Двухпетлевые вычисления коррелятов векторных и аксиальных токов в КХД и проблема гамма5 в размерной регуляризации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

п ь ид

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Д.В.СКОБЕЛЬЦЫНА

БАЙКОВ Павел Анатольевич:

ДВУХПЕТЛЕВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРРЕЛЯТОРОВ ВЕКТОРНЫХ И АКСИАЛЬНЫХ ТОКОВ В КХД И ПРОБЛЕМА 75 В РАЗМЕРНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

На правах рукописи УДК 530.145

01.04.02 - теоретическая физика

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной

физики им. Д.В.Скобельцына Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Д.А.Славнов, кандидат физико-математических наук, ст.н.с. В.А.Ильин.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Ю.С.Вернов,

кандидат физико-математических наук Н.А.Свешников

Ведущая организация - ИФВЭ (г.Протвино)

Защита диссертации состоится "А "Н-0-Э^,1993 г. в часов на заседании специализированного Совета К-0.53.05.24 в МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Воробьевы горы, НИ-ИЯФ МГУ, 19-ый корпус, аудитория 2-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ.

Автореферат разослан "/2>"ССМлЛл 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета К-0.53.05.24, доктор физико-математических наук

Лйг.

Ю.А.Фомин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вычисления по теории возмущений занимают важное место в исследованиях по квантовой теории поля. Например, для корректного сопоставления с экспериментальными данными с современных ускорителей часто требуются расчеты электрослабых поправок в однопетлевом приближении, электромагнитных -в двухпетлевом. Причем указанное приближение соответствует вычислению самой измеряемой величины; для правильной оценки точности полученного результата требуются расчеты в следующем порядке.

Особое место занимают КХД-поправки. Большая величина константы связи в этом случае приводят зачастую к тому, что учет первых порядков теории возмущений дает весьма грубые предсказания, соответствующие экспериментальным данным в лучшем случае по порядку величины. Попытки как-то улучшить ситуацию привели к возникновению различных вариантов пересуммирования ряда теории возмущения, в частности к методу правил сумм КХД.

В этом методе разделяются вклады, соответствующие взаимодействиям на больших и малых расстояниях ("мягким" и "жестким" импульсам). Так, например, коррелятор (вакуумное среднее от Т-

произведения) двух токов разлагается в ряд, члены которого представляют собой произведения "коэффициентных функций" (соответствующие вкладу "жестких" импульсов) на некоторые параметры — "конденсаты", описывающие вклады "мягких" импульсов. Коэффициентные функции вычисляются по обычным правилам теории возмущений. Значения же конденсатов подбирают из условия лучшего согласия теоретических предсказаний с экспериментом, т.е. эти параметры имеют феноменологичекий характер.

Одной из наиболее важных задач при этом является определение значения глюонного конденсата (вакуумного среднего от квадрата кривизны глюонного поля), который определяет основной непертур-бативный вклад в целом ряде физических задач.

Оценки данного конденсата существенно зависят от деталей феноменологической обработки. Такое рассогласование можно было бы объяснить большой величиной неучтенных хромодинамических поправок к соответствующим коэффициентным функциям. Например, неведущие (однопетлевые) поправки к коэффициентным функциям четырехкварковых конденсатов, появляющихся в правиле сумм для "легких" кварков, довольно велики: на уровне 60% от борнов-ского вклада. Учет этих неЬедущих поправок приводит к лучшему согласию значений четырехкварковых конденсатов, найденных из /э-мезонных и барионных правил сумм. С другой стороны, неведу-гцие (двухпетлевые) поправки к коэффициентным функциям глюонного конденсата в случае легких кварков довольно малы (на уровне 10% от ведущего вклада).

В случае токов тяжелых кварков аналогичные проблемы также

представляют большой интерес. Расчеты двухпетлевого вклада в коэффициентные функции глюонного конденсата для случая корреляторов токов тяжелых кварков составляют одну из основных задач диссертации.

При проведении подобных расчетов обычно используется размерная регуляризация расходящихся интегралов. Одним из главных ее достоинств является то, что она в случаях квантовой электродинамики и хромодинамшш сохраняет калибровочную инвариантность, которая проявляется в виде тождеств Уорда. Однако для теорий, использующих киральные токи (например, в Стандартной Модели электрослабых взаимодействий) это не так. Аналогичные трудности возникают при расчетах с внешними аксиальными токами в хромоди-намике (например, при вычислениях соответствующих корреляторов, необходимых для применения правил сумм).

Трудности в этих случаях связаны с корректным определением правил работы с 75 матрицей для пространства-времени нецелой размерности. В вычислениях чаще всего используют так называемую "антикоммутирующую" 75-матрицу, т.е. свойство

7У + 7"75 = 0, <* ^ 4, (1)

сохраняется для всех 7-матриц Дирака. Однако этот способ несамосогласован. При вычислениях следов с нечетным числом 75-матриц возникают противоречия и, в частности, при прямом использовании правила (1) получается нулевое (неправильное) значение треугольной аномалии.

С другой стороны, существует корректный способ определения 7®

матрицы в размерной регуляризации, а именно "четырехмерная" 75 матрица:

7 = '7 7 7 7 I (2)

К сожалению, конкретные расчеты в этом случае значительно более громоздки. В частности, при вычислении функций Грина появляются так называемые "фиктивные" аномалии, т. е. члены, которые хотя формально нарушают тождества Уорда, но могут быть (и должны быть) устранены конечной перенормировкой.

Были предложены другие варианты работы с у5. Однако, они или приводят к чрезвычайно громоздким вычислениям, или их внутренняя непротиворечивость недостаточно хорошо обоснована. Таким образом, необходимы дальнейшие исследования в этом направлении.

Цель диссертационной работы - вычисление двухпетлевых поправок к коэффициентным функциям глюонного конденсата в разложении корреляторов векторных, аксиальных и (псевдо) скалярных токов, а также развитие методов работы с 75-матрицей в размерной регуляризации.

Научные результаты и новизна работы.

1. В приближении тяжелых кварков впервые были аналитически вычислены первые семь коэффициентов разложения в ряд Тейлора двухпетлевых поправок к коэффициентным функциям глюонного конденсата в корреляторах двух токов для случаев векторных, аксиальных1 и (псевдо)скалярных токов.

2. Полученные коэффициенты были использованы для аппроксимации спектральной плотности соответствующей коэффициентной функции.

3. Полученные данные былп использованы для уточнения значения глюонного конденсата. Было показано, что учет полученных двухпетлевых поправок к структурной функции приводит к почти двухкратному увеличению этого значения.

4. Была предложена модификация стандартных правил работы с "четырехмерной" 75-матрицей, которая позволяет избежать появления фиктивных аномалий при однопетлевых расчетах в абелевых теориях, в частности, при расчетах корреляторов двух аксиальных токов.

5. Предложенный рецепт работы с "четырехмерной" -у5-матрицей был обобщен на многопетлевой уровень. Для этого было использовано специальное представление операции, позволяющее перенормировать диаграммы рекуррентно по петлям, причем в желаемом порядке по сортам линий. В качестве перенормировочной процедуры использовалась специальная модификация размерной перенормировки, а именно "перенормировка по асимптотикам".

Практическая ценность работы. Практическая ценность полученных результатов определяется широким применением правил сумм в физике элементарных частиц. Вычисления двухпетлевого вклада в коэффициентную функцию глюонного конденсата предоставляют дополнительную информацию о свойствах рядов теории возмущений в КХД, а также могут быть использованы в различных феноменологических расчетах с использованием правил сумм. Пред-

ложенная модификация правил размерной регуляризации упрощает расчеты в случае появления фиктивных аномалий, что особенно актуально для многопетлевых задач.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-8] и докладывались на IV международной конференции по применению компьютерной алгебры в физических исследованиях (Дубна, 1990), Школах молодых ученых НИИЯФ МГУ (Ужгород, 1989; Сочи 1992), на семинарах Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ, в ИЯИ РАН, ОИЯИ, ИФВЭ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения, содержит 4 таблицы и 5 рисунков, а также список литературы (87 названий). Обьем диссертации 96 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы и дается краткий обзор работ по теме диссертации.

В первой главе излагаются расчеты двухпетлевого вклада в коэффициентные функции глюонного конденсата. А именно, рассматривается разложение коррелятора (вакуумного среднего от Т-произведения) двух токов в пределе большой массы кварка то:

< 0|Г(/(9)/(0))|0 >= С] < 0|7|0 > +ЕСлг(«2,т2) < 0|-^=-|0 >

п (2т)4

Функцию С[(г/) (коэффициентную функцию оператора О1 = С^С^,

вакуумное среднее от которого заменяется на феноменологический параметр, называемый глюонным конденсатом) можно представить в виде (индекс Г, указывающий на вид тока, далее опускается):

Сг(я2, т2) = — £ а„( 1 +

тг п=0 тс 4т1

Вычисление двухпетлевых коэффициентов Ьп и составляет основной результат первой главы (однопетлевые коэффициенты а„ были известны ранее). При этом коэффициенты до п = 6 были вычислении точно, а последующие восстанавливались с помощью специально разработанной интерполяционной процедуры.

Изложение построено следующим образом. Сначала вводятся определения корреляторов двух токов, поясняется их связь с экспериментальными данными. Затем данный коррелятор представляется в виде операторного разложения в пределе больших масс, вводятся определения коэффициентных функций и конденсатов, поясняется их происхождение с точки зрения расчетов по теории возмущении, обсуждается относительный вклад глюонного конденсата.

После этого анализируется, какие из коэффициентов (а„, Ь„) наиболее существенны для феноменологических приложений, обосновывается выбор предельного номера п, до которого коэффициенты вычислялись точно.

Далее излагается процедура вычисления коррелятора векторных токов. Приводятся использовавшиеся расчетные формулы, определяется проектирующий оператор, выделяющий требуемую коэффициентную функцию, описывается процедура перенормировки.

Затем исследуются особенности вычислений для корреляторов ак-

сиальных и (псевдо)скалярных токов, обсуждается проблема корректного определения 75-матрицы, возникающая в ходе этих расчетов

Результаты представлены в виде таблиц, содержащих коэффициенты разложения искомой коэффициентной функции в ряд Тейлора, как вычисленные в MS-схеме, так и пересчитанные в схемы полюсной и евклидовой масс (наиболее употребительные способы параметризации перенормированной массы кварка).

После этого приводится алгоритм вычисления. Он включал в себя следующие этапы.

1) Ручной набор диаграмм в виде REDUCE-выражений.

2) Вычисление шпуров при помощи стандартного пакета по физике высоких энергий системы REDUCE.

3) Применение проектора, выделяющего искомую коэффициентную функцию, выполняемое с помощью специальной программы LDFC, написанной на символьной моде REDUCE.

4) Вычисление коэффициентов разложения получившихся выражений в ряд Тейлора при малых значениях квадрата импульса, выполняемое с помощью специальной программы LMEXP, написанной на символьной моде REDUCE. При этом данные коэффициенты выражались через независящие от внешних импульсов (вакуумные) двух-петлевые скалярные интегралы вида

г dapddq

fa3+1)«(р* + 1)»(р+ <?)*'' где величины а,Ь, с принимают целые значения. Данные интегралы выражаются через гамма-функции Эйлера; для увеличения скорости вычислений была предварительно составлена таблица их значений в

виде соответствующих отрезков ряда Лораиа по (d — 4).

5) Полученные результаты для отдельных диаграмм суммировались и подвергались перенормировке с помощью специально написанной на REDUCE программы TOTRES.

Для тестирования данного комплекса программ были вычислен-ны соответствующие однопетлевые коэффициенты ап, которые сравнивались с известными из литературы аналитическими результатами. Критерием правильности результатов служило также успешное устранение расходимостей в результате процедуры перенормировки. Кроме того, прямыми вычислениями была проверена поперечность коррелятора векторных токов, а также независимость результата от выбора калибровки (для этого корреляторы скалярных токов вычислялись в аг-калибровке).

Все вычисления проводились аналитически на ЭВМ ЕС-1066 с помощью системы REDUCE 3.0. .

Далее в тексте излагается процедура приближенного восстановления по полученным точным значениям коэффициентов спектральной плотности для данной коэффициентной функции с целью интерполяции последующих коэффициентов.

Для этого использовалось следующее представление функции С\\

Спектральная плотность Ф(г) представлялась в виде конечной суммы по некоторым базисным функциям с коэффициентами, которые фиксировались исходя из вычисленных коэффициентов разложе-

ния функции C*i в ряд по q2.

Для этого сначала выводятся соотношения, связывающие вычисленные коэффициенты Ъп с коэффициентами разложения спектральной плотности по базисным функциям, обосновывается выбор базисных функций, приводятся использовавшиеся критерии достоверности результатов аппроксимации.

Затем описываются применявшиеся варианты аппроксимацион-ной процедуры, обсуждаются результаты аппроксимации, обосновывается окончательный выбор варианта, результаты которого будут использоваться далее.

После этого полученные результаты применяются для уточнения значения глюонного конденсата. Для этого использовалась стандартная процедура, предложенная в исходной работе Вайнштейна-Захарова-Шифмана. При этом оказывается, что учет двухпетлевого вклада изменяет это значение почти в два раза (0.025<?еУ4 по сравнению с классическим значением 0.012Се1/"1).

Таким образом, необходимостью учета двухпетлевой поправки можно попытаться объяснить имеющиеся в литературе разногласия в оценках величины глюонного конденсата. Для этого следует повторить вычисления в других подходах с учетом вновь полученных двух-петлевых коэффициентов. С другой стороны, большая величина вычисленной двухпетлевой поправки свидетельствует о необходимости вычисления следующей поправки, а также дальнейшего развития способов пересуммирования ряда теории возмущений.

В конце первой главы суммируются полученные в ней результаты.

Во второй главе более детально рассматривается проблема фиктивных аномалий, возникающая при расчетах с участием 75-матрицы,

в частности для корреляторов аксиальных токов, изложенных в первой главе.

Вначале фиксируются основные элементы метода размерной регуляризации: бесконечномерное векторное пространство, определение регуляризированного интеграла от скалярных величин, правила работы с векторными и спинорными объектами.

После этого показывается, что использование "антикоммутирую-щей" "у5-матрицы (1) приводит к неправильному значению треугольной аномалии.

Затем вводится определение "четырехмерной" 7°-матрицы (2), приводятся правила вычислений выражений, в которых она присутствует, которые иллюстрируются вычислением треугольной аномалии.

Далее приводится пример фиктивной аномалии и дается краткий обзор литературы по фиктивным аномалиям.

С технической точки зрения, причиной возникновения аномалий (как фиктивных, так и настоящих) является то, что определение (2) нарушает формальную ¿-мерную симметрию, и поэтому ¿-мерная дивергенция аксиального тока не равна нулю:

9Х(Ф157ХФ) = Ф^дФ + фд1ьф + ~ф{дчъ}ф. (3)

Первые два слагаемых в (3) пропорциональны уравнениям движения и приводят к обычным тождествам Уорда. Третье слагаемое представляет собой величину, исчезающую при с1 —* 4. Однако, если подобное выражение присутствует в расходящейся диаграмме, оно может дать дополнительный (аномальный) вклад в тождества Уор-

да. В некоторых случаях этот вклад невозможно устранить локальной конечной перенормировкой и он представляет собой "истинную" аномалию (например, аномалия Адлера-Бардина), т.е. объект, независящий от деталей перенормировочной процедуры. Если же такое устранение возможно, подобные аномалии называют "фиктивными" (устранимыми). В этом случае существование подобных аномалий является всего лишь техническим несовершенством данной регуляризации, и можно попытаться так изменить правила регуляризации, чтобы подобные аномалии не возникали вовсе.

Для этого заметим, что в обычной размерной регуляризации инварианты, построенные из компонент внешних (непетлевых) векторов, лежащие в нефизических размерностях, в конце вычислений полагаются равными нулю. В диссертации же предлагается считать их пропорциональными соответствующим четырехмерным инвариантам, т.е. в конце вычислений для любых двух векторов г;,-, следует выполнить подстановку

^ 4(ЛГ Л)0^'

где ТУ-число вершин в спинорном цикле. В случае расходящихся диаграмм подобные члены могут дать вклад, компенсирующий фиктивные аномалии.

Это предположение подтверждается приведенными в диссертации расчетами для однопетлевых диаграмм.

Затем описывается обобщение предложенного рецепта на многопетлевой уровень. Основная идея при этом состоит в том, что сначала перенормируется фермионный "скелет" диаграммы, а затем вы-

полняются интегрирования по бозонным линиям. Для обоснования этого рецепта используется специальное представление iî-операцпи, позволяющее выполнять перенормированное интегрирование последовательно по группам линий определенного сорта. При этом предлагается использовать модификацию перенормировки по асимптотикам, предложенную ранее и являющуюся специальной разновидностью размерной перенормировки.

Применение предложенной схемы иллюстрируется на примере двух-петлевого вклада в собственную энергию фотона в аксиальной электродинамике.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В Приложение вынесены таблицы, содержащие подробные результаты фптирования глюонного конденсата.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Baikov P.A., Chetyrkin IC.G., Ilyin V.A., Smirnov V.A., Taranov A.Yu. Two-loop coefficient functions in the large mass expansions of correlators of two (pseudo) scalar and (pseudo)vector currents. - Phys.Lett., 1991, v.263B, N 2-3, p.481-484.

2. Baikov P.A., Chetyrkin K.G., Ilyin V.A., Smirnov V.A., Taranov A.Yu. Proc. of the Int. Conf. on Computer Algebra in Physical Research. - World Scientific, Singapore, 1991, p. 262-266.

3. Baikov P.A., Ilyin V.A., Smirnov V.A., Reconstruction of spectral

density and glu on condensate fitting from the two-loop correction to the coefficient function. - Препринт НИИЯФ МГУ 92-42/291, 11 с.

4. Baikov P.A., Ilyin V.A., Smirnov V.A. Gluon condensate fitting from the two-loop correction to the coefficient function. - ЯФ, 1993, T.56, N 11, c. 130-136.

5. Байков П.А., Ильин В.А. Размерная регуляризация и y5. Проблема "spurious anomalies". - Препринт НИИЯФ МГУ 89-37/114, 12 с.

6. Baikov P. A., Ilyin V.A. The modification of the standard dimensional regularization rules removing spurious 75-anomalies. - Препринт НИИЯФ МГУ 92-49/195, 10 с.

7. Байков П.А., Ильин В.А. Статус у5 в размерной регуляризации. - ТМФ, 1991, т.88, N 2, с.161-191.

8. Baikov Р.А., Ilyin V.A., Slavnov D.A. The modification of the standard dimensional regularization rules removing spurious 75-anomalies. II. Multi-loop case. - Препринт НИИЯФ МГУ 93-10/302. 10 с.