Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

По теме таспвптяпии опубликованы следующие работы:

1. Т.Н.Грановский и его библиотека.У/Из фонда редких книг и рукописей Научной библиотеки московского университета. М., МГУ, 1993. - 0,8 п.л.

2. Книжное собрание Т.Н.Грановского // Книга. М., 1993. №6-1 п.л.

3. Русская история в научном творчестве Т.Н.Грановского// Отечественная история. 1993. В 6 - I п.л.

МАСЛОВА НАТАЛМ ВЛАДИМИРОВНА ПРОБЛЕМЫ ЖТОРЮГРАФИИ И ИСТОЧНИКОВЕДЕНИЯ в' - НАУЧНОМ ТВОРЧЕСТВЕ Т.Н.ГРАНОВСКОГО

(Автореферат)

московски« ордк1гл ленина ii ордена трудового красного знам1шн педагогически« государственный

университет пи, п. н. лглпшл

Сш'цпа.-пкпфопшшын счпет К 053.01.02

Т1а правах рукописи

ПЛНАРУ Михаил Пориеоппч

ЭРМИТОВА ГЕОМЕТРИЯ Г»-МЕРПЫХ ПОДМНОГООБРАЗИИ АЛГЕБРЫ КЭЛИ

01,01,(М— геозиртрия н топология

автореферат

диссертации па соискание ученой степени кандидата фтико-математнчеекцх наук

Москпа—1(Ш

О

/7

¿О

Работа выполнена п Московском педагогическом государственном университете имени 15. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор фмлико-математпческих паут;, профессор КИРИЧЕНКО Р>. Ф.

О ф и ц л а л г. н ы о о и по и е и т ы:

доктор фн^пко-математнтеекпх: наук 1ПЕЛЕХОП Л. 1М.

кандидат фпзпко-мателатпчоскил' наVI.', доцент ШАИДРЛ Н. Г-

Ведущая организация — Российский университет Дружбы народов.

Защита состоится «.. ..........та", г. в и» ча-

сов г. аудитории па заседании специализированного совета 1С ОйЗ.0!.02 по ирпсуя;деш!ю ученой степеин кандидата паук и Московском педагогическом государственном университете нменн И. II. Ленина но адресу: 107 МО, Москва, Краснопрудная, И, МИГУ им. П. Л. Лсчпша.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИРУ имени И. II. Ленина (11!)'¡ЛЛ, Москва, Малая 11ироговгкая, I, МИРУ имени П. II. Ленина).

Автореферат разослан «............»................................................1П03 г-

Ученый </01^е^1^/^0е!Цгалп'дн]>1)1>.анн1>г() совета

доцент КАРАСЕВ Г. Д.

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним иэ самых красивых и интригующих объектов геометрического исследования являются Г -векторные произведения.Напомним.что понятие Г-векторного произведения в п -мерном евклидовом пространстве введено Экмаином [13. А.Грей [2] доказал,что Г -векторные произведения в П -мерной евклидовом пространстве индуцируют ( т - Л +• Г ) -кратное векторное произведение в т -мерно1 подпространстве.Отметим,что понятие I -векторного произведения имеет смысл на любом (псевдо) р¡-плановом многообразии.В этом случае понятие 1-векторного произведения совпадает с понятием почти эрмитовой структуры, представляющей собой один иэ наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структур.Их изучению посвящено огромное число публикаций,характеризующих эти структуры как с точки зрения дифференциальной Геометрии,так и с точки зрения математической физики.Не вдаваясь в подробности столь обширной теш,отметим липь статью А.Грея и Л.Ы.Хервеллы [3] ,в которой получена классификация почти эрмитовых структур по дифференци-ально-геомётрическии инвариантам первого порядка.В соответствии с этой классификацией все возможные типы почти эрмитовых структур разбиты на 16 классов и получена аналитические признаки принадлежности конкретной структуры х тому или иному классу.

Из упомянутой выше теоремы А.Грея следует,что на любом 6-мерном ориентируемой подмногообразии Н4 с Я * = О каждое иэ канонических 3-векторных произведений (их существование тесно связано с существованием классической структуры алгебры октав Гревса-Кэли) индуцирует I-векторное произведение, то есть почтя зршггову структуру.Заметим,что на подмногообразие М*сО не накладывается никаких ограничений,кроме ориентируемости ,н это даёт возможность получения большого числа конкретных примеров почти эрмитовых структур.Естественно встаёт вопрос: какие иэ 16-я классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур могут быть реализованы на таких многообразиях ? Ответ на него был получен лишь в случае так называемых струя-тур Калаби.Общий случай ориентируемых многообразий Н6с О изучен гораздо ыеньшв.Иэ полученных результатов отметим при-

надлехшцую В.Ф.Кириченко полную классификацию келеровых [4] и приближенно келеровых [5J О ,а также изученные им же подмногообразия с так называемой устойчивой почти эрмитовой структурой,в частности, полную классификации устойчивых ква-эикелеровых и устойчивых эрмитовых структур на И6 с О [6] .

Из вышесказанного видно,что настоящая работа, в которой получены удобные и компактные условия принадлежности произвольной почти эрмитовой структуры к любому из классов Грея-Хервеллы,выяснено,к каким из этих классов могут принадлежать почти эрмитовы структуры на НссО,и изучены-геометрические свойства тех Ц6С О ,на которых индуцируется эрмитова ( Н-) структура,является актуальной.

Методы исследования. В работе- по и*ре надобности использовались метод инвариантного «счисления Кошуля и метод внешних форм Э.Картана.

Цели диссертационного исследования:

1. Подучить удобные тензорше признаки принадлежности почти эрмитовой структуры к тому или иному классу почти эрмитовых структур Грея-Хервеллы.

2. Выяснить,к каким из классов Грея-Хервеллы могут принадлежать почти эрмитовы структуры.индуцированные 3-вектор-ньми произведениями на б-ыеркых подмногообразиях алгебры Гревса-Кэли.

3. Изучить геометрию б-ыерных эрмитовых подмногообразий алгебры Гревса-Квли.

Новизна результатов. Основные результаты,полученные в диссертации.являются новыми. Выделим важнейшие из них:

1. Получена новая ¡сарактеризация классов почти эрмитовых структур Грея-Хервеллы в терминах структурных и виртуальных тензоров Кириченко.

2. Получена характеризация классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур на 6-ыернкх подмногообразиях алгебры Гревса-Кэли в терминах конфигурационного тензора.

3. Установлено,что лишь 8 классов АН-структур из 16-и могут иметь собственного представителя на 6-мерных подмногообразиях алгебры октав; для каждого из этих классов выведены структурные уравнения Картана.

4. Исследованы эрмитовы (Н) 6-*ернне подмногообразия

алгебры Гревса-Кэли.Установлено,что а) такие многообразия являются минимальными подмногообразиями алгебры октап ; б) такие многообразия являются паракелеровыми; в) установлено необходимое условие локальной симметричности; г) найден критерий эйнштейновости; д) изучены свойства голоморфной секционной и голоморфной бисекционной кривизн, кривизны Риччи.

5. Введено понятие уплощающегося подмногообразия алгебры октав, доказаны два предложения о свойствах таких подмногообразий.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер.Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения почти эрмитовых структур на многообразиях,в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и математической физики,а также при чтении спецкурсов в" высших учебных заведениях,где проводятся иссле- , дования по сходной тематике.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на заседаниях Семинара кафедры геометрии (руководитель - профессор В.Ф.Кирмченко) Московского государственного педагогического университета имени В.И.Ленина.Понт-рягинских чтениях - 4 (Воронеж,1993г.),геометрическом семинаре в Смоленском государственном пединституте имени К.Маркса, на Международной геометрической конференции 1992 года,посвя-щённой 200-летию Н.И.Лобачевского в г.Минске (Беларусь).

Публикации■ Основное содержание диссертации отражено в пяти публикациях.которые выполнены без соавторов.Их список приводится в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения,трёх глав и списка литературы.Она изложена на 99 страницах машинописного текста.Список литературы содержит 40 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

ОБЗОР СОДЕРШШ ДИССЕРТАЦИИ

Во введение излагается лредьютория вопроса,обосновывается актуальность темы,формулируются цели и задачи диссертационной работы,излагаются основные результаты,полученные в работе.

- б -

Глава I.

Параграфа I и 2 носят реферативный характер.В параграфе X рассматриваются классы почти эрмитовых структур на многообразиях Цхп , п .Приводится известная теорема А.Грея и Л.М.Хервеллы,характеризующая 16 классов почти эрмитовых структур на языке инвариантного исчисления Кошуля.

Во втором параграфе приводится первая группа структурных уравнений произвольной почти эрмитовой (АШ структуры:

+ uJC*u>g + Ьивси>е Л^

d UJa = - Л u)g Ъ)*л

Эти уравнения получены В.О.Кипиченко.Здесь же рассматривается вопрос о 5-a'Sc, Ва&с < с »^а.8 С - структурных и виртуальных тензорах Кириченко (при этом а,В,с в 1,о ).

В параграфе 3 классы Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур характеризуется в терминах тензоров Кириченко.Формулируется и доказывается соответствующая теорема.Её результат отражён в таблице (Л-).

Гяана II.

В параграфе I этой главы вводятся в рассмотрение почти эрмитовы структура на б-иерных ориентируемых подмногообразиях алгебры октав О -Как известно,в алгебре октав (алгебре Кэ-ли) каноническим образом определены два неизоморфных векторных произведения: ,

f> : £»хо*0 —Q (? = *.*).

Кавдое иэ них епределяет почти зржтову структуру на 6-itep- • шах ориентируемых подашогоаб^азкях алгебра октав О .{Число Z будем называть родоы структуры) .Приводятся струетурныэ уравнения такой АН-структуры:

- 7 -

Таблица ( Уг )

(характеризация классов Грея-Хервеллы АН-структур в терминах тензоров Кириченко).

Класс Условие

К вайс - = о

ц =ш<

V, =АК gto.ec

ч . В*"* о, =

Ц © = ок Йайсг0

Ц ©Уз Ва8е=-/Зйй(\

В^'8^ =0, =

» с с

=0

б

ц © = АГ^

^ © Ф Ц = 6 й

В(а-ес) = о

• V Нет условий

где

3) - (j SftùMÙf,* ;

+ Г VTr T*o) UJ1*»*

y aCt > .

- /- лбе . . л1!5

£ £fis > - компоненты тензора

Кронекера порядка три.При этом U3а с u)a > ôô g г

Т/? - компоненты конфигурационного тензора.Здесь и далее * в

М/с,«/, ¿,2,/? ; if.yr?.* ',

m, Л s <f .

В такой виде структурные уравнения наиболее удобны для исследования конкретных ali-структур .Поэтому во втором параграфе автор находит (вслед за В.Ф.Югриуенко»получившим соответствующие результаты для квазикелеровьос структур) характери-зацию в терминах конфигурационного тензора для остальных классов Грея-Хервеллы АН-структур на 6-иерных подмногообразиях алгебры Кэли.Установлено,что лииь 8 из 16 классов Грея-, Хервеллы могут иметь собственных представителей на 6-мерных ориентируемых подмногообразиях алгебры октав.Этот факт отражён в таблице Ы *■ ).

В третьем параграфе приводятся структурные уравнения Картона для этих 8 классов АН-структур.Для эриитОЕЫХ 6-мерных подмногообразий алгебры Кэлк,играющих особую роль в данной работе ,они выглядят таким образом:

c/uJo. + ^е^й^^лш0

- 9 -

Таблица ( Л * )

(характерияация классов Грея-Зерэеллы АН-структур в терииках конфигурационного тензора).

Класс Условие

К

! и DaS =0 »

Da 8=0

Dog

V/, ©К -QK

u/j © Ц bag = 0» irbss-O

Dag=0,

v/5 ©v/t ¿r&2g = 0

Нет условий

■ ¿гд$£*0

W Нет условий.

Глава III.

В первом параграфе »той глаты показывается,что 5-мерные эрмитопы пэдынориобрази.»: алгебры октав является минимальными. Здесь же приводится и более сильное утверждение.Именно»автором доказано ,что проиотольное почти эрмитово 6-мерноо подмногообразие алгебры Кэлк яьляьтся минимальным тогда и только тогда,когда оно принадлежит классу ££ .Утот результат является максимальным усилением известного результата А.Грея ¡7 ] .

В параграфе Z вычисляете я спектр тензора рикано»ой кривизны (тензора Римана-Х^шстофоля) djx£ • Показано,что

^aßed = ^aßeci = ^aStd = 0

В третьем параграфе автор док«аывает,что С-иерные эрмитовы подмногообразия алгебры октаг ярлнются к К -многообразиями,™ есть тахими многообразиями,тензор римановой кривизны которых инвариантен относительно почти комплексной структуры3.*

CRU,YJZ,V> = _<itt3Xt3Y)32,0b'>.

Доказывается и более сильное утнераделие: ¿рлитовы б-мерныа подмногообразия алгебры являются паракелеропими, то есть имеет место тонсдество:

■ = aoitY)oit3w>.

В параграфе 4 третьей глагы исследуется случай,когда 6-ыерные эрмитовы подмногообрамкя алгебры октав являются локально-симметрическими прост.-ансгьаки.Получена классификация локально-симметрических ормитопых 6-иерных подмногообразий алгебры Гревса-Кэли.

В параграфе 5 вычислявтся голоморфная секционная и голоморфная бисекционная кривизны б-мерних эрмитовых подмногооб-' раэий алгебры Кэля. Получены такие результаты:

N

Отметим,что последнее равенсгзо является обобщением результата В.Й.Кириченко [4] .полненного для келероьых. И*С О .

В параграфе б вычисляется кривизна Риччи б-керных эрмитовых подмногообразий алгебры октав .Докапано,что кривизна Р>1ЧЧИ таких многообразий неположительна,причём обращается в нуль в геодезических точках,и только в них.Далее вычисляется спектр тензора Риччи:

пса8 = О , ггсав = - £ .

Получено выражение для скалярной кривизны эрмитовых

И'сО . . .

Доказано,что скалярная кривизна 6-мерных эрмитовых подмкого--обрапий алгебры Кэли неположительна,причем обращается в нуль в геодезических точках,« только в них.Здесь же исследуется случай .когда эрмитово Ц6 С 0> является многообразием Эйнштейна,то есть когда тензор Риччи пропорционален метрическому тензору:

Установлено,что эйнштейновость эрмитовых

равносиль- ■

на выполнении таких соотношений:

-^¿т^шЫ!

Выяснен и инвариантный смысл последних равенств.Введен в рассмотрение оператор V :

, ЦП* ,

где А^ - оператор Гаусса-Вейнгартена.Показано,что б-мергсое эрмитово подмногообразие алгебры Коли является эйнптейшвш в том,и только в том случае,если V является скалярккл оператором.

В последнем параграфе работы приводятся уточнённые структурные уравнения б-керных эрмитовых подмногообразий алгс$щ . октав .Далее приводится уточнённая характериззцяя-эрмтттошх Нсс.О в терцинах кокф1гурзцкокяога тензора. Дзказа-

но»что матрица (b-j) 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли имеет ранг не выше двух.В этом же параграфе вводится понятие уплощающегося подмногообразия алгебры октав. Доказаны два предложения об уплощающихся эрмитовых М*£ О :

1." 6-мерные келеровы подмногообразия алгебры Кэли являются уплощающимися.

2. Уплощающиеся 6-мерные эрмитовы подмногообразия алгебры Кэли являются линейчатыми.

ЛИТЕРАТУРА

1. ЕсАтапп В. Jietiyz gosu/>$en &nearef GCeisAu^s^siems . // Conn»eni m*tf. HeB»iS(mi)t

2. Gro-y Д. Vector cross products on moulu. # Tans. Amur, . ¿oc., v. U4,1H$b

p. H S -SDi, .

3. бгесу A,, Herveda JL.M, Oht s/xieen c8asse*of almost ihrmîiio-r) rwanifioIds Moi ifuUz iïntoa- invariants . // Am. /hrt> mJ fopS,, v. № t 1380 , M A , p. SS- SS .

4. Кириченко B.fl. Классификация келеровых структур, индуцированных З-векторшлш произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэлv/J Известия высших учебных заведений. Ыатем.- 2990.- * 8.- с.32 - 38

6. Кириченко В.®. Почти келеровы структуры,индуцированные 3-векгорными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли// Вестник МГУ. Сер. мат., мех.- 1973.» 3.- с.70 - 75

б. Кириченко В.®. Устойчивость почти эрмитовых структур .индуцированных 3-венторшми произведениями m б-мернш; подмногообразиях алгебры Кэли// Укр. геоы. сб.- 1962. - с. 60-69

V. • Ьгчх^ A. ffUnîmaZ va.ri'ci/'es сипd bZmtist Hzrmltioj\ su В manifold s . У/ lïïicAîfa* . iz (msj, p. zts - z**.

- 13 -

Публикация автора по теме диссертации

1. Банару М.Б. Классы Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур на б-ыеркых подмногообразиях алгебры Кэли// Международная научная конференция,посвященная 200-летию со дня' рождения Н.И.Лобачевского. Тезисы докладов,- 1992,- Минск.-ч.2, 1с.

2. Банару М.В. Новая характеризация классов почти-эрмитовых структур Грея-Хервеллы// Смоленский пединститут.- Деп. в ВШИТИ 25.11.1992, » 3334 - В92.- 35с.

3. Банару М.Б. О классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли// Смоленский пединститут.- Деп. в В!Г:!'ЛТИ 19.01.1933, ¡? 118 -В93.- 12с.

4. Банару Н.Б. 0 минимальности почти эрмитовых б-ысргалс подмногообразия алгебры ¡Соли// Пснтрягинские чтения - 1У. Тезисы докладов.- 1993.- Вероне«.- ¡с.

5. Банару Н.Б. 0 почти эршгговых структурах,индуцированных 3-пекторкшн произведениями на ^-мерных подмногообразиях алгебры Кзлк// Сиоленский пединститут.- Деп. в В1Е!ИГИ 14.05.1993, # 1283 - В93.- 8с.