Геометрия гладких F-квазигрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

.. Г) -О"'-'-

0РДШ1А ДРУЖБЫ НАРОДОВ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ имени ПАТРИСА ШШШ

На правах рукописи

САБИНИНА Лйдмкяа Яьвоша

шшетрия гладок р -квазигруш ( 01.01.04 - геометрия и топология.)

Автореферат дкссергации на соискание ученой степени кшщндата физико-г/лте^аг ических неук

Мосхва-1992

Работа выполнена в Университете дружба народов ш. Натри-са ЛумуьзЗы.

Научный руководитель:

Официальное ошонеатл:

Ведущая организация:

доктор фЕЗшсо-№те1атичзск23..1ш£к,' профессор Рыжков В. Б. ;

доктор физико-математических паук, црофессор йштуров O.E.

доктор физико-матеьатичесхнг; ксук, про5«осор Шелехов A.L5.

Государственный уиивэроитег Беларуси

Защита состоится "¿г" 1932 года в 15 ч. 30 к.

на заседании специализированного соиета К 053.22.23 з Университете дружбы народов имени Патриса Луыум5ы * о адресу: 117923, г. Москва, ул. Ордаоншвдзе, 3, еуд. 485.

С диссертецией кокно ознакомиться в научной библиотека Университета дружбы народов имени Патриса Луьщгмбы по адресу: 117198, г. Москва, ул. Мшслухо-Ыаклая, 6.

Автореферат разослан "¿3 11 1992 г.

Ученый секретарь л ли

специализированного соЕета £,{£/.

ДРАШЕВ Н.В.

S

/I

ОЕШ ХАРШЭКЯЖА РАБОТЫ

^^""Йтуальность ?сш. Скл-итрЕчеокке простраасгга играют зка-»рядодоэ рочь в д!г|!$ере;!Циаиьаой геометрии ¡к пркяохеиыа. В нео-гояд?э г.ра.мл они дгетатопао хорэаз изучены. Однако но существует обэдй схемд, описчвающей щкзЕзволзные однородные пространства. 1Г~ атому изучение одиородгшх ироогргяатв, бл;:гких по свойствам к скэсогритеским, является актуальной и весьма взхкой задачей.

К обобщениям скюаэгряческих пространств моздо отнести редук-казгшз пространства { *0 » ЗД-О ), субсикметричес-гла пространства, V -пространства,(то есть однородные пространства Сг / И , с задвшшм па груше (г эндокорфкзшм V , где; И состоит неподвигшас точек этого- эндоморфизг/л), 5 --пространства. Последние представляют собой наиболее естественные обобщения сикжтрлческгх пространств в интерпретации Лооса?

Лооо показал, что симметрические пространства ыогно расскат-р:шать как гладкая идамзотенпшз леводистрибугивкнв квазигруппы с дополнительными: тоздестнаот. Зто повлекло за собой интерес к кзучзкиэ различите классов гладких квазигруш 2 луп.

Дальнейиее развитие теории Лооса ило по пути ослабления требований. Было снято условие . А.С.Феденко11 к позже, независимо, 0.Ковальский рассмотрели понятие жасательно-регуляр-ной 4 -структура в показал1*, что она допускает канонкческуи аффинную связность редуктивного пространства. Наиболее подробное излоаенио теории -многообразий содержится в книге О.Козаль-ского.""

Тождество левой дистрибутивности и, следовательно, тождество идемпотентности оставалась неизменными в этой теории.

') О.Лоос. Симметрические пространства. // №. Наука. 1985. ») А.С.Феденко. Регулярные пространства с ешметриями. //

Матем. заметки. 1973. Т. 14. й-1. С. 113-120. . 1) О.Ковальский. Обобщенные сиьиетрические пространства, // Ы. Мир. 1984.

Возникает вопрос; шгяо ли, осжбжв это тоадесгво и заменив -его на хорошо известное из алгебры Р -тоддество,'*' построить содержательное обобщение теории 4 -пространств. При этом, конечно, и тоздество-вдешотевтнссги не будет иметь месте. Такие обобщенные £ -пространства ьз называем транссишетрическиыи пространствам;. Исследованию этой лрсблеш и посвящена кастоякас диссертация. .

А.С.Феденко ввел теорио У -пространств в русло хорош разработанной теории б -цросграяств. При это и накладавзгтся условие на эндоморфизм Г . Он должен быть автоморфизмом. 3 процессе нашего исследования проявляется вааная роль f -пространств , где у не обязательно автоморфизм.

Другое направление для исследований связано с изучением геодезических луп и о дулей рассматриваемых пространств. Например, локальный геодезический одуль точки локально сшкзтричесхого пространства аффинной связности удовлетворяет девоцу тождеству Бола, • известному из алгебры.

В нашей работе анализируется структура геодезическом одуяя транссимметрического пространства.

Цель работы. Основной целью работы является исследование гладких Г -квазигруш, построение теории -пространств,

связанных с Г -квазигруппами, изучение, в частности, свойств их геодезических луп и одулей, дается общая характеристика их касательных алгебр.

Методы исследований. В работе используются метода геометрии аффинной связности, теории редухтивных пространств, теории квазигрупп и луп.

■Научная новизна. Получены следующие новые результаты.

I) Определено ( геометрически ) понятно транссиыметрического -пространства, транссшметрий ( й -пространств, и ~ .симметрия ). Оао также сформулировано на языке гладких квазигрупп.

ч) В.Д.Белоусов. Осноеы теории квазигрупп и луп. // М. Наука. 4 1987.

Введена каконотсскшх аффниная связность Рапевского -прост-

ранства ( то есть каноническая связность рздуктгазного пространства).

2) Вдаснено алгебраическое строение геодезического одуля транссикметрического пространства, то есть найдены необходимые

и достаточные условия дяя того чтобы геодезический одуль был геодезическим одулем -пространства.

3) Попутно при исследовании -Ц -пространств выяснена связь левых р -квазигрупп со специальными лупами и лупаки с парой тождеств, тек называемыми обобцеишши лупами Брака.

4) Указана возможность построения инфияктезиыальной теории гладких Р -КЕазигрупп и & -пространств.

Теоретическая и практическая ценность.-Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти приз/.ёнеш:е в дифференциальной геометрии, теории однородных пространств, теории гладких квазигрупп и луп. Они могут быть использованы для дипломных к курсовых работ и при чтении спецкурсов. Методы, использованные а диссертация, представляют перспективное направление для изучения гэоштрпческих объектов и их связи с соответствувдими алгебраическими ана-огами.

Апробация- работы. Результаты исследований докладывались на се!дшарах по алгебре и геометр;"-! кафедры математического анализа Университета друкбы народов им, Датриса 1уыу15бы и ка ежегодных научных конференциях факультета физихо-уатештических и естественных наук, на всесоюзной геометрической конференции в Кишиневе в 1988 году.

Публикации. Основные результат диссертации опубликованы в работах автора [I] , [2] , [э! , список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 80 страниц машинописного текста и состоит из введения, трех глав 2 библиографии из 37 наименований.

СОДЕРЖАЛИ! ГАБОН'

во введении нздоасна история вопроса, "а и методы ессду-дованпя и дается аннотация полученных результатов.

Первая глава состоит из пята ПЕрагра^озв.

В § I "Квазигруши, лупи и одула" приведены необходимые определения и результата из теории квазигрупп, луп. и одулей ( алгебр. ичвйик и аналитических). Приведем иехозедоо ояроделзаяи езгню для дальнейшего.

Левая луна _/ц - сМ„ • , --, t у с ' ук'лсиеинзм влеызнтов на скаляры te !?„• , R» M ut. И наби-

вается левым ift. -одулем. если vt-m ) -ик. ■ t t Cj =*..) --U-Ож- для любых t, е , к s обозначается

(R.-Ai - <i M , • , -, t., l^M** A. >

Множество ^ навивается одулярнам пространством, ccjui в • каждой точке м определен о дуль.

Одулярное пространство называется геоадуляршцл, если тнга место товдества:

С • С - ^ ^о.т.

Vl • = V L" l.6.0.t., где U t - ♦ -

На этом язкке дгшо определение редуктизных и симметрических пространств.

В § 2 "Некохорке основные тоадества" рассматриваются наиболее вадные тоздесгва теории квазигрупп и одул ей. В том числе тоздество

идемпотентности: - x , тождество левой дистрибутивности:

-Г^) ( левое F -тоадесхво, которое

заключается в следующем; -z-iyx) = la-^) • (F**-)

где F ■■ Kl -> И H - квазигруппе. Б частности, при

получается тоздество левой дистрибутивности. Гажаз приведены тоа-дество S -автоморфности, тоздество Бола, f -полуболово toïî-дество, ао.мдестЕо левой ьюкоалмернатшзаости и т. д. 6

В О 3 "Некоторые сведения, о пространствах лффанной сгяз:;?с-та™ дело краткое описание а$фииной связности а необходимой для додькейязго форме.

Гладкое отображенке V: (Х, V) г. -£(И') > £ (Г1) ->

с 'ХДМ) называется пйбииной связностью на гдаотобро-оул И , если оно -билинейно, ХМ) -линейно по / к

иу) ЧХП7 * *

Здесь — Ж.- алгебря гладких фу.'с-дай на М , -

щюнество гладких векторных полей, наделенных структурой модуля иод ЗЧМ} , V - оператор коваришгного днфферешцфоаг-нгя в направлении (вдоль) доля X .

Описано зхспонекцкалыгое отображение я нормальные ноо?,"чна-•га. Введена структура геодегкгссмгэ одуля л точке. Замечало, что зведекгач система одулей будет гесодулярным ,тро*:грансгаом. Лаьа ■хкетрукиня сфт.Еняой связцэми на языке оду." ">2.

В § 4 " 1л -пространства' опродолеки понятия у -структуры, -[л -симметрии и М -многообразия.

Определения.

Пусть на ¡многообразии ГА зад«" 'о семейство биективных гладких отсбраяеиг! С м , -г _ : V —V ' где v и V' ссохг&театеино окрестности точзк и -*- ,

Х- » е^} и .Т^.-гг*) ~ ^с

1фсш того, (с'я.у*«.* гяатя от гладко. Тогда будем называть транссамизтрией.

Семейство трансеишетрий ^^ будем испивать Ц -

структурой, а ( И , е м — многообразием.

М -и гооброяиа эюздэалентао задании частичной гладкой левой-гевазагрупш! / > , где- -

•'л -ккогосбразпе называется Р -регулярным или просто регулярном, если ■ а^ ' ^г,,..

Регулярное Лл -глсгосбразиэ ^аЕгапленгао задашь •г.ст.п» ной левей Г -квазигруппы.

Транссиклетрив назовем ггоавглыюй, роли ^Ь.-о^^''

в ^ ц =о или, что то го, есл л участвует />~'г ) .

<

Опред теин Vj -многообразие аффинной связности

СМ, ' ^ ^ и риманово fci -многообразие.

В § 5 "Каноническая связность Рашевского локально правильного регулярного U -многообразия ( U -пространства )" дано определение U -пространства как локально правильного регулярного U -многообразия.

Дано определение канонической аф^лшой связности Рашевского •U -пространства как аффинной связности' такой, что SJТ=0

VfbO и V5 -0 .где s».--le^N«'».» .С'*».1 W>,c-

и - лекальные автоморфизмы этой связности.

В легаих 1,5.1 и 1.5.2 доказываются некоторые свойства F -квазигрупп, а именно, что отображение -с : M -» M

-k. _ является ондоморфизмом F -

квазигруппы M , а также справедливы следувдие свойства е. и

' ¿-о«-; * «-чу) . ^ vx . ^ , с^* * s^y

<> «ru» » 0

где - ' *'tLi *

Искомая каноническая аффинная связность икает вид:

Показано, что ел - локальные автоморфизмы -вязкости V I») .(Предложение 1.г.1).

Показано, что аффинная связностьV t«> редуктивна. (Предложение 1.5.2).

Предлог л.ие 1.5,3 Пусть ( M , WiuW«. и )' . - транссимметрическое пространство, V - его каноническая связность.

5«. : "Г«»; (НУ

Тогда „ VXJ£Y),

8

; (Sy)q. * 4)

или короче

V S. О , если цринеть (v^ 5 УV 5 (V,х У) -Vx (SVj

2) -

Предлозсение 1.5.4. Пусть (^М, V ) - связное пространство

аффинной связности, а (.«Ч. м - семейство его локальных автоморфизмов.

(МЬТх(М)

5(V^x = CSV) и

Тогда С М# и ) -регулярная U -структура,

то есть - °

Доказана единственность канонической сгязности (Предложение 1.5.5.). Доказано (Предяояение 1.5.6.), гго любая гладкая связная левая р -квазигруппа од. :>зкачно определяется семейством локальных автоморфизиов (fi,. )хе м редуктивного связного цростра..ства аффинной связности ,7 ) о условии«:

I) «•"«'я. , где «5С*>

3) VS> = 0 , где ^

3) ciet (Х< - I«-».*-О * о

Вводится отображение = (v ii->j. «_ , которое исполь-

зуется в дальнейшем при изучении структура геодезического одуля транссимметрического пространства и при иостроении кнфинитззи-иальной теории гладких левых F -квазигрупп. Показано, .то ' V41 г0 (Предложение 1.5.7). Доказано, что группа трансвекций связного глобального ta -многообразия действует транзиткзно (Предложение 1.5.8).

Показано, что если ( М , (<&«_ } t ^ ) - связное глобально (лохалыю) правильное U -многообразно, то группа трансвекций есть группа автоморфизмов связности 7 , а е за-шхание есть группа Ли, действующая на однородном пространстве

> V ) . Шредлоге?"9 1.5.9)'.

Глава II состоят из одного параграфа.

Б этом параграфе "Геодезические сдули канонической &ф£шкой ' связности транссю,метрического пространства" получены г тебрак-« чсскис тоздестаа па гладкий одуль неоОходкьае и достаточные для того, чтобы данный одуль был геодззичр.скил одулем канонической связности Радевского tj -пространства, а именно:

1) X'L у-х-'- {г • if ■*.•'• w) } / -

(у*1- глЩ У*- • (V1*"-уг)Г'*{ ys-'iV1^1' V- -тождество

2) У' (х >р = у<*> • *<у)

3)■*■"'(*• >р * ^

4) (.у-)»*. " - обратг'о. (Предложение П.1.1)

Показано, что любое трансакматркческое пространство может бить получено с помощью геодезической лугш редухт/аного пространства аффинной связности (М, V) ■ с веданным семейством локальных эндоморфизмов iy'-vJ-K.tn таких, что ^ -

-О . Ч'^-ТЛ^ обрати , ул. \Ув^* 6Ги

где - азгоыорфизм связности . V , определенный на некото-

рой окрестности точки «,' <¡',¿4- (Предложение П.1.2).

Глава III состоит кг двух пар.л^пфов.

Б § I "О связи левах f -квазигрупп с лупами специального вида" показано, что леше F -квазигруппы изотопны лупа:.: с парой товдегтв.

* iy * % г.) * ъ-* iy * г)

i** я * ty cat,« -> 3 -sua ivyj-'blv*.]")

Эти душ назваии ваш обобщенными лупами Брат;а (Предложение Ш.1.1)

Показало, что такие лупы изотопны левши F -квазигруппам с левой едаящей к являются специальными лупами. ( Предложение ЕЛ.2., 1аЛ,о. и следствия 1,2 ).

В § 2 "Родуятквные пространства и лезыа Я -квазигруппч" приводится конструкция, описывающая с помощью однородных редук-тив1шх V -пространств гладкие леые Р -квазигруппы.

Конструкция заключается в следующем. Пусть - группа Ли, 'р - ее эвдоморфизм и Н подгруппа всех неподвижных алекэнтов эндоморфизма у . Потребуем еще чтобы {х-учУ^}^ с

к.-ело одноэлементное пересечение с каадим классом смежности Пусть такте • Р - эндоморфизм перестановочный с у . На пространства левых смежных классов смежности 6-/Н дахно ввести угяюяенке празклом

(г Н) (3 Н) - х - у <•*.".) Р < > Н , аеС- - произвольный е-нзнт.

Тогда £ /Н с таким умножением будет -пространст-

вом и хобое V) -пространство мскко получить с помощью этой конструкции (Предложение Ш.2.Г. и Ш.2.2.).

Эта конструкция позволяет привз^ .-и нетривиальные приыэры гладких левых Р -квазигрупп и Ь -пространств.

Пос..ольку пространство &-/ II в такса конструкции редук-тивно, то тдонитезимальио исследог\нпа ^ -пространств шяно свести к редуятивиым парам алгебр Ли с не- вторыми условиями шщ схгиеалентвг, ,к тройным алгебрам Ли с некоторыми условиями.

В ваклвчеиив хочу выразить благодарность свое1цу научному руководителе профессору В. Б.Рыжкову за ценные советы и замечания, . направляющие ход исследований, за зшпшш..) и терпение»

Список рабзт» опубликованных по тема диссертации:

1. Сабинина Л. Л. К теории ? -квазигрупп. // Тк. и квазигруппу. М. Калинин. 1988. С. 127 - 130. ■ •

2. Сабинина Л.Л, 0 канонической аф$ииной связности Р -хиа-спгрупп. // Тезисы сообщений IX Всесоюзной геокетрмдеской конференции 20-22 сент.1988.К1шшнев "Шгиинца". С.1275-С76.

3. Сабинина Л.1. 0 геометрии' Р -квазигрупп. // Дкйференц. геометрия и ыультипл. интеграл. Сб. на^ч.трудов ОТИ. М.198Э. ВИШНИ В 3299. В. 89. Гл£>