Эффективная факторизация некоторых классов матриц-функций второго порядка и ее приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

в

. ОДВСШЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.И. И.МЕЧНИКОВА

На правах рукописи

'ТАШБШ АЗИЗБЕК МАЗЛШВИЧ

УДК 514.544:617.968,23:5X7.968.8

ЭЛЕКТИВНАЯ йАКТОРИЗАЦИЯ ШКОТОРЫХ КЛАССОВ МАТРЭД-4УНКЦИЙ. ВЖОГО ПОРОКА И £В ПРИЮКВВД '

01.01.О! - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Одесса - 1990

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Киргизской ССР.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, г профессор Г.С.Дитвинчук

Официальные ошоненты: - доктор физико-математических наук ~ В.А.Пааташвили. (Тбилисский ордена

Трудового фасного Знамени Математический институт им.А.М.Раэмадзе), - кандидат физико-математических наук, доцент В.Е.Я^углов (Одесский орцена Трудового равною Знамена государственный университет ш.й. И.Мечникова)

Ведущая организация - Ростовский-на-Дону ордена ^рудового

Красного Знамени государственный : .••' унлворситот ■

• Защита диссертация состоится " Х990 года ;

в " ^ " часов на заседании специализированного Совета К 068,Й4.10, по физико-математическим наукам в Одесском государственном ¿тшвер-ситете по адресу: 270000, г.Одесса, ул.Петра Великого. 2. агд.й *

Автореферат разослан " Ф & КЛ 1990 года.

Ученый секретарь:' ■ ' '. ■ •'■. \'-.."■•"'. ;*

специализированного Совета, , "

доцент . . В.Г.Кротов

.;' иОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность теш. Под факторизацией (п х п) магрицы-фугасщш • (ооздращенно: м-ф) , определенной на замкнутом контуре Г .разделяющем комплексную плоскость на части Я)+ (э О) и % (о с->) юнимается представление § в вэде

а)

где 0± () суть граничные значения м-ф> аналитических- и невы-эозденшхв , = ^с-Г .

1ри достаточно обцих предположениях о граничном поведении Сыпете числа Эе^- , Г^Ц однозначна(с точностью до порядка) определяются м-ф <3 и носят Название еэ частных индексов, а сумма

- зе^ + . .. + эе„ - суммарным индексом. Факторизация м-ф являе-т-зя основным звеном теории векторной краевой задачи Римана (КЗР) <и равносильной ей системы характеристических сингулярных интегральных уравнений (СИУ), позволяющим свести общий случай этой зада-та к ее щюстейшеглу случаю - задача по скачку- В тЬком аспекте-за, вдча факторизации вря различных ограничениях на гладкость контура Г* а заданной на нем м-ф <5 изучалась, начиная с конца прошло^ со века, нескольким, ноколенияш математиков. Результаты этой ра-Зотн для случая гельдеровеккй м-ф к кусочно-гладких йонтуров по-вдтсашиы в известных работах Н.Я.Цусхелипшили, Н.П.Взхуз, Ф.Д.Га-¡сова. Далькейяеа ■ изучение факторизации кусочно-гелздеровских, непрерывных и кусочно-непрерывных м-ф привели к формировании- понятия факторизации в классах • Основопологащуа роль здесь сыграли работы. Б.В.Хведелздзе, Г.Ф.Мандяавидзэ, И.И.Дашшжа.И.Б., Сиконвшю, М.Г.Крейиа, •Й.Ц.ГохЗарга, Н.Я. Крупняка, И.М.Сштковс-кого и др. Представление (I) продолжает интенсивно изучаться я настоящее.время.

Это связано в первую очередь о широким кругом его приложений вопросы разрешимости систем СИУ, задачи теории упругости, прикладные задачи акустики,.электродинамики, уравнения типа свертки на

конечных промежутках, метод обратной задачи решение нелинейных

!" - •

уравнений мат.физики (см.напр. монографию Г.С.Дитвинчука, Й,М,Спит-кобского^ и цитированную там.литературу). Вопросы существования факторизации (I) и подсчета суммарного индекса решены дои достаточно широких классов непрерывных и кусочно-непрерывных матриц (см.напр.Само se построение факторизации (I), в отличие от скалярного случая ( и = 1), наталкивается на две принципиальные. трудности: I) Отсутствие явных формул длл факторазационных множителей в общем случае и 2) юс неустойчивость при малых возмущениях.

По этой же причине проблема эффективного построения факторизации (а именно она в конечном итоге актуальна для приложешй)ро- • йена пока для лишь весьма специальных классов и-ф. Эффектишим построением факторизации некоторых специальных клаооов м-ф й оценки .их частных -индексов посвящены работы Г.Н.Чеботарева, А.А.Храя-кова, В.Е.Круглова, Н.Г.Моиоеева, А.Р.Цицквшш* И.И.Ишцивдна, . Л.А.Хбоопшской, Ю.И.Карловича, -И.М.Спитковокото,Б.В.Шшдзва и др. Каждое новое продвижение в stom направлении представляет; еначи- ■ тельные трудности и является весьма актуальной задачей в настояще е. время. • • .

Целью работы шляется выделение некоторых новых классов аффективно факторизуемых м-ф, шшолвнш их частных индексов и приложения получениях результатов к одной задаче те орт упругости, вопросам сходимости проекционных методов, предельным яеорешл тана Сега. ■_

tityinchuk O.S., SpitkovBjcii I.M. factorization of aaasurabla ■oîLrix function.- Be j'li n: Akwùtale-Verlag,1-987.-372. p. .Basel,

Методика исследования. Исследования проводятся методами теории функций комплексного переменного и функционального анализа. Используются, в частности, граничные свойства интегралов типа Коти, граюгтыэ свойства функций из классов Смирнова, теория нете-ровьк операторов.

Научная новизна. Основными новыми научными результатами, полученными в диссертации, являются следующие:

- Описание класса .и-ф второго порядка, приводимых рациональный преобразованием к треугольному аш подота н овочному виду, тем ошвл "выделение новых классов м-ф, фанторззуемнх эффективно. Конструктивное построение преобразующей рациональной матрицы.

- Выделение нового класса м-ф с точками ветвления, фактори-зуешх эффективно.

- Вэтисленаэ частных индексов н явное построение факториза-" ции в классах L р со степенным весом кусочно-постоянной (2*2) матрицы о треки точкс.а разрыва.

- Точное ргпогпэ одной сказанной паевой задачи катемати- . ч&окой теория упругости для составной упругой плоскости.

- Эффективно ггроверяегЕЭ условия сходимости щэиблияенгшх. ре-кеняй сингулярного ютегралыгаго уравнения в классах L^ , Ftp -

- Критерий применимости проекционных катодов для обобщенной краевой задачи Егкгна в- L х , F { .

- Критерий сходимости." приближенных репений одного класса СИ7 со сдвигом и ьтсочнб-пепрзрыкпкя коэффициентами в пространствах

Ц „ Ftр ( ± < р < о") •

- Явное вычисление величины ^m ^ЛЧ где А,.- опреде-

П-><* и .

дятели блочво-теплидоЕЦХ матриц, порожденных кусочно-постоянным

символом.. .. • .. ■ ..

Теоретическая к практическая пенность работы состоят в том, что в ней полученн hobvq результату, которые вносят определенный

вклад в теория факторизации м-ф. в теория приближенного решения уравнений. Результаты диссертация могут быть использованы при дальнейших исследованиях по эффективному построению факторизации Мгф в вычислению частных индексов, при изучении применимости проекционных методов к широкому классу СИУ со сдвигом в кусочно-непрерывшши коэффициентами, а также при решении некоторых задач возникающих в приложениях. 4

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на ХП и ХШ всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Тамбов - сентябрь 1987 г,, фйбшвв - охтнбрь

1988 г.), на республиканской научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям я их приложений (Одесса - сентябрь 1987 т.), на Ш зимней Воронежской школе {Воронеж - январь 1988 г.), на У Всесоюзном семинаре ш граничным интегральным уравнениям (г.Пущино Ыооковокой области - июнь 1988 г.), на 1У Всесоюзном симпозиуме "Методы 'дискретных особенностей в задачах математической физики" (Харьков - май 1989 г.), на Всеооюз-ной. школе "Теория приближения функций" (г.Луцк - сентябрь 1989т), на Северо-Кавказской региональной школа-конференции "Линейные операторы в функциональных пространствах" (Грозный - сентябрь

1989 г.), на .ежегодных чтениях,- посвяценшх памяти Ф.Д.Гахова (Одесса, ОГУ - февраль 1987 г., 1988 г,', 1989.г.).

Результаты диссертации также неоднократно докладывались в обсуждались на Одесском городском семинаре по краевым задачам и интегральным уравнениям .(рук..- црсф. Г.С.Литвикчук)» *

Публикации. Список работ [I-I2] , опубликованных по тема диссертации, приводится в конце автореферата. Результаты совместных работ цршвдлежащам авторам в равной степени.

Цтоткттоа и объем диссертации. Диссертация состоит из введения» трех глав содержащих 15 параграфов и изложена /'3 стр.маши- . нопионого текота. Список литературы содержит 106 наименований,

СОДЕШНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор предшествующих исследований по эффективной факторизации м-ф. обосновывается актуальность теш диссертации, излагается 5фаткое содержание диссертации.

Саваграй 1.1. першй главы носит вспомогательный характер, в нем содергатоя определение аналитических функций из класса Смир-

•i»

нова Е р , факторизации и Ф-факторизацш м-ф в пространствах I- р , Здесь же для удобства ссылок приведена известное утверждение об эквивалентности Ф-факторизуемости и-ф ^ в I р н не-теровостя в Ь р оператора К ^ = Р++ б Р_ - соответствующего КЗР о матричным коэффициентом С . В §§1.2.-1.3. описаны классы м-ф второго порядка, приводимых рациональным преобразованием к треугольному или подстановочному виду соответственно.

Представление м-ф О в виде

= (2); "

в котором (~± аналитйчнн и кевырояденн в & ~ за исключением конечного числа полюсов элементов и нулей определителя, является формально ¿одев обдам чем факторизация (I). Имеется алгоритм (см. например, Г1 ]•) построения факторизации (I) по представлению (2). Поэтому вопрос о факторизации м-ф С? можно решить до конца, если найдены мероморфннв в & ~ вместе* о обратными м-ф X + такие, что м-ф •

х.и) (3)

а

эффективно фанторизуема, в частности, является треугольной или и-ф подстановочного типа.

Следующая теорема, описывающая класс всех и-ф порядка 1 X , приводимых преобразованием (3) о рациональными X ± к треугольному виду, является основной в § 1.2.

Теорема Следующие утверждения о м-<36

(4)

эквивалентны: I) ^ _ допускает преобразование {3) к треугольному ввду с рациональными Х± , не шепщшп полисов я но вырождающимися на Г ,2) существует рациональные функции ^ j , не все равные нулю тождественно, и такие, что

V0 » •

Особый интерес представляют м-ф 0 , для которых в (3) можно положить Х+— Х_ ■ , т.е. приводимые к треугольному виду рациональным преобразованиям подобия. Дело в.том, что рреобразо-вание X + сохраняет мяоаество тех точек ^ е Г

для которых (лЮ* 3 и тем самым позволяв!! рассматривать задачу факторизации на разомкнутом контуре Г .

Теорема 1.2. Матоипа-Фтнюгая (4) доцуокает преобразование (3) к нижаетреугольному виду с рациональной не шеэда& полисов а но вырождающейся на' Г матрицей X + и X X + тогда п только тогда, когда уравнение . • \

'В автореферате, сохранена принятая в диссертации нумерация утверждений,.

имеет рациональное решение ^ .

М-ф £г является м-ф подстановочного вида, если для Г- г (кавдое Г,- , состоит из конечного числа дуг) в (4) 04И):-й^)нй на Г( , .

Ог{{) н Р^Н) - 0 на Г2 •

В 5 1.3. доказаны следующие теоремы (теорема 1,3 к 1,4) доставляйте описания м^ф, преобразуемых к подстановочному виду пре-. образованием вида (3) с рациональными X + и, значит, такяе фак-торизуемых конструктивно.

Теорема 1.3. Дня м-ф (д- вада (4) эквивалентны утверждения: . I) ¿7 допускает преобразования (3) к матрице Р постановочного ища с рациональными X ± , не имеющими полюсов и не вырождающимися на Г . , 2) О либо сама являетоя матрицей подстановочного вида, либо один из ее столбцов (одна из строк) получается из другого (другой) умножением слева (справа) на матрицу

Ч

на " Г4 я

на. Л Г, . Здесь

-л

^ - рацколалншз функции, для которых ( ^) -Ц^ является квадратом рациональной функции , а функции * "

1 .г .)- ■ с4 ч ~

не имеют обзрх полюсов во Г ,

Следушгаз угверзденнэ. связано с теоремой 1.3, также, как теорема .1»2. а теоремой 1.1.

Теотат.га 1.4. М-ф. (4) допускает приведение к подстановочному езду преобразованием подобия с рациональным коэффициентом X ^ . не имеющим полюсов, и не внраздагацашся на Г , тогда и только

тогда, когда либо I) Сг сама является матрицей подстановочного вида, либо 2) уравнение (5) на конечной совокупности дуг Гг<=.Г допускает пару рациональных решений , » н0 амидах'-: нулей и полюсов на Г , а на Г*4 - Т\ Гх ' . \

либо 3) предыдущее условие выполняется посла перемены и местами.

В -§ 1.4. рассмотрен класс ы-ф вида (4), когда элементы А] матрицы .0 являются рациональными функциями от V >+К , V где К-невещественный пераме а Гг , Путем ме^юыорфного продолжения соотношения (2) о К на псшуплоскооот Л «/з1*!*»1*?^ задача факторизации м-ф 6 сведено к аадаче факторизации «Н? -О - относительно контура С -являвдейоя разре-

зом, вне которого • анадитачна, Здесь (я ~ -хц>едедьшю знача-ния ч на разных берегах и . Еола м-ф факторнауема явно, то по ее факторизации строятся фактораэацвонные шоедтеад исходной • матрицы . Выяснено, что м-ф Щ 1> трвугольна, вали функция <?., / 0г или Ол не терши окачка на I- , 2) имветподотано- . вочный вид, если ; , ' _ ' ..'

" <¡3

№4

4*1

Здесь же приведен конкретный пример м-ф 0 ', для которой н-ф удовлетворяет условие теореми 1,2,.

Во второй главе, в §§ 2.Г-2.3 поотроша факторизация в классах 1>0 оо степенным весом

у рШ-Ч^^Лр*-^' «

кусочно-постоянной (2 к-2) матрицы о тремя точками разрыва

Зцаоь (точки разрыва м-ф , причем

Ч* е £ и либо Ьй , т.е. в (6) , либо^е1^>

а 0С , В <?а значение О

на/-»", ,"О I Нц^) соответственно ( ^ ^«0,1, 2 характеристические функции соответствующих интервалов}. При : разумеется, на Кгьо) С вследствие непрерывности в ьо вдранимае* значение Сс . Дня показателей весовой функции р предполагаются выполненными условия

- */р < < , * * ^ . (8)

где обозначено 4 - 2/р - ^ - 51 ^ 1 ^ ^ . При условии (8) *

сингулярный интегральный оператор = — Г

. : 1 к Г-х

ограничен в и р ^ ,

Положим » 149 ? (I *~ цроекторн связанные;с инволюцией 5 • При совпадают о соогветотиувдими классами Харда И ~ в полуплоскостях

. В общбм случае . '

1^9 ^Са)—аналитическая в Л .ветвь функции (1+21) П|г-"М.

Под факторизацаей заданной на К С2* г) м-ф 0 I

в С'^ « будем понимать ее представления в виде (I)-, где / г»г

«, АКЬ^мГГ'ЛЧ, * -"-г .

При фиксир званных р , р набор частшх индексов оп-

ределяется по б однозначно.

Основным в §§ 2.1-2.3 является теорема 2.1. Прежде чем ее сформулировать, введем некоторые обозначения. В случае невырожденности Gj пологим А - с/ С± , В = 0С £?1 и обозначим через У , Г,и . У,* (V = <1, 2 ) поделенные на ¿ ^ аргумен-' ты собственных чисел матриц А , А 6 Б соответственно, ч При атом условимся нумеровать одним л тем же индексом ' к значение , отвечающее одному и тому же общему собственному вектору {ОСВ) матрац А и В , если таковыэ имеются. Если у матриц А и. В равно один линейно независимой ОСВ, будем отвечающим ему собственным числам принисивать номер 2 . Обозначим

Теорема 2.1. Кусочно-постоянная L2. it 2) _ н-ф . О вида (7) факторизуема (и Ф-факторизуема) в I р,р тогдаи только тогда, когда матрицы невырсадены, а чаола нэ

' является целыми:

Т I к»«,* ; ^ = 6,1,1) (Ю)

Если эти условия выполнены, то суммарный индекс ЗС штрщш-б в '-р^ вынпсляется по форцула . *,

а частные индексы Эе- - согласно следующему правилу: - * . • /эек> -¿(г С V« ¿,г) } ^

осла I) матрицы А и- В кокгдутлрувт, либо 2) /А и Е. имеют ОСЗ и ( 4 1 •

ли 3) А и В на коммутируют, имеют ОСВ и ^ ~ (-¿f-i либо А и & не имеют ОСВ.

В § 2.2. построена факторизационные множители в случае нали-я ОСВ у матриц А и В , в § 2.3. - при отсутствии ОСВ.

Из теоремы 2.1. выведены критерии устойчивости, равенства ну-I частных индексов матрицы (7) в классах L р k jo .

Следите 2.Г. Пусть кусочно-постоянная матрица G вида (7) кторизуема в • Для устойчивости ее частных индексов не-

додано и достаточно, чтобы внюлшлиоь одно из условий:

1) А и В не имеют ОСВ,

2) А и В не коммутируют, шевт ОСВ й ,

3) А и 6 имеют ОСВ и I I ^ 4- .

Сдэдсувче 2.2. Ддя обратимости в Lp^ оператора И

юбзсодшю и доотатошо,. чтобы матршщ Cj не вырождались, вы-«няяаоь соотношение (10) и одно из условий:

1) А И В но ниеют ОСВ, ^ - а

2) Л и В В9 коымутзхрулт, ШЭ01 ОСВ,

3) А и В шялугцрувт , - 4 - О .

В § 2.4. доказана обратимость оператора в случае сак-

рального символа G В работа Дугласа-Вддсма^^ ?яюпство Ж п v и) матриц было названо соктораалышм,' если каждой элемент выпуклой оболочка обратим. Таг гтэ поогавлзн вопроо: следует ли ) саеторзальностя $ его "даосЕПагдзируеыость", т.е. существо-швэ таких (одинаковых для всех К £ Ж ) матриц Л1 , N ,

1 Douglas» В.О., ¡Widora Ht Toeplitz oparatora with! locally aakto-rial eyabols// Indiana Univ.lath.J.-1970,- v.20,Ho.4.- p.385-38Bt

что Положительный ответ на этот вопрос овначал бы

(см.напр.^отр.273) обратимость в Л-г оператора ^ в случа векториального множества значений <3. V

Теотема 2.2. Воли множество (г**) матриц оектс

риально, то оператор £ с матрицей ввдл (7) обратда в I-

В § 2.5 изучена яимптотэтеское поведение определителей блочно-тешощевнх матриц, порожденных кусочао-постоянным сямволся вида (7) на единичной окружности "Я" , С использованием явного вида факторизационных множителей, построенных в §§ 2.2-2.3» и кр терия равенства нуло частных индексов в I- 2 (следствие 2.2. в случае р = 2 А ) доказаны следующие теоремы. ;

Теорема 2.3. Матрица-функция <5(ТУ ) Г^ Т виде <7) , л пускает(лзвую к правую одновременно) Ф-факторизацио в С ^ с Н5 левыми частными индексами топца и только тозда, кохиа штрицв ' /Г'б , В не имеют отрицательных собственных чиоели выпол! но одно из следующих условий: I) А й Щ имеют ОСЕВ я 2) А в & не имеют ОСВ а = 0 . /. ■

. . Пусть { О} - произвольная последовательность Г п>«

матриц. Ей ставим в соответствие последовательность бяочно-тепл цевых матриц .

* ) * 4 '

Ос о*

я* А*»}*-'

определители которых обозначим через . Д „ С*»- 0,1,2,...)1Послвдс тельность 1 будем называть алгебраически невнрсядзяно< при достаточно больших Л .

Теорема 2.4. Дусть матрица <3 (?) , Те-Т" вида (7) д пускает левую и правую Ф-факторизацив с нулевыми частными инде

u s Ц . Тогда последовательность а, - §

J t/Л в

алгебраически нввыроздена и

с Jtiej^'tyAi ?<)*(№€,)*

л«

точка разрыва G на Т Л .

Теорема 2.4, дополняет ранее известные результаты, зила первой предельное теоремы Сете.

В 5 2.6. раосыатриваатоя следующая смешанная краевая задача математической теории упругости ддяооставной упругой плоокости.

В oootasBoflупругой пяоохоота (полуплоскость у><> <*»

о ущчгдай пботояншвв и полуплоскость у<о t- «*>«х<

о упругими достоянными Е, , полностью сцеплены ыедду собой по лвшш , х< ©о t > имеется де-

фект иа отразке X** , вецеотвадной ори представляющей собой трещину пра Jf^ < х < а тонкое абсоляво жесткое волочение при •*а< * < *3 , полностью оцепленное о упругой средой обоими своими бврегами, Такая ситуация реализуется следующими граничными условиями ■ >;

CM'wv'Xir.+o ) * f <.-<».

, Я%< X < ь* ,

•;•. ; г' "''' -• ■■"-■ ■ ' (И)

iff j, г

J , ■ . , * г , --

На основе комплексных представлений напряжений и смещений задача (II) сведена к паевой задача Римаяа

у и)* -»"ЙН), - (12)

для двух пар функций = (_ о нуоотао-постоянной дач

цей вида (7) с разрывами в точках К^е , К -1,2,3 , с помоар результатов § 2.3. решение задачи (12) построено в явном виде. И: что поведение напряжений в концах трещин, вычислен коэ&рщиек' интенсивности напряжений.

Тоетая глава (§§ 3.1-3.5) посвящена проекционным методам р тения некоторых СИУ со сдвигом и кусочно-непрерывными коэффицие тем на единичной окружности 1Г - { -1-} ■

В § 3.1. излагаются некоторые результаты о применимости щ екционных методов по системе проекторов ^ Р„ \ , к уравнен о операторами вида

А * р*Ч р; - Р>а р> РХ к + к •+ +(р>г + р; о6 к »>;+р; ) з" схэ>

полученные Зши^ершнном е Рохом"^. Здесь Р - ортпроектора в ц етранстве I- 2 на лгне&гуш оболочку системы функций ^ } _, J= I, 2 ' куссчно-пепрэршзиыэ на Т раемерност ») ' Р± ~ ^ I " / » ^ С - оператор шпул

ного интегрирования с йфоы Кэш на Т » чГ - оператор ода

Roch S, , SlLbarmann В.:А symbol calculus for finite ssctior of eingular intsgxal cperators vsitb ehiit piecsvjiea Cor tinuos coefi-icjcmts (/ J.yunct.Anai..-l9S8.-v.7S,Ho.2."P.36i -339. '

Следуя принятой терминологии, будем говорить,что к оператору А применим (или сходится) проекционный метод по система { Р-л ^ идзащенно записывая этот факт в виде "А е П{рЛ ),если при лобом 1 с 1."(Т) т.н. усеченное уравнение ^^^ ^ = ^ , начиная ^которого П имеет в 1м Р* единственное решение V3 и »

А- '

дествует предел ^ ^ У и

В этом же параграфе условие применимости проекционных методов итератору вида (13) сведено наш к проблема вычисления частных цексов кусочно-постоянной м-ф лишь о тремя точками разрыва. За вт этого подхода удается применить критерий обратимости операто-/й^ в случав кусочао-постоянно Ст размером (2 у г) ,полу-нный в §§ 2,1-2,3, для получения эффективно проверяемых условий одимоотя проекционных методов к некоторым классам СИУ со сдвигом кусочно-непрерывными коэффициентами в классах , РСр Л^р'**.

В § 3,2. установлен критерий применимости проекционных методе по системе. к уравнениям о сингулярным интегральным юратором - . о

а Р+ + Ь Р- .

Обозначим

- предельные значения ■ зрава/олева при £"<?ТГ , <р (£) ®

Теорема 3,д. Пусть С? , Ь — кусочно-непрарнвные на т

-ф второго порядка. Оператор тогда и только

огда, когда I) к-ф О , Ь , а ь Ф-фактсриэуема в с

улевыш частнши индексами, 2) прд всех. Те-~Г для матриц А --д -х "

Ь+/г)ЬУО > В и определяемых по формуле (9) чисел

1К (случай р= % , р- 1 ) вшояняатся одно ив зголови11)-ч следствие 2.2,

В § 3.3. изучав вопрос о применимости проекционных методов I- г к обобщенной КЗР* ■

у+аШ)^)«саг,±т. <м

Здесь . У' - иоиоша функции из класса Харда Н^Т)

внутри и вне единичного круга ^ - {£ ' соответственно

Ч5 ^ е Р.+ . . й и & заданныена .Т., цус

но-непрернвные функции. Задачу (14) можно переписать в вице ура

нения

ЛЛ »А .-'л

Му - с

где М = Р+ + 0 ф / V/*. > у - оаератор камшюкокого сопряжения: - <р ^} . Оператор является дииейнь

если рассматривать пространство над . Совоотв

вии операторам . действующий в (~9(У) (над ) оператор Р , еде

2

/У* Я,

ЕМ» 1

Ж)

КО)

ГоН1 о! = 1Ш)

Справедлива.следующая

3.|. К оператору М й проекционный метод по < теме У Р*^ применшл/лшь адвовгэменно: . ,

С помощью лемш 3.1 и теорема 3.3, должен следухидайкряга рай применимости проекционных методов решения обобщенной КЗР.

тоща и только тогда, когда I функция й - Ф-$акторязуема в {~2 снулевым. индексом, 2)

> МчЫ-М-О! при всех 1 е X .3) суцсютвуег аналитические и ограниченные в ^ за иохлочоняем конечного числа попарно различных голосов функции у>1 К , такие, что при некотором £>о : | о1> £ при 3 * Я , Нт-^аН +е < юип < К¿(4 )-<£,<*>(-£ п.в.ва Т ♦

Следствие 3.2. йуоть коэффициент О задачи (14) непрерывен, ё кусочно-непрерывен. Проемдаонный метод в этой задаче применим тогда а только тогда, когда она однозначно разрешима при любой правой части С <г"1~2 •

Сходге-'ость проекционных методов решение уравнений о операторам ввда

лх?,ъ "ТоплщаЕ+Ганкелев", где й , Ь - куоочно-непрерив-йнй на Т функция рассмотрев в § 3,4» Основной здесь является

Теорема 3.5. К оператору Н вида (15) проекционный метод по ояотёме{-РеУ щшешш тогда н только тогда, когда: I) И обратим, 2) фунщня 0 в-факторнэуема в I- 2 о нулевым индексом, 3) щи всех ^.«ТГ , Лж^^б для корней ^Г трехчлена

> гут*. Ж* ^ ^

шполнено неравенство :

е£2(б+(и)% о. (и)) .

Через , обозначено подмножество (D , определяв! то £ , fj следующим образом. Пусть £ , i - лу1 началом в нуле, проходящие через точки -1 £ , -i *} соотв

ственно. Если ^ = , то £l(Ç, *)} - дополнение до

t M *

.. жащего на луча с началом в точке | а. Если

l^ty , /7) - множество точек, лежащих по одну с

ну с нулем от проходящей через точку - ветвь гипербол

асимптотами L ^ , t у .

Результаты полученные в §§ 3.2-3.4, в § '3.5 расцроотрщ

на случай пространств FI р , 1*.-р<ео , т.е. на прострш

аналитических функций, последовательность коэффициентов 5ур:

торых принадлежит пространству t р

Автор вираяает глубокую благодарность профессору Литва

Георгию Семеновичу за его постоянное, внимание^ к работе н во,

ку при выполнении данной работы.- •

Автор приносит так ко искреннук благодарность Сшгакогс

йяье Матвеевичу за постоянную помощь в работе, полезны© эа

и советы. •

СПИСОК РАБОТ ОИШИЮЕШШД: ЕО ТЕДЕ даССЕРТАЦИИ

1. ТМШАЕВ A.M. О конструктивном построении факторизация ! торых классов матриц-функций // Ш Всесоюзная пкола по рии операторов в фуккциоаальнюс .пространствах: Тезисы дов. - Тамбов, 1987 - ч.П - с.95. •

2. СШ1ШШСВИЙ И.М., ТАШБАЕВ A.M. О некоторых; системах с: нях интегральных уравнений, разрешимых в. явном виде// дакакская научная конференция ''Дш|ферзнциа.шше и шт ные уравнения и их прилояензя": Тезисы докладов. - Ода 1287 - ч.Ц - с.99-100.

3.. СПИПЮВЗКИЙ И,Мм ТАШБАЕВ А.Н. Факторизация некоторых кусочно-постоянных матриц-функций и eg приложения/ Одесса. Отделение гидроакустики МГИ АН УССР. - 34 с. - Деп. в ВИНИТИ, Н 4726 -В 88 от I6.0S.X988 г.

4. СКОЛКОВСКИЙ И.М., ТАШБАЕВ A.M. Факторизация кусочно-постоянных (2x2) матриц и ее применения.// ХШ Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов.Куйбышев, 1988 - 0.176-177.'

5. ТАШБАЕВ A.M. О применимости проекционных методов к некоторым сингулярным интехральным операторам з пространствах FI р /Одесса, Отделение .гидроакустики МГИ АН УССР. - 1989 -

16 о. - Деп.в ВИНИТИ Й 2128 - В 89 от 04.04.89 г,

6, (ЖГДОВСШ И.М., ТАШБАЕВ A.M. й вопросу об эффективной фак-• торизздш! матриц-функций,// Изв.вузов.Математика. - 1989 -

й 4. - с.бЭ-73.

7, СПИГЙЗВСКИЙ И.М., ТАШБАЕВ A.M. Об устойчивости проекционного метода решения некоторых сингулярных интегральных уравнений

в класса F// 1У Всесоюзный, симпозиум "Методы дискретных • особенностей в задачах математической физика": Тезисы доила- ■ дов, - Харьков» JS89 - - 0.253-255. " ■

• 9, ТАШЖЕВ A.M. О частных индексах кусочна-постоянной матрицы .о тремя ¡значениями / Одесса, Отделение гидроакустики МШ АН УССР, ¿989 - 16 о, - Дэп, а ШВШ JS 4284 - В 89 от 29.06.89 9. ТАШБАЕВ A.M. Об аст.ттопгееоксм поведении определителей блоч-но-тащицэвнх мачрац, порожденных кусочно-постоянным символов Одесоа, Отделение гидроакустики I.CE7K АН УССР - IS89 -О с, - Деп. в ВИНИТИ й 4286 - В 89 от 29.06.89. 10. СШИШВСКИЙ И.М., ТА1ШШ2В A.M. Факторизация кусочно-постоян-■ пых штриц-фунвдай с тремя точками разрыва в классах L р _

и некоторые ее приложения // Докл.АН ССОР, - 1989 - £¿307.-№ 2 - с.291-296.

11. ЛИТВШЧУК Г.е., ШИТКШСКИЙ И.М., ТШБШ A.M. О сходимости приближенных рэяений одного класса сингулярных интегральных уравнений // Всесоюзная школа "Теория приближения функций" Тезисы докладов. - Каев, ,1989 - с. 96-98.

12. ТАШБАЕВ A.M. Об определителях тешшцевых матриц, порожденных . кусочно-постоянным символом. П Северо-Кавказская региональная школа-конференция "Линейные операторы в функциональных пространствах": Тезисы докладов. - Грозный, 1989 - с.153, .

БР02СЕ6 Поогч-к печати 12.02В0г. Формат 60x54 1 Л 6. Об'ем 1,25п.я. 0,8уч.вза.л. Заказ 733 Тираж |ООэкз. Гортипографяя Оаесгасого облполиграфиэ'и1'га,иах№3. Леявиа 4Э.