или несчетна (Теорема 3.1.3).

Целью главы 1 является описание частичных порядков групп AutQ и Autlrr всех порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества Q рациональных и линейно упорядоченного множества Irr иррациональных чисел соответственно. В §1 главы 1 изучаются минимальные частичные порядки этих групп. Доказано, что каждая из них имеет 36 различных минимальных нетривиальных частичных порядков и получено описание каждого порядка (Теорема 1.1.11).

Пусть / £ AutQ. Тогда носителем элемента / называется множество supp(f) = {ж £ R|(a:)/ ф х}. Введем в рассмотрение следующие множества:

В = {/ £ AutQ | supp{f) ограниченное подмножество R} (J{e}, bL = {/ £ AutQ | supp(f) ограниченное снизу подмножество R} U(e}) bR = {/ € AutQ | supp(f) ограниченное сверху подмножество R} U{e}

Несложно заметить, что B,bL,bR будут нормальными подгруппами группы AutQ. Из теоремы 2.3.2 [20] следует, что это все нетривиальные нормальные подгруппы AutQ. §2 главы 1 посвящен описанию максимальных частичных порядков групп В, bL, bR, AutQ. Доказано, что группа В функций с ограниченным носителем имеет 8 различных максимальных частичных порядков и все они описаны (Предложение 1.2.3). Далее, показано, что каждая из групп bL, bR имеет 20 максимальных различных частичных порядков и все они описаны (Предложение 1.2.4). Наконец, группа AutQ допускает 80 различных максимальных частичных порядков (Предложение 1.2.5). Так как AutQ и Autlrr изоморфны, то получено полное описание максимальных частичных порядков всех неединичных нормальных подгрупп этих групп (Теорема 1.2.6). Отметим, что максимальные и минимальные частичные порядки группы A(R) всех порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества R действительных чисел изучались Ч.Холландом в [30].

Результаты этой главы получены автором лично и опубликованы в [42],[43].

Как уже отмечалось выше в [5] В. Длабом были определены группы порядковых автоморфизмов D#(I), Д?*(1), Д,я(1), Dh(I) единичного интервала I = [0,1] действительной прямой R и там же в частности доказано, что группа Dh{I) является простой и допускает только два различных линейных порядка. Позднее ([16], с. 131) аналогичный результат был получен для группы Длаба Dh• Глава 2 посвящена изучению групп Длаба, а так же рассмотрению свойств многообразий £-групп и квазимногообразий групп, содержащих эти группы. В §1 главы 2 доказано, что для любой подгруппы Н ранга 1 мультипликативной группы положительных действительных чисел, каждая из групп Дд*(I), Dh* имеет в точности два различных линейных порядка, не содержит нетривиальных нормальных относительно выпуклых подгрупп и не является простой (Теорема 2.1.9). В §2 описаны линейные порядки групп Dh{I), I) (Предложение 2.2.1, Предложение 2.2.2). Доказано, что мощность множества всех линейных порядков каждой из групп DH, D*h несчетна (Теорема 2.2.4). В §3 главы 2 изучены некоторые свойства многообразий -£-групп (квазимногообразий групп), содержащих упорядоченные группы Длаба (группы Длаба). Найдено о-аппроксимируемое многообразие ^-групп V, содержащее упорядоченные группы (Дн*(1), Р), (Ая*(I), Р-1),

Dh*,Pi), (Dh*,Pi1) и такое, что всякая жесткая ^-группа многообразия V является абелевой (Теорема 2.3.1). Н.Я.Медведевым в [25] было определено о-аппроксимируемое многообразие V и в частности показано, что V содержит все о-аппроксимируемые накрытия многообразия абелевых ^-групп Л. Позднее в [31] М.Андерсен, М.Дарнел, Т.Фейл указали о-аппроксимируемое многообразие С с аналогичным свойством. С.В.Молочко и С.В.Морозовой в [32] было доказано, что V С С, V ф С. В §3 доказано, что многообразие £-групп V не является наименьшим многообразием £-групп, содержащим все о-аппроксимируемые накрытия многообразия Л, а именно, существует такое о-аппроксимируемое многообразие Vo, что оно содержит все о-аппрксимируемые накрытия А и Vo С V, Vo Ф V(TeopeMa 2.3.2).

Пусть {-P7I7 Е Г}, {Q7|7 G Г} - множества всех линейных порядков групп Dh, D*h соответственно. Через Т>\ обозначим многообразие ^-групп, порожденное упорядоченными группами (Dh, By), (Д*я, Q7)- Пусть )С\ - квазимногообразие групп, порожденное группами Dh*(T), Дет*;/С2 - квазимногообразие групп, порожденное группами Dh, D*h- Показано, что многообразие ^-групп X>i отлично от многообразия 1Z всех о-аппроксимируемых групп и каждое из квазимногообразий /Сi, Кг не совпадает с квазимногообразием О всех упорядочиваемых групп (Теорема 2.3.3). Найдены примеры групп невло-жимых в £>я*(1),£>я* (Следствие 2.3.4).

Результаты главы 2, кроме Теоремы 2.3.2, получены автором совместно с Н.Я.Медведевым, опубликованы в [44],[45]. Теорема 2.3.2 получена автором лично, опубликована в [43],[46].

В [8] В.М.Тарариным было описано строение групп, допускающих конечное число правых упорядочений. Глава 3 посвящена нахождению мощностей множеств правых порядков локально индикабельных групп. Доказано, что мощность множества различных правых порядков произвольной локально индикабельной группы либо несчетна, либо конечна и равна 2П для подходящего целого неотрицательного числа п (Теорема 3.1.3). Установлено, что мощность множества различных правых порядков произвольной упорядочиваемой группы либо несчетна, либо конечна и равна 2 или 1 (Следствие 3.1.4).

Результаты главы 3 получены автором лично, опубликованы в [47],[48] и полностью вошли в книгу В.М.Копытова, Н.Я.Медведева "Правоупорядоченные группы" [18].

Методы, используемые для доказательства результатов, опираются на абстрактную теорию групп и теорию групп порядковых автоморфизмов линейно упорядоченных множеств.

Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях в теории частично упорядоченных групп.

Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория групп" и "Алгебра и логика" Института Математики СО РАН, Международной летней школе "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры " (Эрлагол, 1995 .г), Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ - 96" (Новосибирск, 1996 г.), краевых конференциях по математике "МАК-98" , "МАК-99" (Барнаул, 1998, 1999 г.), Международной конференции "Логика и приложения" , посвященной 60-летию академика Ю.Л. Ершова (Новосибирск, 2000 г.).

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [42], [43], [46]-[48] и совместно с Н.Я. Медведевым в [44], [45].

Диссертация содержит 51 страницу, состоит из введения, трех глав, содержащих 6 параграфов и библиографии. Библиография включает 48 наименований.

1. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. Москва, 1965.

2. Каргаполов М.И., Кокорин А. И., К опытов В.М. К теории упорядочиваемых групп // Алгебра и логика. 1965. Т.4. №6. С.21-27.

3. Копытов В.М. О линейно упорядоченных разрешимых группах // Алгебра и логика. 1973. Т.12. №6. С.655-666.

4. Медведев Н.Я. Группы с конечным числом линейных порядков // Алгебра и логика. 1999. Т.38. №2. С.176-200.

5. Dlab V. On a family of simple ordered groups //J. Austral. Math. Soc. 1969. V.8. №3. P.591-608.

6. Блудов В.В. Группы, упорядочиваемые единственным способом // Алгебра и логика. 1974. Т. 13. №6. С.609-634.

7. Тодоринов С.А., Петрова П.Л. Группы, допускающие единственный правый порядок // Годишн. ВУЗ. Прилож. мат. 1980. Т.16. №2. С.55-60.

8. Тарарин В.М. О группах, допускающих конечное число правых упорядочений // Деп. в ВИНИТИ. 1987. №627-В87. 15стр.

9. Holland W. Ch. The lattice-ordered group of automorphisms of an ordered set // Michigan Math. J. 1963. V. 10. №4. P.399-408.

10. Holland W.Ch. Transitive lattice-ordered permutation groups If Math. Zeit. 87(1965). P.420-433.

11. Holland W.Ch. A class of simple lattice-ordered permutation groups// Proc. American. Math. Soc. 19(1975). P.331-344.

12. Glass A.M.W. The world problem for lattice-ordered groups// Proc. Edinbugh Math. Soc. 19(1975). P.217-219.

13. Glass A.M.W. Generating varieties of lattice-ordered groups: approximating wreath products// Illinois Journal of Mathematics. 1963. V. 30. №2. P.214-221.

14. McCleary S.H. Closed subgroups of lattice-ordered permutation group// Trans. American. Math. Soc. 173(1973). P.431-443.

15. McCleary S.H. O-primitive ordered permutation groups// Pacific J. Math. 40(1972). P.349-372.

16. Копытов B.M. Решеточно упорядоченные группы. M.: Наука, 1984.

17. Kopytov V.M., Medvedev N.Ya. The Theory of Lattice-Ordered Groups. Dordrecht-Boston-London.: Kluwer Academic Publishers, 1994.

18. Копытов B.M., Медведев Н.Я. Правоупорядоченные группы. Новосибирск: Научная книга, 1996.

19. Darnel M.R. Theory of lattice-ordered groups. Marcel Dekker, Inc., Now York-Basel-Hong Kong, 1995.

20. Glass A.M.W. Ordered permutataion groups // London Math. Soc. Lee. Notes Ser., 1981.

21. Glass A.M.W. Partially ordered groups // World Scientific, Series in Algebra Volume 7, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong, 1999.

22. Weinberg E.C. Free lattice ordered abelian gpoups// Math. Ann. 1963. V.151. №. P.187-199.

23. Lorenzen P. Uber halbgeordnete Gruppen// Math. Z. 1949. V.52. №5. P.483-526.

24. Sik F. Uber subdirekte Summen geordneter Gruppen// Czech. Math. J. 1960. V.10. №3. P.400-424.

25. Медведев Н.Я. О решетке о-аппроксимируемых ^-многообразий// Czechoslovak Math. J. 1984. V. 34. M. P. 6-17.

26. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.

27. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

28. Weinberg E.C. Embedding in a divisible lattice-ordered groups //J. London Math. Soc. 1967. V.42. №3. P.504-506.

29. Gurevich Yu., Holland W.Ch. Recognizing the real line // Transactions of the American Math. Soc. 1981. V. 265. №2. P.527-534.

30. Holland W. Ch. Partial orders of the group of automorphisms of the real line // Contemporary Mathematics. 1992, V. 137. P.197-207.

31. Anderson M., Darnel M.R., Feil T. A variety of lattice-ordered groups containing all representable covers of the abelian variety// Order. 1991. V. 7. M. P.401-405.

32. Молочко С.В., Морозова С.В. К теории многообразий решеточно упорядоченных групп // Сибирский Математический журнал. 1997. Т.38. №1.С.151-160.

33. Зайцева М.И. О совокупности упорядочений абелевой группы // УМН.1953. Т.8. №11. С.135-137.

34. Teh Н.Н. Construction of orders in abelian groups // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1961. V.57. №3. P.476-482.

35. Trevisan G. Classificazionale dei semplice ordenamenti di un gruppo libera // Rend. Semin. mat. Univ. Padova 1953. V.22. P.143-156.

36. Хион Я.В. Архимедовски упорядоченные кольца // УМН.1954. T.9. J№4. С.237-242.

37. Conrad P.F. The structure of lattice-ordered groups with a finite number of disjoint elements// Michigan Math. J. 7(1960). P.171-180.

38. Медведев Н.Я. Частичные порядки на группах Длаба // Алгебра и логика (В печати).

39. Медведев Н.Я. О решетках многообразий решеточно упорядоченных групп и алгебр Ли // Алгебра и логика. 1977. Т. 16. М. С.40-45.

40. Кокорин А.И., Копытов В.М Линейно упорядоченные группы М.: Наука, 1972.

41. Смирнов Д.М. Правоупорядоченные группы // Алгебра и логика. 1966. Т.5. №6. С.41-59.Работы автора по теме диссертации

42. Зенков А. В. Частичные порядки группы порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества рациональных чисел/ / Международная конференция "Логика и приложения", посвященная 60-летию академика Ю.Л. Ершова. Тезисы докладов. Новосибирск. 2000. С.51.

43. Зенков А. В. К теории решеточно упорядоченных групп// Рукопись депонирована в ВИНИТИ. 14.07.00. М971-В00. 15стр.

44. Зенков А.В., Медведев Н.Я. Свойства групп Длаба// 1-я краевая конференция по математике "МАК-98". Тезисы докладов. Барнаул.1998. С.4.

45. Зенков А.В., Медведев Н.Я. О группах Длаба // Алгебра и логика.1999. Т.38. №5. С.531-548.

46. Зенков А.В. Два вопроса теории решеточно упорядоченных групп// 2-я краевая конференция по математике "МАК-99". Тезисы докладов. Барнаул. 1999. С.6-7.

47. Зенков А.В. О группах с бесконечным числом правых порядков// 2-й сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ-96". Тезисы докладов. Новосибирск. 1996. С.190.

48. Зенков А.В. О группах с бесконечным множеством правых порядков // Сиб. матем. ж. 1997. Т.38. М. С.90-92.РОССИЙСКИ® fр/6i/x -7--о/