Геометрия гладких гипоредуктивных луп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ñ ' ч L J.

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУХБЫ НАРОДОВ

>

На оравах рухопжся

ИССА АВДУ НУРУ

ШИВГРШ ГЛАДКИХ ГЖЮРЕДУКТИВНЫ1 ЛУП ( 01.01.04-геометряя я топологи)

Автореферат дяссартацм на соискание ученой стелена кандидата Знзяко-натеивтячзскях паук

H о с к в а - 1992

г

Работа выполнена в Российском университете дружбы народов

Научный руководягель -Доктор фааико-математаческих наук, профессор Л.В.САБИНИ

Официальные оппоненты: Доктор физяко-матваатича скит наук, .профессор А. И. ШЕЕ

Кандидат фазико-иагеиатяческях наук, доцент '0^1. МАТВЕЕ

Вздутая организация - Московский Государственный Университет ии. И,В.Ломоносова.

Защита диссертации состоится " 19^

в 15 часов 30 кинут на заседания специализированного сс К 053.22.23 по присуждение ученой .степени кандидата фа: математических наук в Российской университете друкбы ш по адресу: 117302, Москва,'ул.Ордаониквдэе, 3, ауд. 48!

С диссертацией ыохно ознакомиться в научной библяо' Российского университета дружбы народов по адресу: 117 Москва, ул.Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических М.В.ДРАГ

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность твмнп Понятия группы я алгебры (в чаотноо-ти - группы Ли я алгебры 1л) играют фундаментальную роль в геометрия. Новейшее развятпэ геометрия показывает, что существенную роль в геометрия играют и такие алгебраические структуры, как квазигруппы и лупы. Впервые понятие гладкой локальной лупы появилось в работе А.И.Мальцева /4/ в связи с обобщением теория групп Ли, однако вне связи с дифференциальной геометрией. Связь теория квазигрупп и луп с геометрией впервые установил О.Лоос /3/ показав, что симметрическое пространство мох-по рассматривать как гладкую квазигруппу (идемпотентную, лево- • обратимую, леводастрибутивную). Вслед за Лоосом ряд математиков продолжали развитие дифференциальной геометрия различных классов квазигрупп, как например, в -структуры. Следует заметить, что такая алгебраическая структура (т.е. & - структура) на многообразии порождает некоторую геометрию (геометрию пространства редуктявной аффинной связности), тесно связанную со структурой квазигруппы. В связи с этим, отметим работа М.Киккавн /9/ я Л.В.Сабинина /5/, в которых было введено понятие геодезической лупы пространства аффинной связности: в окрестности каждой точки пространства аффинной связности можно единственным образом определить операцию умножения, по отношению к которой выделенная окрестность'становится лупой.

Для изучения геометрии специальных классов квазигрупп я луп удобно использовать некоторый инфянитезималькый аппарат, т.е. построить я изучить касательные полилинейные алгебры. Такие касательные алгебраические объекты описывают геометрию соответствующих квазигрупп и луп. Здесь нужно отметить аналогию со случаем теории Ли: вместо групп Ли и алгебр Ли появляются квазигруппы, лупы и касательные структуры такие, как тройные системы Ли, тройные алгебры Ли, алгебры Бола и т.п.

М.'А.Акивисом /I/ введена в рассмотрение конструкция бинарно-тернарной алгебры, касательной к геодезической лупе, спя-!-занной с произвольной точкой пространства аффинной связности. Заметим, что в общем случае структура геодезической лупы описывается соответствующей касательной бинарно-тернарной алгеброй неоднозначно. В частном случае гладких локальных луп Бола такая однозначность тем на менее имеет место, и в работа Л.В. Сабинина и П.О.Нихеава /8/ была описаны условия, необходимые

Н ■ _______£

Г----:

! я достаточные для того, чтобы данную абстрактную бинарно-тернарную алгебру можно было рассматривать как касательную для некоторой гладкой локальной лупы Бола.

Одним из замечательных классов луп является класс лево-ыоноальтернативных специальных (редуктивных) луп, который включает в себя подкласс симметрических луп. Общеизвестно значение локально редуктивных и (см./З/) локально симметрических пространств в современной дифференциальной геометри. Геометрия редуктивных луп и симметрических луп тесна связана с геометрией локально редуктивных и локально симметрических пространств, т.к. (Л.В.Сабинин /6/) гладкая локальная лупа (С1> * » е ) может служить геодезической лупой некоторой локально редуктявной связности V на а (т.е. ] в том и только том случае, если локально Уа,Ь,ссй

(левое специальное свойство)

| (свойство девой моноальтернативности). [

;В указанных условиях локально редуктивная связность V опре-* I деляется однозначно, |

! Б работе /7/ Л.Б.Сабаняным был введен новый, более общий | | класс гипоредуктивных луп. Лупа (О , •, е) называется гипо-! ; редуктявной слева, если для любых а, Ь, с из О, существует | ¡тагов Л (а, \>), что ХСа.е'*. е а У^.чеШ

(левое гипоспецнальное свойство),

Ь »I = I

(свойство левой моноальтернативностя).

Нетрудно видеть, что класс гипоредуктивных луп обобщает класс редуктивных луп; он обобщает я класс луя Бола, В работе /7/ было предложено инфинлтезякальное описание классы гладких до- | калышх гипоредуктивных слева луп в терминах касательных гипо-; редуктивных тройных систем векторных полей. ;

п

с

Цель настоящей диссертации состоит в построение даффе-рэнцяально-геометричэской интерпретации теории гипоредуктив-ннх луп и построение методами дифференциальной геометрия теории абстрактных алгебр, касатэльных к гладким локальным гипо-редуктявным лупам.

Общая методика исследования.. В настоящей диссертационной работе используются методы геомотрия пространства афТштой связности я нэассоциатявной алгебра.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Рассмотрена дифференциально-геометрическая характарл-зация гладких гяпорэдуктивных луп в терминах специального вида пространств аффинной связности нулевой кривизны. Описана реализация гяпоредуктивных тройных алгебр векторных полей гя~ породуктивноЗ гладкой лупн в виде совокупности ковариантно постоянных векторных полей на многообразия лупы.

2. Ввэдано понятие правильной гяпоредуктивной тройной алгебры векторных полей, алгебры 1в в правильном гипорадуктив-• ном разложения.

3. Рассмотрены абстрактные гнпоредуктивние алгебры. Посредством развитой даффарвнциально-гоомэтрячвской техника доказано, что произвольная 'абстрактная „гяпорадук.т.твная алгебра соответствует некоторой гипоредуктявноЯ тройной алгебре векторных полой.

4. Дана классификация абстрактных гипоредуктивных алгебр размерности два.

Теоратичвская и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и ориентирована на приложение в дифференциальной геометрия, теории однородных пространств и в ш-ассоциативной алгебре. Полученные результаты представляют собой новый вклад в теорию гладких неассоциативпых алгебраических систем, связанную с дифференциальной геометрией, они могут найти приложение в теоретической физика.

Апробация работа. Сформулированные в диссертации результаты корректно обоснованы, они докладывались в 1987-1992гг. па заседаниях семинара по алгебре и геометрии кафедры математического анализа РУДН и на ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН.

___........_________„ж

Птблякапии. Основные результата диссертация достаточно полно отражены в работах, цитируемых в списке П. Все работы выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация выполнена на 68 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав в списка литературы, насчитывающего 50 наименований,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введения обоснована актуальность темы диссертации, указаны цель и методы исследования, сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В главе I проводятся алгебраические рассмотрения, используемые в последующих построениях. Она состоит из четырех параграфов.

В § 1.1 даны краткие сведения из теории квазигрупп и луп. Даны определения гипоредуктявной слева лупы-и левого гипоавто-морфизма: преобразование ф лупы (О , •,е ) называется левым гипоавтоморфязном, если, для любого * из й ,

Ф • 1.« • « и«/м

В случае гипоредуктивной слева лупы все преобразования вида • являются левыми гипоавтомор$язмаки.

В § 1.2 рассматривается теория локальных гипоредуктивных луп. Вводится понятие гипоредуктивной тройной алгебры векторных полей /7/: конечномерное линейное пространство над полем действительных чисел К векторных полей на многообразии ГА называется гипоредуктявной тройной алгеброй векторных ) полей на К , если ¿»«Т?* А'илМ и заданы билинейное косо-

симметрическое отображение а ; "Ъ «17-«.Ъ и трилинейное

отображение -»Л? . кососимметрическое по двум :

последним аргументам I » - • удовлетво- |

ряицае условию |

- £х,аип] + ,Ух.мл- а) I

Далеэ формируются результаты из теории глпоредуктявных тройных алгебр векторных полей, полученные Л.В.Сабининым /7/.

В § 1.3 описывается конструкция айинкой связности нулевой кривизны, определяемой структурой гладкой гипоредуктивной

слева луш. Такая конструкция позволяет применять к исследовании гипоредуктявных луп метода дифференциальной геометрии. Рассмотрены алгебры Ли, обёртывающие для гяпоредуктавных тройных алгебр векторных полей.

В § 1.4 рассматриваются алгебры Ли в гипоредуктивноы разложении. Пусть ¿ - конечномерная алгебра Ли над полец действительных чисел и пусть имеется фиксированное разложение

£ » ДЛ (2),

где "ffil - подпространство я V - подалгебра в <J . Разложение (2) называется гипоредуктивныы, если выделено такое подпространство "Л в 5 • что

$ а тд-я. (3)

т.тзсШ. (4)

В случае, если сумма (3) - прямая, то говорят об алгебре Ли в правильном гипоредуктивном разложении я тогда подпространство , удовлетворяющее условиям (3) и (4), называется гипо-' радуктивннм дополнением к подпространству та в ^ . i

Рассмотрены гяпоредуктявкыа тройные алгебры векторных по4 лей я обёртывавшие их алгебры Ля в правильном гипоредуктивном разложении. Доказывается .следующая лемма.

Лемма I.I.

Б алгебре Ли ^ (в правильном гипоредуктивном разложений) элемент w я х tj¡ LX% ,Z%1 (сумма предпологаатся конечной, х ,yv »«t ) равен нyjm в том и только том случав, если выполняются следующие условия

11. X + £o.U,Z¿aO

I u^.zn =о

i». £ {Сил» vi t ni,

тд* «<м% г- р4(1ХЛ1)-аМ , lZ; X,Y) =

в

рЧглЧ^зП

|Здось Ym. ^-- проекция на "Sil параллельно векторному подпространству "Л ,

! : -»-1® - проекция на Ш. параллельно подалгебре

| "Ь .

I P-ft1: &-- проекция на "Л параллельно TÍI .

j В главе П рассматривается теория гипоредуктивных луп и гипоредуктивных тройных алгебр векторных полей с точки эрения дифференциальной геоыатрии. Дана геометрическая интерпретация ■гипоредуктивных луп. Глава П состоит из двух параграфов. I В § П.1 рассмотрение гипоредуктивных алгебр связывается ¡со структурой пространства аффинной связности с абсолютным ¡параллелизмом , Гипоредуктивная тройная алгебра

¡векторных полей на И отождествляется с касательный пространством , £ - фиксированная точка на И . Пусть j • * ') i ~ базис пространства Ш я , • • • , us"} -дуальный к нсиу базис 1 - форм. Тогда структурныэ уравнения рассиатриваемого пространства ииеют вид

i ьз1«"3* г wj s О (5.1)

(5.2)

а]» = , » j

где тензоры а.^ и определятся операциями clCX^X»)

и ^ (Xi > ,)st} гипсредуктивной тройной алгебры Wt векторных полей и V,(.*j л -TC*¿ - аЦ Таким образом,

Все дифференциа.-.ьные следствия системы (5.1)-(5.2) сводятся к следующим соотношения!!:

EL

йДЙлФ»0 (6-3)

аи fVaA~ ^.Д = + (6 4)

Чй* +Ч» ^ - = о (6.6)

" + ~ " (6.7)

. (6.01

где - циклическая сумма по индексам 1 , , v. . До-

казана следующая теорема.

Теорема П.1.

Условия интегрируемости структурных уравнений (5.1)-(5.2) пространства аффинной связности (Н , V ), ассоцярованного | с правильной глпоредуйттзной тройной алгеброй векторных по- | лай на многообразии И , сводятся к системе соотношений ! (6.1)-(6.9). ' j

В процессе доказательства последовательно выводятся соот-| новация (б.1)-(Б,9) путем дифференциального продолжения структурных уравнений (5.1) - (5.2) с учетом гипородуктивного раз-! лояеняя (2) - (4) и леммы I.I.

Вводятся понятие абстрактной гипоредуктивной алгебры: будем говорить, что конечномерное векторное пространство V (над полем действительных чисел R ), оснащенное билинейными операциями а, ->\7 и трилинейной операцией -¿лг , удовлетворяющими условиям (6.1)-(6.Э),

. ________________.7.

пазаааатсл абстрактной гяпоредуктиБной алгеброй.

В § П. 2 рассматривается вопрос о реализации проигволз абстрактной гапоредуктавной алгебры в виде гипоредуктивю тройной алгебры векторных полей на произвольном гладком 1 образин. Отметим, что такая реализация носит локальный хг тер. Ресоняа вопроса дает следующая теорема.

Трордмд Ц(2,

Цусть 11 - гладкое многообразие, »и Е. - $ сированная точка на и. Пусть на касательном пространстве "Ть( Л ) задана структура абстрактной гипоредуктивной ей ры с операциями а (& , 1 ), Ь (5 ,7 ) и ^ ( £ ; £ , Ч Тогда локально в достаточно малой окрестности точки & * I существует система I - форм (О1 , определяющая аффянну! связность на М, и единственную с точностью до изоморфизме поредуктивную тройную алгебру системы ковариантно состоя! векторных полей, сопряженных к формам и' ,

= * еТДМП

такаяI что

' 1*1 .04 Д511 = IX», аОЧ,хьМ +

я и5ЛПО « а1$,Ч> +

Согласно /7/ произвольную гипоредуктивяую тройную алх векторных полей можно рассматривать как касатульную к не! рой гладкой локальной гипоредуктивной слева лупе. Следуш теорема уточняет этот результат. Теорема П.З. •

Пусть (М , У ) - конечное рное гладкое пространен аффинной связности, во всех точках которого выполнены у<у

= 0 > Ч^-Т^ + а^О о » £

где = - СЦ г схтА, .Тогда локальная геодезическая пространства ( М » V )( связанная с произвольной точке («К , гипоредуктивна справа«

Теорема П.З устанавливает связь теории гипоредуктивш луп о геометрией многообразий аффинной связности: любую ; кальяую гладкую пшоредуктивную справа лупу можно рассмач

в? _____:_

вать как локальную геодезическую лупу пространства аффинной связности, всюду удовлетворяющего условию (7).

В конце главы рассматриваются два примера алгебр, которые можно рассматривать как частные случаи гипоредуктивных алгебр:

1. Тройные алгебры Ли и тройные системы Ли.

Тройная алгебра Ли получается из гипоредуктявной алгебры, воли полагать а0с,"0 - т<тл(Х.ХЛ"П . При этом е 1 . Если дополнительно, полагать сЦх.-Л & ^^¡[ХП^з О , то получается тройная система Ли.

2. Алгебры Бола

Алгебру Бола модно получить из гипоредуктявной алгебры, если положить а(.х,тп з. О .В этом случае ЧХД^з

Глава Ш посвящена рассмотрению гипоредуктивных алгебр размерности 2. Дается классификация алгебр указанного вида.

В силу кососимметричности основных тензоров Л^ , и , они могут быть (в двумерном случае) представлены

в виде

<4 Г , = е^ , .

где - дискримлнантный тензор второго порядка. Тогда

система соотношений (6.1)—(6.9) принимает следующая вид

(а^Кс! и|а4 = о (8.1)

где I , ] , 1, 2. Заметим, что выражение ^ + ^ есть след матрицы ( ), и введем а рассмотрение линейное ' преобразование ^ рассматриваемой двумерной гипоредуктивной алгебры:

(8.2) (8.3)

где - базис двумерной алгебры. Путем изучен!

инвариантных подпространств относительно преобразования проводится классификация двумерных гипоредуктивных алгебр Получается следующая таблица: (9)

Тип иь-Ъ)

I с<Х< 0

П ЧХ, рХг. 0 о

ш сЛ 0 0

1У «X* + Х& о(Х£ 0 0

У . О оСХд Хд Хг

71 0 Хд 0

УП 0 0 + У

УШ 0 Хл 0

IX 0 0 0

д 0 0

• "■к** • 0 \>% +1

Теорема ИР1.

Произвольная двумерная гипородуктявная алгебра изон с одной из гипоредуктивных алгебр, описанных в таблица (9). частности, двумерные гяпоредуктпвные алгебры типов I, УП, являются алгебрами Бола, алгебры типов У1, УШ являются п ными' алгебрами Ли я алгебры типов П, Ш, 1У, IX, X суть тц ныв системы Ли. Алгебры типа У являются собственными двуь ними т-щоредуктивными алгебрами. .

I. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, ВДТИРУШОЙ В АВТОРЕФЕРАТЕ

1. Акивио М.А. О геодезических лупах и локалышх тройных системах пространства аффинной связностя//Сиб. Мат.Еурн., 1978, Т.19, J6 2, 0.243-253

2. Акивио М.А., Шэлехов A.M. Основы теория тканей/Далинин-ский Гос.Ун-т, Калинин, 1981, 83 с.

3. Лооо 0. Симметрические пространства // М., Наука, IS85, 208 с.

4. Мальцов А.И. Аналитические лупы //Избранные труды, - М. Наука, 1976, T.I, С.340-345.

5. Сабинин Л.В. Одуля как новый подход к геометрия со связностью //ДАН СССР, 1977, Т.233, № 3, с.800-803.

6. Сабинин Л.В. Методы неассоциативной алгебра в да©эрепця-альной геометрии//Добавление к кн., Нобаяси Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрия. T.I, - И, Наука, 1981, с.293-339

7. Сабинин Л.В. Гипоредуктивные лупа //В сб.тканл п квазиггпш" пн, Калининский Гоо.Ун-^г, Калинин, 1990.

8. Сабинин Л.В., Михеев П.О. Об аналитических лупах Бола //

В сб. ткани и квазягрушш, Калининский Гос. Ун-т, Калинин, 1981. .

9. Y\. On UojI Щм

UimVuma UnWerntj, Uf. A-A , V. 23 , -V36U , tfWO*.

JX

П. СШК«Г, даУШКОВАЁШИ РАБОТ ПО ХЕЫЕ диссертации

1. Исса А.Н. О геометрической харокгеризацяи гипоредукгиви алгебр // 'Х'езисы докладов ХХУП Научн. коиф. фак. физике ыаа. и естсств, наук РУДЯ, 13-18 мая 1991 г; М.: Иэд-вс Ун-та дружбы народов. 1991 г. С. 152.

2. Исса А.Н. К теории гипоредукхивных алгебр //Деп. в ВИЕ 28.*.?2, е Ш4 - В 92, 7 с.

3. Исса А.Н. О деулершис гилоредукгивиых алгебрах // Деп, ВШШ'1'И 28.4.92, ¡г Ш8 - В 92, 7 с.

Исса А.Н. О каосокфакацки двумерных гиаоредуктивыых ал1 // Тезисы докладов ХХУП Научи, конф. фак. фиаико-матем, естеств. наук РУДН, 18-25 мая 1992 г. и.: Иад-во Уа-«а дружбы народов. 1992 г. С.9.

Подписано к печати. Объем 1,0 п.л. Тир. 100, \

ТИПОГРАФИЯ РОССИЙСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ДРУЕШ НАИ