Дифференциальные и порождающие идеалы и нулевые множества их образующих тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Шабаршина Ирина Сергеевна

Дифференциальные и порождающие идеалы и нулевые множества их образующих

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ростовскогс государственного университета.

доктор физико-математических наук, профессор А.В.Абанин

доктор физико-математических наук, профессор Ф.А.Шамоян

кандидат физико-математических наук, доцент Н.И.Скиба

Воронежский государственный университет

Защита состоится декабря 2000 года в на заседании дис

сертационного совета К063.52.13 по физико-математическим наукам Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов на-Дону, ул. Зорге, 5, ММФ, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ п адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «_/» ноября 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К063.52.13 к.ф.-м.н., доцент

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

В.Д. Крякви

В/Ы^^ОЗ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача о характеризации всех конечнопоро-жденных идеалов в данном кольце, совпадающих со всем этим кольцом, исследовалась многими авторами в различных разделах алгебры и анализа и имеет ряд важных приложений (например, в теории уравнений типа свертки и теории интерполяции). В диссертации она исследуется для весовых пространств целых в СЛ' функций и заключается в следующем:

Пусть Е - некоторое кольцо целых в СЛ' функций; 3" =(/],..., /т) -фиксированный набор ненулевых элементов из Е. Необходимо решить

т

вопрос о том, когда идеал £[3"] := {/ = gjfj ; д, Е Е, 1 ^ < тп}

с образующими /1;..., /т совпадает со всем кольцом Е. Такие идеалы мы условимся в дальнейшем называть порождающими.

В такой постановке задача о характеризации порождающих идеалов исследовалась А.Ф.Леонтьевым [0], В.В.Напалковым [7], Д.К).Тимофеевым [8]—[10], [18], Ф.А.Шамояном [11], \У.Нсппскстрег'ом [13]. Ь.Ногтапаег'ом [14], Л.ХКеПеЬегом и В.А.ТауЬг'ом [15], [Ю], Н.8сос1а [17]. Начиная с работы Ь.Саг1езоп'а [12], относящейся к кольцу аналитических ограниченных в единичном круге функций, условия, при которых система функций порождает конкретное кольцо целых функций, даются через оценку снизу |/1(г)| Н-----1- |/т(л)|.

В [13] \V.Hennekemper рассмотрел кольцо всех целых в комплексной плоскости функций конечного порядка:

[оо,0)с:={/€Я(С)| Зр>ОЗС >0:\п\/(г)\^\г\" + С, Уг€С}. .

Он показал, что [оо,0)с[Эг] совпадает с [оо,0)с тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

Существует р > 0 такое, что при любом г £ С хотя бы одна из функций набора 3" не обращается в нуль в круге {?« € €| — г\ < р~1 ехр(—|г|'>)}.

з

Кроме того, там же установлено, что [оо, 0)с[5] = [оо, 0)с тогда и только тогда, когда [оо, 0)с[Э"] - дифференциальный идеал, то есть, идеал, инвариантный относительно операции дифференцирования.

Позже была сделана попытка получить аналогичные результаты для колец [р, 0]с всех целых в С функций минимального типа при порядке р (см. [9], [18]) и [р, оо]с - всех целых в С функций, имеющих порядок не выше р ([10]). Но, как показано в диссертации, соответствующие результаты [9], [10], [18] ошибочны. Более того, установлено, что для этих колец характеризация в терминах функции d${z) невозможна.

В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача об описании порождающих идеалов через нулевые множества их образующих в кольцах целых функций, задаваемых весовыми функциями, удовлетворяющими некоторым достаточно общим свойствам.

Цели работы. В диссертации исследованы следующие аспекты сформулированной выше задачи:

- характеризация порождающих идеалов для колец целых функций многих переменных, определяемых радиальными весами и весами, зависящими от модулей переменных, в зависимости от распределения нулевых множеств их образующих;

- описание порождающих идеалов в этих кольцах через функцию расстояния до нулевых множеств образующих;

- выделение классов весов, для которых дифференциальные идеалы совпадают с порождающими;

- характеризация порождающих наборов для пространств целых функций с оценкой индикатора;

- применение полученных результатов к задаче о факторизации оператора свертки и системам уравнений свертки.

Методика исследований. В диссертации применяются методы теории целых функций одной и нескольких комплексных переменных и элементы теории плюрисубгармонических функций.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение к задачам о факторизации операторов типа свертки и разрешимости систем сверточных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета (руководитель - профессор Ю.Ф.Коробейник), на Международной конференции по комплекс-' кому анализу и смежным вопросам, посвященной памяти чл.-корр. АН СССР А.Ф.Леонтьева (Нижний Новгород, июнь 1997 года), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова (Абрау Дюрсо, сентябрь 1998 года), па Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 2000 года).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата. Результаты главы I опубликованы в [20]-[22], [24], главы II - в [19] - [23], [25], главы III - в [20]. В совместных с научным руководителем работах [20]-[22], [24] по результатам главы I, А.В.Абапину принадлежат постановки задач и введение характеристик нулевых множеств целых функций, в терминах которых дается описание порождающих идеалов в соответствующих кольцах целых функций, а автору - разработка методов решения рассматривав- . мых задач и проведение доказательств. То же самое касается п. II. 1.4 и §11.2 главы II (работы [19]—[22]). Остальные результаты главы II и все результаты главы III выполнены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 44 наименований. Объем диссертации - 103 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор истории данного направления и приводятся наиболее важные результаты диссертации.

Первая глава диссертационной работы состоит из двух разделов. В первом разделе рассматривается задача о характеризации порождающих идеалов в кольцах целых функций многих переменных с ростом, определяемым радиальными весами.

Непрерывную функцию р : [0, оо) —> [0, оо) будем называть радиальной весовой функцией или радиальным весом, если она не убывает па [0, оо), 1пг — о(р(г)) при г —>■ оо и р(ехрг) выпукла на М. Полагаем р(г) := р(|~|) для г £ СЛ\ где \г\ - обычная евклидова норма в СЛ". По р определим радиальное весовое пространство целых в СЛ' функций

Ер {/ € Я(СЛ')| 3С € (0, оо) : 1п |/(г)| ^ р(г) +С, Угё С^}.

Определение 1.1.2. Будем говорить, что множество У радиальных весовых функций является радиальной весовой системой, если для любых рх 6 У и р2 £ У найдутся р £ и А £ (0, оо) такие, что Р\{2г) +рг(2г) ^ р(г) + А для всех г > 0.

В первом разделе главы I изучаются кольца вида Еу :— У Ер> где

ре?

У - радиальная весовая система.

В первом параграфе приводятся основные определения и вспомогательные результаты.

Во втором параграфе получен критерий, связывающий порождающие идеалы в кольце Еу с массивностью пулевых множеств их образующих:

Пусть / - целая в СЛ отличная от тождественного нуля функция. При фиксированном ( £ ¿н := {ш € СЛ : |ад| = 1} обозначим через nf)Z{t\Q число нулей функции + одной комплексной переменной и в круге {и € С : |и| ^ <}, / > 0. Введем следующую характеристику массивности нулевого множества функции / вблизи точки г

с

5! о

где ¿а - элемент площади поверхности сферы , а адг - площадь 51 в СЛТ ~ И2^. С целью упрощения записи полагаем Nf(z) := М/(г; |г|) при гф 0; Л/) (0) = 0, если /(0) ^ 0 и Л^(0) = со, если /(0) = 0. Для набора 3" вводим

Основным результатом данного параграфа является Теорема 1.1.1. Пусть 7 - радиальная весовая систем,а и \У - набор . функций из Еу. Следующие условия эквивалентны: 0) Ярр] = Ег,

(и) 3р £ У 3С £ (0, оо)| < р{г) + С, Vг е СЛ\

В третьем параграфе при некоторых дополнительных ограничениях па радиальные весовые системы дано полное описание порождающих идеалов через функцию расстояния до нулевых множеств, которая проще и удобнее в применении, чем Лэ-(г):

Пусть V] - нулевое множество целой в СЛ функции f, а ¿/(г) -расстояние от точки 2 £ до Для набора У = (/ь..., /т) целых в Сдг

функций определим

тах{й/Дг) : 1 < ] < т}, 2 е СЛ'.

Определение 1.1.4. Будем говорить, что радиальная весовая система СР является быстро изменяющейся, если для каждого р € У существуют д £ У и С £ (0, со) такие, что р2(г) ^ д(г) + С для всех г > 0.

Теорема 1.1.2. Пусть СР - радиальная весовая система и Э* - набор функций из Еу. Для того чтобы идеал Еу\3] был порождающим, необходимо, а если З5 - бы,стро изменяющаяся, то и достаточно, чтобы

3? € У 3£ е (0, оо) : 1п+ —^ < ч(г) + 0,Уг£ СЛ'.

Во втором разделе главы I рассматриваются кольца целых в СЛ функций, определяемых весовыми функциями, зависящими от модулей переменных, т.е., непрерывными функциями р : [0, оо)Л —> [0, оо) такими, что р(гь..., Гдр) не убывает по каждой переменной тк (1 < к < N),

In И = о(р(г)) при |r) -4 оо, где |г| := max и p(expii,..., ехрхд)

l^k^N

выпукла на R^. Полагаем p(z) :=p(|zi|,..., |глг|), z — (zi,... ,zn) ёСЛ. Определим пространство

Ер := {/ 6 H{CN)\ 3С е (0, оо) : In |/(z)| < p(z) +C,Vz£ Cv}.

Определение 1.П.2. Будем говорить, что множество У весовых функций является весовой системой, если для любых рх € У и Р2 € У найдутся р 6 У и А € (0, оо) такие, что

рх{ 2гх + 1,..., 2глг + 1) + Р2(2г, + 1,..., 2гЛ- + 1) ^ р(гь ...,тя) + А для всех (/'1,..., г^) € [0, оо)^.

Изучаем порождающие идеалы в кольце Еу := и Ер, где У - весо-

вая система. В этом разделе приведены две характеристики массивности нулевых множеств образующих - одномерная и многомерная - и с их помощью дано описание порождающих идеалов в Еу. Заметим, что результаты этого раздела новы также и для радиального случая при

Первый параграф содержит основные определения и вспомогательные результаты.

Описание порождающих идеалов с помощью одномерных характеристик нулевых множеств дается во втором параграфе второго раздела: Пусть / - целая в СЛ? функция. При фиксированном 2 6 СЛ' обозначим через целую функцию /((1 + ы)г) одной комплексной переменной ю. Предположим, что /(.г) ф 0, и определим

где п(/2; €) - число нулей функции /Дги) с учетом их кратностей в круге {ад 6 С| < £}. Если /(г) = 0, положим = +оо. Для набора СГ

per

N ^ 2.

о

введем

M«) := min{K/;(^) : 1 < j ^ m} (z € C¥).

Не теряя общности, можно считать, что 1 - канонический набор, то есть, |Л(Л)| + • • • + |/m(*)| ф О, Vz G €jV, и Д(0) = • • ■ = /т(0) = 1.

Теорема I.II.1. Пусть У - весовая система и CF - канонический набор функций из Еу. Следующие условия эквивалентны:

(i) Е7Щ = Еу;

(ii) ЗреТ БС€ (О, оо) : Щг) < p(z) + С, Vz € CN.

В третьем параграфе аналогичный результат получен и для многомерной характеристики массивности нулевых множеств. Доказательства этих теорем основаны ira формулах Йенсена и на оценках интегральных средних по кругу и окружности для одномерной характеристики, по поликругу и остову поликруга - для многомерной.

В четвертом параграфе выделены классы весов, для которых порождающие идеалы характеризуются в терминах функции расстояния до нулей образующих:

Пусть / - целая в C/v функция. Для каждого z 6 CjV обозначим через df(z) расстояние от начала координатной плоскости Сш до ближайшего нуля функции fz(w) = /(г(1 + ui)). df(z) имеет простой геометрический смысл. Эта величина равна деленному на \z\ расстоянию от точки 2 до ближайшего нуля функции /, лежащего в комплексной плоскости в Сдт, проходящей через начало и л. Для набора "J — (fi,..., /т) целых в CN функций введем характеристику

dj(z) :— max dt(z), z G CiV.

1

Определение I.II.4. Будем говорить, что весовая система З5 -быстро изменяющаяся, если для каждого р € У существуют q € У и С 6 (0, оо) такие, что p2(r) < q(r) + С для всех г 6 [0, оо)Л .

Теорема I.II.3. Пусть У - быстро изменяющаяся весовая система и У - канонический набор функций из Еу. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) Eyfë] - порождающий идеал;

о

(и) существуют р € У и С 6 (0, оо) такие, что для всех г € Сл

Условие (и) необходимо для истинности (Г) независимо от предположения о быстром изменении весовой системы. Отметим, что во второй главе показано, что это предположение существенно для справедливости импликации (¡1) (1).

Задача о совпадении дифференциальных и порождающих идеалов решается в последнем, пятом, параграфе второго раздела. Показано, что каждый идеал £з>[£Г], совпадающий с Ер, - дифференциальный, а в случае, когда ГР - быстро изменяющаяся весовая система, верно и обратное утверждение. Итак, справедливы следующие результаты:

Теорема 1.11.4. Пусть 7 - быстро изменяющаяся весовая система и И - набор функций из Еу, отличных от тождественного нуля. Для того чтобы идеал Еу[3] был дифференциальным, необходимо и достаточно, чтобы он был порождающим.

Следствие 1.П.4. Пусть У - быстро изменяющаяся радиальная, весовая система и У - набор функций из Еу, отличных от тождественного нуля. Для того чтобы идеал был дифференциальными, необходимо и достаточно, чтобы он был порождающим.

Большая часть результатов второго раздела сформулирована для канонических наборов образующих. Это обстоятельство связано с тем, что мы используем здесь одномерные характеристики, «привязанные» к точке г = О, которые существенно опираются на каноничность набора. В этой связи отметим, что характеристики, введенные в первом разделе, хотя и касаются менее общего радиального случая, лишены этого недостатка и не зависят от свойств самих наборов.

Во второй главе рассматриваются порождающие и дифференциальные идеалы в конкретных пространствах, часто используемых в приложениях.

ю

Первый параграф посвящен изучению этих идеалов в пространствах, определяемых неубывающими и невозрастающими весовыми системами. Приведем в этом направлении лишь некоторые результаты, отражающие в основном его содержание.

Теорема ПЛ.2. Пусть У — (рп < рп+\, Уп £ М) - последо-

вательность радиальных весов, удовлетворяющая условиям:

1) Утг е N Зт е N ЗЛ £ (0, оо) : 2рп{2г) < рт(г) + А, Уг ^ О,

2) V* € N Зп € N ЗС € (0, оо) : р\{г) ^ рп(г) + С, Уг > 0;

и 7 = (/1,...,/т) - набор функций из Е?(рп}. Следующие условия эк-: бивалентны:

(1) - порождающий идеал;

(п) Еу^^Э^ - дифференциальный идеал; (ш) Зп € N 31) е (0, оо) : 1п' ^ ^ рп{г) + Д Уг € Сх.

Пусть, теперь, {рп}п=1 ~ невозрастающая по п последовательность радиальных весовых функций (т.е., р„+1{г) ^ р„(г), для всех и 6 N и г ^ 0). С каждой такой последовательностью ассоциируем

набор

У{Р„\ '■= {р радиальный вес|

Угг е N 3Сп е (0, оо) : р{г) < рп{г) + Сп, Уг ^ 0}.

В дальнейшем на {рп}™^ будет налагаться следующее ограничение: (А) Для каждой функции Ф(г) такой, что

Уп € N ЗСп € (0, оо)| Ф(г)^Рп{г) + Сп, Уг > 0, найдутся р € У{Рп} и С € (0, оо) такие, что для всех г ^ О

ф(г) < р(г) + С.

Теорема II. 1.4. Пусть - невозрастающая по п последова-

тельность радиальных весов, удовлетворяющая условиям (А) и

1) УтеНЗггеМЗА€(0,оо): 2рп(2г) ^ рт{г) + А, Уг > 0,

2) Уп 6 N Бк е N ЗС 6 (0, оо) : р2к(г) 4 Рп(г) + С, Vг ^ 0;

а - конечный набор функций из Еу. Тогда следующие условия эквивалентны:

и

(i) - порождающий идеал;

(ii) Еу[3] - дифференциальный идеал;

(iii) для каждого п € N существует Сп 6 (0, оо) такое, что для всех zeCN

В качестве примеров рассмотрены пространства Еж и Eq всех целых функций конечного и, соответственно, нулевого порядка, для которых порождающие идеалы совпадают с дифференциальными и характеризуются функцией dsr(z). Так, например, для Ех справедлива Теорема II.1.6. Следующие условия эквивалентны:

(i) - порождающий идеал;

(ii) EoJfi] ■ дифференциальный идеал;

(iii) найдется такое р > 0, что при любом z £ СЛ в шаре {w € \w — z\ ^ р~г exp(—¡£р)} хотя бы одна из функций набора fi,...,fm не обращается в нуль;

(iv) /1,..., }т не имеют общих нулей в Сл и

Г 1п+(1п*У .

lim sup--——-< 00.

Z-+OC ln|z|

Отметим, что теорема II.1.6 - многомерное обобщение упомянутого выше результата W.Hennekemper'a [13].

Во втором параграфе исследуются кольца с более тонкой структурой, а именно, пространства, определяемые уточненным порядком в смысле Валирона.

Теорема II.2.1. Пусть р(г) —> р > 0 - уточненный порядок в смысле Валирона. Пусть, далее, У — (/i,-..,/m) - набор не имеющих общих нулей функций из кольца [р(г), оо)с^ всех целых в Сл функций, имеющих при порядке р{т) конечный тип. Для того чтобы идеал [p(r), ooJcNp1] был порождающим, необходимо и достаточно, чтобы для нулевых множеств его образующих имело место условие:

lim sup 1 N?{z) < 00. 2->00 \z\

Аналогичный результат установлен также и для кольца [р(г),0]Слг всех целых в Сдг функций, имеющих при порядке р(г) минимальный тип.

Далее приведены примеры, показывающие, что в отличие от Е,х и Е0 характеризация порождающих идеалов в кольцах [р(г),оо)с(у и [р(г), 0]с.\' в терминах функции (Ь(г) невозможна. Поскольку эти кольца задаются весовыми радиальными системами, не являющимися ; быстро изменяющимися, то это означает, что предположение о быстром изменении весовой системы в теоремах 1.1.2 и 1.11.3 является существенным.

В третьем параграфе для одного конкретного типа пространств целых функций одной переменной мы изучаем задачу о порождающих в несколько более общей постановке. Именно, пусть Е, Ех,..., Ет - подпространства в Я (С), не обязательно являющиеся кольцами, а У — (Л. • • •, /т) ~ какой-либо фиксированный набор целых функций. Требуется найти условия на этот набор, при которых каждая функция / из Е допускает представление

В случае, когда все Ej совпадают с Е и имеют структуру кольца, мы имеем описанную выше задачу о порождающих. Распространение этой проблемы в только что приведенной постановке на пространства, не имеющие структуры кольца, рассматривалось в [1]-[3]. Следует отметить, что п в этих работах критерии формулировались в терминах некоторых взвешенных оценок снизу образующих.

В диссертации для пространств целых функций с оценкой индикатора приведена эквивалентная условию О.В.Епифанова [3] характеризация порождающих наборов в терминах распределения на плоскости нулей образующих fj при дополнительном требовании полной регулярности их роста.

т

(1)

Пусть Тр - класс />-тригонометрически выпуклых ограниченных функций, [р, к] - пространство всех целых в комплексной плоскости функций, имеющих при порядке р > 0 не выше, чем нормальный тип, и индикаторы не больше, чем к (ЕТР.

Теорема II.3.2. Пусть fj (1 ^ j ^ т) имеют при порядке р > О конечный тип, индикаторы, равные hj, и вполне регулярный рост; {Ajn} - совокупность нулей функции fj, упорядоченных по возрастанию модулей (п пробегает конечное или счетное множество индексов). Пусть, далее, k Е Тр, и при этом, к — hi — hj G Tfi, i ф j, i % h j К m- Для того чтобы любая функция / из [р, к] допускала разложение (1) с коэффициентами gj из [р, k — hj], необходимо и достаточно, чтобы fj (1 < j ^ т) не имели общих нулей, и выполнялось одно из двух равносильных условий (И) или (in):

_ _ ¿kl

(и) lim lim \z\~p min f njz(t)dlnt = 0;

S->0 Z-+O0 1 ц '

(iii) lim lim |А*П|~'> min f Jij-t n(t)dlnt =0, 1 ^ к ^ m,

S-+0n->x ' l^j^m Q '

где iij.z{t) (соответственно, nj-^^it)) - число нулей с учетом кратно-стей функции fj в круге {w : \w — z| iC t} (в круге {w : \w — А*)П| < t}).

В заключение приведен пример, показывающий существенность требования полной регулярности роста функций в теореме II.3.2.

В третьей главе полученное в предыдущих двух главах применяется к задачам о факторизации оператора свертки и разрешимости системы сверточных уравнений в терминах распределения нулевых множеств характеристических функций. Результаты этой главы являются следствиями теорем из глав I и II и результатов Ю.Ф.Коробейника [5], В.В.Напалкова [7], А.Ю.Тимофеева [9].

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А.В.Абанину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Результаты были получены в рамках тематики, поддержанной РФФИ (гранты № 96-01-01041 и № 99-01-00178).

Список литературы

[1] Абанин A.B. Модификация метода Л.Хермандера в задаче о порождающих и ее приложения // Изв. вузов. Математика. 1995. № 8. С. 3-12.

[2] Епифанов О.В. О разрешимости неоднородного уравнения Коши-Римана в классах функций, ограниченных с весом и системой весов // Матем. заметки. 1992. Т. 51, № 1. С. 83-92.

[3] Епифанов О.В. О порождающих для некоторых пространств аналитических функций // Линейные операторы в комплексном анализе (под ред. О.В.Епифанова). Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1994. С. 44-46.

[4] Ибадов Н.В. Неоднородные системы уравнений свертки в одном классе аналитических функций // Сиб. матем. журн. 1988. Т. 29, № 1. С. 39-49.

|5] Коробейник 10.Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки // Матем. сборник. 1991. Т. 182. № 5. С. 661-G80.

[6] Леонтьев А.Ф. Об одном применении интерполяционного метода // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 5. С. 735-752.

[7] Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982. 240 с.

[8] Тимофеев А.Ю. О представлении решения уравнения бесконечного порядка в виде суммы двух решений // Матем. заметки. 1982. Т. 31. № 2. С. 245-256.

[9] Тимофеев А.Ю. Дифференциальные уравнения бесконечного порядка и их приложения: Учебное пособие по спецкурсу // Сыктывкарский университет. Сыктывкар, 1989. 71 с.

[10] Тимофеев А.Ю. Дифференциальные идеалы в пространствах целых функций // Линейные операторы в комплексном анализе (под ред. О.В.Епифанова). Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1994. С. 99-101.

[И] Шамоян Ф.А. Приложения интегральных представлений Джр-башяна к некоторым задачам анализа // ДАН СССР. 1981. Т. 261. № 3. С. 557-561.

[12] Carleson L. Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem // Ann. of math. 1962. V. 76. N 3. P. 547-559.

[13] Hennekemper W. Über Differentialideale im Ring der ganzen Funktionen endlicher Wachstumsordnung // Arch. Math. 1986. V. 46. P. 250-256.

[14] Hörmander L. Generators for some rings of analytic functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. N 6. P. 943-949.

[15] Kelleher J.J., Taylor B.A. An application of the corona theorem to some rings of entire functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. N 2. P. 246-249.

[16] Kelleher J.J., Taylor B.A. Closed ideals in locally convex algebras of analytic functions // J. Reine Angew. Math. 1972. V. 255. P. 190-209.

[17] Scoda H. Application des techniques L2 a la théorie des idéaux d'une algèbre de fonctions holomorphes avec poids // Ann. sei. Éc. Norm. Sup. 1972. 4-e série. V. 5. N 4. P. 545-579.

[18] Timofeev A.Ju. Die Differentialideale im Ring der ganzen Funktionen, die bei vorgegebener Ordnung Minimaltyp besitzen // Math. Nachr. 1990. V. 147. P. 89-94.

Список работ по теме диссертации

[19] Абанин A.B., Шабаршина И.С. К задаче о порождающих // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1997. № 2. С. 3-5.

[20] Абанин A.B., Шабаршина И.С. К задаче о порождающих идеалах // Международная конференция по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященной памяти чл.-корр. АН СССР А.Ф.Леонтьева, Нижний Новгород, 1997. Тезисы докладов. ННГУ, Нижний Новгород. С. 5-6.

[21] Абанин A.B., Шабаршина И.С. О совпадении дифференциальных и порождающих идеалов // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 1998. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 87-88.

[22] Абанин A.B., Шабаршина И.С. Порождающие и дифференциальные идеалы и нулевые множества их образующих //' Доклады АН. 1999. Т. 368. № 2. С. 151-153.

[23] Шабаршина И.С. О порождающих для некоторых пространств целых функций // Научная конференция аспирантов и соискателей. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1999. С. 23-24.

[24] Лбанин Л.В., Шабаршина И.С. Нулевые множества образующих и дифференциальные идеалы // Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2000. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 85-86.

[25] Шабаршина И.С. К задаче о порождающих для пространств целых функций с оценкой индикатора // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 1. С. 26-29.

[26] Шабаршина И.С. О факторизации оператора свертки // Актуальные проблемы математического анализа: Сборник научных трудов. Ростов-на-Дону: Изд-во «Гинго», 2000. С. 165-170.

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ПОРОЖДАЮЩИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ

Раздел 1.1. Кольца, определяемые радиальными весами

§ 1.1.1. Основные определения и вспомогательные результаты

§ 1.1.2. Порождающие и их нулевые множества

§ 1.1.3. Порождающие идеалы, характеризуемые функцией расстояния до нулевых множеств 33 Раздел. I.II. Кольца, определяемые весами, зависящими от модулей переменных

§ 1.11.1. Основные определения

§ 1.Н.2. Описание порождающих идеалов с помощью одномерных характеристик нулевых множеств

§ 1.Н.З. Описание порождающих идеалов с помощью многомерных характеристик нулевых множеств

§ 1.Н.4. Описание порождающих идеалов с помощью функции расстояния до нулевых множеств

§ 1.11.5. Дифференциальные идеалы

Глава И. ПОРОЖДАЮЩИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ В

КОНКРЕТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

§ 11.1. Пространства, определяемые неубывающими и невозрастающими весовыми системами

§ 11.2. Порождающие для пространств, определяемых уточненным порядком

§ II.3. Порождающие для пространств целых функций с оценкой индикатора

Глава III. ПРИЛОЖЕНИЯ К УРАВНЕНИЯМ СВЕРТКИ И СИСТЕМАМ

УРАВНЕНИЙ СВЕРТКИ

§ III.1. Оператор свертки в пространстве Я"(Оу)

§ III.2. Оператор р-свертки в ¿мвыпуклых областях Литература

Задача о характеризации всех конечнопорожденных идеалов в данном кольце, совпадающих со всем этим кольцом, исследовалась многими авторами в различных разделах алгебры и анализа и имеет ряд важных приложений (например, в теории уравнений типа свертки и теории интерполяции). В настоящей работе она будет исследоваться для весовых пространств целых в CN функций. Поэтому как саму ее постановку, так и краткую предысторию мы дадим, коснувшись лишь тех работ, которые имеют непосредственное отношение к теме диссертации, никоим образом не претендуя на полноту освещения всех направлений в ее исследовании.

Задача о порождающих заключается в следующем: Пусть Е - некоторое кольцо целых в С^ функций; 3" = (/i,., fm)

- фиксированный набор ненулевых элементов из Е. Необходимо pern шить вопрос о том, когда идеал Е[3] := {/ = gjfj : gj £ Е, j=i

1 ^ j К с образующими fi,., fm совпадает со всем кольцом Е. Такие идеалы мы условимся в дальнейшем называть порождающими.

Задача о характеризации порождающих идеалов исследовалась А.Ф.Леонтьевым [17], В.В.Напалковым [20], А.Ю.Тимофеевым [23]-[25], [36], Ф.А.Шамояном [27], L.Carleson'oM [28], W.Hennekemper'oM [29], L.Hormander'oM [30], J.J.Kelleher'oM и В.А.ТауЬг'ом [31], [32], H.Scoda [35]. Начиная с работы [28], относящейся к кольцу аналитических ограниченных в единичном круге функций, условия, при которых система функций порождает конкретное кольцо целых функций, даются через оценку снизу ¡^(г)] + • • • + |/т(г)| [8], [17], [20], [23], [28], [30]-[35].

В [29] \¥.Неппекетрег рассмотрел кольцо всех целых в комплексной плоскости функций конечного порядка: оо,0)с:={/€ Я(С)| Зр> ОЗС > 0 :1п|/(*)| < \г\р + С, V* е С}.

Он показал, что [оо, 0)с[Э:] совпадает с [оо, 0)с тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие

Существует р > 0 такое, что при любом г е С хотя бы одна из функций набора 5Г не обращается в нуль (1) в круге {ио 6 С| |«; — г\ < р~1 ехр(—

Кроме того, там же установлено, что [оо,0)с[Эг] = [оо,0)с тогда и только тогда, когда [оо,0)с[?] - дифференциальный идеал, то есть, идеал, инвариантный относительно операции дифференцирования. Заметим, что условие \¥.Неппекетрег'а (1) эквивалентно такому:

Зр > 0 : 1п—^ \г\р + р, Мг е С, аф) где аф) := 8пр{сг > 0| ^ (1 ^ у ^ т) : /Д0 ф 0 при \( - г\ < <*}.

Позже была сделана попытка получить аналогичные результаты для колец [р, 0]с всех целых в С функций минимального типа при порядке р (см. [24], [36]) и [р, оо]с - всех целых в С функций, имеющих порядок не выше р ([25]). Но, как будет показано в диссертации, соответствующие результаты [24], [25], [36] ошибочны. Более того, будет установлено, что для этих колец характеризация в терминах функции (1з{г) невозможна. Других результатов в данном направлении нам неизвестно.

В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача об описании порождающих идеалов через нулевые множества их образующих в кольцах целых функций, задаваемых весовыми функциями, подчиненными некоторым достаточно общим свойствам. В диссертации исследованы следующие ее аспекты:

• характеризация порождающих идеалов для колец целых функций многих переменных, определяемых радиальными весами и весами, зависящими от модулей переменных, в зависимости от распределения нулевых множеств их образующих;

• описание порождающих идеалов в этих кольцах через функцию расстояния до нулевых множеств образующих;

• выделение классов весов, для которых дифференциальные идеалы совпадают с порождающими;

• характеризация порождающих наборов для пространств целых функций с оценкой индикатора;

• применение полученных результатов к задаче о факторизации оператора свертки и системам уравнений свертки.

Диссертация состоит из Введения и трех глав, первая глава разделяется на два раздела; в первой главе мы придерживаемся тройной нумерации параграфов (§ I.I.3 - третий параграф раздела I главы I), определений, получаемых утверждений и формул (определение I.I.1 - определение 1 раздела I главы I; теорема I.II.3 - теорема 3 раздела II главы I; (I.II.1) - первая формула раздела II главы I); во второй и третьей главах - двойная нумерация параграфов (§ III. 1 - первый параграф главы III) и тройная - пунктов, утверждений и формул (п. II.1.3 - третий пункт § II. 1; теорема III.2.2 - теорема 2 § III.2; (II.3.2) - вторая формула § II.3).

1. Абанин A.B. Модификация метода Л.Хермандера в задаче о порождающих и ее приложения // Изв. вузов. Математика. 1995. № 8. С. 3-12.

2. Агранович П.З. Индикаторы голоморфных функций многих переменных J/ Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Харьков, 1978.

3. Братищев A.B. Базисы Кете, целые функции и их приложения // Дисс. . доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1998.

4. Гришин А.Ф., Руссаковский A.M. Свободная интерполяция целыми функциями // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1985. Вып. 44. С. 32-42.

5. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

6. Епифанов О.В. О разрешимости неоднородного уравнения Коши-Римана в классах функций, ограниченных с весом и системой весов // Матем. заметки. 1992. Т. 51, № 1. С. 83-92.

7. Епифанов О.В. О порождающих для некоторых пространств аналитических функций // Линейные операторы в комплексном анализе (под ред. О.В.Епифанова). Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1994. С. 44-46.

8. Ибадов Н.В. Неоднородные системы уравнений свертки в одном классе аналитических функций // Сиб. матем. журн. 1988. Т. 29, № 1. С. 39-49.

9. Коробейник Ю.Ф. О решениях дифференциального уравнения бесконечного порядка, аналитических в некруговых областях // Матем. сб. 1966. Т. 71. № 4. С. 535-544.

10. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Успехи матем. наук. 1981. Т. 36. № 1. С. 73-126.

11. Коробейник Ю.Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки Л Матем. сборник. 1991. Т. 182. № 5. С. 661-680.

12. Коробейник Ю.Ф. Описание общего вида нетривиальных разложений нуля по экспонентам. Приложения // Известия АН СССР, сер. матем. 1991. Т. 55. № 5. С. 1049-1069.

13. Коробейник Ю.Ф. О ядре оператора свертки // Ростовский государственный университет: Ежегодник'91. Ростов н/Д., Изд-во Рост, ун-та, 1992. С. 32-43.

14. Красичков-Терновский И.Ф. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремы типа Левинсона // Матем. заметки. 1978. Т. 24. № 4. С. 531-546.

15. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиз-дат, 1956. 632 с.

16. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1989.

17. Леонтьев А.Ф. Об одном применении интерполяционного метода // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 5. С. 735-752.

18. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.

19. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов из экспонент. М.: Наука, 1983. 175 с.

20. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982. 240 с.

21. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971.

22. Ронкин Л.И. Целые функции // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 9 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М., 1986. С. 5-36.

23. Тимофеев А.Ю. О представлении решения уравнения бесконечного порядка в виде суммы двух решений // Матем. заметки. 1982. Т. 31. № 2. С. 245-256.

24. Тимофеев А.Ю. Дифференциальные уравнения бесконечного порядка и их приложения: Учебное пособие по спецкурсу // Сыктывкарский университет. Сыктывкар, 1989. 71 с.

25. Тимофеев А.Ю. Дифференциальные идеалы в пространствах целых функций I / Линейные операторы в комплексном анализе (под ред. О.В.Епифанова). Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1994. С. 99-101.

26. Ткаченко В.А. Уравнения типа свертки в пространствах аналитических функционалов // Известия АН СССР. Сер. матем. 1977. Т. 41. № 2. С. 378-391.

27. Шамоян Ф.А. Приложения интегральных представлений Джр-башяна к некоторым задачам анализа // ДАН СССР. 1981. Т. 261. № 3. С. 557-561.

28. Carleson L. Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem // Ann. of math. 1962. V. 76. N 3. P. 547-559.

29. Hennekemper W. Uber Differentialideale im Ring der ganzen Funktionen endlicher Wachstumsordnung // Arch. Math. 1986. V. 46. P. 250-256.

30. Hormander L. Generators for some rings of analytic functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. N 6. P. 943-949.

31. Kelleher J.J., Taylor B.A. An application of the corona theorem to some rings of entire functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. N 2. P. 246-249.

32. Kelleher J.J., Taylor B.A. Closed ideals in locally convex algebras of analytic functions //J. Reine Angew. Math. 1972. V. 255. P. 190209.

33. Korobeinik Yu.F. Absolutely representihg systems and convolution operators in the complex domain } j Turkish Journal of Mathematics. 1996. V. 20. N 2. S. 219-225.

34. Polya G. Eine Verallgemeinerung des Fabrysehen Lückensatzes // Nachr. Gesell. Wiss. Göttingen. 1927. S. 187-195.

35. Scoda H. Application des techniques L2 a la théorie des idéaux d'une algèbre de fonctions holomorphes avec poids // Ann. sei. Éc. Norm. Sup. 1972. 4-e série. V. 5. N 4. P. 545-579.

36. Timofeev A.Ju. Die Differentialideale im Ring der ganzen Funktionen, die bei vorgegebener Ordnung Minimaltyp besitzen // Math. Nachr. 1990. V. 147. P. 89-94.

37. Абанин A.B., Шабаршина И.С. К задаче о порождающих // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1997. № 2. С. 3-5.

38. Абанин A.B., Шабаршина И.С. О совпадении дифференциальных и порождающих идеалов // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 1998. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 87-88.

39. Абанин A.B., Шабаршина И.С. Порождающие и дифференциальные идеалы и нулевые множества их образующих // Доклады АН. 1999. Т. 368. № 2. С. 151-153.

40. Шабаршина И.С. О порождающих для некоторых пространств целых функций // Научная конференция аспирантов и соискателей. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1999. С. 23-24.

41. Абанин A.B., Шабаршина И.С. Нулевые множества образующих и дифференциальные идеалы // Международная школа-семинарпо геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2000. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 85-86.

42. Шабаршина И.С. К задаче о порождающих для пространств целых функций с оценкой индикатора // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 1. С. 26-29.

43. Шабаршина И.С. О факторизации оператора свертки // Актуальные проблемы математического анализа: Сборник научных трудов. Ростов-на-Дону: Изд-во «Гинго», 2000. С. 165-170.