ЕМ-пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ



Ордена дружбы Народов университет дружбы народов имени патриса лумумбы

На правах рукописи

ДОЛГАРЕВ Артур Иванович

ЕМ-ПРОСТРАНСТВА (01. 01. 04. геометрия и топология).

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1991

Работа выполнена в Красноярском государственном педагогическом институте.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Л. В. Сабинин,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор О. В. Мантуров,

кандидат физико-математических наук, доцент И. Л. Афанасьев.

Ведущая организация — Российский государственный педагогический университет имени А. И. Герцена, г. Санкт-Петербург.

в 15 часов 30 минут на заседании специализированного совета К 053.22.23 по присуждению ученой степени кандидата физи-ко-математнчеекпх наук в Университете дружбЕл народов имени Патриса Лумумбы по адресу: 117302, Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд. 485.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан «

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук, доцент

М. В. ДРАГНЕВ

• | ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

" Актуальность теш. ВА-пространства являются частным случае« геоодулярних пространств,введенных профессором I.В.Сабининым в 1977 г.,[1].Одулярные пространства возникли в н^вей-. тих исследованиях в геометрии,связанными с неассоциативными алгебраическими структурами,[2].В 70 - 80-х годгх нашего века на стыке алгебры и геометрии зародилось новое научное направление - нелинейная геометрическая алгебра,Гз,4],обязанная своим появлением одулярным пространствам.

Ж-пространство и Ш-пространства являются обобщениями, аффинного и евклидовых пространств .'Автором осуществляется построение синтетической теории ЛМ- и ЕМ-пространств.Дяя других одулярных пространств в настоящее время синтетической теории нет.Часть работы относится к нелинейной геометрической алгебра, другая часть - к некоммутативной дифференциальной геометрии.

Цель работы. Обобщение аффинного и евклддовых пространств достигнуто на пути замены в аксиоматике Г.Вейля этих пространств линейного пространства растратой.Бри этом получены ПМ-и. ^-пространства.Дальнейшими обобщениями является вейлевские одулярные пространства (ВО-пространства).Здесь используется одуль над унитарным кольцом,растрам есть частный случай одуля,линейное пространство - частный случай растрана.Целыз работы является построение основ синтетической теории некоторых видов одулярных пространств.Эта цель реализована для ДМ-пространства и для Ш-пространства,близ! >го к евклидову пространству.

Научная новизна. ЛМ-.ЕМ- а- ВО-просгранства введены автором работы.Теория этих пространств яшшется составной частью теории одулярных пространств Л.В.Сабинина.Внесен вклад в нелинейную геометрическую алгебру и иекоштгативную дифференциальную геоыетрив.Новой является и синтетическая теория частных видов одулярных пространств.Рассматриваемое И,5-пространство является пространством-временем с необратимым временем. Существует (и не одно) ЕМ-яространство-время с двумерным временем.

Практическая и теос тическая данность.Работа носит теоретический характер.Б заключении указаны ее приложения.основным из которых является является то,что ЕЛ-пространство является пространством-временем'.

Апробация. Результаты исследований сообщались на семинарах кафедр геометрии Красноярского пединститута,Ленинградского пединститута,Казанского университета,университета дружбы народов в Москве,семинара профессора. Б.А.Розенфельда в Москве,на Герценовских чтениях в Ленинграде в 1984 - 90 г. на 12 Всесоюзной геометрической конференции в Кишиневе в 1988 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы [7 - 93.

Объем работа. Диссертация состоит из 4 глав (17 параграфов), изложена на 95 страницах,библиографический список содержи? 15 названий.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Ксгок". >,

Истоки изучаемых в диссертации пространств лежат в оду-лярных пространствах I.В.Сабинина к в афишном пространстве. Виявляя эти истоки,ш получаем вейлевские ояулярние пространства и модели растрака.ЛМ- я ^-пространств.' .•

Заменяя в векторной 'аксиоматике Т.Бейля 'аффинного - пространства линейное пространство- одул'ем,получаем З'О-пространства, Аксиомы Г.Вейля позголйют для:'Вб-йррсФранства:-йыделить его" .'. канонические • преобразования. Кай'онй^аскши щя?о<3разованйяш ■ .'. й|Ф'-'Н1юго пространства, • ростёйвего ;30-'простра!!ства.являются ., параиельИые;; тгерёно.са- к 'гомотетии. С пОмощеп-'канонических преобразований' -у'стачавлг'зается, что вейлевское' ойуляр^ое-арос'Р- -• раист'в'о-тео'адулярно'-'{'теорема 1.4.2).,имеет нулевую кривизну ../V (:теорёйа1;4..3| ,а также,что -.одуль 'здесь;является, ассоцзатив-.- : та.--, более. того-,лупа до сложению этог'о/одуля-. является группой'.

.Далее рассматриваются истоки, понятий растрана. н .¿Щ-гпро-г: • странств! в а^кнноы пространстве-'и Ш~щх>странстз;в'евклйдо--внх пространствах, используеящё 'для • построения'"кддаей'-растра-на,Д1- к Е.'-простраяств.Растран ыожет быть составлен из'.нокр- .

торых. параллельных переносов и гомотетий аффинного пространства.

Глава 2. М- и ЕЛ-пространства.

^-пространство получается в результате замены линейного пространства растраяом в аксиоматике ..Вейля аффинного пространства. Растран является одулеы и В!-пр странство является ВО-пространством нулевой кривизны.Нормируя растран .И-пространства ,получаем ЕИ-пространсгва.

Растран определяется аксиоматически,причем рассматривается действительный растран. а-иерный растрам р1^ представляет собой полупрямую сумму 1П-/1 -мерного С"'и 1-мерного Р линейных пространств,множество ¿-Г"'»содержащее Г «наделено некоторыми дополнительными свойствами.(Аксиоматика растрана разделана на 9 групп,в каждой из которых от одной до двенадцати. аксиом.) Всякому расту /> ( элементу растрана) из{РпМ£",' где в нулевой раст,поставлено в соответствие положительное действительное число к.называемое его коэффициентом,раст с коэффициентом к обозначается р .Среди аксиом растрана содержатся:

х

П)

(р.7) ' р ,

Срт.2) - уЯ ч- та.,

тп т тх -1

(рт.З) + а,} = хр+ ■ 0~,

для любых ре {Р^КЕ"4, 9}, я еЛ .Эти аксиомы

лежат в основе вычислений,производимых на растране и в Л1-пространства.

Размерность ^-пространства равна размерности его растрана. к -мерные подпространства ЛМ-пространства называются его к -плоскостями.Некоторые к-плоскости, к £ »-/.являются аффинными пространствами.Изучены некоторые вопросы взаимного расположения >с-плоскостей, более подробно - взаимное расположение прямых ЛЫ-алоскости.На ЛМ-шюсхости существуют прямые,для кайлой из которых через точку вне прямой имеется .-очно одна прямая,не пересекавшая данную.Для остальных прямых через точку вне прямой проходят две параллельные прямые и бесконечно много сворхпараллельных.

Указаны аф|шнне модели раотрана и Ш-пространства. Растран пронормирован введением скалярного произведения растов.Это позволяет ввести расстояния между точками и ЛМ-пространство превращается в одно из Ш-пространств,Разнообразны и геоиетрии гиперсфер ЕМ-пространств. На растране введены координаты.Если

здесь у, действительные числа, т. к.рассматривается дей-

ствительный растран. Далее вводятся координаты точек Ж-прост-ранства.Формулы замены координат такова:

Íjc = кгх'4 с,

= / с 1е<*'' = г.....d'WjW

ояраметрические уравнения прямой: 4 г,

■i г

х[ ~ е41 = г' i = Z, „., n-t

На плоскости уравнений прямой имеет вид

f у . V' = ice +с Ела Jf =а..

Формулы коллинеацяй плоскости:

f Х'-Х+с,

( x'J = é + с'е^а1*'

С "f '

Уравнения и формулы нелинейны:.

Коллинеация ЛМ-шгоскосгк может быть задана двумя реперами. Однако,не всякое преобразование плоскости,заданное двумя ропчрагли,является коллгнеацией.

Приведены также формулы движений Ш-простраяств. Они не линейны.

Пусть /\ ю^Ч и &(/,(<] точки ЛМ-пространства.Тогда

Ál - {¿-а,

В №-простряястеч с гиперплоскостями Евклида имеем MR>I * lé ~a¡,если é Фа,

IW IZW'-aiffi.evs*4 = <L.

I ' t

Рабты могут быть представлены матрацами.Расту <х, V) соответствует

е* 0 0,., О V 1 О,., О I _ /е*!о).

\ Х"ч ОО... 1,

имеем

1~х1ТД у | В) \ I Е>'

что соответствует сложению растов.

Тем самым получено матричное' представление одного из оду-лей, отличного' от линейного пространства,которое представляется матрицами-строками тот матрицами-столбцами.

Преобразованиям ЛМ-пространства и движениям И-цростран-• ств также соответствуют матрицыкпричем последним - матрицы масштабной группы.

Результаты главы 2 относятся к нелинейной геометрической алгебре.

Глава 3. Кргвкс ж поверхности в Ш-пространстве.

При изучении кривых и поверхностей в ЕИ-пространстве используются растракнне функции,т.а. функции со значениями на. растранэ (обобщенна векторных функций),

= <Х14*,\*)1 ±<¿(0,4) сЖ, 4гс-(с,сЫ^

Формулы дифференцирования растранннх функций таховы:

Правила дифференцируемая такуэ сложное соответствующих правил для векторных функций.

Кривая в ЕМ-пространстве определяется функцией /><4) = ШМ, х'1'Л)), й<{< 6, класса С , к >, .Рассматриваются •г-кривы»,т.е.кривив, для

- 8 - "

которых х'ШЮ.Т&тв кривые долускавт естественную параметризацию

^ а) = (1, к'т, а<

где 4 длина дуги кривой в окрестности- некоторой ее точки. ... Изучаются 1--кривые Зчаерного Ш-пространства,близкого к пространству Евклида.Основные понятия для хривой вводятся по аналогии с соответствувдшж понятиями для евклидовой кривой. Получен аналог формул френе .кривизна )с, и кручение кг кривой

^0(4) ~(6, хг(1)) ~ (4, х , Уг] трехмерного пространства в окрестности обыкновенной точка вычисляются па формулам

к = г*<х*-хгнх1-х')

Для вычисления кривизн плоских линий, мы получаем те хе $ориу~ лы, если воспользуемся группой Ли движений ЛЫ-шюскости, [5], юпг определением кривизны по Решетняку Ю. Г. ,Гб]. Кривая может быть задана натуральными- уравнениями. Найдены кривые постоянных кривизны в кручения,это винтовые линии.Если к е кривизна проекции 1 -кривой на евклидову плоскость,то

* НИ. --р

Кривые другого вида рассматриваются в § 17 главы 4.

Поверхность,касательная плоскость которой в данной ее точке не являегся евклидовой,допускает особую параметризацию />(4, V) = (у/ у(Ц,У)>.

■ Для такой поверхности в окрестности обыкновенной точки введены первая и вторая квадратичные формы,проведена классификация обыкновенных точек поверхности.Найдены поверхности постоянной кривизны.

Дифференциальная геометрия Ш-пространств оказалась кехоымутатквкой.

Глава 4. Заключение.

Здесь обсуждены возможности обобщений аффинного и евклидова пространств при замене в аксиоматике Г.Вейля линейного пространства более общей алгебраической структурой.ВО-прост-ранства исчерпывают эти возможности Дальнейшее изучение рас- ^

сматриваемых пространств представляет значительный интерес. Пополняется синтетическая теория одулярних пространств,нелинейная геометрическая алгебра и некоммутативная дифференциальная геометрия. Интересна и инт-рпритация ЕМ-пространства как пространства-времени. В заключении затронуты и другие вопросы.

Библиографический список

1.Сабинин Л.В. Одули как новый подход к геометрии со связ-костыо//ДАН СССР.1977.№ 5.С.800-803.

2.Сабинин Л.В. Метода неассоцкативной алгебры в дкфференци-альной геометрии// Кобаяси Ш..Номидзу К. Основа дифференциальной геометрии.тЛ.М. ,1981.0.293-339.

3.Сабинин Л.В. Геометрия и квазигруппы// IX Всесоюзная геометрическая конф.Кишинев.20-22 сент.Тезисы сообщ.Кишинез. 1988.С.274-275.

4.Сабинин Л.В..Михеев П.0.Гладкие квазигруппы и геометрия// • Проблемы геометрии.т.20.ВИШТИ М. ,1983.С.75-110.

5.Широков П.А.и Широков А.П. Аффинная дифференциальная гео. метрия.-М.Д959.С.319.

6.Решетняк Ю.Г. Метод ортогональных проекций в теории кривых// Вестник ЛГУ. 1957.Серия математика,механика!,астрономия.Вып.3.№ 13.С.22-26. . ; .

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ '' ';-.■■■•

7.Долгарев А.И. ЛМ-пространства// Риианооы' пространства", и:меК : тоды эллиптических дифференциальных. уравнетаЙ.Л. ,х98б.', С.8-25. .'.:. :

8.Долгарав ,А.И. Кривее Е,'-пространства//1Х Всес^зная' гёо'мет-рическая конф.Кида; * ^.20-22 сент. 1988.ТеэиСН' сообщ-.Киии^ев'. • 1988.СЛ00. V;:;.''V.: •'*•.'■• \ "*..'.' V-

9.Долгарев А.И. ЕМ-пространства// Исследования - по '.теории. по- ■' верхностей в многообразиях знак'опостоямйй" /кривизны^ Й.>» 1907.С Л 7-2?'. р' ' у ' ' •'