Геометрия эквиаффинных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ДМИТРИЕВА ТАТЬЯНА ВЛАДИМИРОВНА

ГЕОМЕТРИЯ ЭКВИАФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань

- 2006

Работа выполнена на кафедре геометрии и методики преподавания математики ГОУ ВПО «Владимирский государственный педагогический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Степанов Сергей Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Столяров Алексей Васильевич доктор физико-математических наук, профессор Шапуков Борис Никитович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московский государственный педагогический университет»

Защита состоится « 21» декабря 2006 года в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 при Казанском государственном университете (420008, г. Казань, ул. Кремлёвская, 18, корпус 2, конференц-зал Научной библиотеки)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета (г. Казань, ул. Кремлёвская, 18)

Автореферат разослан «

Учёный секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук, доцент

М. А. Малахальцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы исследования. Аффинная дифференциальная геометрия является одним из важных разделов геометрии. Начиная с первых работ Бляшке первой четверти прошлого века, она постоянно привлекала к себе внимание геометров. Был издан ряд монографий, специально посвященный аффинной дифференциальной геометрии. Начиная с 1986 года (конференция в Обервольфахе1) стали проводиться международные конференции по аффинной дифференциальной геометрии.

Следует констатировать, что если для отечественных геометров аффинная дифференциальная геометрия была традиционным объектом изучения, интерес к которой к концу прошлого века постепенно сошёл на нет, то у зарубежных геометров, наоборот, с конца прошлого века активность исследований в этой области резко возросла.

Толчком для возрождения их интереса послужила лекция2, прочитанная одним из классиков геометрии Номидзу в Мюнстерском университете в 1982 году с названием «Что такое аффинная дифференциальная геометрия?».

В лекции Номидзу выдвинул новую структурную точку зрения, согласно которой под аффинной дифференциальной геометрией следует понимать геометрию «-мерного гладкого многообразия М с эквиаффинной структурой {со, V), где со — элемент объема на М, а V — аффинная связность без кручения такая, что V о = О.

За лекцией последовал цикл статей Номидзу, который завершила его монография3. В пропаганде нового направления исследований приняли участие такие известные геометры, как Лу, Калаби, Саймон и др. К настоящему времени число работ «новой волны» по аффинной дифференциальной геометрии исчисляется уже десятками.

Нельзя сказать, что эти события не нашли отклика у нас в стране. В качестве подтверждения этого факта приведем обзор работ4, в которых изучался аффинный аналог техники Бохнера для многообразий с эквиаф-финными структурами и описывалась локальная геометрия тензорных полей на таких многообразиях.

1 Affine differential geometrie.— Oberwolfach: Tagungsber. Math. Forschungsinst., 1986. -No. 48.-P. 1-24.

2 Nomizu K. What is affine differential geometry? /Nomizu K. //Different. Geom. Meeting Univ. Munster. - Tagunsbericht, 1982. - P.42-43.

3 Nomizu K. Affine differential geometry /Nomizu K., Sasaki T. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994. - 263p.

4 Степанов C.E. Теоремы исчезновения в аффинной, ргшановой илоренцевой геометриях /Степанов С.Е. //Фундаментальная и прикладная математика - Центр новых информационных технологий МГУ: Издательский дом «Открытые системы», 2005 - Т. 11-№ 1 - С.35-84.

В этих работах эквиаффинная структура рассматривалась в рамках теории в-структур, а именно, как БЬ(я, И) -структура, которая согласно общей теории является интегрируемой5, а потому допускает сводимую к ней аффинную связность без кручения, т.е. эквиаффинную связность.

При построении дифференциальной геометрии многообразий наряду с объектами этой теории, которыми являются многообразия, снабженные той или иной й-структурой, равноправную роль играют отображения, сохраняющие эти структуры; Так, в римановой геометрии многообразий это изометрии, а в аффинной дифференциальной геометрии многообразий это будут изучаемые в данной диссертации эквиаффинные отображения. Точнее, такие диффеоморфизмы л-мерных многообразий с эквиаффинны-ми -структурами, которые индуцируют изоморфизмы данных

структур этих многообразий.

Несмотря на то, что теория в-структур и их изоморфизмов (в частности, автоморфизмов) хорошо разработана, теория изоморфизмов К) -структур до последнего времени бедна геометрически содержательными теоремами5. Присоединение к К) -структуре эквиаффин-ной связности V позволило в диссертационном исследовании построить геометрически содержательную теорию изоморфизмов этих структур (теорию эквиаффинных отображений) при том, что работ в данном направлении еще не было.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является изучение геометрии эквиаффинных отображений. Достижение поставленной цели включает в себя решение следующих ключевых задач:

1) дать определение эквиаффинных отображений многообразий с эквиаф-финными структурами и псевдоримановых многообразий; установить их основные свойства;

2) сформулировать и доказать ряд необходимых и достаточных условий эквиаффинности отображений многообразий с эквиаффинными структурами и псевдоримановых многообразий;

3) провести классификацию эквиаффинных (в частности, эквиобъемных) отображений псевдоримановых многообразий;

4) изучить как локальную, так и глобальную геометрии выделенных классов.

Методы исследования. Изучение геометрии диффеоморфизмов п-мерных многообразий с эквиаффинными БЬ(г7, К) -структурами, а также геометрии выделенных классов эквиаффинных отображений псевдоримановых многообразий проведено классическими методами дифференциальной геометрии. Классификация эквиаффинных отображений псевдоримановых многообразий проведена с использованием теории представлений групп, изло-

5 Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии /Кобаяси Ш. — М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 224с.

Л

женной в классической монографии Г. Вейля6, а также с помощью некоторых модификаций этой теории7.

Глобальный аспект геометрической теории эквиаффинных отображений будет изучен с помощью техники Бохнера — аналитического метода, основанного на использовании принципа максимума и применении интегральных формул Вейценбока8.

Научная новизна. Все.результаты диссертационного исследования являются новыми и получены автором самостоятельно. Среди них отметим следующие:

1. дано определение эквиаффинных отображений многообразий с эк-виаффинными структурами и псевдоримановых многообразий; установлены их основные свойства;

2. сформулирован и доказан ряд необходимых и достаточных условий эквиаффинности отображений многообразий с эквиаффинными структурами и псевдоримановых многообразий;

3. проведена классификация эквиаффинных (в частности, эквиобъем-ных) отображений псевдоримановых многообразий на основе теории представлений групп;

4. изучена как локальная, так и глобальная геометрии выделенных семи классов эквиаффинных отображений, найдены условия, препятствующие существованию этих отображений.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер; ее результаты могут найти применение в исследованиях в аффинной и римановой геометриях.

Апробация. Результаты диссертационного исследования докладывались на следующих конференциях:

- ХП Международной конференции «Математика в высшем образовании», г. Чебоксары в 2006 г.;

- Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Владимир, 2004 г.

- XVI Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики, г. Казань, 2004 г.

- Международная конференция "Актуальные проблемы математики и механики", посвященная 200-летию Казанского университета и 70-летию НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева, КГУ, г. Казань, 2005 г.

- Четвертая молодежная научная школа-конференция, г. Казань, 2005 г.

6 Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления /Вейль Г. — М.: ИЛ, 1947.-408с.

7 Бессе А. Четырехмерная риманова геометрия: Семинар Артура Бессе 1978/1979 /Бессе А. - М.: Мир, 1985. - 334с.

8 Wu Н. The Bochner technique in differential geometry /Wu H. //Mathematical Reports. -London-Paris-New York: Hardwood Academic Publishers, 1988. - Vol. 3. - Part 2. — 132p.

— Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Владимир, 2006 г.

Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры геометрии КГУ (рук. проф. Б.Н. Шапуков) и кафедры геометрии В ГПУ (рук. проф. С.Е. Степанов).

Публикации. Основные научные результаты, включённые в диссертационную работу, опубликованы в 9 печатных работах автора (см. [1] — [9]).

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Четыре опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика и содержание диссертации), трёх глав и списка литературы, включающего 81 наименование. Полный объём диссертации составляет 109 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава состоит из четырех параграфов и посвящена дифференцируемым многообразиям и их отображениям. В этой главе приводится материал, носящий реферативный характер.

В § 1 содержатся сведения о геометрии дифференцируемого многообразия размерности п (п> 2) и сообщаются основные факты тензорного исчисления, используемые в диссертационном исследовании.

В § 2 приводятся сведения о гладких отображениях дифференцируемых многообразий со связностями и псевдоримановых многообразий, в частности, даны определения и указаны основные свойства проективного, субпроективного, конформного и гармонического отображений.

В § 3 рассмотрены основные сведения теории О-структур на дифференцируемых многообразиях и их изоморфизмов. В качестве приложения общей теории установлено, что необходимым и достаточным условием изоморфизма 8Ь(и, К) -структур многообразий М и М служит равенство /'со = С со для диффеоморфизма /:М М и «-форм со и со , порождаемых 8Ь(я, И) -структурами этих многообразий.

В § 4 приведены необходимые в диссертационном исследовании факты из теории представлений групп.

Во второй главе изучается дифференциальная геометрия отображений многообразий с эквиаффинными 8Ь(и, К) -структурами.

В § 2 сформулировано

Определение 2.1. Диффеоморфизм /:М п-мерных связных

многообразий с эквиаффинными Ы.) -структурами V) и (57, V)

соответственно называется эквиаффинным отображением, если /,: ТМ —> ТМ будет индуцировать изоморфизм 8Ь(и, К) -структур этих многообразий.

Доказана

Теорема 2.1. Диффеоморфизм / :М —>М п-мерных связных многообразий с эквиаффинными К)-структурами (¿у,V) и (¿У,V) соответственно будет эквиаффинным отображением тогда и только тогда, когда 1тасеТ = 0 для Т = V — V — тензора деформации связности V в связность V.

Характеристику эквиаффинным отображениям дает

Следствие 1. Диффеоморфизм / :М ~>М п-мерных многообразий с эквиаффинными 8Ь(и, И) -структурами будет эквиаффинным отображением тогда и только тогда, когда сНуХ = с/п>(/,Х) для любого Х&ТМ.

Также доказано утверждение, которое указывает на особую роль эк-виаффинных отображений.

Следствие 2. Произвольный диффеоморфизм / :М М п-мерных многообразий с эквиаффинными 8Ь(л,К.) -структурами (со, V) и (¿у, V) соответственно представим в виде композиции / = f" о эквиаффинно-го Г М —> М' и проективного /" отображений для диффео-

морфного М многообразия М' с эквиаффинной 8Ь(и, Я) -структурой

В § 3 на основании критерия эквиаффинности отображения /:М —>М многообразий с эквиаффинными структурами дано следующее

Определение 3.1. Диффеоморфизм /:М->М псевдоримановых многообразий и (м,~§) называется эквиаффинным отображением,

если для любого X е ТМ выполняется равенство

В качестве примеров эквиаффинного отображения псевдоримановых многообразий доказаны следующие утверждения:

Теорема 3.2. Эквиобъемное отображение псевдоримановых многообразий является эквиаффинным.

Теорема 3.3. Композиция / ° / конформного / :М М и проективного /:М—>М диффеоморфизмов является эквиаффинным отображением / :М М псевдориманова многообразия (М,я) на псевдо-

риманово многообразие если метрика многообразия (м,^) опре-

деляется равенством # = е1* % для а -

detg

+ СОЛ5/.

В третьей главе проведена классификация эквиаффинных (в частности, эквиобъемных) отображений псевдоримановых многообразий на основе теории представлений групп, а также изучена как локальная, так и глобальная геометрии выделенных семи классов и найдены условия препятствующие существованию этих отображений.

В § 1 на основе теории представлений групп доказывается классификационная теорема для эквиаффинных отображений псевдоримановых многообразий.

Как было установлено в § 3 главы И, для того, чтобы диффеоморфизм / :М ->М псевдориманова многообразия {М, g) на псевдоримано-во многообразие (м, был эквиаффинным необходимым и достаточным является условие =0 для тензора деформации связности Леви-

Чивита V многообразия (м,^) в связность Леви-Чивита V многообразия Следствием этого будет разложение Т в поточечно ортогональную сумму трех тензорных полей, соответствующих неприводимым компонентам действия ортогональной группы 0(«,А:,К). Справедлива

Теорема 1.1. Инвариантным образом выделяются семь классов эквиаффинных отображений / :М —> М псевдоримановых многообразий (М,^) и (м,^), для каждого из которых поле Т — V — V, рассматриваемое как сечение расслоения Т*М ®Б2М =

з, (тм) ф з2 (тм) © з3 (тм), является сечением соответствующего поточечно инвариантного подрасс-лоения 3,(7^), 32(ГЛ/) и 33(ГМ), одной из их прямых сумм или же под-расслоения

В § 2 сформулированы условия, характеризующие эквиаффинные отображения классов 3, Ф 32; 32 Ф З3; 3, 9 33 и описана геометрия каждого.

Так в пункте 1 этого параграфа для эквиаффинного отображения /: М -> М класса 3, Ф 32 доказана следующая

Теорема 2.1. Эквиаффинные отображения /:М->М класса 3, Ф 32 псевдоримановых многообразий исчерпываются эквиаффинными гармоническими отображениями9.

9 Stepanov S.E. Geometry of infinitesimal harmonic transformations /Stepanov S.E., Shandra I.G. //Annals of Global Analysis and Geometry. - 2003. - Vol. 24. - Issue 3. - P.291-299.

В пункте 2 § 2 главы III для эквиаффинного отображен^ f: М —> М класса 32 Ф З3 доказана, характеризующая его

Теорема 2.2. Эквиаффинное отображение f:M-+M псевдорима-новых многообразий (M,g) и будет отображением класса

32 Ф З3 тогда и только тогда, когда g будет для многообразия М конформно киллинговым тензорным полем в связностиЛеви-Чивита V.

Для произвольной точки хеМ обозначим через D¿{x)eTsM собственное подпространство соответствующего g¡ линейного оператора G¡ с собственным значением . Если рассмотреть открытое всюду плотное подмножество Ug в М, состоящее из точек, в которых число различных собственных значений оператора G постоянно, то собственные значения оператора G определяют попарно различные гладкие собственные функции и каждая такая функция Л задает гладкое распределение Dx : х € Ug —> Dx^{x)c TJJg. в этом случае справедлива

Теорема 2.3. Пусть f: М М — эквиаффинное отображение класса 32 Ф З3 псевдориманова многообразия {М, g) на псевдориманово многообразие {м, g) и Д - собственная функция тензора g на множестве Ug аМ. Тогда собственное распределение Dx будет омбилическим, а в случае его неизотропности 2g(traceg (v - v), х)+ (п+2) = 0 для

всех полей X е СсоОл.

В случае если тензор g имеет на (м,^)только две собственные функции Ли Ц постоянных кратностей т и п — т, используя интегральную формулу для компактного ориентированного риманова многообразия10, доказано

Следствие. Пусть fМ М — эквиаффинное отображение класса 32 Ф З3 псевдориманова многообразия (M,g) на компактное ориентированное риманово многообразие (A/,g).

1) Если на М всюду секционная кривизна К <0 и тензор g имеет только две различные собственные функции постоянных кратностей, то М локально изометрично прямому произведению M¿ х МИ;

2) Если М — многообразие неположительной секционной кривизны, обладающее, по меньшей мере, одной точкой, в которой секционная кривизна по всем двумерным направлениям строго отрицательна, то тензор

10 Stepanov S.E. An integral formula for a Riemannian almost — product manifold !Stepanov S.E. //Tensor. - 1994. - Vol. 55. -№ 3. -P.209-214.

9

gua M не может иметь только две различные собственные функции постоянных кратностей.

В пункте 3 § 2 главы III для эквиаффинного отображения /: М -» М класса 3, Ф З3 справедлива, характеризующая его

Теорема 2.4. Эквиаффинное отображение f:M—>M псевдорима-новых многообразий (M,g) и {M,g) будет отображением класса Ф33 тогда и только тогда, когда g будет для многообразия М конформно ко-дацциевым тензорным полем в связностиЛеви-Чивита V.

Если же <у = grad сг для некоторой функции cf е СХМ, то справедливо

Следствие. Пусть f \М М — эквиаффинное отображение классе Ф З3 псевдориманова многообразия (M,g) на псевдориманово многообразие (M,g). Если traceg (v - v)= grad а для некоторой функции _ 2

а е С М, то g = е"~2 g будет тензором Кодаццг? для многообразия

(M,g).

Для собственной функции Л, которая задает гладкое распределение Dx:5ceUg —>£>д(г)(х)с:TsUg доказана теорема 2.5, аналогичная теореме 2.3 и сформулировано соответствующее следствие.

В § 3 главы III сформулированы условия, характеризующие эквиаф-финные отображения классов 3,; 32; З3 и описана геометрия каждого из этих классов.

Так в пункте 1 этого параграфа для эквиаффинного отображения f: М -» М класса 3, справедлива

Теорема 3.1. Для того чтобы отображение f :М —» М псевдориманова многообразия (Л/, g) на псевдориманово многообразие (M,g) было эквиаффинным отображением класса необходимо и достаточно, чтобы f было гармоническим отображением и g — тензором Кодацци в связности Леви-Чивита V.

Опираясь на известные факты о геометрии римановых многообразий, несущих тензорные поля Кодацци11 доказана

Теорема 3.2. Пусть f: М М — эквиаффинное отображение класса риманова многообразия *(Л/, g) на риманово многообразие (M,g) постоянной кривизны К, тогда тензор g имеет вид

11 Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2-х т. Т. 2 /Бессе А. - М.: Мир, 1990. - С. 590598

g = v(dF) + К F g, где функция F находится как решение уравнения Пуассона AF + K{tracegg)F = п для лапласисана Ходжа-де Рама А многообразия (л/, g).

Здесь же отмечено, что на компактном римановом многообразии (M,g) в силу леммы Хопфа12 выполняется равенство F -const, которое означает, что g = Cg для С> 0, а потому отображение / - гомотетия13, при этом Fn К должны быть одного знака, поскольку С = К F.

В пункте 2 § 3 главы III для сопряженных связностей14 доказаны следующие утверждения:

Предложение 3.1. Диффеоморфизм f :М —> M псевдоримановых многообразий со связностями Леви-Чивита V u V соответственно будет эквиаффинным класса отображением тогда и только тогда, когда на многообразии (м, g) существует линейная связность V без кручения такая, что связность Леви-Чивита V является средней связностью сопряженной чебышевской пары (v, g, v).

Предложение 3.2. Если f:M—>M эквиаффинное класса 3, отображение псевдоримановых многообразий, то

J — —Л—г [seal - trace_ Rie) n{n-\y ''

Здесь У - инвариант Пика15, который в случае римановых многообразий J > 0, а потому traceg Rie < Seal. Это позволяет доказать

Следствие. Пусть f :М —> M — диффеоморфное отображение римановых многообразий. Если

1) traceg Rie > Seal и /еЗ,, то либо {M, g) - локально приводимое многообразие, либо f— гомотетия;

2) traceg Rie > Seal, то /ёЗ,.

В пункте 3 § 3 главы III для эквиаффинного отображения f : M —> M класса 32 справедлива, характеризующая его

12 Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. Т. 2. /Кобаяси III., Номидзу К. -М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - С. 38

13 Кобаяси III. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. Т. 2. /Кобаяси Ш., Номидзу К. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - С. 264

14 Норден А.П. Пространства аффинной связности /Норден А.П. - М.: Наука, 1976. — 432с

15 Широков П.А. Аффинная дифференциальная геометрия /Широков П.А., Широков А.П. -М: Физмаггиз, 1959. - С. 164

Теорема 3.3. Для того чтобы отображение /:М—>М псевдори-манова многообразия (Л/,^) на псевдориманово многообразие {м, было эквиаффинным отображением класса 32 необходимо и достаточно, чтобы данное отображение было гармоническим, а g — тензором Кил-линга в связности Леей- Чивита V.

Используя факты из геометрии многообразий, допускающих тензоры Киллинга16,17 доказаны следующие два утверждения

Следствие. Если псевдориманово многообразие (М, g) допускает эквиаффинное отображение /:М~>М класса 32 на некоторое псевдориманово многообразие постоянной кривизны, то его метрический тензор % в общей по отображению / системе координат Xх, ... ,х" имеет компоненты

= + Аикхк + 4)

для симметричных по первым двум индексам постоянных AiJkl, А^к, Д, таких, что

Ли + Л*»/ + Дь/' ~ 0; + А]Ы + АЫ] = 0 .

Теорема 3.4. Эквиаффинное отображение / :М М класса 32

псевдориманова многообразия (Л/,^) иа компактное ориентированное

риманово многообразие (м,^) неположительной секционной кривизны, которое имеет, по меньшей мере, одну точку, в которой секционная кривизна по всем двумерным направлениям строго отрицательная, является гомотетией.

Используя теорию сопряженных связностей18, нами была доказана

Теорема 3.5. Пусть диффеоморфизм / :М —>М римановыхмногообразий со связностями Леви-Чивита V и V соответственно будет эквиаффинным класса 32 отображением, тогда на многообразии (М, существует линейная связность V с кручением Б такая, что

1) связность V является средней связностью взаимной пары связностей V иУ+5 ;

16 Степанов С.Е. Аффинная дифференциальная геометрия тензоров Киллинга /Степанов С.Е., Смольникова М.В. //Известия вузов. Математика. — 2004. — №11. — С.82-86.

17 Степанов С.Е. О применении одной теоремы П.А. Широкова в технике Бохнера /Степанов С.Е. //Известия вузов. Математика. - 1996. — № 9. - С.53-59.

18 Норден А.П. Пространства аффинной связности /Норден А.П. — М.: Наука, 1976. — 432с.

2) V м V образуют сопряженную относительно поляритета g пару

(у, g, v);

3) пара сопряженных связностей (v, g, v) является чебышевской.

В случае римановых многообразий получено равенство traceg Rie = Seal +1/2 ||г|2, на основе которого доказано утверждение, аналогичное следствию предложения 3.2.

В пункте 4 § 3 главы III для эквиаффинного отображения / : M -> M класса З3 справедлива, характеризующая его

Теорема 3.6. Эквиаффинное класса З3 отображение f '.M —>M псевдоргшанова многообразия (M, g) на некоторое псевдориманово многообразие (M,g) является субгеодезическим отображением19, переводящим изотропные геодезические многообразия (M, g) в геодезические многообразия [M,g).

Здесь же указаны канонические виды метрических форм ds2 =gijdxl ®dxj и ds1 — g,jdx' <8>dxJ римановых многообразий (M, g) и

(M,g) при условии, что среди корней уравнения det(^ -f2gy)= О имеются различные.

В пункте 5 § 3 главы III показано, что эквиаффинное отображение f :М M класса 3, ni32оЗ3характеризуется условием Т — 0 и, следовательно, является аффинным. Наличие подобного эквиаффинного отображения приводит к двум взаимоисключающим случаям:

1) риманово многообразие (M,g) является приводимым, т.е. локально изометричным произведению римановых многообразий М-^ х...хМ^ для 2 <т<п, если тензорное поле g имеет на M различные собственные функции Л,,...,Лт постоянных кратностей;

2) g = C g для С>0 и, следовательно,/- гомотетия.

19 Nicolescu Liviu. Les espaces de Riemann en representation subgeodesique /Nicolescu Liviu. //Tensor, N.S. - 1978. - Vol. 32. - №. 2. - P. 182-187.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Дано определение эквиаффинных отображений многообразий с эк-виаффинными структурами и псевдоримановых многообразий; установлены их основные свойства.

2. Сформулирован и доказан ряд необходимых и достаточных условий эквиаффинности отображений многообразий с эквиаффинными структурами и псевдоримановых многообразий.

3. Проведена классификация эквиаффинных и, в частности, эквиобъ-емных отображений псевдоримановых многообразий на основе теории представлений ортогональных групп.

4. Изучена как локальная, так и глобальная геометрии выделенных семи классов эквиаффинных отображений, найдены условия, препятствующие существованию этих отображений.

»

РАБОТЫ АВТОРА, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 .Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Эквиаффинные диффеоморфизмы псевдоримановых многообразий /Зудина Т.В. //Математика в высшем образовании: Тезисы докладов 12-й международной конференции. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2004. - С. 142. (0,06 пл.)

2. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Эквиобъемные отображения псевдоримановых многообразий /Зудина Т.В., Степанов С.Е. //Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. - Владимир, 2004. - С.98-100. (0,06 п.л., вклад соискателя составляет 90% работы)

3.Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Диффеоморфизмы многообразий с 8Ь(т, ^-структурами /Зудина Т.В., Степанов С.Е. //Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Актуальные проблемы математики и механики. Материалы международной научной конференции (Казань, 26 сентября - 1 октября 2004 года). - Казань: Казанское математическое общество, 2004. - Т. 25. - С. 127. (0,06 п.л., вклад соискателя составляет 85% работы)

4.Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Эквиаффинные отображения псевдоримановых многообразий /Зудина Т.В., Степанов С.Е. //Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград: Изд-во КГУ, 2004. - Вып. 35. - С.48-55. (0,44 п.л., вклад соискателя составляет 95% работы)

З.Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Пример эквиаффинного отображения /Зудина Т.В. //Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Лобачевские чтения — 2005. Материалы Четвертой молодежной научной школы -ко нф е ре иди и (Казань, 16-18 декабря 2005 года). - Казань: Казанское математическое общество, 2005.- Т. 31. -С.74-76. (0,13 п.л.)

6. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Об одном классе эквиаффинных отображений /Зудина Т.В., Степанов С.Е. //Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2004. - Вып. 36. - С.43-49. (0,44 пл., вклад соискателя составляет 85% работы)

7.Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) О классе 32 эквиаффинных отображений /Зудина Т.В. //Математика в образовании: Сб. статей. Выпуск 2 /Под ред. Емельяновой И.С. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2006 -С.241-243. (0,25 пл.)

8.Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Дифференциальные уравнения некоторых классов эквиобъемных отображений /Зудина Т.В. //Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. — Владимир: Владимирский государственный университет, 2006.-С.106-108. (0,13 пл.)

9. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) О классификации эквиобъемных отображений псевдоримановых многообразий /Зудина Т.В., Степанов С.Е //Известия вузов. Математика. — 2006. - № 8 — С.19-28. (1,19 пл., вклад соискателя составляет 80% работы)

Подписано к печати 13.11.06. Формат 60х84/1б. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1. Ъ*раж 100 экз. Заказ 212.

Московский автомобильно-дорожный институт (Государственный технический университет) Волжский филиал 428028, Чебоксары, пр-т Тракторостроителей, д. 101, корп. 30.

Введение.

Глава 1. Дифференцируемые многообразия и их отображения

§1. Многообразия и линейные связности.

§2. Гладкие отображения многообразий.

§3. Некоторые G-структуры на дифференцируемых многообразиях и их изоморфизмы.

§4. Представление линейных групп. Теорема Вейля.

Глава 2. Эквиаффинные отображения

§1. Эквиаффинные структуры на дифференцируемых многообразиях.

§2. Отображения многообразий с эквиаффинными структурами.

§3. Эквиаффинные отображения псевдоримановых многообразий.

Глава 3. Геометрия эквиаффинных отображений псевдоримановых многообразий

§ 1. Классификация эквиаффинных отображений псевдоримановых многообразий.

§2. Геометрия эквиаффинных отображений классов 3, Ф 32;

32ф3-,; 3,Ф33.

§3. Геометрия эквиаффинных отображений классов 3,, 32 и З3.

Актуальность темы исследования. Аффинная дифференциальная геометрия является одним из важных разделов геометрии. Начиная с первых работ Бляшке (W. Blashke) первой четверти прошлого века, она постоянно привлекала к себе внимание геометров. В 1923 году в Германии, в 1959, 1960 и 1977 годах в Советском Союзе, в 1991 году в Японии, в 1993 году в Германии и в 1994 году в США были изданы монографии [1], [31], [38], [40], [43] и [56], специально посвященные аффинной дифференциальной геометрии. Начиная с 1986 года (конференция в Обервольфахе, см. [42]) стали проводиться международные конференции по аффинной дифференциальной геометрии.

Следует констатировать, что если для отечественных геометров аффинная дифференциальная геометрия была традиционным объектом изучения, интерес к которой к концу прошлого века постепенно сошёл на нет, то у зарубежных геометров, наоборот, с конца прошлого века активность исследований в этой области резко возросла.

Толчком для возрождения их интереса послужила лекция [61], прочитанная одним из классиков геометрии Номидзу (К. Nomizu) в Мюнстерском университете в 1982 году с «грандиозным», как об этом пишет Клингенберг (W. Klingenberg) в [51], названием «Что такое аффинная дифференциальная геометрия?».

В лекции Номидзу выдвинул новую структурную точку зрения, согласно которой под аффинной дифференциальной геометрией следует понимать геометрию «-мерного гладкого многообразия М с эквиаффинной структурой (со, V), где со - элемент объема на М, а V аффинная связность без кручения такая, что Vco = 0.

За лекцией последовал цикл статей Номидзу (см., например, [55], [57-60]), который завершила его монография [56]. В пропаганде нового направления исследований приняли участие такие известные геометры, как Яу (Ch.-T. Yau), Калаби (Е. Calabi), Саймон (U. Simon) и др. Первые итоги проведённых исследований были подведены уже в 1988 году в лекции Саймона [65], а спустя два года в 1990 году это сделал уже сам Номидзу (см. [55]). К настоящему времени число работ «новой волны» по аффинной дифференциальной геометрии исчисляется уже десятками.

Нельзя сказать, что эти события не нашли отклика у нас в стране. В качестве подтверждения этого факта приведем цикл работ [23], [27], [29], [31], [69], в которых изучался аффинный аналог техники Бохнера для многообразий с эквиаффинными структурами и описывалась локальная геометрия тензорных полей на таких многообразиях.

В этих работах эквиаффинная структура рассматривалась в рамках теории G-структур, а именно, как SL(«,R) -структура, которая согласно общей теории является интегрируемой (см. [12], стр. 13), допускающей сводимую к ней аффинную связность без кручения, т.е. эквиаффинную связность.

При построении дифференциальной геометрии многообразий наряду с объектами этой теории, которыми являются многообразия, снабженные той или иной структурой, равноправную роль играют отображения, сохраняющие эти структуры. Так, в римановой геометрии многообразий это изометрии, а в аффинной дифференциальной геометрии многообразий это будут изучаемые в данной диссертации эквиаффгшные отображения. Точнее, такие диффеоморфизмы пмерных многообразий с эквиаффинными SL(«, R) -структурами, которые индуцируют изоморфизмы данных структур этих многообразий.

Несмотря на то, что теория G-структур и их изоморфизмов (в частности, автоморфизмов) хорошо разработана, теория изоморфизмов SL(«, R) -структур бедна геометрически содержательными теоремами (см. [12]), если не включать сюда факты теории, связанные с симплектическими структурами. Присоединение к SL(w,R)-структуре эквиаффинной связности V позволило в диссертационном исследовании построить геометрически содержательную теорию изоморфизмов этих структур (теорию эквиаффинных отображений) при том, что работ в данном направлении еще не было.

Цель диссертационной работы состояла в изучении геометрии эквиаффинных отображений.

Основные задачи диссертационной работы:

1) дать определение эквиаффинных отображений многообразий с эквиаффинными структурами и (псевдо)римановых многообразий; установить их основные свойства;

2) сформулировать и доказать ряд необходимых и достаточных условий эквиаффинности отображений многообразий с эквиаффинными структурами и (псевдо)римановых многообразий;

3) провести классификацию эквиаффинных (в частности, эквиобъем-ных) отображений (псевдо)римановых многообразий;

4) изучить как локальную, так и глобальную геометрии выделенных классов.

Методы исследования. Изучение геометрии диффеоморфизмов /7-мерных многообразий с эквиаффинными SL(«,R) -структурами, а также геометрии выделенных классов эквиаффинных отображений псевдо)римановых многообразий проведено классическими методами дифференциальной геометрии, используя теорию, изложенную в монографиях [3], [4], [12] и [13], как основной источник. Классификация эквиаффинных отображений (псевдо)римановых многообразий проведена с использованием теории представлений групп, изложенной в классической монографии Г. Вейля (см. [6]), а также с помощью некоторых модификаций этой теории, содержащихся в статьях сборника

5].

Глобальный аспект геометрической теории эквиаффинных отображений будет изучен с помощью техники Бохнера - аналитического метода, основанного на применении интегральных формул Вейценбо-ка (см., напр., [3], стр. 77-83; [70]).

Научная новизна работы. В диссертационной работе дано определение эквиаффинного отображения и-мерных многообразий с эк-виаффинными SL(«,R)-структурами и (псевдо)римановых многообразий, установлены их основные свойства; проведена классификация эквиаффинных (в частности, эквиобъемных) отображений (псев-до)римановых многообразий; изучена как локальная, так и глобальная геометрии выделенных классов.

Практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер; ее результаты могут найти применение в исследованиях в аффинной и римановой геометриях.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях и 5 тезисах (см. [73]-[81]).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XII Международной конференции «Математика в высшем образовании» (г. Чебоксары, 2004 г.), XVI Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (г. Казань, 2004 г.), Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" посвященной 200-летию Казанского университета и 70-летию НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева (г. Казань, 2005 г.), Четвертой молодежной научной школе-конференции (г. Казань, 2005 г.).

Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры геометрии КГУ (рук. проф. Б.Н. Шапуков) и кафедры геометрии ВГПУ (рук. проф. С.Е. Степанов).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, списка литературы, содержащего 81 наименований и занимающего 11 страниц печатного текста. Общий объем диссертационной работы 109 страниц печатного текста.

1. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия /Акивис М.А. - Калинин: Изд-во Калининского ун-та, 1977.

2. Алексеевский В.Д. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии /Алексеевский В.Д. //Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1989. - Т. 28. - С.5-289.

3. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2-х т. Т. 1 /Бессе А. М.: Мир, 1990.-318с.

4. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2-х т. Т. 2 /Бессе А. М.: Мир, 1990.-384с.

5. Бессе А. Четырехмерная риманова геометрия: Семинар Артура Бессе 1978/1979 /Бессе А. М.: Мир, 1985. - 334с.

6. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления /Вейль Г. М.: ИЛ, 1947. - 408с.

7. Давидов И. Твисторные пространства и гармонические отображения /Давидов Й., Сергеев А.Г. //Успехи матем. наук. -1993.-Т. 48.-№3.-С,3-96.

8. Дао Чонг Тхи. Минимальные поверхности и проблема Плато /Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. М.: Наука, 1987. - с.312

9. Егоров И.П. Движения в обобщенных пространствах. Ч. 1. /Егоров И.П. Рязань: Изд-во Рязанского гос. пед. ин-та, 1977. - 101с.

10. Зуланке Р .Дифференциальная геометрия и расслоения /Зуланке Р., Винтген П. М.: Мир, 1975. - 348с.

11. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры: Учеб. пособие. Ч. II. /Кириченко В.Ф. Тверь: твер. гос. ун-т, 2001.-110с.

12. Кобаяси III. Группы преобразований в дифференциальной геометрии /Кобаяси Ш. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. -224с.

13. Кобаяси. Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. Т. 1. /Кобаяси Ш., Номидзу К. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.-344с.

14. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. Т. 2. /Кобаяси Ш., Номидзу К. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.-416с.

15. Мантуров О.В. Элементы тензорного исчисления. /Мантуров О.В. М.: Просвещение, 1991.

16. Микеш Й. Геодезические отображения аффинносвязных и римановых пространств /Микеш Й. //Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. М.: ВИНИТИ, 2002.-Т. 11. - СЛ 21-162.

17. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях /Р. Нарасимхан М.: Мир, 1971. - 232с.

18. Норден А.П. Пространства аффинной связности /Норден А.П. -М.: Наука, 1976.-432с.

19. Петров А.З. Моделирование физических полей /Петров А.З. //Гравитация и теория относительности. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1968. - № 4-5. - С.7-21.

20. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия /Постников М.М. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 496с.

21. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия /Постников М.М. М.: Изд-во "Факториал", 1998. -496с.

22. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств /Синюков Н.С. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979.-256с.

23. Степанов С.Е. Аффинная дифференциальная геометрия тензоров Киллинга /Степанов С.Е., Смольникова М.В. //Известия вузов. Математика. 2004. -№11.- С.82-86.

24. Степанов С.Е. Интегральная формула для компактного многообразия с римановой структурой почти произведения /Степанов С.Е. //Известия вузов. Математика. 1994. - № 7. - С.69-73.

25. Степанов С.Е. О групповом подходе к изучению уравнений Эйнштейна и Максвелла /Степанов С.Е. //Теоретическая и математическая физика. 1997. - Т. 111. - № 1. - С.32-43.

26. Степанов С.Е. О применении одной теоремы П.А. Широкова в технике Бохнера /Степанов С.Е. //Известия вузов. Математика. -1996. № 9. - С.53-59.

27. Степанов С.Е. Оператор Ходжа на многообразии с эквиаффинной структурой /Степанов С.Е., Цыганок И.И. //Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград: Изд-во КГУ, 1996. - Вып. 27. - С. 114-117.

28. Степанов С.Е. Семь классов гармонических диффеоморфизмов /Степанов С.Е. , Шандра И.Г. //Математические заметки. 2003. -Т. 74.-Вып. 5.-С.752-761

29. Степанов С.Е. Теоремы исчезновения в аффинной, римановой и лоренцевой геометриях /Степанов С.Е. //Фундаментальная и прикладная математика Центр новых информационных технологий МГУ: Издательский дом «Открытые системы», 2005 - Т. 11 - № 1 -С.35-84.

30. Степанов С.Е. 0(п)х 0(т п)-структуры на т - мерных многообразиях и субмерсии /Степанов С.Е. //Алгебра и Анализ. - 1995. -Т. 7-№ 6.-С. 188-204.

31. Степанов С.Е. Техника Бохнера для т-мерных компактных многообразий с SL(m,К)-структурой /Степанов С.Е. //Алгебра и анализ. 1998. - Т. 10 - № 4. - С. 192-209.

32. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. В 2-х томах. Т. 2. /Схоутен И.А., Стройк Д.Дж. М.: ИЛ, 1948.-348с.

33. Точные решения уравнений Эйнштейна /Д. Крамер, X. Штефани, Э. Херльт, М. Мак-Каллум. Под ред. Э. Шмутцера: Пер. с англ. -М.: Энергоиздат, 1982. 416с.

34. Трофимов В.В. Риманова геометрия /Трофимов В.В., Фоменко А.Т. //Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. М.: ВИНИТИ, 2002. - Т. 76. -С.5-262.

35. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства /Хелгасон С. М.: Мир, 1964. - 534с.

36. Шапиро Я.Л. О некоторых полях геодезических конусов /Шапиро Я.Л. //Доклады АН СССР. 1943. - Т. 39. - № 1. - С.6-10.

37. Шапиро Я.Л. Об одном классе римановых пространств /Шапиро Я.Л. //Труды семинара по векторному и тензорному анализу. -М.: МГУ, 1963. Вып. XII. - С.203-212.

38. Широков П.А. Аффинная дифференциальная геометрия /Широков П.А., Широков А.П. М.: Физматгиз, 1959. - 108с.

39. Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров второго порядка в Шетапп'овых пространствах /Широков П.А. //Изв. физ.-матем. о-ва. Казань, 1925.-Т. 25. -С.86-114.

40. Щербаков Р.Н. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии /Щербаков Р.Н. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1960.

41. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия /Эйзенхарт Л.П. М.: ИЛ, 1948.-316с.

42. Affine differential geometric. No. 48. Oberwolfach: Tagungsber. Math. Forschungsinst., 1986. - P. 1-24.

43. Blashke W. Vorlesungen euber differential geometric II. Affine differential geometrie /Blashke W., Reidemeister K. Berlin: Springer, 1923.

44. Chen B.-Y. Harmonic metrics, harmonic tensors, and Gauss maps /Chen B.-Y., Nagano T. //J. Math. Soc. Japan, 1984. - Vol. 36. -No. 2. -P.295-313.

45. Chern S.S. Pseudo-groupes continus infinis /Chern S.S. //Coll. de geometrie differentielle. Strasbourg, 1953. - P.l 19-136.

46. Chern S.S. The geometry of G-structures /Chern S.S. //Bull. Amer. Math. Soc. 1966. - Vol. 72. - P. 167-219

47. Dillen F. Conjugate connections and Radon's theorem in affine differential geometry /Dillen F., Nomizu K., Vrancken L. //Monatshefte Mathematik.- 1990.-Vol. 109. P.221-235.

48. Dodson C.T.J. Harmonic-Killing vector fields /Dodson C.T.Y., Peres M.T., Vazquez-Abal M.E. //Bull. Belg. Math. Soc. 2002. - P.481-490.

49. Donnelly M. Quasiconformal harmonic maps into negatively curved manifolds /Donnelly M. //Illinois Journal of Mathematics. 2001. -Vol. 45.-No. 2.-P.603-613.

50. Garsia-Rio E. Harmonic endomorphism fields /Garsia-Rio E., Van-hecke L., Vazquez-Abal M.E. //Illinois Journal of Mathematics. -1997.-Vol. 41.-No. 1.-P.23-30.

51. Klingeberg W.P.A. Affine differential geometry, by Katsumi Nomizu and Takeshi Sasaki. Book reviews /Klingeberg W.P.A. //Bull. Amer. Math. Soc. 1996. - Vol. 33 - № 1. - P.75-76.

52. Li A.-M. Global affine differential geometry of hypersurfaces /Li A.M., Simon U., Zhao G. Berlin: Walter de Gruyter, 1993. - 328p.

53. Nicolescu Liviu. Les espaces de Riemann en representation sub-geodesique /Nicolescu Liviu. //Tensor, N.S. 1978. - Vol. 32. - №. 2. -P. 182-187.

54. Nijenhuis A. A note on first integrals of geodesies /Nijenhuis A. //Proceedings of the koninklijke Nederlandse Akademie van wetenschappen. Amsterdam, 1967.-Vol. 52.-Ser. A.-P.141-145.

55. Nomizu K. A survey of recent result in affine differential geometry /Nomizu K. //L. Verstraelen, A. West. Geometry and Topology of Submanifolds III, Conf. Leeds, 1990. London, Singapore: Word Scientific, 1991.-P.227-256.

56. Nomizu K. Affine differential geometry /Nomizu K., Sasaki T. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994. - 263p.

57. Nomizu К. On affine hypersurfaces with parallel nullity /Nomizu K. //J. Math. Soc. Japan. 1992. - Vol. 44 - № 4. - P.693-699.

58. Nomizu K. On affine surfaces whose cubic forms are parallel relative to affine metric /Nomizu K., Magid M.A. //Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 1989. - Vol. 65 - № 7. - P.215-222.

59. Nomizu K. On completeness in affine differential geometry /Nomizu K. //Geometriae dedicata. 1986. - Vol. 20 -№ 1. - P.43-49.

60. Nomizu K. On the geometry of affine immersions /Nomizu K., Pinkall U. //Math. Z. 1987. - Vol. 195 - № 2. - P. 165-178.

61. Nomizu K. What is affine differential geometry? /Nomizu K. //Different. Geom. Meeting Univ. Munster. Tagunsbericht, 1982. -P.42-43.

62. Otsuki T. On curves in Kahlerian space /Otsuki Т., Tashiro Y. //Math. J. Okayama Univ. 1954. - Vol. 4. - P.54-58.

63. Reinhart B.L. Differential geometry of foliations /Reinhart B.L. Berlin-New York: Springer-Verlag, 1983.- 194p.

64. Simon U. Introduction to the affine differential geometry /Simon U., Schwenk-Schellschmidt A., Viesel H. Japan: Science Univ. of To-kio, 1991.- 161p.

65. Simon U. Recent developments in affine differential geometry /Simon U. //Proc. Int. Conf.: Diff. Geom. and Its Appl., Dubrovnik, June 26-July 3, 1988. Novi Sad: Inst. Math. Univ. Novi Sad, 1989. - P.327-347.

66. Stepanov S.E. An integral formula for a Riemannian almost product manifold/Stepanov S.E. //Tensor. - 1994. - Vol. 55. - № 3. - P.209-214.

67. Stepanov S.E. Geometry of infinitesimal harmonic transformations /Stepanov S.E., Shandra I.G. //Annals of Global Analysis and Geometry. 2003. - Vol. 24. - Issue 3. - P.291-299.

68. Stepanov S.E. Vector fields in manifolds with equiaffine connection /Stepanov S.E., Tsyganok I.I. //Webs&Quasigroups. Tver': Tver' State University, 1993 - P.70-77.

69. Wu H. The Bochner technique in differential geometry /Wu H. //Mathematical Reports. London-Paris-New York: Hardwood Academic Publishers, 1988. - Vol. 3. - Part 2. - 132p.

70. Yano K. Harmonic and relatively affine mappings /Yano K., Ishihara S. //J. Diff. Geom. 1975. - Vol. 10. - P.501-509.

71. Yano K. Union curves and subpaths /Yano K. //Math. J. 1948. -Vol. 1.-P.51-59.Публикации автора по теме диссертации

72. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Эквиаффинные диффеоморфизмы псевдоримановых многообразий /Зудина Т.В. //Математика в высшем образовании: Тезисы докладов 12-й международной конференции. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2004. - С. 142.

73. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Эквиобъемные отображения псевдоримановых многообразий /Зудина Т.В., Степанов С.Е. //Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Владимир, 2004.-С.98-100.

74. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Эквиаффинные отображения псевдоримановых многообразий /Зудина Т.В., Степанов С.Е. //Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград: Изд-во КГУ, 2004. - Вып. 35. -С.48-55.

75. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Об одном классе эквиаффинных отображений /Зудина Т.В., Степанов С.Е. //Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2004. - Вып. 36. - С.43-49.

76. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) О классе 32 эквиаффинных отображений /Зудина Т.В. //Математика в образовании: Сб. статей. Выпуск 2 /Под ред. Емельяновой И.С. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2006 - С.241-243.

77. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) О классификации эквиобъемных отображений псевдоримановых многообразий /Зудина Т.В., Степанов С.Е. //Известия вузов. Математика. 2006. - № 8 - С. 19-28.