Гиперповерхности с данной суммой главных условных радиусов кривизны в пространстве Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

4 1 О И 9 11

МОСКОВСКИ« ОРДЕНА ЛЕПППЛ II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ плени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

Па правах рукописи УДК 514.7

ЛЯХОВА Наталья Евгеньевна

ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ С ДАННОЙ СУММОЙ ГЛАСНЫХ УСЛОВНЫХ РАДИУСОВ КРИВИЗНЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

01.01.04 — геометрия п топологпя

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации ка соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1991

у'

7/0 (

■ - с)/ О л

Работа выполнена па кафедре геометрии Ленинградского государственного .педагогического института аш. А. И. Герцена.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, профессор КАНТОР Борис Евсеевич

О ф и ц н а л ь н ы с о ц и о н с и т ы:

доктор физико-математических наук, профессор ШИКИН Евгшшн Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент ТЕН Людмила Владимировна

Ведущая организация — Ростовский государственный университет.

Защита диссертации состоится « Л..л.......^^.^...1991 г.

в .......... час. на заседании Специализированного Совета

К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических 1наук в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина (107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14, математический факультет МПГУ мм. В. И. Ленина, а уд. 301).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В. И. Ленина (119882, Москва, ул. Малая Пироговская, 1).

Автореферат разослан «./££».............оя......... ....1991 г.

Ученый секретар/Специализированного Совета ( С? г. А. КАРАСЕВ

«генш,

..рглцуй

- 3 -

ОЕИАЯ 'шжшу.сът РАЬО'Ш

АКТУАЛЬНОСТЬ ЗЕЖ И ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Задачи восстановления поверхностей с данными геометрическими характеристиками образуют большой раздел современной дифференциальной геометрии "в целом". Вопросами, связанныш с теоремами существования, единственности и изучением свойств таких поверхностей занимались академики А.Д.Алеисандров, А.В.Погорелов и ж многочисленные ученики. В частности, когда поверхность восстанавливается по сумме главных радиусов кривизны, поставленные вопросы составляют содержание известной проблемы Кристоффеля.

Задача Кристоффеля подробно изучена многими авторами. В евклидовом пространстве в окончательном ввде она решена А.В.Пого-реловш.[о]. Н,Я.Бакельманом и Р.С.Понарядовой [3] было дано решение "обобщенной" задачи Кристоффеля в относительной дифференциальной геометрии. Ими было доказано существование замкнутой гиперповерхности с данной еугдшй главных условных радиусов кривизны.

Л.А.Дмитриевой [4] было доказано существование в евклидовом пространстве Е гиперповерхности, у которой cy5.ii.ia главных радиусов кривизны есть функция нормали и расстояния от фиксированной точки. Точнее, по заданной на <5 * (О, + <&) функции

была построена замкнутая гиперповерхность, для которой УУл, к) является суммой главных радиусов кривизны в точке с внешней нормалью К и с касательной плоскостью, удаленной от фиксированной точки на расстояние к . ^

Аналогичная задача в пространстве Лобачевского А была решена Ы.А.Саканянон [б] , [7] .

Настоящая работа является обощениеи проблемы Кристоффеля на случай относительной дифференциальной геометрии в пространство Лобачевского. Цель работы состоит:

I/ в доказательстве теореш существования замкнутой гиперповерхности о данной суммой главные условных радиусов кривизны, являющейся функцией нормали и расстояния от фиксированной точки;

2/ в решении вопроса о единственности этих гиперповерхностей.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе впервые I/ доказана теорема существования замкнутой гиперповерхности в /1с данной, снятой / (П , к ) главных условных радиусов кривизны, 2/ доказана

теорема единственности построенных гиперповерхностей.

1Е0ЖШЕСКАЯ' И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные результаты носят теоретический характер,'представляют научный интерес и могут быть применены в различных задачах геометрии.

АПРОБАЩЯ РАБОШ. Результаты диссертации докладывались на Герценовских чтениях /Ленинград, 1988 г. Петрозаводск, 1989 г./, на геометрическом семинаре кафедры алгебры и геометрии Таганрогского пединститута, на IX Всесоюзной геометрической конференции /Кишинев, 1988 г./, на Всесоюзной конференции по геометрии и анализу /Новосибирск, 1989 г./

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата.

ОБЬИ,! И СТРУКТУРА ДИССЕРЩИИ. Диссертация содержит 81 страницу машинописного текста. Она состоит из введения и двух глаз. Нумерация параграфов сквозная. В списке литературы 24 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОШ

Бо введении дана постановка задачи. Обозначим через <50 множество лучей С , выходязцкх из фиксированной точки О пространства Лобачевского Ал . Любую гиперплоскость, не проходящую через точку О , будем называть гиперплоскостью направления

С относительно точки О , если перпендикуляр, опущенный из точки О на эту гиперплоскость имеет направление луча "С .

Пусть Р - замкнутая гладкая гиперповерхность в /}л , которая содержит внутри точку О и не имеет касательных гиперплоскостей, проходящих через точку О . Определим отображение

Г—~

сопоставляющее каздой точке луч, имещий направленна

перпендикуляра, опущенного из точтта О на касательную гиперплоскость 0. к р ъ точке М . И пусть ¿Р - некоторая замкцутая строго выпуклая поверхность /условная сфера/.

Рассматривается следующая задача. Пусть на множестве х (0! + оо) задана достаточно гладкая положительная функция / ({г, р). лу^а- и расстояния р от точки О

Требуется построить замкнутую гиперповерхность Р удовлетворяющую следующим условиям:

I/ точка 0 находится внутри р ;

2/ р не имзет касательных гиперплоскостей, проходящих через точку О ;

3/ отображение биективно;

4/ сумма главных условных радиусов кривизну гиперповерхности /-* относительно замкнутой выпуклой гиперповерхности ¿Р в точке, где касательная гиперплоскость имеет направление луча к удалена от точки О на расстояние р , равш У (£-, р)

Кроме того требуется найти условия, при которых'построенная гиперповерхность будет единственной.

Поставленная задача в аналитическом пчане сводится к теореме существования решения некоторого квазилинейного эллиптического дифференциального уравнения второго порядка, рассмотренного ка сфера. Первая глава посвящена выводу этого уравнения.

Рассугдения ведутся в модели Кэли-Клейна пространства Лобачевского, т.е. б открытом шаре радиуса И в Е л . Будем считать, что образом точки О является центр модели.

Гиперплоскость направления {■ , удаленная от точки О на расстояние р , в модели, задается уравнением

-Л ^/ГМ^-'

где у г радиус-вектор текущей точки гиперплоскости.

Перзие три условия, сформулированные в постановке задачи, .позволяют рассматривать искомую гиперповерхность Р как огибающую семейства гиперплоскостей с уравнениями

- Л(&)

где нш . - положительная функция точки сферы 8' ~ .

В § I для гиперповерхности пространства Лобачевского определяется опорная функция

сС1 _

/ . / \ / ,<\г / ,г\г. . / ,п\г- ''

где И - евклидово расстояние касательной гиперплоскости'направления , , рС1 ] отточки О . { '

Как и в случае■евклидова пространства, есть положительно однородная функция первой степени аргументов / и"- , а координаты точки гиперповерхности с касательной гиперплоскостью направления {еС1, }

выражаются формулами

в Ж. а ~/,г, ...,/1)

м*

Отображение в модели Кэли-Клейяа порождает отобра-

жение

Г -

сопоставляющее каядой точке И ^ Г точку В § 2 дано определение главных: условных радиусов кривизны в пространстве Лобачевского. Анализ этого понятия в евклидовом случае приводит к определенно главных условных радиусов ^кривизны поверхности Г относительно поверхности <РЛ как экстремумов отношения второй квадратичной, формы ЦР поверх- . ности Г к третьей квадратичной форма Ц!<р поверхности , вычисленных в соответствую^« точках. Точки Г и

//<£ ср называются соответствующими, если У_(М)= Уф1н>}-= . При этом соответствующими направлениями в течках //

и / будут направления параллельные одному и тоцу ес направлению в точке *90 •

Как следует из данного определен т, необходимо выразить вторую и третью квадратичные формы поверхности через ез опорную функцию. В § 3 требуемые сражения получены в бельтрами-евых координатах, а затем в § 4 проведен пересчет этих вкрзаж-ний в географические координаты , , •••, на сфере

в"'* •

В § 5, вычисляя элегремуиы охкошехкш второй фореш поверхности к третьей форте условной сфэри, преходиа к грзбушоцу

выражения су.хт главных условных радиусов кривизны гиперповерхности через ее опорную функция. И задача о построении гиперповерхности по данной суггла глазных условных радиусов кривизна 9, Ь) сводится н ре-ленко ла 6 " следу:-ог<его язаэилинейного относительно опорной сТушаши Н(&) искомой гиперповерхности.

+ // ((П-О/! + = (V

где р - опорная функция условной сферы, - ¿у .

/Здесь Я ~ £ , а под условны;.«! радиусами кривизны подразумеваются не Я^ , а их противоположные величшьт/.

В § 6 показано, что полученное уравнение будет эллиптического тша только на функциях И г, •••/ ) , удовлетворяющих условию

¡1* - > 0 , (2)

т.е. на функциях, которые являются опорными для конечных гипер, поверхностей пространства Лобачевского /квадрат модуля радиуса-вектора гиперповерхности, через ее опорную функцию выражается формулой

К-1 /.

Вторая глаза посвящена доказательству основной теории. ТЕОРЕМ I. Пусть в пространстве Лобачевского /I /рассматривается модель Кэли-Клейна с центром 0 п радиусом / / даны замкнутая строго выпуклая гиперповерхность (В Сг ■ и неотрицательная функция /& Ст*'' * ($"'* х (9, {)) (т > О , О I ) . Тогда, если ^(9^)

уяоглегво-

рпет условиям

I/ 1Ш) <$№,/!) , при ь^и1

.|При ¡г >Нг- ,

где /}* и И* константы О < ¡1* < Н* < / ( $(#,/1) -сумма главных условных относительно поверхности ¿Р радиусов кривизны сферы с центром в точке О и радиусом /г ;

2/ при всех (^Ь)е. Я"'* *

то задача о построении гиперповерхности по заданной сумм© главных условных относительно поверхности Ф радиусов кривизны имеет решение, которое определяется ф/ю;цией ¡¡[А(5"') являющейся опорной функцией искомой гиперповерхности. '

Для доказательства этой теоремы достаточно установить существование решения Ь(^) уравнения (I) на классе функций, удовлетворяющих условию (2) , в предположении, что /<£• С*1*1'* (Ш > Р , С? < <6 < 4) . Как известно, для этого необходимы априорные оценки решения уравнения в метрике С1 .

В § 7 найдены достаточные условия для существования оценок решения уравнения, А именно,доказана следующая

ЛЕША. Пусть функция ^ , для всех

$ - , 5" ' удовлетворяет условиям

а/ <$(е,И) при Ь < И' ;

при П ^ Г < ,

где , Л постоянные ^ Ь ^ И ^ / , а

Тогда дня решения ¡1 ($) , на котором уравнение (I,) имеат эл- , липтический тип, справедлива оценка

В § 8 доказывается-, что единственная гиперповерхность с

суммой ГЛаВ!ШХ условных радиусов крИБИЗНН

есть сфера ^адиуса с центром в точке О . Заметим, что функция

является сутягой главных условных радиусов кривизны сферы с центром в точке О и радиусом к .

Оценка модуля градиента решения уравнения (I) получена в § 9 по идеям работ [I] , [2] . При этом била дана оценка квадрата модуля радиуса-вектора

\

и/= г* <

гиперповерхности /" , что позволило доказать следущуто теоре-. щ о расположении Р . л

ТЕОРЕМ 2. Пусть в пространстве А фиксированы две концентрические сферы 3/ и радиуоов // и И с центром в точке 0 и пусть неотрицательная функция / / /,) <2 <£ С*' * (О,!)) удовлетворяет условиям:

I/ ¿(9,11) < внутри сферы , .

' вне сферы 5г »

где ^ (- сугма главных условных радиусов кривизны сферы с центром в точке 0 и радиусом Ь ;

2/ при всех Ш)^ д"4 * [/}*,/)*]

/- И

Тогда

Г/,*А,Ч I Тк /

и гиперповерхность с суммой J (&, h) главных условных радиусов кривизны расположена ме:зду сферами Si и Sí О, Я) /Здесь" Ц / = (tjzad f)z = )V¿ - первый дифферен-

циальный параметр Вельтраш. функции / , относительно метрики

d$¿ - Ch dtf + d¿ a'i/f v „. ^/A-f + ... *

единичной сферы о , /.

Б 5 10 устанавливается теорема 3'существования решения уравнения I , доказательство которой проводится с помощью известного топологического принципа Яерэ-Шаудера.

§ II посвящен вопросу единственности гиперповерхности с данной суммой главных условных радиусов кривизны. Доказана следующая '

ТЕ0Р31.1А 4. Пусть замкнутые гиперповерхности F¿ и Fz в пространстве Лобачевского Л , заданные соответственно опорными функциями h (■&} и h (9) , таковы, что в соответству-" кицих ■ точках суммы их главных условных радиусов кривизны совпадают с данной функцией

И пусть Я - радиус минимального шара с центром в начале.координат, содержащего обе поверхности. Тогда, если функция . удовлетворяет УСЛОВИЮ

(■í-8)th-2fh--^->0

то поверхности Fi и Fz совпадают.

Доказательство теоремы сводятся к установлению единственности решения уравнения (I) .

ЛИТЕРАТУРА

{I] Бакельман И.Я. Геометрические вопросы квазилинейных эллиптических уравнений.//Успехи мат.наук. - 1970. - Т.25, Бып.З. - C.49-III, [2] Еакельман И.Я., Кантор Б.Е. Оценки1 решений квазилинейных эллиптических уравнений, связанных с проблемами геометрии "в целом".//Матем.сб. - 1973. - Т.9Г/.ТЗЗ/, Вш.3/7/.*-С.336-350. ' • '

[3] Бакельман Й.Я., Понарядова P.C. Замкнутые поверхности с заданной суммой условных радиусов кривизны. //Геометрия и топология. - Л.: ЛГПИ, 1974. - Вш.П,- С.22-34.

[4J Дмитриева Л.А. Обобщенная задача Кристоффеля для замкнутых поверхностей. //Уч. зап.ЛГПИ им.А..И.Герцена 395, исслед. по геометрии "в целом". - Л., 1970. - С.185-202.

L5] Погорелов A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. -М.: Наука, 1975.

(6) Саканян И, А. Выражение суммы главных радиусов кривизны гиперповерхности через ее опорную функцию в пространстве Лобачевского Л* .//Геометрия. - Л.:ШИ, 1977. - Вып.71. - С. 94-102.

[7] Саканян М.А. Существование гиперповерхности с данной суммой главных радиусов кривизны в пространства Лобачевского

• /7Л .//Геометрия. - Л.: ШШ, 1977. - Вып.У1. - С.87-94.

РАБОШ АВТОРА НО ЖЕ ДИССЕРТАЦИИ

{8] Ляхова Н.Е. Поверхности о данной сукмой главных условных радиусов кривизны в пространства Лобачевского.//Тез.докл. IX Всесоюзной геометрической конференции. - Кишинев, 20 -22 сентября 1988 г. - С. 194-195.

[9] Ляхова Н.Е. Выражение сугяхы главных условных радиусов кривизны гиперповерхности через еэ опорную функции в пространства Лобачевского. Доп. в ВИНИ® 19.04.89.',P254I-Efe9.

[10] Ляхова Н.Е. Существование гиперповерхности с данной суммой' глазных условных радиусов кривизны в пространстве Лобачевского. Дсп. в ВИНИТИ 19.04.89., В 2540-В89.